Α. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 6 Κεφάλαιο 1o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα 1.6: Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Θεµατικές Ενότητες: 1. Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων. Α. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Παραγοντοποίηση µιας παράστασης καλείται η διαδικασία µετατροπής της παράστασης από άθροισµα σε γινόµενο παραγόντων. Μια παράσταση θα λέµε ότι έχει αναλυθεί σε γινόµενο πρώτων παραγόντων, όταν δεν επιδέχεται περαιτέρω παραγοντοποίηση. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Οι µέθοδοι µε τις οποίες µπορούµε να αναπτύξουµε µια παράσταση σε γινόµενο παραγόντων είναι οι εξής : 1 ος Τρόπος - (Κοινός Παράγοντας) Όταν οι όροι µιας παράστασης έχουν ένα κοινό παράγοντα (ίδιο συντελεστή ή ίδιες µεταβλητές) µπορούµε µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας να τρέψουµε το άθροισµα σε γινόµενο. TIP: Χρήση της επιµεριστικής αβ+ αγ = α( β+ γ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -78-

2 1. x + x= x( x+. 8x + 16= 8( x + ) 3. λα λβ + λγ = λ(α β + γ) 4. 4α β 4 γ + 6α 5 β = α β ( β γ 3α 3 ) 5. λ( x + + 3( x + = ( x + ( λ+ 6. ( ) 3 ( ) ( ) ( ) = = ( ( 1 5) = = ( ( 6) = = ( ( = 7. ( x 5( 3 x) ( x 5( x ( x ( x 3 5) = ( x ( x 8) = = ( x ( x 4) + = = = = 8. λ( α β) + 6α 3β = λ( α β) + 3( α β) = ( α β)( λ+ ος Τρόπος-(Οµαδοποίηση ή Κοινός Παράγοντας κατά Οµάδες) Όταν τώρα σε µια παράσταση δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους τότε θα κοιτάµε µήπως χωρίζοντας τους όρους σε οµάδες προκύπτει ένας κοινός παράγοντας για κάθε οµάδα. Τότε εφαρµόζουµε το κοινό παράγοντα για κάθε µία οµάδα ξεχωριστά παρατηρώντας ότι οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα είναι ίδιες. Έτσι θα εφαρµόζουµε άλλη µια φορά τον κοινό παράγοντα εξάγοντας τις παραστάσεις αυτή τη φορά. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -79-

3 (Βάζω στοίχηµα ότι δε καταλάβατε τίποτα από τα συµφραζόµενα, αλλά µε το παρακάτω παραδειγµατάκι όλα θα ξεκαθαριστούν.xιxι) TIP: α x α β x β α( x ) β( x ) ( x )( α β) = = + + (Σωστός ;;;;;;) 1. κx λ +λx κ =κx κ +λx λ =κ(x ) +λ(x ) = ( κ+λ)(x ). 6x 3 4x + 3x = x ( 3x ) + ( 3x ) = ( 3x )( x + 3. x + 5x + 3 = x + x+ 3x+ 3 = x x+ + 3 x+ = x+ x+ 3 ( ) ( ) ( )( ) x+ 3x 4. 6α + αβ 4αγ 3α β+ γ = α 3α + β γ 3α + β γ = 3α + β γ α 1 ( ) ( ) ( )( ) ή α + αβ αγ α β+ γ = α α+ αβ β αγ + γ = α ( α β( α γ ( α ( α ( 3α β γ) = + = = + (Ελπίζω να το καταλάβατε..!!!) 3 ος Τρόπος - (Ανάπτυγµα Τετραγώνου) Όταν η παράσταση έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή α ± αβ+β, τότε τη µετατρέπουµε σε γινόµενο µε τη βοήθεια της ταυτότητας: α ± αβ+β = ( α±β ) TIP: Χρήση των ταυτοτήτων: α + αβ+β = ( α+β) α αβ+β = ( α β) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -80-

4 1. x + x+ 1= x + 1 x+ 1 = ( x = + = ( ) x+ x = x+ x = ( 5+ x) 4. µ 0µν+ 100ν =µ µ 10 ν+ (10 ν ) = ( µ 10 ν ) 5. 4ω + 8ω x+ 49x = ( ω ) + ω 7x+ ( 7x) = ( ω+ 7x) α 4α β+ 16β = ( 3α) 3α 4β+ ( 4β ) = ( 3α 4β ) 7. x 3x+ 3= x 3x+ ( = ( x 8. x+ x+ 1= x ( ) + x+ 1 = x x x + 1= ( x ) x + 1 = ( x 10. ( 3x ) x( 3x ) + x = ( 3x ) x = ( x ) = ( x ) = 4( x ) 4 ος Τρόπος - (Τριώνυµο) Όταν η παράσταση έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή: x + α+β x+αβ= x+α x+β ( ) ( )( ) TIP: Χρήση της ταυτότητας x + ( α+β ) x+αβ= ( x+α )( x+β ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -81-

