Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος
ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του γυµνασίου. Οι απαραίτητες µαθηµατικές γνώσεις για να συνεχίσετε στη Γ γυµνασίου όπως και στο Λύκειο µε αξιώσεις βρίσκονται µέσα σε αυτό το βοήθηµα και για το λόγω αυτό θα σας παρακαλέσω να του αποδώσετε τον απαραίτητο σεβασµό. ( ηλαδή µη µπείτε στη διαδικασία να το βανδαλίσετε...έτσι παιδάκια;;;) Από τη δικιά µου µεριά θα προσπαθήσω να σας µεταλαµπαδεύσω τα περιεχόµενα του βιβλίου που κρατάτε στα χέρια σας µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Από τη δικιά σας µεριά απαιτώ να µε βοηθήσετε στη προσπάθεια αυτή γιατί στη γνώση το ταξίδι είναι οµαδικό. Ελάτε να διασκεδάσουµε...!!! Τέλος θα ήθελα να αφιερώσω όλη αυτή τη προσπάθεια στους γονείς µου οι οποίοι δουλεύοντας ατελείωτες ώρες, θυσίασαν την προσωπική τους ζωή για τα παιδιά τους. Καλή σχολική χρονιά! Παπαδόπουλος Μαρίνος - Μαθηµατικός
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κεφάλαιο 0o : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Μάθηµα 0 Επαναλήψεις Συµπληρώσεις σελ. 1-26 Κεφάλαιο 1o : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Μάθηµα 1 Η Έννοια της Μεταβλητής Αλγεβρικές Παραστάσεις σελ. 27-32 Μάθηµα 2 Εξισώσεις 1 ου Βαθµού σελ. 33-47 Μάθηµα 3 Επίλυση Τύπων σελ. 48-52 Μάθηµα 4 Επίλυση Προβληµάτων µε τη χρήση Εξισώσεων σελ. 53-58 Μάθηµα 5 Ανισώσεις 1 ου Βαθµού σελ. 59-73 Κεφάλαιο 2ο : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθηµα 6 Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθµού σελ. 74-85 Μάθηµα 7 Άρρητοι αριθµοί Πραγµατικοί αριθµοί σελ. 86-92 Μάθηµα 8 Προβλήµατα σελ. 93-99 Κεφάλαιο 3ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μάθηµα 9 Η Έννοια της Συνάρτηση σελ. 100-111 Μάθηµα 10 Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γραφική Παράσταση Συνάρτησης σελ. 112-127 Μάθηµα 11 Η Συνάρτηση y = αχ σελ. 128-136 Μάθηµα 12 Η Συνάρτηση y = αχ + β σελ. 137-156 Μάθηµα 13 Η Συνάρτηση y = α/χ σελ. 157-163 Κεφάλαιο 4ο : ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μάθηµα 14 Βασικές Έννοιες της Στατιστικής σελ. 164-168 Μάθηµα 15 Γραφικές Παραστάσεις Κατανοµή συχνοτήτων σελ. 169-178 Μάθηµα 16 Οµαδοποίηση Παρατηρήσεων σελ. 179-184 Μάθηµα 17 Μέση Τιµή - ιάµεσος σελ. 185-195
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις
ΜΑΘΗΜΑ 1 Κεφάλαιο 1o : Εξισώσεις - Ανισώσεις Υποενότητα 1.1: Η έννοια της µεταβλητής Αλγεβρικές Παραστάσεις Θεµατικές Ενότητες: 1. Η έννοια της µεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις. Α. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή λέµε ένα γράµµα (Ελληνικό ή Λατινικό) που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθµό. Αριθµητική παράσταση λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς. 2 π.χ: 3+ 2 ( 3) 7, 2 5 3 7 5 1 Αλγεβρική παράσταση λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς και µεταβλητές. 2 3x 2 π.χ: 3x 2+ 7x, 3 x + 1 Επιµεριστική Ιδιότητα: α ( β+ γ) = α β+ α γ Στο άθροισµα α+ β, οι α, β λέγονται όροι του αθροίσµατος. Το γινόµενο α β, οι α, β λέγονται παράγοντες του γινοµένου. Από την επιµεριστική ιδιότητα προκύπτουν και τα ακόλουθα: Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 27 -
