ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η οποία µετατοπίζεται παράλληλα προς δοθείσα διεύθυνση δ και συναντά µία καµπύλη c (οδηγός καµπύλη) (Σχ. 1 ) Οι κυλινδρικές επιφάνειες οι οποίες εξετάζονται στα πλαίσια του µαθήµατος, έχουν συνήθως ως οδηγό καµπύλη ένα κύκλο. Εάν η διεύθυνση δ των γενετειρών της κυλινδρικής επιφάνειας, είναι πλάγια ως προς το επίπεδο της οδηγού καµπύλης, η κυλινδρική επιφάνεια είναι πλάγια. (Σχ. 1 ) Σχήµα 2 Εάν η διεύθυνση δ των γενετειρών της κυλινδρικής επιφάνειας, είναι κάθετη ως προς το επίπεδο της οδηγού καµπύλης, η κυλινδρική επιφάνεια είναι µία ορθή κυλινδρική επιφάνεια. ( Σχ.2 ) Το οριζόντιο περίγραµµα του κυλίνδρου (1 η προβολή), (Σχ. 3 ) περιλαµβάνει την 1 η προβολή δ της διεύθυνσης δ, την 1 η προβολή (c ) της οδηγού καµπύλης και τις 1 ες προβολές των ακραίων γενετειρών που είναι οι εφαπτόµενες της προβολής της οδηγού καµπύλης, οι παράλληλες προς την δ. Το κατακόρυφο περίγραµµα του κυλίνδρου (2 η προβολή) περιλαµβάνει αντίστοιχα την 2 η προβολή δ της διεύθυνσης δ, την 2 η προβολή (c ) της οδηγού καµπύλης και τις 2 ες προβολές των ακραίων γενετειρών, που είναι παράλληλες προς την δ. Όταν η οδηγός καµπύλη είναι κύκλος και η διεύθυνση δ, των γενετειρών είναι κάθετη στο επίπεδο της οδηγού, ο κύλινδρος ονοµάζεται ορθός ή εκ περιστροφής. Ο ορθός κύλινδρος είναι δυνατόν να θεωρηθεί προκύπτει από την περιστροφή της γενέτειρας α άξονα την ευθεία ΟΟ1. (Σχ. 2 ) ότι περί Σχήµα 3
Στα έργα Αρχιτεκτονικής η κυλινδρική επιφάνεια συναντάται συχνά, ακόµα και µε την γενική της µορφή (Σχ.4 ) Η συνηθέστερη όµως µορφή, είναι η εκ περιστροφής κυλινδρική επιφάνεια. (Σχ 5 ) Neanderthal Museum, Zamp Kelp and Julius Krauss, Fertigstellung - Mai 1996 Σχήµα 4 Προσωρινή βιβλιοθήκη του UCLA (University of California Los Angeles) 1993 Los Angeles, California, USA, Hodgetts + Fung Σχήµα 5 2. ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Κάθε σηµείο της επιφάνειας του κυλίνδρου θεωρείται ότι ανήκει σε µία γενέτειρα του. Το τυχόν σηµείο Μ (Μ, Μ ) π. χ. της κυλινδρικής επιφάνειας ανήκει στην γενέτειρα ΕΕ1 (Ε Ε1, Ε Ε1 ) και προσδιορίζεται µέσω των προβολών της, όπως φαίνεται στο σχήµα 6. Εάν, για παράδειγµα, γνωρίζουµε την 2 η προβολή Μ του σηµείου Μ, θεωρούµε την γενέτειρα που το περιέχει, η οποία συναντά τον κύκλο στο σηµείο Ε και ορίζει στην 2 η προβολή του κύκλου το Ε. Το Ε ανήκει στην 1 η προβολή του κύκλου. Η γενέτειρα από το Ε, περιέχει το Μ. Με εντελώς αντίστοιχο τρόπο καθορίζονται µέσω γενετειρών οι προβολές σηµείων της κυλινδρικής επιφάνειας όταν πρόκειται για ορθό κύλινδρο. Σχήµα 6