5 1. x + 5x+ 6= x + (+ x+ 3= ( x+ )( x+. x 7x+ 6= x + ( 6 x + ( 6)( = (x 6)(x 3. x + x 1= x + ( 4 x+ 4( = ( x+ 4)( x 4. x x = x + ( + x+ ( ) 1= ( x )( x+ 5. x + 8x+ 6= ( x + 4x+ = x + ( 1+ x+ 1 3 = ( x+ ( x+ 5 ος Τρόπος - ( ιαφορά Τετραγώνου) Όταν η παράσταση έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή: α β = ( α+β)( α β ) TIP: Χρήση της ταυτότητας α β = α+β α β ( )( ) 1. x 1= x 1 = (x+ (x. α 9=α 3 = ( α+ ( α = ( ) 5 5 = ( 5)( + 5) 4. ( ) 9α 4 16= 3α 4 = (3α + 4)(3α 4) 5. x 5= x ( 5) = ( x+ 5)( x 5) 6. x 3= ( x) ( = ( x+ ( x 7. x 1= ( x) 1 = ( x+ ( x Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -8-

6 8. ( 3x ) 1 ( 3x ) 1 ( 3x ( 3x ( 3x ( 3x = ( 3x 3 ( x = 3( 3x ( x = = + = = 9. 9x ( x ( 3x) ( x 3x ( x 3x ( x = ( 3x+ x ( 3x x+ = ( 5x ( x+ = = + = 10. 9( x 5( x ) = 3( x 5( x ) = 3( x 5( x ) 3( x 5( x ) = ( 6x 3+ 5x 10)( 6x 3 5x+ 10) = = ( 11x 1( x+ 7) = + = 6 ος Τρόπος - ( ιαφορά-άθροισµα Κύβων) 3 3 Όταν η παράσταση έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή α ±β, τότε τη µετατρέπουµε σε γινόµενο µε τη βοήθεια της ταυτότητας: 3 3 α ±β = ( α±β) α αβ+β ( ) TIP: Χρήση των ταυτοτήτων: ( ) ( ) α β = ( α β) α +αβ+β α +β = ( α+β) α αβ+β x 1= x 1 = (x (x + x+ 1 ) = (x (x + x+ 1 ) x + 8= x + = (x+ )(x x+ ) = (x+ )(x x+ 4) = ( 3) = ( 3 5) ( 3) = ( 3 5)( ) 3 4. x = ( x ) = (x + 4) ( x ) x 4+ 4 = (x + 4) ( x 4 4x + 16) 5. ( x ( x ) ( x ( x ) ( x ( x ( x ) ( x ) = = ( x 1 x )( x x 1 x x x x 4x 4) 3( 3x 3x 3 3( x x 9( x x = = = + + = + + = + + Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -83-

7 7 ος Τρόπος - (Προσθαφαίρεση Όρου Σπάσιµο Όρου) Πολλές φορές για να παραγοντοποιήσουµε µια παράσταση χρειάζεται να προσθαφαιρέσουµε κάποιο όρο ή ακόµα και να διασπάσουµε µε στόχο τη χρήση κάποιου από τους παραπάνω τρόπου παραγοντοποίησης. Ρίζτε µια µατιά στα παρακάτω παραδειγµατάκια και θα καταλάβετε. TIP: Επίσης παρατηρείστε ότι για µια παράσταση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε πάνω από ένα τρόπο παραγοντοποίησης. 1. ( x+ ( ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x x + 8= = + 1 9= = x + 5x + 3 = x + x+ 3x+ 3 = x x+ + 3 x+ = x+ x+ 3 ( ) ( ) ( )( ) x+ 3x 3. x 3 1x 0 x 3 x 0x 0 x( x 0( x = = + = x( x ( x 0( x ( x x( x 0 = + + = = + = ( x ( x x 0) = + = ( x ( x 5)( x 4) = α β α β α α β α β α β α α β( β α ( β + + = = = ( ( ) ( ( ( = β+ α β+ α = β+ α β+ = β+ α 8 ος Τρόπος - (Εκτέλεση Πράξεων) Αν µια παράσταση δε παραγοντοποιήται µε κανένα από τους παραπάνω τρόπους ίσως χρειάζεται να κάνουµε µερικές πράξεις Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -84-

8 TIP: Όταν εννοούµε πράξεις αναφερόµαστε κυρίως στην επιµεριστική ιδιότητα. 1. ( ) ( ) α x 9 + 3x α 1 =αx 9α+ 3xα 3x=α x + 3xα 9α 3x=. α β ( γ ( ) =α x( x+ 3α) 3( 3α+ x) = ( x+ 3α)( αx + α + β γ = α β γ + α β α γ β γ = α β γ α γ α β β γ = + = α γ ( β γ α ) β ( β γ α ) ( β γ α )( α γ β ) = = = = ( βγ α)( βγ α)( αγ β)( αγ β) = + + ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ Να συµπληρωθούν τα παρακάτω κενά: 1. αβ+αγ=.... αγ+αδ+βγ+βδ= α β = 3 3 α +β = 3 3 α β = α + αβ+β =... α αβ+β = α + 3α β+ 3 αβ +β = α 3α β+ 3 αβ β = α +β +γ + αβ+ βγ+ γα=... α +β +γ αβ βγ+ γα=... α +β +γ + αβ βγ γα=... Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -85-

