Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. ν i 22 17 13 5 ΠΑΟΚ ΑΕΚ ΠΑΟ ΟΣΦΠ Είναι σωστό αυτό το ραβδόγραμμα; 2) Οι 50 κάτοικοι ενός χωριού δήλωσαν την προτίμησή τους σε ένα μόνο από τα κανάλια α 1, α 2, α 3, α 4, α 5 της τηλεόρασης και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας. κανάλι α i συχνότητα ν i α 1 10 α 2 15 α 3 5 α 4 15 Τι ποσοστό των κατοίκων: α 5 5 α) παρακολουθεί το κανάλι α 1, β) παρακολουθεί τα κανάλια α 3 και α 5, γ) δεν παρακολουθεί το κανάλι α 4. Να κατασκευάσετε το αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα. 3) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα που δείχνει τις εκτάσεις των 7 ηπείρων. Μπορούμε να κάνουμε ιστόγραμμα στις παρατηρήσεις αυτές; 4) Έστω ένα δείγμα μεγέθους ν που το εξετάζουμε ως προς μία ποσοτική μεταβλητή. Αν x 1, x 2,, x κ (κ ν) οι τιμές της μεταβλητής αυτής και F κ 1 = 90% ενώ ν κ = 5 μπορείτε να βρείτε το μέγεθος του δείγματος και την αθροιστική συχνότητα Ν κ 1 ; 5) Σε μία ομαδοποίηση των τιμών σε ισοπλατείς κλάσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής με εύρος R = 18, τα κέντρα δύο συνεχόμενων κλάσεων είναι 4 και 6. Μπορείτε να βρείτε το πλήθος των κλάσεων;
6) Σε ένα πίνακα έχουμε τους επιτυχόντες ανά χρονιά τα τελευταία 5 χρόνια. Αν θέλουμε να παραστήσουμε γραφικά τα αποτελέσματα αυτά, τι είδους διαγράμματα μπορούμε να κατασκευάσουμε; 7) Αν σας δοθεί ένα πολύγωνο συχνοτήτων μιας ομαδοποιημένης κατανομής, τι έχετε να προτείνετε για να βρούμε το μέγεθος του δείγματος; 8) Αν σας δοθεί ένα πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων μιας ομαδοποιημένης κατανομής, τι έχετε να προτείνετε για να βρούμε το μέγεθος του δείγματος; Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1 Ρωτήσαμε 20 οικογένειες για τον αριθμό των παιδιών τους και πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα: 0 1 3 2 1 3 2 1 1 2 2 1 0 0 2 1 3 4 3 1 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων. β) Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες, οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό καθώς και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό. γ) Να παρασταθούν τα παραπάνω αποτελέσματα σε κατάλληλα διαγράμματα. 2 Σε ένα γηροκομείο η κατάσταση της υγείας των ηλικιωμένων φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Κατάσταση υγείας x i Συχνότητα ν i κακή 20 ì έτρια 25 σχεδόν καλή 15 καλή 12 πολύ καλή 8 α) Να βρεθεί το πλήθος των ηλικιωμένων. β) Να παρασταθεί ο παραπάνω πίνακας σε κατάλληλο διάγραμμα. γ) Να συμπληρωθεί ο πίνακας με τις στήλες των f i, f i %. δ) Μπορείτε να συμπληρώσετε των πίνακα με τις στήλες των N i, F i ;
ε) Σε ποιο ποσοστό των ηλικιωμένων η υγεία τους: i) είναι καλή και πολύ καλή, ii) δεν είναι κακή. 3 Στο επόμενο σχήμα έχουμε το διάγραμμα συχνοτήτων για την κατανομή της βαθμολογίας ενός διαγωνίσματος μαθηματικών σε μία τάξη της Γ λυκείου. ν i 23 13 7 5 2 12 13 14 15 16 βαθμολογία x i α) Να βρείτε το πλήθος των μαθητών της τάξης αυτής. β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και να συμπληρώσετε τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων. γ) Πόσα παιδιά έγραψαν τουλάχιστον 14; δ) Ποιο ποσοστό