ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος
Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών και εργαλείων στην ανάλυση προβλημάτων που εμπεριέχουν την λειτουργία συστημάτων. (Daellenbach and George,1978)
Ορισμός 2 Η Επιχειρησιακή Έρευνα μπορεί να θεωρηθεί ότί είναι: Η εφαρμογή επιστημονικών μεθόδων Από μικτές ομάδες Σε προβλήματα που αφορούν τον έλεγχο οργανωμένων συστημάτων (αποτελούμενων από ανθρώπους και μηχανές) κατά τρόπο ώστε να παρέχουν λύσεις που εξυπηρετούν κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο τους σκοπούς του οργανισμού ή της επιχείρησης ως συνόλου (Fundamentals of Operations Research, Ackoff and Sasienni)
Εναλλακτικές ονομασίες Διοικητική Επιστήμη (Management Science) Επιστήμη Αποφάσεων (Decision Science) OR/MS Διοικητική Τεχνική (Management Engineering)
Ιστορικά Στοιχεία Πρώτες απόπειρες σε μη στρατιωτικά προβλήματα Μελέτη Προβλημάτων σχετικών με το χρόνο απασχόλησης των τηλεφώνων, Erlang 1917 Μελέτες προβλημάτων πωλήσεων και εμπορίου, Horace Levenson 1920 Πρώτη χρήση του όρου «Επιχειρησιακή Έρευνα» Ανάπτυξη και τελειοποίηση διαφόρων τύπων radars, Κέντρο Ερευνών Αγγλικού Υπουργείου Άμυνας 1937-39
Βασικά Χαρακτηριστικά Όχι διεξαγωγή της έρευνας σε μεμονωμένα εργαστήρια ερευνών στο χώρο των προβλημάτων με συνεχή επαφή και συνεργασία των επιχειρησιακών ερευνητών με τα διοικητικά στελέχη Προβλήματα λήψεως αποφάσεων και ελέγχου οργανωμένων συστημάτων Εφαρμογή επιστημονικής μεθοδολογίας για την ποσοτική εκτίμηση της βέλτιστης λύσης προβλημάτων με βάση αντικειμενικά κριτήρια
Βασικά Χαρακτηριστικά Ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων (προτύπων) Διεπιστημονική Προσέγγιση - Μικτές ομάδες επιστημόνων διαφόρων ειδικοτήτων Προσέγγιση συστήματος η συμπεριφορά οποιουδήποτε από τα μέρη ενός συστήματος επηρεάζει κατά κάποιο τρόπο τη συμπεριφορά των άλλων μερών αλλά και του συστήματος ως συνόλου
Πρότυπα (ή μοντέλα) Εικονικά πιστές αναπαραστάσεις ενός υπό μελέτη συστήματος (π.χ. χάρτες, πρότυπα πλοίων και αεροπλάνων δοκιμαζόμενα σε κατάλληλους χώρους) Πολύ συγκεκριμένα και ειδικά Πολύ δύσχρηστα
Πρότυπα 2 Αναλογικά Οι ιδιότητες του συστήματος παριστάνονται από άλλες ιδιότητες (π.χ. οι γαιωδαιτικές γραμμές σε χάρτη παριστάνουν υψόμετρο, οι ηλεκτρικές ροές, ένταση ή τάση, παριστάνουν αντίστοιχα οικονομικά μεγέθη). Γενικότερα, λιγότερο συγκεκριμένα πιο εύχρηστα από τα εικονικά
Πρότυπα 3 Συμβολικά Χρησιμοποίηση γραμμάτων, αριθμών, συμβόλων (π.χ. +, -, >=) για την αναπαράσταση των παραμέτρων ενός προβλήματος και των σχέσεων μεταξύ τους Πιο γενικά Πιο εύχρηστα Περισσότερο χρησιμοποιούμενα
