κ ε φ ά λ α ι ο 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Εισαγωγή Θα δείξουµε τώρα ότι ο µαθηµατικός φορµαλισµός που αναπτύξαµε στο προηγού- µενο κεφάλαιο και ο οποίος δίνει έµφαση στην αφηρηµένη αλγεβρική δοµή της κβαντικής θεωρίας µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως πρακτικό εργαλείο επίλυσης προβληµάτων µε αντιπροσωπευτικό παράδειγµα τον αρµονικό ταλαντωτή. Υπενθυµίζουµε σχετικά ότι µε αυτήν την ονοµασία περιγράφουµε την κίνηση (κλασική ή κβαντική) υπό την επίδραση του παραβολικού δυναµικού V = kx / (Σχ. 5.1) που αντιστοιχεί σε µια δύναµη F = dv dx = kx ανάλογη της αποµάκρυνσης από το ελκτικό κέντρο στο x = 0. Η σπουδαιότητα του παραβολικού δυναµικού οφείλεται, βεβαίως, στο γεγονός ότι αποτελεί µια πολύ καλή προσέγγιση ενός τυχόντος δυναµικού στη γειτονιά ενός σηµείου ευσταθούς ισορροπίας του. Πράγµατι, υποθέστε ότι µας δίνεται ένα τυχόν µονοδιάστατο δυναµικό V (x) που έχει ένα ελάχιστο, δηλαδή ένα σηµείο ευσταθούς ισορροπίας, στο x = 0 στο οποίο επιλέξαµε να τοποθετήσουµε και την αρχή του σχετικού άξονα. Αν αναπτύξουµε τώρα τη συνάρτηση V (x) σε δυναµοσειρά Taylor γύρω από το x = 0, θα έχουµε V (x) = V (0) + V (0)x + 1 V (0)x +. Όµως αφού το x = 0 είναι σηµείο ισορροπίας, θα είναι V (0) = 0 ενώ θα είναι επίσης V (0) = k > 0 αφού πρόκειται για ένα τοπικό ελάχιστο της V (x). Επι-
34 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Σχηµα 5.1: Το δυναµικό του αρµονικού ταλαντωτή. πλέον, µια και η στάθµη αναφοράς της δυναµικής ενέργειας µπορεί να επιλεγεί κατά βούληση, τη διαλέγουµε έτσι ώστε να είναι V (0) = 0, οπότε το παραπάνω ανάπτυγµα γράφεται τελικά ως V (x) = 1 kx + όπου οι ανώτερες δυνάµεις θεωρήθηκαν αµελητέες για µικρά x δηλαδή για µικρές ταλαντώσεις γύρω από το σηµείο ισορροπίας και έτσι επιζεί τελικά µόνο ο «παραβολικός όρος» και µας παρέχει µια ικανοποιητική προσέγγιση του αρχικού δυναµικού στη γειτονιά του ελαχίστου του (Σχ. 5.). Η παραβολική προσέγγιση όπως είναι εύλογο να αποκληθεί η παραπάνω διαδικασία βρίσκει άµεση αξιοποίηση στη µελέτη της δονητικής κίνησης των διατοµικών ή πολυατοµικών µορίων, αλλά και στην αντίστοιχη κίνηση των ατόµων ενός κρυσταλλικού πλέγµατος. Το κβαντοµηχανικό πρόβληµα για τον αρµονικό ταλαντωτή συνίσταται, βεβαίως, στη λύση της εξίσωσης ιδιοτιµών όπου H ψ = E ψ (5.1) H = p m + 1 kx p m + 1 mω x (5.) ο χαµιλτονιανός τελεστής του προβλήµατος, µε ω = k/m την κλασική συχνότητα ταλάντωσης του σωµατιδίου. Στην αναπαράσταση θέσης θα είναι βεβαίως