9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) x ( x ( 1 x) = + Σ Λ 4. x x 1 ( x x) + + = + Σ Λ 3 3. x 3x 3x 1 ( x = + Σ Λ ( 3 α +β + αβ β α+ = α+β Σ Λ x x 3x x 1 ( x x + + = + Σ Λ 6. x 3 1x 6x 8 ( x ) 3 + = Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις (Κοινός Παράγοντας): i)x+ 3 vi)16x 6x + x 3 ii)x x vii) κ λ+λ κ+µκλ 3 ( α+β ) +γ( α+β) α β αβ ix)5x( x 4) 0( x 4) ( ) ( )( ) iii) α +α viii) iv)1 6 v)7α 35β+ 1 γ x) 3κ λ x x+ 1 λ 3κ xi) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1,,3 ΣΕΛ. 61 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις (Οµαδοποίηση): 3 i) αγ+βγ+α+β vi)3x 7x + 3x 7 ii)1x 4 1x+ 7x vii)6x + 3λ x+ 8λ x+ 4λ 3 iii)3x 6x + x viii)9α x 4α 9β x + 4β iv) α x +α βx β +β α ix)55x + 77x 5x 35x v) +α +β +αβ x) α +α +α +α +α+ 1 xi) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ΣΕΛ. 61 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -86-

10 3. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις ( ιαφορά Τετραγώνων): ( ) ( ) i)x 4 vi) x x+ ( ) ( ) ii)4 x vii)4 x+ 9 x ( ) ( ) ( +β+γ) ( α β+γ) iii)5x 49 viii) x 3 4z iv) 3x 1 9 ix) α 4 v) ( x x) α β xi) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8,9,11 ΣΕΛ. 61 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις (Ανάπτυγµα Τετραγώνου): 1 i)x + x+ 1 vi) κ κλ+λ 4 1 ii)5α + 0α+ 4 vii)x + x iii)16x 7x+ 81 viii) ρ + ρµ+ µ iv)4α 8αβ+ 49 β ix) x x v)9 4z+ 49z x)x + x+ 4 xi) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15,16 ΣΕΛ. 6 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 1 5. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις (Τριώνυµο): i)x + 5x+ 4 vi)z 5z ii)x 5x 6 vii) x 5x 14 + iii)x x 35 viii) 1 0 α iv) 8x 15 ix)x 10x 8 v)x + x 30 x)96 4x x xi) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19,0,1 ΣΕΛ. 6 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 6. Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις: 3 i)x 3x + x ii)x 5x+ 6+ x ( ) ( ) iii) x x α+ x 1 β ω +ω ω 3 iv) 8 v)x x + x x+ 3 3 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -87-

11 7. Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις: ( ) i) x+ 1 + x 1 ( )( ) ii)x 6x 5 x 1 x 3 iii) 3 α α β+α γ αβγ 1 iv) ( κ λ ) +κ λ + 4 v) α x +βx α +α β +β ( ) ( ) vi) x 16 x 4 ( ) 3 vii)x 1 x x αβ α + β α β viii) 4 8 ( ) + ( ) + ( + ) 3 ix)3x x 1 x x 1 x x 1 x) ( α β ) ( α β) ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΚΟΜΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ (Έτσι για να σπάσει ο πάγος) αβ γ 5α β γ 0α β γ x. α( x x ( x+ ) ( x+ ) x( α β+γ) ( β γ α ) 5. x + x x 6. 6x + x+ 18xω+ 3ω x 4 7α x+ 1α 8. x( 3 ) + x 3 9. x( x 3β ) + ( α x) α( x 3β ) α 49β 11. x ( x ) ( 4x+ ) ( x 3) 14. ( 5α + α ( α α α 1+α α 5 3x x x 5 x 3 + 9x ( )( ) ( )( ) x α αβ+β x 3 8x + 7 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -88-

12 3 x x x x x + 3. x + x + x+ x x 3x 45x + 7x α x + αβ+ 4x 4+β 4 4 x + 5x + 9 x 3x α β + α β+α x 36x 4x + 36x α β α +β x x + 8x x + x( x α( α β ) αβ( α β ) x + x 4 α 6+ 5α 3 α 3α + 4 α +α β +β 4 4 x x x + x 9x x x + 3x 7 x x α + α 41. ( ) ( ) 4. x( 3+ 5) 5( x + 3) x x x + x ( ) ( ) 44. ( ) + ( ) x x x + x x 5 7x Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -89-