ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε.



Σχετικά έγγραφα
Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης

Τεχνητή Νοημοσύνη ( )

Ασκήσεις ανακεφαλαίωσης στο μάθημα Τεχνητή Νοημοσύνη

Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης).

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πρόλογος. Πρόλογος 13. Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΟΥΔΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Ασκήσεις μελέτης της 19 ης διάλεξης

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΟΥΔΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε.

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Β Εξάµηνο Τίτλος Μαθήµατος Θ Φ Α.Π Ε Φ.E. Π.Μ Προαπαιτούµενα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο )

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

x < y ή x = y ή y < x.

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Βελτιώνω μια λεπτομέρεια, σε σχέση με την Ανακοίνωση από 22/6/2009 (1.4.3)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ (23/01/ /02/2017)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ (12/06/ /06/2017)

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

p p p q p q p q p q

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Εισαγωγή στις Αρχές της επιστήμης των ΗΥ

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ACCESS. Καθηγητής Νίκος Λορέντζος



ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Εισαγωγή στην Ψυχολογία Ενότητα 13: Σκέψη

Τι πτυχίο θα πάρω; Πως θα το πάρω; Οδηγίες για τους φοιτητές του πρώην τμήματος Ηλεκτρονικών Μηχανικών του ΑΤΕΙΘ

Τι πτυχίο θα πάρω; Πως θα το πάρω;

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ ΚΩΔ. ΜΑΘ. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΙΘΟΥΣΕΣ ΑΡ. ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ACCESS. Καθηγητής Νίκος Λορέντζος

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Υπολογιστική Νοημοσύνη. Μάθημα 12: Παραδείγματα Ασκήσεων 2

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

4.2.1 Α εξάμηνο Β εξάμηνο Γ εξάμηνο 4.2. ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑ ΕΞΑΜΗΝΟ

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ: ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ TMHMA ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε.

Οι Δ.Ε. στο Γενικό Λύκειο Παρουσίαση μια μικρής τράπεζας 45 θεμάτων Δ.Ε. για τα μαθήματα Φ.Ε.

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Transcript:

ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. Θέματα Εξετάσεων Εξεταστικής Σεπτεμβρίου στο μάθημα «ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ» ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Ηλ. Μηχ. & Τ.Υ. Αριστομένης Θανόπουλος Ημερομηνία: 12 / 2 / 2015 Οδηγίες: Συμπληρώνετε ονοματεπώνυμο ΚΑΙ πάνω στα Θέματα και τα παραδίδετε μέσα στην κόλλα σας. Μπορείτε να απαντήσετε σε όλα τα Θέματα (5). ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ ΑΜ: ΘΕΜΑ A1 (3.4Μ) Α) Αναπαραστήστε το νόημα των παρακάτω προτάσεων φυσικής γλώσσας σε προτάσεις Κατηγορηματικής Λογικής, χρησιμοποιώντας ένα συνεπές λεξιλόγιο κατηγορημάτων: 1. Ο Reagan ήταν ηθοποιός και πρόεδρος των ΗΠΑ. ηθοποιός(reagan) πρόεδρος(reagan,usa) 2. Κάθε φυτό χρειάζεται ήλιο και νερό. Χ φυτό(χ) χρειαζεται(χ,ήλιος χρειαζεται(χ,νερό) 3. Κάθε άνθρωπος έχει κάποιο φίλο. Χ ανθρωπος(χ) Υ, έχει_φίλο(χ,υ) 4. Ο πατέρας μου έχει μόνο ένα φίλο. Χ, έχει_φίλο(πατέρας(εγώ),χ) Υ (έχει_φίλο(πατέρας(εγώ),υ) Χ=Υ) 5. Όλα τα παπιά, εκτός από τον Σκρούτζ, έχουν ανάγκη κάποιον φίλο. Χ παπί(χ) Χ=σκρουτζ Υ χρειαζεται(χ,υ) έχει φίλο(χ,υ) Β) Στη συνέχεια μετατρέψτε τις σε κανονική συζευκτική μορφή χωρίς ποσοδείκτες χρησιμοποιώντας σταθερές και συναρτήσεις Skolem, όπου χρειάζεται. ΘΕΜΑ A2 (2Μ) A) Ποιά η διαφορά μεταξύ Μηχανικής Μάθησης υπό επίβλεψη (supervised learning) και χωρίς επίβλεψη (unsupervised learning); Για κάθε είδος μηχανικής μάθησης δώστε όσες τεχνικές γνωρίζετε. B) Ποιά η διαφορά μεταξύ της τεχνικής «Μάθηση βάσει περιπτώσεων» (Instance-based Learning ή Case-based Learning) από άλλες τεχνικές; Περιγράψτε κάποια συγκεκριμένη (δε χρειάζεται να αναφερθείτε σε κάποιον αλγόριθμο) για να δείξετε τη διαφορά. ΘΕΜΑ A3 (2Μ) Κατασκευάστε τον πίνακα αληθείας για κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις: 1) ( Q P ) ( Q R ) 2) Q P ( Q R ) 3) P ( Q R ) P Αν για καθένα από τα P, Q, R η πιθανότητα να είναι αληθές ή ψευδές είναι 50%, ποιά από τις 3 προτάσεις (1), (2), (3) είναι πιθανότερο να είναι ψευδής και ποιά αληθής; Είναι κάποια από αυτές ταυτολογία ή αντίφαση; ΘΕΜΑ A4 (1.6Μ) Αν ισχύουν οι διπλανές προτάσεις: Αποδείξτε, με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, ότι ισχύει και η παρακάτω: E E B E Α D Α Β C C D E