Μεθοδολογία Βασικά στάδια της μεθοδολογίας της Επιχειρησιακής Έρευνας Διαμόρφωση του προβλήματος Κατασκευή του μαθηματικού προτύπου Επίλυση του μαθηματικού προτύπου Έλεγχος της λύσεως Υλοποίηση και διατήρηση της λύσεως
Διακρίσεις προβλημάτων Επίπεδο διοικήσεως Τρία επίπεδα, τεχνικό, τακτικό και στρατηγικό Ιδιότητες Διάρκεια Τακτικά προβλήματα βραχείας διάρκειας (π.χ. προγραμματισμός παραγωγής) Στρατηγικά προβλήματα μακροχρόνιας διάρκειας (π.χ. προγραμματισμός επενδύσεων)
Διακρίσεις 2 Ιδιότητες (συν.) Μέρος της επιχειρήσεως που αφορούν Μικρότερο μέρος σε τακτικά προβλήματα (π.χ. προϋπολογισμός μιας διευθύνσεως) Μεγαλύτερο μέρος ή σύνολο σε στρατηγικά προβλήματα (π.χ. προϋπολογισμός όλης της επιχειρήσεως) Αντικειμενικοί σκοποί Τα στρατηγικά προβλήματα θέτουν τελικούς και βασικούς αντικειμενικούς σκοπούς Τα τακτικά προβλήματα θέτουν ενδιάμεσους λεπτομερείς στόχους
Διακρίσεις 3 Περιεχόμενο ενός προβλήματος Παραδείγματα προβλημάτων Παραγωγή Επιλογή θέσεως εργοστασίου Προγραμματισμός παραγωγής Συντήρηση μηχανικού εξοπλισμού Εμπορία Καθορισμός βέλτιστης σύνθεσης παραγωγής Βέλτιστη στρατηγική διαφημίσεως Προγραμματισμός πωλήσεων Προγραμματισμός μεταφοράς διανομής προϊόντων Οικονομικό Χρηματοοικονομικός προγραμματισμός Προϋπολογισμός μηδενικής βάσεως Προσωπικό Ανάλυση και αξιολόγηση προσωπικού Προγραμματισμός προσωπικού Πρόληψη ατυχημάτων
Διακρίσεις 4 Προβλήματα Επιχειρησιακής Έρευνας συναντώνται σε τομείς όπως Ενέργεια Μεταφορές Αστικές υπηρεσίες Υγεία Κοινωνικές υπηρεσίες Περιβάλλον Εκπαίδευση Κατασκευαστική βιομηχανία
Διακρίσεις 5 Τύπος ή μορφή προβλήματος Τρόπος συσχέτισης των παραμέτρων του προβλήματος Ένταξη σε κατηγορίες παρόμοιων προβλημάτων Κατανομής πόρων Ελέγχου αποθεμάτων Αναμονής Διαδοχής ή διατάξεως εργασιών Χρονικού προγραμματισμού έργων Βέλτιστης διαδρομής Αντικαταστάσεως και συντηρήσεως Αξιοπιστίας Συναγωνισμού ή παιγνίων Αναζητήσεως
Γραμμικός Προγραμματισμός Μαθηματική μέθοδος προβλημάτων ποσοτικής βελτιστοποίησης Μεγιστοποίηση κέρδους ή ελαχιστοποίηση κόστους υπό ορισμένες προϋποθέσεις Ειδική μορφή του μαθηματικού προγραμματισμού
Ιστορικά Στοιχεία Δεκαετία 1930-40, Von Neumann, γραμμικό μοντέλο αναπτυσσόμενης οικονομίας για τη μελέτη γενικεύσεως των μοντέλων ισορροπίας Leontief, μοντέλο εισόδου-εξόδου μιας οικονομίας Β Παγκόσμιος Πόλεμος Προβλήματα βέλτιστης κατανομής μέσων στην πολεμική αεροπορία των ΗΠΑ Διαμόρφωση του γενικού προβλήματος του ΓΠ και ανάπτυξη της μεθόδου Simplex, 1947 George Dantzig