National Postal Museum Frankfurt on Main, Germany 1990 Behnisch & Partner Σχήµα 7 3. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑ ΕΠΙΠΕ Α ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Σχήµα 8 Το εφαπτόµενο επίπεδο ενός κυλίνδρου σε τυχόν σηµείο Μ της επιφάνειάς του, ορίζεται από την γενέτειρα α, την διερχόµενη από το σηµείο Μ και από την εφαπτοµένη της οδηγού καµπύλης στο άκρο Α της γενέτειρας. (Σχ. 8 ) Από σηµείο Μ εκτός της κυλινδρικής επιφάνειας, διέρχονται δύο εφαπτόµενα επίπεδα, που ορίζονται ως εξής: Η ευθεία η παράλληλη προς τις γενέτειρες του κυλίνδρου που διέρχεται από το Μ, συναντά το επίπεδο του κύκλου (της οδηγού καµπύλης) στο σηµείο Σ1 (Σχ. 9) Οι εφαπτόµενες Σ1Α και Σ1Β του κύκλου, µαζί µε τις αντίστοιχες γενέτειρες, ορίζουν τα δύο εφαπτόµενα επίπεδα. Τα εφαπτόµενα επίπεδα σε κύλινδρο, τα παράλληλα σε δοθείσα διεύθυνση δ, (Σχ 10) ορίζονται ως εξής: Καθορίζουµε τυχόν επίπεδο παράλληλο προς τις γενέτειρες του κυλίνδρου και προς την διεύθυνση δ. Έτσι, από τυχόν σηµείο Μ του χώρου, θεωρούµε τις ευθείες ε1 και ε2, αντίστοιχα παράλληλες προς την δ και προς τις γενέτειρες του κυλίνδρου. Τα ίχνη Σ1 και Τ1 των ευθειών αυτών στο επίπεδο του κύκλου της βάσης του κυλίνδρου, ορίζουν την Σ1Τ1. Οι εφαπτόµενες στον κύκλο της βάσης του κυλίνδρου οι παράλληλες προς την Σ1Τ1, µαζί µε τις αντίστοιχες γενέτειρες, ορίζουν τα δύο εφαπτόµενα επίπεδα, τα οποία και είναι µεταξύ τους παράλληλα. Σχήµα 9
4. ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Όταν το τέµνον επίπεδο, τέµνει τις γενέτειρες του κυλίνδρου, η τοµή που προκύπτει είναι µία έλλειψη. Τα σηµεία της έλλειψης προκύπτουν από την τοµή των γενετειρών του κυλίνδρου µε το τέµνον επίπεδο. Από κάθε ζεύγος καθέτων διαµέτρων του κύκλου της οδηγού καµπύλης, ορίζονται τέσσερις γενέτειρες του κυλίνδρου (αυτές που διέρχονται από τα άκρα των καθέτων διαµέτρων). Από τα σηµεία τοµής αυτών των γενετειρών µε το τέµνον επίπεδο, προκύπτει ένα ζεύγος συζυγών διαµέτρων της έλλειψης. (Σχ. 11 και 16 ) (Επειδή τα Σχήµα 10 εφαπτόµενα επίπεδα στον κύλινδρο στα εν λόγω σηµεία, είναι ανά δύο, µεταξύ τους παράλληλα.) Όταν το τέµνον επίπεδο, είναι παράλληλο προς το επίπεδο της οδηγού καµπύλης, και η οδηγός καµπύλη είναι κύκλος, η τοµή είναι κύκλος ίσος µε τον κύκλο της οδηγού. Όταν ο κύλινδρος τέµνεται µε επίπεδο παράλληλο προς τις γενέτειρες του, η τοµή είναι δύο γενέτειρες. Σχήµα 11 Σχήµα 12 Μάριο Μπόττα, Μουσείο Μοντέρνας Τέχνης. S. Francisco,1995
Σχήµα 13 Μάριο Μπόττα, Cathedral of Resurrection, Evry, France, 1992 95 Ορθός κύλινδρος, κυκλικής διατοµής τεµνόµενος κατά έλλειψη µε πλάγιο επίπεδο. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΕΠΙΠΕ ΟΥ e1. ΤΟΜΗ ΜΕ ΤΥΧΟΝ ΕΠΙΠΕ Ο. Επιλέγουµε τυχόν ζεύγος καθέτων διαµέτρων του κύκλου της βάσης, έστω τις ΑΒ (Α Β, Α Β ) και Γ (Γ,Γ ). (Σχ 14. ) Οι γενέτειρες του κυλίνδρου, οι οποίες διέρχονται από τα άκρα των διαµέτρων αυτών, τέµνονται από το τέµνον επίπεδο αντίστοιχα στα σηµεία Α1,Β1, Γ1 και 1. Τα ευθύγραµµα τµήµατα Α1Β1 και Γ1 1 ορίζουν ζεύγος συζυγών διαµέτρων της έλλειψης της τοµής. (Τα εφαπτόµενα επίπεδα στην κυλινδρική επιφάνεια στα σηµεία Α,Β και Γ, είναι ανά δύο παράλληλα) Στην 1 η προβολή, οι προβολές των σηµείων Α1,Β1,Γ1 και 1 ταυτίζονται αντίστοιχα µε τις 1 ες προβολές των σηµείων Α,Β,Γ και. Οι δεύτερες προβολές των σηµείων της τοµής έχουν καθοριστεί µέσω ιχνοπαραλλήλων του τέµνοντος επιπέδου. Σχήµα 14
Μάριο Μπόττα, Ναός San Giovanni Battista, Mogno Ελβετίας, 1992-98 Ορθός κύλινδρος, ελλειπτικής διατοµής τεµνόµενος κατά έλλειψη µε πλάγιο επίπεδο. Σχήµα 15 ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΛΑΓΙΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΕΠΙΠΕ ΟΥ e1. ΤΟΜΗ ΜΕ ΠΡΟΣΘΙΟ ΕΠΙΠΕ Ο. Σχήµα 16 Επιλέγουµε τυχόν ζεύγος καθέτων διαµέτρων του κύκλου της βάσης, έστω τις ΑΒ (Α Β, Α Β ) και Γ (Γ,Γ ). (Σχ. 17 ) Οι γενέτειρες του κυλίνδρου, οι οποίες διέρχονται από τα άκρα των διαµέτρων αυτών, τέµνονται από το τέµνον επίπεδο αντίστοιχα στα σηµεία Α1,Β1, Γ1 και 1. Τα ευθύγραµµα τµήµατα Α1Β1 και Γ1 1 ορίζουν ζεύγος συζυγών διαµέτρων της έλλειψης της τοµής. (Τα εφαπτόµενα επίπεδα στην κυλινδρική επιφάνεια στα σηµεία Α,Β και Γ, είναι ανά δύο παράλληλα) Στην 2 η προβολή, οι προβολές των σηµείων Α1,Β1,Γ1 και 1 είναι τα σηµεία τοµής των αντιστοίχων γενετειρών του κυλίνδρου µε το δεύτερο ίχνος σ2 του τέµνοντος επιπέδου. Οι πρώτες προβολές των σηµείων της τοµής έχουν καθοριστεί µέσω των προβολών των γενετειρών του κυλίνδρου. ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΛΑΓΙΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΕΠΙΠΕ ΟΥ e1. ΤΟΜΗ ΜΕ ΤΥΧΟΝ ΕΠΙΠΕ Ο. Όταν το τέµνον επίπεδο είναι τυχόν, µέσω µιας αλλαγής του συστήµατος των επιπέδων προβολής γίνεται κάθετο σε επίπεδο προβολής (πρόσθιο) και η τοµή καθορίζεται αρχικά στην 3 η προβολή και στην συνέχεια µεταφέρεται µέσω των γενετειρών της επιφάνειας, στην 1 η και 2 η προβολή. Σχήµα 17
5. ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Σχήµα 18 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΠΛΑΓΙΟΥ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Για την κατασκευή του αναπτύγµατος µιας κυλινδρικής επιφάνειας και των µετασχηµατισµένων καµπύλων βάσεων και τοµών, απαιτείται να γνωρίζουµε το αληθές µέγεθος των γενετειρών της επιφάνειας, τις αληθείς αποστάσεις των γενετειρών καθώς και τις αληθείς αποστάσεις των σηµείων των τοµών από τα σηµεία των βάσεων. Στην περίπτωση του εκ περιστροφής κυλίνδρου του σχήµατος 18, επειδή οι γενέτειρες του κυλίνδρου είναι παράλληλες προς το κατακόρυφο επίπεδο προβολής, προβάλλονται κατά το αληθές τους µέγεθος. Οι αληθείς αποστάσεις των γενετειρών του κυλίνδρου, µετρώνται σε µία κάθετη προς αυτές τοµή. Μία τέτοια τοµή είναι και η βάση του κυλίνδρου, οπότε τις αποστάσεις των γενετειρών τις µετράµε από την 1 η προβολή. Η κάθετη τοµή µετασχηµατίζεται στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΕ...Α (σχ. 18) ( µετασχηµατισµένη της βάσης του κυλίνδρου), Στο σχήµα 19, απεικονίζεται πλάγιος κύλινδρος µε βάση κύκλο του οριζοντίου επιπέδου, τεµνόµενος από τυχόν επίπεδο. Το αληθές µέγεθος των γενετειρών και των αποστάσεων των σηµείων της τοµής από τα αντίστοιχα σηµεία των βάσεων, µετρώνται σε µία 3 η προβολή του κυλίνδρου σε επίπεδο παράλληλο προς τις γενέτειρες. Οι αληθείς αποστάσεις των γενετειρών του κυλίνδρου, µετρώνται σε µία κάθετη προς αυτές τοµή. Μία τέτοια τοµή είναι και η έλλειψη που προσδιορίζεται από τα σηµεία α,η,δ,ζ,β,θ,γ και ε. Το αληθές µέγεθος της καθέτου τοµής προκύπτει κατόπιν κατάκλισης του επιπέδου της στο οριζόντιο επίπεδο προβολής. Η κάθετη τοµή µετασχηµατίζεται στο ευθύγραµµο τµήµα αη...α, ενώ οι γενέτειρες του κυλίνδρου είναι κάθετες
ενώ η τοµή µε το τυχόν επίπεδο µετασχηµατίζεται στην καµπύλη Α1Ε1...Α1 (µετασχηµατισµένη της τοµής) Η µετασχηµατισµένη της τοµής είναι καµπύλη που παρουσιάζει δύο σηµεία καµπής. προς αυτό. Μετρώντας από την 3 η προβολή τις αποστάσεις των σηµείων των βάσεων και των τοµών από τα αντίστοιχα σηµεία της καθέτου τοµής και µεταφέροντας τα µεγέθη στο ανάπτυγµα, προσδιορίζουµε τις µετασχηµατισµένες βάσεων και τοµών. Τα σηµεία καµπής της µετασχηµατισµένης της βάσης του κυλίνδρου, είναι τα σηµεία Ε και Ζ. Στις αντίστοιχες γενέτειρες είναι και τα σηµεία καµπής της επάνω βάσης του κυλίνδρου. Η µετασχηµατισµένη της τοµής παρουσιάζει επίσης δύο σηµεία καµπής τα οποία αντιστοιχούν στα εφαπτόµενα επίπεδα της κυλινδρικής επιφάνειας, τα κάθετα προς το επίπεδο της τοµής. Σχήµα 19
6. ΑΥΤΟΣΚΙΕΣ ΚΑΙ ΕΡΡΙΜΜΕΝΕΣ ΣΚΙΕΣ Σχήµα 20 Ο προσδιορισµός των γενετειρών του περιγράµµατος της αυτοσκιάς του κυλίνδρου ανάγεται στον καθορισµό των εφαπτόµενων επιπέδων στον κύλινδρο που περιέχουν την πηγή (σηµειακός φωτισµός) ή την διεύθυνση (παράλληλος φωτισµός) φωτισµού. Είναι επίσης εφικτό το περίγραµµα της αυτοσκιάς να προκύψει αφού καθοριστεί αρχικά το περίγραµµα της ερριµµένης σκιάς. Στο σχήµα 20, τα εφαπτόµενα επίπεδα του κυλίνδρου τα παράλληλα προς την διεύθυνση φ των φωτεινών ακτίνων, ορίζουν τις γενέτειρες ΑΑ και ΒΒ που ανήκουν στο περίγραµµα της αυτοσκιάς. Οι ερριµµένες σκιές αυτών είναι οι ΑΆ1 και Β Β1 αντίστοιχα. Η ερριµµένη σκιά που προκύπτει από την επάνω βάση του κυλίνδρου είναι τµήµα έλλειψης που προσδιορίζεται από το ζεύγος Α1Β1 και Γ1 1 των συζυγών διαµέτρων της. Οι συζυγείς αυτές διάµετροι προκύπτουν ως οι ερριµµένες σκιές του ζεύγους ΑΒ και Γ των συζυγών διαµέτρων της άνω βάσης του κυλίνδρου. Σχήµα 21 Στο σχήµα 21, προσδιορίζονται αρχικά οι σκιές των βάσεων του κυλίνδρου µέσω ζευγών συζυγών διαµέτρων αυτών. Συγκεκριµένα, από