i) α ( β γ) = α β α γ Π.χ 5 ( x y) = 5x 5y ii) α ( β+ γ + δ) = α β + α γ + α δ Π.χ ( ) 5 x y+ 3 = 5x 5y+ 5 3= 5x 5y+ 15 iii) ( α+ β) ( γ + δ) = α γ + α δ + β γ + β δ ( ιπλή Επιµεριστική) Π.χ ( y+ 2) ( x+ 3) = yx+ 3y+ 2x+ 2 3= yx+ 3y+ 2x+ 6 Οι όροι που έχουν την ίδια µεταβλητή και τον ίδιο εκθέτη στη µεταβλητή λέγονται όµοιοι όροι. 2 2 Π.χ 2χ και 5χ ή 3x και ο 5x Η εύρεση σε µια παράσταση των οµοίων όρων της και η αντικατάσταση αυτών µε το άθροισµά τους (χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα) λέγεται αναγωγή οµοίων όρων. 2x+ 3x= 2+ 3 x= 5x Π.χ ( ) ( ) 5x x= 5x 1x= 5 1 x= 4x ( ) 3x 7x x= 3x 7x 1x= 3 7 1 x= 5x Η αναγωγή οµοίων όρων µπορεί να γίνει και κατά οµάδες εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα. 2 2 2 2 2 π.χ 1 x 3xy+ 5x + 2xy= x + 5x 3xy+ 2xy= 6x xy π.χ 2 2 2 2 2 3α + 8αβ 2α+ 4α 8y 9α 2αβ= 2α + 6αβ 2α 8y ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να υπολογίσουµε την αριθµητική τιµή µιας παράστασης, πρώτα απλοποιούµε την παράσταση (χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα) και στη συνέχεια: αν δίνονται οι τιµές των µεταβλητών, τις αντικαθιστούµε στην παράσταση. αν δίνονται οι τιµές παραστάσεων, τότε τις εµφανίζουµε στην αρχική αλγεβρική παράσταση, αφού: Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 28 -
εφαρµόσουµε την επιµεριστική ιδιότητα ή κάνουµε διάσπαση ενός όρου ή προσθέσουµε και αφαιρέσουµε έναν όρο. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (i) 2+ ( α 3β) ( 2α 3β 1) (ii) 1 ( 3x y) 2+ ( 4x+ 5y) ( 3) ( x 2y) ( 2) (iii) x+ 2( 3x y) 5( x 2y 1) Λύση. Μεθοδολογία Για να απλοποιήσουµε µια παράσταση ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Κάνουµε απαλοιφή παρενθέσεων χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα. Μόλις τελειώσουµε µε την απαλοιφή παρενθέσεων κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων. (i) (ii) Σύµφωνα µε τα παραπάνω έχουµε: 2+ α 3β 2α 3β 1 ( ) ( ) = 2+ α 3β 2α+ 3β+ 1 = 2+ 1+ α 2α 3β + 3β = ( ) α ( ) = 3+ 1 2 + 3+ 3 β = = 3 1α + 0β = = 3 α Όµοια έχουµε: Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 29 -