Ιστορικά στοιχεία (συν.) Πρώτα πεδία εφαρμογής Προγραμματισμός σε διυλιστήρια πετρελαίου Προβλήματα προσδιορισμού αναλογίας αργών προϊόντων Ανεύρεση πετρελαίου Μεταφορά πετρελαίου από την παραγωγή στη θέση επεξεργασίας και κατανάλωσης Βιομηχανίες χάλυβα και αλουμινίου Προβλήματα ευρέσεως κραμάτων με επιθυμητές ιδιότητες και ελάχιστο κόστος Καθορισμός βέλτιστου προγράμματος λειτουργίας των συστημάτων κατεργασίας σιδήρου
Προϋποθέσεις εφαρμογής ΓΠ Γραμμικότητα (αναλογικότητα) Η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική συνάρτηση, δηλαδή η τιμή της είναι ποσοτικά ανάλογη προς τις ποσότητες κάθε μιας από τις δραστηριότητες Όλοι οι περιορισμοί ενός ΓΠ είναι γραμμικής μορφής, δηλαδή η χρησιμοποίηση των διαθέσιμων μέσων είναι ανάλογη προς τις ποσότητες κάθε μιας από τις δραστηριότητες
Προϋποθέσεις εφαρμογής ΓΠ -2 Προσθετικότητα Το συνολικό μέτρο αποτελεσματικότητας και κάθε συνολική χρησιμοποίηση διαθέσιμων μέσων, εφ όσον προκύπτουν από την κοινή λειτουργία των δραστηριοτήτων, πρέπει να είναι ίσα προς το άθροισμα των αντίστοιχων ποσοτήτων, που προκύπτουν από κάθε μια δραστηριότητα όταν αυτή λειτουργεί χωριστά και ανεξάρτητα
Προϋποθέσεις εφαρμογής ΓΠ -3 Διαιρετότητα Συχνά φυσικό νόημα μόνο σε ακέραιες τιμές των μεταβλητών αποφάσεων Όχι εγγύηση των μεθόδων επιλύσεως προβλημάτων ΓΠ για ακέραια λύση Οι μεταβλητές αποφάσεων μπορούν να πάρουν πραγματικές τιμές
Προϋποθέσεις εφαρμογής ΓΠ -4 Προσδιορισμένοι συντελεστές Όλοι οι συντελεστές ενός προβλήματος ΓΠ θεωρούνται ως γνωστές σταθερές Μοναδιαία κόστη ή κέρδη c j Τεχνολογικοί συντελεστές a ij Ποσότητες του μέσου i, b i
Περίπτωση μη πεπερασμένης λύσης max z μ. π. = 3x x x x 1 1 1 1 + 2x + 2x 2 2 2 7 + x2 5 0, x 0
Περίπτωση καμιάς εφικτής λύσης 1 max z μ. π. = 5x 2x 2x x 1 1 1 1 + 7x + x 2 0, x 2 + 3x 2 2 10 36 0
Περίπτωση καμιάς εφικτής λύσης 2 max z μ. π. = x 1 x x x 1 1 + 2x 1 + x 2 2 2 0, x 1 2 0
Περίπτωση εφικτής περιοχής λύσεων (ευθύγραμμο τμήμα)
Γραμμές ισοτιμής (κέρδους ή κόστους)
Περίπτωση εφικτής περιοχής λύσεων (τρίγωνο)
Περίπτωση εφικτής περιοχής λύσεων (μη φραγμένη ελαχιστοποίηση)
Περίπτωση εφικτής περιοχής λύσεων (τετράπλευρο)
Περίπτωση τριών μεταβλητών απόφασης 1. 2. 6x + 4y + 9z 36 2x + 5y + 4z 20
Περίπτωση τριών μεταβλητών απόφασης 1. 2. 2x + 5y 4x + 5z 20 + 2y + z 8
Πρότυπη μορφή του μοντέλου του γενικού προβλήματος ΓΠ max (ή min) z = cx (1) μ.π. Ax = b, ( b 0) (2) x 0 (3)
Βασικές Έννοιες ΓΠ -1 Λύση του προβλήματος ΓΠ είναι κάθε λύση του συστήματος (2), δηλαδή κάθε διάνυσμα x* που ικανοποιεί το σύστημα αυτό. Χ = 1 x x2 xn Δυνατή (ή εφικτή) λύση του προβλήματος ΓΠ είναι κάθε λύση του συστήματος (2), δηλαδή κάθε διάνυσμα x* που ικανοποιεί τους περιορισμούς (3).