των παιδιών έγραψαν το πολύ μέχρι 13; ε) Αν το σχολείο βραβεύσει το 30% των καλύτερων μαθητών, τι βαθμολογία πρέπει να έχει κάποιος μαθητής για να πάρει βραβείο; στ) Αν στο 10% των πιο χαμηλόβαθμων μαθητών γίνει ενισχυτική διδασκαλία, τι βαθμολογία πρέπει να έχει κάποιος μαθητής; 4 Μία εταιρεία απασχολεί 160 υπαλλήλους των οποίων οι ηλικίες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Ομάδα ηλικιών Συχνότητα ν i [20 24) 38 [24 28) 42 [28 32) 48 [32 36) 22 [36 40) 10
α) Να βρείτε τη σχετική συχνότητα και την αθροιστική σχετική συχνότητα κάθε ομάδας ηλικιών και να παρασταθούν τα παραπάνω αποτελέσματα σε κατάλληλα διαγράμματα. β) Πόσοι υπάλληλοι έχουν ηλικία πάνω από 34; γ) Ποιο ποσοστό υπαλλήλων έχει ηλικία τουλάχιστον 28; δ) Ποιο ποσοστό υπαλλήλων έχει ηλικία μέχρι 36; ε) Ποιο ποσοστό υπαλλήλων έχει ηλικία από 24 μέχρι 32; 5 Οι θερμοκρασίες ( o C ) που παρουσίασαν 40 πρωτεύουσες, κατά μέσο όρο, στη διάρκεια μιας ημέρας είναι: 10 11 23 30 4 21 36 12 17 26 36 24 27 14 9 15 31 30 20 12 11 31 29 27 13 17 8 24 29 15 9 10 21 35 18 15 28 25 21 16 α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κατάλληλο αριθμό κλάσεων. β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες ν i, f i %, N i, F i %. γ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. o δ) Τι ποσοστό των πόλεων αυτών είχαν τουλάχιστον 28 C; 6 Ο παρακάτω πίνακας αφορά το χρόνο (min) που χρειάζεται για να φθάσουν οι μαθητές μιας τάξης από το σπίτι τους στο σχολείο με τα πόδια: χρόνος ν i N i f i F i f i % F i % [4, 8) 16 [8, 12) 10 18 0,2 [12, 14) 0,6 0 [14, 18) 18 [18, 22) [22, 26) 6 [26, 30) 3 Σύνολο
α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας. β) Πόσοι μαθητές χρειάζονται τουλάχιστον 18min για να φθάσουν σχολείο; γ) Τι ποσοστό των μαθητών θα εξυπηρετούσε ένα λεωφορείο ώστε να φθάνουν όλοι στο σχολείο σε λιγότερο από 14min; δ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. 7 Δίνεται το πολύγωνο συχνοτήτων μιας ομαδοποιημένης κατανομής σε ισοπλατείς κλάσεις. ν i 13 12 9 5 3 18 α) Να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος. β) Να βρεθεί τo πλάτος κάθε κλάσης και τα άκρα της. γ) Να κατασκευαστεί διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων. 8 Ένα σύνολο ν ανθρώπων δήλωσε την προτίμησή του σε ένα μόνο από τα 4 τυχερά παιχνίδια α 1, α 2, α 3, α 4. Από τις μετρήσεις προέκυψε ότι για τα ποσοστά προτίμησης f(α i ) των α i είναι: f(α i ) = λ.2 i με i = 1, 2, 3, 4. α) Να βρεθεί το λ. β) Αν το α 4 προτιμήθηκε από 320 ανθρώπους, να βρείτε το μέγεθος του δείγματος. γ) Πόσοι άνθρωποι προτίμησαν το τυχερό παιχνίδι α 2 ; δ) Να γίνει το κυκλικό διάγραμμα των παραπάνω μετρήσεων. 9 Το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής X, των εσόδων σε ένα έτος (σε χιλ.ευρώ) των υπαλλήλων μιας εταιρείας, ομαδοποιημένης σε κλάσεις ίσου πλάτους, έχει κορυφές τα σημεία: Α(5, 0), Β(15, 30), Γ(25, 40), Δ(35, 60), Ε(45, x), Z(55, 25), H(65, 10), Θ(75, 0) Η κατακόρυφη γραμμή με εξίσωση x = 35 χωρίζει το χωρίο που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