ΕΙΣΑΓΩΓΗ 35 Σχηµα 5.: Στη γειτονιά του ελαχίστου του κάθε δυναµικού V (x) µπορεί να προσεγγιστεί από το δυναµικό ενός αρµονικού ταλαντωτή. ψ ψ(x) x x, p i d dx H d m dx + 1 mω x, οπότε η (1) θα παίρνει τη µορφή της διαφορικής εξίσωσης ( d m dx + 1 ) mω x ψ = Eψ ψ + m (E 1 ) mω x ψ = 0, που απλοποιείται περαιτέρω ως ψ + (E x )ψ = 0 (5.3) αν χρησιµοποιήσουµε το φυσικό σύστηµα µονάδων του προβλήµατος στο οποίο οι τρεις παράµετροι, m και ω που εµφανίζονται σ αυτό παίρνουν την τιµή µονάδα. ( ) ( ) εδοµένου ότι υπάρχουν τρεις βασικές φυσικές µονάδες µήκος, µάζα και χρόνος οι οποίες µπορούν να οριστούν αυθαίρετα, έχουµε πάντα τη δυνατότητα, µε κατάλληλο επανορισµό αυτών των βασικών µονάδων, να δώσουµε σε µια τυχούσα τριάδα διαστατικά ανεξάρτητων µεγεθών οποιαδήποτε τιµή επιθυµούµε και ειδικότερα να τις κάνουµε και τις τρεις µονάδα. Και βέβαια µπορούµε πάντα να επαναφέρουµε την εξάρτηση από τις παραµέτρους που εξισώσαµε µε µονάδα χρησιµοποιώντας το θεµελιώδες θεώρηµα της διαστατικής ανάλυσης που λέει ότι: Από τρία φυσικά µεγέθη µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα οποιοδήποτε άλλο µε απροσδιοριστία µόνο µίας αριθµητικής σταθεράς.
36 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Όπως µάλλον γνωρίζει ο αναγνώστης, από ένα εισαγωγικό µάθηµα κβαντικής φυσικής, οι φυσικά παραδεκτές λύσεις της (5.3) δηλαδή εκείνες που µηδενίζονται στο ± υπολογίζονται πολύ εύκολα γράφοντας τη λύση υπό τη µορφή ψ(x) = e x / H(x), (5.4) όπου e x / είναι ο ασυµπτωτικός παράγοντας που αντιπροσωπεύει τη συµπεριφορά των φυσικών λύσεων στο άπειρο ( ) ενώ η συµπληρωµατική συνάρτηση H(x) αναµένεται να έχει τη µορφή ενός πολυωνύµου ώστε να ικανοποιείται και το θεώρηµα των κόµβων: Ότι δηλαδή: ο αριθµός των κόµβων αυξάνει κατά µονάδα καθώς προχωρούµε από την κυµατοσυνάρτηση της θεµελιώδους στάθµης (µηδέν κόµβοι) προς τις ανώτερες. Η εξίσωση που προκύπτει από την (5.3), µε την αντικατάσταση (5.4) γνωστή ως εξίσωση του Hermite H xh + (E 1)H = 0 (5.5) θα διαθέτει όντως πολυωνυµικές λύσεις µόνο αν η µέγιστη δύναµη x n µιας τέτοιας λύσης ικανοποιεί την (5.5) για µεγάλα x αφού σε αυτή την περιοχή µόνο η µέγιστη δύναµη του σχετικού πολυωνύµου θα επιζήσει. Η εφαρµογή αυτής της αναγκαίας συνθήκης δίνει αµέσως n(n 1) x n nx n + (E 1)x n = 0 και δεδοµένου ότι η δύναµη x n µπορεί να αµεληθεί µπροστά στη x n για µεγάλα x, θα έχουµε ( n + (E 1) ) x n = 0 E = E n = n + 1 (n = 0, 1,,...) ενώ για τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις θα είναι ψ n (x) = e x / H n (x) (n = 0, 1,,...) όπου H n (x) πολυώνυµα βαθµού n γνωστά ως πολυώνυµα του Hermite. ( ) Και ο οποίος θα έχει πάντα τη µορφή ενός κατάλληλου εκθετικού µε µια απροσδιόριστη παρά- µετρο που υπολογίζεται αντικαθιστώντας το εκθετικό στην εξίσωση και απαιτώντας να ικανοποιείται για µεγάλα x. Στην περίπτωση του ταλαντωτή το κατάλληλο εκθετικό που µηδενίζεται και στο + και στο είναι το exp( λx ) που πράγµατι ικανοποιεί την εξίσωση για µεγάλα x, αν είναι λ = ±1/ µε φυσικά παραδεκτή τιµή την λ = 1/. ( είξτε το.)
1. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 37 Σκοπός τούτου του κεφαλαίου είναι να επαναλάβουµε τη λύση της (5.1) όχι όµως σε µια συγκεκριµένη αναπαράσταση της θέσης ή κάποια άλλη αλλά στην αφηρηµένη της µορφή, όπου ο χαµιλτονιανός τελεστής (5.) δεν υφίσταται περαιτέρω προσδιορισµό πέραν της συνθήκης ότι οι δύο τελεστές x και p που εµφανίζονται σ αυτόν ικανοποιούν τη θεµελιώδη µεταθετική σχέση [x, p] = i. Για ευνόητους λόγους η λύση του αρµονικού ταλαντωτή πάνω σε αυτές τις γραµ- µές είναι γνωστή ως αλγεβρική µέθοδος και η βασική της ιδέα εξηγείται στην παράγραφο που ακολουθεί. 1. Η αλγεβρική λύση του αρµονικού ταλαντωτή. Οι τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής Η αφετηριακή σκέψη της µεθόδου είναι πολύ απλή. Αφού ο αρµονικός ταλαντωτής έχει ισαπέχουσες ιδιοτιµές που προκύπτουν η µία από την άλλη πηγαίνοντας προς τα πάνω ή προς τα κάτω µε ένα σταθερό βήµα είναι λογικό να σκεφτού- µε ότι µια ανάλογη διαδικασία παραγωγής των ιδιοκαταστάσεων θα είναι επίσης δυνατή. Ότι δηλαδή µπορεί να υπάρχουν δύο κατάλληλοι τελεστές ας τους συµβολίσουµε µε a και a εκ των οποίων ο πρώτος (ο a ), δρώντας πάνω σε µια ιδιοκατάσταση, θα µας «πηγαίνει» στην ιδιοκατάσταση µε την αµέσως µεγαλύτερη ιδιοτιµή, ενώ ο δεύτερος (ο a) θα κάνει ακριβώς το αντίθετο: θα µας «πηγαίνει» στην ιδιοκατάσταση µε την αµέσως µικρότερη ιδιοτιµή. Αν συµβολίσουµε τις διαδοχικές ιδιοκαταστάσεις του ταλαντωτή ως n όπου για n = 0 θα έχουµε τη θεµελιώδη κατάσταση, για n = 1 την πρώτη διεγερµένη κ.ο.κ. τότε η αναµενόµενη δράση των τελεστών a και a (αν βέβαια υπάρχουν) θα περιγράφεται από τις σχέσεις a n n + 1, a n n 1, (5.6) οπότε για το γινόµενό τους N = a a θα είναι a a n n, (5.7) αφού η συνδυασµένη δράση τους ο ένας να µας «πηγαίνει» ένα βήµα πιο κάτω και ο άλλος ένα βήµα πιο πάνω προφανώς θα µας επαναφέρει στην αρχική ιδιοκατάσταση.