ΘΕΜΑ A5 (2M) Ένα σύστημα αναγνώρισης αντικειμένων μετρά τις τιμές 2 χαρακτηριστικών (x,y) για 7 αντικείμενα, και καταγράφει τις παρακάτω μετρήσεις: Α1(2,5), Α2(2,4), Α3(2,1), Α4(6,2), Α5(4,1), Α6(2,4), Α7(1,1). α) Αφού τα σχεδιάσετε στο επίπεδο, δείξτε το αποτέλεσμα της ιεραρχικής ομαδοποίησής τους (hierarchical clustering), χρησιμοποιώντας ως μέτρο απόστασης την απόσταση Manhattan (ή, αν δεν την γνωρίζετε, την Ευκλείδια απόσταση, προσεγγιστικά). β) Διακρίνετε ποιές είναι οι ομάδες, αν θεωρήσουμε ότι γνωρίζουμε τον αριθμό Ν των ομάδων. Απαντήστε για Ν=2, Ν=3 και Ν=4.

ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. Θέματα Εξετάσεων Εξεταστικής Σεπτεμβρίου στο μάθημα «ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ» ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Ηλ. Μηχ. & Τ.Υ. Αριστομένης Θανόπουλος Ημερομηνία: 12 / 2 / 2015 Οδηγίες: Συμπληρώνετε ονοματεπώνυμο ΚΑΙ πάνω στα Θέματα και τα παραδίδετε μέσα στην κόλλα σας. Μπορείτε να απαντήσετε σε όλα τα Θέματα (5). ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ ΑΜ: ΘΕΜΑ Β1 (3.4Μ, 5 από τις 6 προτάσεις) Α) Αναπαραστήστε το νόημα των παρακάτω προτάσεων φυσικής γλώσσας σε προτάσεις Κατηγορηματικής Λογικής, χρησιμοποιώντας ένα συνεπές λεξιλόγιο κατηγορημάτων: 1. Η Μαρία έχει φίλες τη Νίκη και την Ελένη. has_friend(maria,niki) has_friend(maria,helen) 2. Ο παππούς μου δεν έχει κανένα φίλο. Χ, has_friend(παππούς(εγώ),χ) 3. Ο Μπιλ έχει φίλους όλους τους φίλους των φίλων του. Χ Y has_friend(bill,χ) has_friend(x,y) has_friend(bill,y) 4. Κάθε άνθρωπος και κάθε ζώο χρειάζεται νερό και φαγητό. Χ φυτό(χ) χρειαζεται(χ,ήλιος χρειαζεται(χ,νερό) 5. Όλα τα παπιά έχουν ανάγκη κάποιον φίλο, αρκεί να μην είναι ο Σκρούτζ. Χ παπί(χ) Υ Y=σκρουτζ χρειαζεται(χ,friend_of(x)) έχει φίλο(χ,υ) Χ παπί(χ) Υ Y=σκρουτζ χρειαζεται(χ,υ) έχει φίλο(χ,υ) Β) Στη συνέχεια μετατρέψτε τις σε κανονική συζευκτική μορφή χωρίς ποσοδείκτες χρησιμοποιώντας σταθερές και συναρτήσεις Skolem, όπου χρειάζεται. ΘΕΜΑ Β2 (2Μ) A) Ποιά η διαφορά μεταξύ Μηχανικής Μάθησης υπό επίβλεψη (supervised learning) και χωρίς επίβλεψη (unsupervised learning); Για κάθε είδος μηχανικής μάθησης δώστε από δύο παραδείγματα προβλημάτων στα οποία μπορούμε να το εφαρμόσουμε. B) Ποιά η διαφορά μεταξύ της επαγωγικής συλλογιστικής και της απαγωγικής; Ποιά οδηγεί σε σίγουρα συμπεράσματα; Δώστε και παραδείγματα. ΘΕΜΑ Β3 (2Μ) Κατασκευάστε τον πίνακα αληθείας για κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις: 1) ( A C ) ( A B) 2) A C (A B) 3) C ( A B ) C Αν για καθένα από τα A, B, C η πιθανότητα να είναι αληθές ή ψευδές είναι 50%, ποιά από τις 3 προτάσεις (1), (2), (3) είναι πιθανότερο να είναι ψευδής και ποιά αληθής; Είναι κάποια από αυτές ταυτολογία ή αντίφαση; ΘΕΜΑ Β4 (1.6Μ) Αν ισχύουν οι διπλανές προτάσεις: Αποδείξτε, με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, ότι ισχύει και η παρακάτω: E E B E P D P Β C C D E

ΘΕΜΑ Β5 (2M) Ένα σύστημα αναγνώρισης αντικειμένων μετρά τις τιμές 2 χαρακτηριστικών (x,y) για 7 αντικείμενα, και καταγράφει τις παρακάτω μετρήσεις: Β1(2,2), Β2(3,5), Β3(3,2), Β4(7,3), Β5(5,2), Β6(3,5), Β7(3,6). α) Αφού τα σχεδιάσετε στο επίπεδο, δείξτε το αποτέλεσμα της ιεραρχικής ομαδοποίησής τους (hierarchical clustering), χρησιμοποιώντας ως μέτρο απόστασης την απόσταση Manhattan (ή, αν δεν την γνωρίζετε, την Ευκλείδια απόσταση, προσεγγιστικά). β) Διακρίνετε ποιές είναι οι ομάδες, αν θεωρήσουμε ότι γνωρίζουμε τον αριθμό Ν των ομάδων. Απαντήστε για Ν=2, Ν=3 και Ν=4.