το τυχόν ζεύγος των συζυγών διαµέτρων ΑΒ και Γ της βάσης του κυλίνδρου, προκύπτουν οι Α1Β1 και Γ1 1 (οι σκιές τους στο οριζόντιο επίπεδο). Οι Α1Β1 και Γ1 1, είναι επίσης συζυγείς διάµετροι της έλλειψης που είναι η σκιά της µιας βάσης. Επαναλαµβάνοντας αντίστοιχες κατασκευές, ορίζουµε τη σκιά της άλλης βάσης του κυλίνδρου. Οι κοινές εφαπτόµενες των δύο ελλείψεων, ανήκουν στο περίγραµµα της ερριµµένης σκιάς του κυλίνδρου. Εάν Ε1 και Ζ1, τα σηµεία επαφής µε την έλλειψη του περιγράµµατος της ερριµµένης σκιάς, µε παράλληλες προς την διεύθυνση φωτισµού φ, ορίζονται στην βάση του κυλίνδρου τα Ε,Ζ από τα οποία διέρχονται οι γενέτειρες του περιγράµµατος της αυτοσκιάς. Σχήµα 22 Στο σχήµα 22, η στέψη του κυλίνδρου, ρίχνει σκιές στην επιφάνειά του. Ειδικότερα, το περίγραµµα της σκιάς αποτελείται από τα δύο τµήµατα ελλείψεων, ΕΗ και ΗΘ, που δηµιουργούνται από τις ακµές ΑΒ και ΒΓ. Το Η είναι η σκιά του σηµείου Β. Τα σηµεία Ε και Θ, προσδιορίζονται ως ακολούθως: Από την προβολή Θ του Θ, ορίζεται µέσω των φωτεινών ακτίνων το Κ και ακολούθως το Κ επί της ΒΓ, του οποίου σκιά είναι το σηµείο Θ. Αντίστοιχα, από το Ε το οποίο ανήκει στο περίγραµµα της αυτοσκιάς του κυλίνδρου, µέσω των φωτεινών ακτίνων ορίζεται το Ζ και ακολούθως το Ζ επί της ΑΒ, του οποίου σκιά είναι το σηµείο Ε.
Σχήµα 23 Για τον προσδιορισµό της σκιάς του ηµικυλίνδρου που αποτελεί την αψίδα του σχήµατος 23, κατασκευάζουµε τις σκιές των δύο κατακόρυφων ηµικυκλίων, χρησιµοποιώντας ζεύγος συζυγών διαµέτρων εκάστου. Έτσι, για το τόξο ΑΓΒ, η συζυγής διάµετρος της ΑΒ είναι η ΓΟ (το µισό της διαµέτρου). Οι σκιές τους στο οριζόντιο επίπεδο είναι οι Α1Β1 και Γ1Ο1 που επίσης ορίζουν ζεύγος συζυγών διαµέτρων για την ηµιέλλειψη της σκιάς. Σχήµα 24 Σχήµα 25 Στις ανοικτές επιφάνειες των σχηµάτων 24 και 25, η σκιά που δηµιουργείται στο εσωτερικό της επιφάνειας προσδιορίζεται ως εξής: Αρχικά, το τµήµα της επιφάνειας που εξωτερικά είναι φωτεινό, εσωτερικά αυτοσκιάζεται. Εποµένως στο σχήµα 24, το εσωτερικό τµήµα της αυτοσκιάς είναι το περιλαµβανόµενο µεταξύ των σηµείων Α1, Μ1 και Β1. Επί πλέον, τµήµα του τόξου Α1Μ1Β1, ρίχνει τη σκιά του στο εσωτερικό της κυλινδρικής επιφάνειας. Η σκιά αυτή είναι τµήµα έλλειψης και προσδιορίζεται από διάφορα σηµεία της. Το τυχόν σηµείο Μ1 του τόξου, έχει σκιά το σηµείο Ν. Το τµήµα της έλλειψης ΣΝΒ1, ανήκει στο περίγραµµα της σκιάς στο εσωτερικό τµήµα της επιφάνειας. Ένα ακόµα τµήµα της έλλειψης ορίζεται µεταξύ των σηµείων Α1 και Τ, αλλά δεν είναι ορατό στο σχήµα. (Η σκιά που ρίχνει το τόξο Α1Μ1Β1, προκύπτει ως η αλληλοτοµία της κυλινδρικής επιφάνειας, µε την κυλινδρική επιφάνεια που ορίζεται από το τόξο Α1Μ1Β1 και την διεύθυνση των φωτεινών ακτίνων. Οι δύο επιφάνειες, εφόσον περιέχουν την ίδια κωνική, τέµνονται επίσης κατά µία κωνική)