38 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Αν όµως όπως λέει η (5.7) οι ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις n είναι και ιδιοκαταστάσεις του τελεστή N = a a, τότε µια πολύ εύλογη σκέψη είναι ότι ο χα- µιλτονιανός τελεστής του αρµονικού ταλαντωτή H = p m + 1 mω x = 1 =m=ω=1 (x + p ) (5.8) ή θα ταυτίζεται µε τον N ή θα διαφέρει από αυτόν το πολύ κατά έναν αριθµητικό παράγοντα ή/και µια προσθετική σταθερά. Αναµένεται δηλαδή να είναι H = λa a + µ, (5.9) όπου λ και µ αριθµητικές σταθερές. Αν αγνοήσουµε την προσθετική σταθερά µ, η (5.9) µας λέει αµέσως ότι οι τελεστές a και a είναι εκείνοι που παραγοντοποιούν τον τελεστή H. Τον µετατρέπουν δηλαδή σε ένα γινόµενο δύο τελεστών που θα πρέπει να είναι και αµοιβαία συζυγείς ώστε να µην θίγεται η ερµιτιανότητα του H. ( ) Κοιτάζοντας µε αυτό το πνεύµα την έκφραση (5.8) ως κλασική έκφραση κατ αρχάς βλέπουµε αµέσως ότι επιδέχεται την προφανή παραγοντοποίηση ( ) H = 1 x ip x + ip (x ip)(x + ip) α a, (5.10) όπου α και α οι κλασικές εκφράσεις α = x + ip, α = x ip. Ύστερα από τα παραπάνω δεν πρέπει πλέον να φανεί ως «τέχνασµα εξ επιφοιτήσεως» στον αναγνώστη αν προτείνουµε ως υποψήφιους τελεστές a και a τους a = x + ip, a = x ip (5.11) µε την υπόσχεση να δείξουµε αµέσως ότι όντως έχουν τις ιδιότητες που προαναγγείλαµε. ( ) ( ) Ένας τυχών ερµιτιανός τελεστής H θα µπορούσε βέβαια να παραγοντοποιηθεί και υπό τη µορφή H = AB, όπου A, B µετατιθέµενοι ερµιτιανοί τελεστές. Όµως µια τέτοια δυνατότητα δεν υφίσταται για χαµιλτονιανούς τελεστές, για τους οποίους η µόνη δυνατή παραγοντοποίηση είναι του τύπου H = A A συν κάποια σταθερά χωρίς ιδιαίτερη σηµασία. που είναι κλασικά ισοδύναµη και µε την H = (x + ip)(x ip)/, διαφέρουν όµως κβαντο- µηχανικά κατά έναν σταθερό προσθετέο όπως θα γίνει φανερό σε λίγο.
1. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 39 Ας δούµε κατ αρχάς αν το γινόµενο a a ισούται µε τη χαµιλτονιανή H, όπως µας προϊδεάζει η κλασική σχέση (5.10). Θα είναι a a = 1 (x ip)(x + ip) = 1 ( x + p + i(xp px) ) = 1 (x + p ) + 1 i [x, p] = H 1 } {{ } i H = a a + 1, (5.1) όπου η διαφορά κατά τον σταθερό όρο 1/ µε την κλασική σχέση (5.10) οφείλεται, βέβαια, στο γεγονός ότι τώρα τα x και p δεν είναι κλασικές µεταβλητές (για τις οποίες είναι πάντα xp = px) αλλά µη µετατιθέµενοι τελεστές που υπόκεινται στη σχέση µεταθέσεως xp px = i. Για τα περαιτέρω δηλαδή για την απόδειξη των (5.6) θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τους µεταθέτες των τελεστών a και a µε τη χαµιλτονιανή H. Θα δείξουµε συγκεκριµένα ότι