α) Να υπολογιστεί το x. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων της κατανομής X. γ) Ο οικονομικός υπεύθυνος της εταιρείας αποφάσισε να δώσει ένα δώρο στους υπαλλήλους που έχουν αποφέρει τουλάχιστον 45.000 ευρώ έσοδα στην εταιρεία. Σε τι ποσοστό επί τοις % των υπαλλήλων θα δοθεί το δώρο αυτό; δ) Να χαρακτηρίσετε την κατανομή ως προς τη συμμετρία της. 10 Τον παρακάτω πίνακα να τον μετατρέψετε σε κυκλικό διάγραμμα, αν γνωρίζετε ότι ν 4 = 2ν 3 και f 4 = 0,4 x i Ν i x 1 8 x 2 20 x 3 x 4 11 Ένα δείγμα οικογενειών ρωτήθηκε για τον αριθμό των παιδιών που έχει σε σχέση με το φύλο τους και κατασκευάσαμε τους δύο παρακάτω πίνακες: Αγόρια Οικογέν. Κορίτσια Οικογέν. 0 37 1 39 2 17 3 5 4 2 0 47 1 33 2 12 3 7 4 1 α) Πόσες οικογένειες ρωτήθηκαν; β) Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των παιδιών που έχουν αυτές οι οικογένειες; γ) Οι παραπάνω πίνακες να αποτυπωθούν στο ίδιο διάγραμμα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί τοις %. δ) Υπάρχει δυνατότητα να κατασκευάσετε ένα πίνακα που να δείχνει τον αριθμό των παιδιών ανά οικογένεια;
12 Δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων για τη μεταβλητή X: αριθμός παιδιών ανά οικογένεια μιας πολυκατοικίας. N i 10 ω 2 0 1 2 3 4 x i Η γωνία ω που φαίνεται στο σχήμα είναι 45 ο. Η συχνότητα της τιμής 2 είναι 4. Σε κυκλικό διάγραμμα, η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην τιμή 1 είναι 72 ο. α) Να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος. β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων. γ) Τι ποσοστό των οικογενειών έχουν τουλάχιστον 2 παιδιά; δ) Πόσες οικογένειες έχουν το πολύ 3 παιδιά; 13 Να εξετάσετε αν υπάρχει κ, ώστε οι τιμές x 1, x 2, x 3 μιας μεταβλητής X να έχουν σχετικές συχνότητες 1 2 1 1,, αντίστοιχα. 3 3 3 14 Στο παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, να υπολογίσετε: F i 1 0,8 0,05 0 2 4 6 8 10 x α) Τη σχετική συχνότητα της 2 ης κλάσης αν το 35% των παρατηρήσεων έχει τιμή μικρότερη
από 4. β) Τη σχετική συχνότητα της 3 ης κλάσης αν το 45% των παρατηρήσεων έχει τιμή μέχρι 5. γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων, αν γνωρίζετε ότι το μέγεθος του δείγματος x 20 ταυτίζεται με τη θέση του τοπικού μεγίστου της συνάρτησης: f (x) 2 x 1200 15 Ένα δείγμα μαθητών ρωτήθηκε για το τι νούμερο παπούτσια φοράει. Το σύνολο των αποτελεσμάτων ομαδοποιήθηκε σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, αφού παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές φοράνε από 36 έως και 45 νούμερο παπουτσιού. Μικρότερο από 40 νούμερο παπουτσιού, φοράνε 20 μαθητές που αντιστοιχούν στο 40% του συνόλου. Νούμερο 36 ή 37 φοράνε 8 μαθητές ενώ 40 ή 41 φοράει το 40% των μαθητών. Τέλος, 45 νούμερο παπουτσιού φοράνε 3 μαθητές. Να κατασκευάσετε τον πίνακα (x i, ν i, f i ). (Υποθέστε ότι τα νούμερα των παπουτσιών είναι φυσικοί αριθμοί). 16 Σε ένα κυκλικό διάγραμμα, παρουσιάζονται τα 3 δημοφιλέστερα τραγούδια της χρονιάς που ψηφίστηκαν σε ένα ραδιοφωνικό σταθμό. Στο πρώτο αντιστοιχεί η επίκεντρη γωνία 3x + 2y, στο δεύτερο η επίκεντρη γωνία x + y και το τρίτο το ψήφισε ο ένας στους πέντε. Αν το τρίτο τραγούδι το ψήφισαν 30 ακροατές και το σύνολο των ακροατών που ψήφισαν και τα τρία τραγούδια είναι 2x + 3y, να βρεθούν τα ποσοστά προτίμησης των τριών τραγουδιών.