( x y) ( x y) ( ) ( x y) ( ) ( x y) ( ) ( x y) ( ) ( x y) 1 3 2+ 4 + 5 3 2 2 = = 1 2 3 + 3 4 + 5 2 2 = = 1 6x+ 2y+ 12x 15y+ 2x 4y= = 1 6x+ 12x+ 2x+ 2y 15y 4y= ( ) x ( ) = 1+ 6+ 12+ 2 + 2 15 4 y= = 1+ 8x 17y (iii) Τέλος έχουµε: ( ) ( ) x+ 2 3x y 5 x 2y 1 = = x+ 6x 2y 5x+ 10y+ 5= = x+ 6x 5x 2y+ 10y+ 5= ( ) x ( ) = 1+ 6 5 + 2+ 10 y+ 5= = 2x+ 8y+ 5 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων: (i) A= x 2 y 3( x+ 2y), αν χ = -1 και y = -3 (ii) B x x ( x y) ( x y) ( ) = 3 + 2 + 2 3 1, αν χ 7y = 5. Λύση. (i) Αρχικά απλοποιούµε την παράσταση Α. Αναλυτικά έχουµε: ( ) ( ) A= x 2 y 3 x+ 2y = x 2 y 3x 6y = x 2y+ 6x+ 12y= 7x+ 10y. Για χ = -1 και y = -3 έχουµε: ( ) ( ) A= 7x+ 10y= 7 1 + 10 3 = 7 30= 37 (ii) Κάνοντας τις πράξεις στη παράσταση Β έχουµε: Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 30 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B= 3x+ x 2x y + x 2y 3 1= = 3x+ x 2x+ y + 3 x 2y 1= = 3x+ x 2x+ y 3x+ 6y 1= = 3x+ x 2x 3x+ y+ 6y 1= ( ) x ( ) = 3+ 1 2 3 + 1+ 6 y 1= = x+ 7 y 1= ( x y) = 7 1= = 5 1= = 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να χρησιµοποιήσετε µεταβλητές για να εκφράσετε µε µια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις. i) Το διπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 5 ii) Το µισό ενός αριθµού ελαττωµένο κατά 3 iii) Η διαφορά δυο αριθµών πολλαπλασιασµένη επί 5 iv) Το άθροισµα δυο διαδοχικών φυσικών αριθµών v) Το άθροισµα δυο αριθµών που ο ένας είναι κατά 3 µεγαλύτερος του άλλου. 2. Να χρησιµοποιήσετε µια µεταβλητή για να εκφράσετε µε µια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις. i) Το συνολικό ποσό που θα πληρώσουµε για να αγοράσουµε 7 κιλά λάδι, αν γνωρίζουµε την τιµή ενός κιλού. ii) Το ποσό που θα πληρώσουµε για να αγοράσουµε ένα ζευγάρι παπούτσια µε έκπτωση 30%. 3. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων. i) A= 2x+ 3y για χ = -5 και y = -4 ii) B= 3x 2y+ 7 για χ = -4 και y = -1 4. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 2x+ 3y+ 5x+ 4y ii) 3x 2 5y+ 6 iii) x y+ 3 2x+ 3y iv) κ+ 3λ 1 2κ 3λ+ 5 3 x+ y + 2 x y v) ( ) ( ) vi) 2( 3x 5) + ( 2x 3) 5 vii) 5( x 2y) + 3( x+ 2) viii) ( x y) ( x y) 2 3 + 2 3 4 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 31 -
ix) 5+ ( 3x 1) ( 2x 3) x) 2( α 3β) ( α+ 5β 1) xi) 5+ ( 2x y) 3+ ( x 3y) ( 2) xii) 3 2 x ( 3x 1) xiii) 2x 5 2( x+ 3) xiv) + ( ) x x 2 3y 5y xv) κ+ 2 λ ( 1 κ) 3κ 2( 1 λ) 5. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β και µετά να υπολογίσετε την τιµή τους. A= 1 2x+ y 1 2 3x y 2 για χ = -1 και y = -2 i) ( ) ( ) ii) B 2x ( 3x y) ( 2) ( x 2y 1) ( 3) = + για χ = -3 και y = 0 6. Αν χ + y = -3, να υπολογίσετε τις παραστάσεις. A= 2x x y + 3 i) ( ) ii) B= 5 3( x 2y) + 5( x y) + y iii) ( ) ( ) Γ= 3x+ x 3y 2 3 2x 4y 7 y 7. Αν x+ 2y= 5 και y 2z= 3, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A= 2x x 2y 3 2x+ y+ 2z 2y i) ( ) ( ) ii) B= 2x+ 2( y z) ( x y) 5 8. Αν 3α 2β = 4 και β γ = 2, να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης: i) 7 3 ( 2 ) 5 ( ) A= γ β α α γ + β 9. Να υπολογίσετε την περίµετρο του παρακάτω τριγώνου, όταν x+ y= 9. χ-1 χ+2 2y-1 10. Να υπολογίσετε την περίµετρο του παρακάτω ορθογωνίου. 2χ+y x-ω 3 5 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 32 -