είναι [H, a] = a, [H, a ] = a. (5.13) Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε τις (5.13) µε τον τελεστή N = a a αντί του H, αφού ο σταθερός όρος 1/ µετατίθεται µε οποιονδήποτε τελεστή. Γι αυτό τον σκοπό θα χρειαστεί να υπολογίσουµε πρώτα τον µεταθέτη [a, a ] για τον οποίο θα είναι [a, a ] = 1 [x + ip, x ip] = 1 [x, ip] + 1 [ip, x] και εποµένως = 1 ( i) [x, p] + 1 (i) [p, x] = 1 } {{ } } {{ } + 1 = 1 i i [a, a ] = 1 [N, a] = [a a, a] = [a, a] a + a [a, a] = a } {{ } } {{ } 1 0 όπως θέλαµε να αποδείξουµε. [N, a ] = [a a, a ] = [a, a ] a + a [a, a ] = a, } {{ } } {{ } 0 1
40 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Για να δούµε τώρα πώς δρουν οι τελεστές a και a πάνω στις ιδιοκαταστάσεις n αφήνουµε τα δύο µέλη των (5.13) έστω της δεύτερης από αυτές να δράσουν πάνω σε µια τέτοια ιδιοκατάσταση και παίρνουµε [H, a ] n = a n (Ha a H) n = a n H ( a n ) a E n n = a n H ( a n ) = (E n + 1)a n (5.14) όπου, βέβαια, πήραµε υπ όψιν ότι οι n είναι ιδιοκαταστάσεις της χαµιλτονιανής H µε άγνωστες ακόµα ιδιοτιµές E n. Το νόηµα της (5.14) είναι φανερό. Μας λέει ότι η κατάσταση a n που προκύπτει από τη δράση του a πάνω στην n είναι πάλι ιδιοκατάσταση της χαµιλτονιανής H µε ιδιοτιµή E n + 1. Και αφήνεται στον αναγνώστη να δείξει ότι κάτι εντελώς ανάλογο αλλά µε αντίθετο πρόσηµο ισχύει και για την κατάσταση a n. Είναι πάλι ιδιοκατάσταση µε ιδιοτιµή E n 1. Το γενικότερο συµπέρασµα είναι προφανές. Αφού για κάθε δεδοµένη ιδιοτιµή E n οι E n ±1 είναι επίσης ιδιοτιµές, έχουµε ήδη αποδείξει ότι το φάσµα του αρµονικού ταλαντωτή έχει σταθερό βήµα ίσο µε ένα. ηλαδή οι ενεργειακές ιδιοτιµές είναι ισαπέχουσες µε σταθερή µεταξύ τους απόσταση ίση µε ένα. Αν λοιπόν E 0 είναι η µικρότερη από αυτές εκείνη που αντιστοιχεί στη θεµελιώδη κατάσταση τότε όλες οι άλλες θα προκύπτουν από αυτήν ανεβαίνοντας προς τα πάνω µε βήµα µονάδα οπότε το σύνολο των ιδιοτιµών θα δίνεται από τον τύπο E n = E 0 + n n = 0, 1,,... και το µόνο που αποµένει είναι ο υπολογισµός του E 0. Ο οποίος γίνεται πολύ απλά αν σκεφτούµε ότι η ιδιοκατάσταση 0 της θεµελιώδους στάθµης θα ικανοποιεί αφ ενός την εξίσωση ιδιοτιµών ( H 0 = E 0 0 a a + 1 ) 0 = E 0 0 (5.15) και αφ ετέρου την a 0 = 0, (5.16) η οποία εκφράζει την αυτονόητη απαίτηση ότι η 0 είναι η χαµηλότερη ιδιοκατάσταση και εποµένως η δράση του τελεστή a θα πρέπει να την εκµηδενίζει, αφού δεν υπάρχει δυνατότητα να πάµε πιο κάτω. (Αν ήταν a 0 0, τότε η a 0 θα ήταν επίσης ιδιοκατάσταση, µε ιδιοτιµή E 0 1, σε προφανή αντίφαση µε την παραδοχή ότι η E 0 είναι η χαµηλότερη ιδιοτιµή.)
1. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 41 Λαµβάνοντας υπ όψιν την (5.16) η δεύτερη από τις (5.15) δίνει αµέσως E 0 = 1/, οπότε το τελικό µας αποτέλεσµα για τις ιδιοτιµές θα γράφεται ως E n = n + 1 n = 0, 1,,... (5.17) και βεβαίως συµπίπτει µε εκείνο που µας είναι ήδη γνωστό από τη στοιχειώδη λύση του προβλήµατος που δώσαµε προηγουµένως. Στις συνήθεις µονάδες το αποτέλεσµα (5.17) γράφεται βεβαίως ως ( E n = n + 1 ) ω, (5.18) αφού ο µοναδικός συνδυασµός των παραµέτρων, m και ω που έχει διαστάσεις ενέργειας είναι ο ɛ = ω. Σύµφωνα µε την (5.18) η απόσταση µεταξύ διαδοχικών ιδιοτιµών είναι ω και βεβαίως αυτό είναι το «κβάντο ενέργειας» που πρέπει να απορροφηθεί ή να εκπεµφθεί προκειµένου να µεταβεί ο ταλαντωτής στην αµέσως ψηλότερη ή την αµέσως χαµηλότερη ιδιοκατάσταση. Σε αυτό το πνεύµα οι τελεστές a και a που πραγµατοποιούν αυτές τις µεταβάσεις είναι λογικό να ονο- µαστούν τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής αντίστοιχα. Ο πρώτος ο a «δη- µιουργεί» ένα κβάντο ενέργειας ω και εποµένως ανεβάζει τον ταλαντωτή στην αµέσως ψηλότερη ιδιοκατάσταση ενώ ο a «καταστρέφει» ένα τέτοιο κβάντο και άρα κατεβάζει τον ταλαντωτή στην αµέσως χαµηλότερη ιδιοκατάσταση. Σηµειώστε ακόµα ότι, λόγω της (5.1) και της σχέσης H n = (n + 1/) n, θα είναι επίσης N n = n n (N = a a) απ όπου και η ονοµασία του τελεστή N (= a a) ως τελεστή αρίθµησης, αφού οι ιδιοτιµές του µας δίνουν πράγµατι τον αριθµό των κβάντων ενέργειας που εµπεριέχονται στην κατάσταση n. Σηµειώστε τέλος ότι οι µεταθετικές σχέσεις (5.13) στις οποίες βασίστηκε η απόδειξη όλων των προηγούµενων αποτελεσµάτων είναι της γενικής µορφής [H, A] = ξa, (5.19) µε ξ = 1 για τον a και ξ = 1 για τον a. Και αφήνουµε τώρα τον αναγνώστη να δείξει ότι η (5.19) συνεπάγεται το ακόλουθο γενικό θεώρηµα. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν για έναν τελεστή H για του οποίου το φάσµα ενδιαφερόµαστε βρούµε ότι υπάρχει ένας τελεστής A του οποίου ο µεταθέτης µε τον H ξαναδίνει τον A πολλαπλασιασµένο µε έναν αριθµό ξ δηλαδή [H, A] = ξa τότε: α) Ο τελεστής H έχει ισαπέχουσες ιδιοτιµές µε µεταξύ τους απόσταση ίση µε ξ. β) Αν ξ < 0, ο
4 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ τελεστής A δρα πάνω στις ιδιοκαταστάσεις του H ως τελεστής καταβίβασης και ο συζυγής του ο A ως τελεστής αναβίβασης. Και το αντίθετο: Αν ξ > 0, ο A θα είναι τελεστής καταβίβασης και ο A αναβίβασης. Σηµειώστε ότι στο πλαίσιο τούτης της γενικότερης συζήτησης για τους τελεστές µετατόπισης όπως είναι λογικό να αποκληθούν οι A και A χρησιµοποιήσαµε µια αντίστοιχα γενικότερη ορολογία. ιευκρινίζουµε λοιπόν ρητά ότι οι όροι τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής χρησιµοποιούνται µόνο στον αρµονικό ταλαντωτή ενώ σε άλλα προβλήµατα, όπου η ίδια τεχνική είναι εφαρµόσιµη, έχουν υιοθετηθεί οι όροι τελεστές αναβίβασης και καταβίβασης (raising and lowering operators) ή, γενικά, τελεστές µετατόπισης (shift operators), αν θέλουµε να αναφερθούµε και στους δύο ταυτόχρονα χωρίς διάκριση του ιδιαίτερου ρόλου τους.. Αλγεβρική κατασκευή των ιδιοσυναρτήσεων Είναι προφανές από τα προηγούµενα ότι η αλγεβρική µέθοδος µπορεί να χρησιµοποιηθεί όχι µόνο για τον υπολογισµό των ιδιοτιµών αλλά και για την κατασκευή των ιδιοκαταστάσεων π.