Βασικές Έννοιες ΓΠ -2 Βέλτιστη δυνατή λύση (ή βέλτιστη λύση) του προβλήματος ΓΠ είναι κάθε λύση αυτού, που μεγιστοποιεί (ή ελαχιστοποιεί) την αντικειμενική συνάρτηση z.
Βασικές Έννοιες ΓΠ -3 Βάση του συστήματος (ή βάση) είναι ο πίνακας mxm, που προκύπτει από τον πίνακα Α του συστήματος, και έχει m γραμμικά ανεξάρτητες στήλες. Οι m μεταβλητές που αντιστοιχούν στις στήλες μιας βάσεως Α ι, λέγονται βασικές μεταβλητές ως προς τη βάση αυτή. Οι υπόλοιπες (n-m) μεταβλητές που αντιστοιχούν στις (n-m) στήλες του πίνακα Α που δεν περιλαμβάνονται στη βάση Α ι λέγονται μη βασικές μεταβλητές.
Βασικές Έννοιες ΓΠ -4 Βασική εφικτή λύση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ως προς μια βάση Α ι, είναι μια εφικτή λύση αυτού, που έχει το πολύ όλες τις βασικές μεταβλητές, ως προς τη βάση αυτή, διάφορες του μηδενός (θετικές) και όλες τις μη βασικές μεταβλητές ίσες με το μηδέν. Εκφυλισμένη βασική εφικτή λύση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, είναι κάθε βασική εφικτή λύση αυτού, στην οποία μια ή περισσότερες βασικές μεταβλητές έχουν τιμή μηδενική, δηλαδή κάθε βασική εφικτή λύση που έχει λιγότερες από m μεταβλητές διάφορές του μηδενός (θετικές) και τις υπόλοιπες ίσες με το μηδέν.
Βασικά Θεωρήματα -1 Ο αριθμός των βασικών εφικτών λύσεων ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, που ικανοποιεί τις προαναφερόμενες προϋποθέσεις, είναι πεπερασμένος Το σύνολο των εφικτών λύσεων ενός προβλήματος ΓΠ είναι κυρτό κλειστό σύνολο
Βασικά Θεωρήματα -2 Κάθε βασική εφικτή λύση ενός προβλήματος ΓΠ είναι ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου (κορυφή του πολυγώνου) των εφικτών λύσεων, και κάθε ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου είναι μια βασική δυνατή λύση του συστήματος των περιορισμών. Αν υπάρχει μια εφικτή λύση σε ένα πρόβλημα ΓΠ, τότε υπάρχει και μια βασική εφικτή λύση αυτού.
Βασικά Θεωρήματα -3 Αν υπάρχει μια βέλτιστη εφικτή λύση σε ένα πρόβλημα ΓΠ, τότε η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της σε ένα τουλάχιστον ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των εφικτών λύσεων, δηλαδή σε μια βασική εφικτή λύση. Αν υπάρχει τουλάχιστον μια βέλτιστη εφικτή λύση, που δεν είναι βασική, τότε υπάρχουν άπειρες βέλτιστες δυνατές λύσεις.