χ. στην αναπαράσταση θέσης αφού όλες µπορούν να προκύψουν από τη θεµελιώδη µε διαδοχική δράση του τελεστή a. Όσο για την ίδια τη θεµελιώδη κατάσταση, αυτή προσδιορίζεται πολύ εύκολα µε βάση τη συνθήκη (5.16) a 0 = 0 η οποία, στην αναπαράσταση θέσης, γράφεται ως 1 (x + ip) ψ 0 (x) = 0 p= id/dx ( x + d dx ) ψ 0 (x) = 0, δηλαδή σαν µια πρωτοτάξια διαφορική εξίσωση που λύνεται αµέσως µε αποτέλεσµα (σε κανονικοποιηµένη µορφή) ψ 0 (x) = 1 4 π e x /. Για να βρούµε και τις άλλες ιδιοσυναρτήσεις, επίσης σε κανονικοποιηµένη µορφή, θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τον αριθµητικό συντελεστή c n που µετατρέπει την αναλογία a n n + 1 σε ισότητα. Έστω λοιπόν ότι a n = c n n + 1 (5.0) οπότε, αν πάρουµε τα µήκη ( ) των δύο µελών της (5.0) λαµβάνοντας επιπλέον υπ όψιν ότι όλα τα διανύσµατα n είναι κανονικοποιηµένα, έχουν δηλαδή µήκος ( ) Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη ότι το µήκος ψ ενός διανύσµατος ψ ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του εσωτερικού του γινοµένου µε τον εαυτό του. ηλαδή ψ = p ψ ψ.
. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ Ι ΙΟΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 43 µονάδα θα έχουµε a n = c n c n = a n ( a n ) a n = n aa n (5.1) όπου, βέβαια, χρησιµοποιήσαµε τους γνωστούς από το προηγούµενο κεφάλαιο κανόνες χειρισµού εσωτερικών γινοµένων στο συµβολισµό του Dirac. Ότι δηλαδή τα διανύσµατα ket πρέπει να νοούνται ως διανύσµατα στήλης που πολλαπλασιάζονται εξ αριστερών µε τα συζυγή άλλων τέτοιων διανυσµάτων για να δώσουν τα αντίστοιχα εσωτερικά γινόµενα. ( ) εδοµένου τώρα ότι [a, a ] aa a a = 1, το γινόµενο aa στην (5.1) θα εκφράζεται συναρτήσει του a a (= N) ως aa = a a + 1 = N + 1, οπότε η δράση του πάνω στην ιδιοκατάσταση n στα δεξιά του θα δώσει (n+1) n αφού N n = n n και έτσι θα είναι c n = n (n + 1) n = n + 1 c n = n + 1 και άρα η (5.0) µε επιλογή του θετικού προσήµου για τα c n θα γράφεται τελικά ως a n = n + 1 n + 1, (5.) ενώ µε εντελώς ανάλογο τρόπο καταλήγουµε και στην a n = n n 1. (5.3) Σηµειώστε ότι για n = 0 η (5.3) καταλήγει στην a 0 = 0, όπως θα έπρεπε. Μάλιστα αυτή η απαίτηση προσφέρεται και ως το κατάλληλο κριτήριο για να θυ- µόµαστε σε ποια από τις δύο σχέσεις, (5.) ή (5.3), θα πρέπει να εµφανίζεται ο ( ) Όπως δηλαδή για το εσωτερικό γινόµενο δύο συνήθων διανυσµάτων στήλης γράφουµε (X, Y ) X Y έτσι και για το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ket θα είναι ` ψ, φ ` ψ φ = ψ φ ψ φ οπότε, για την περίπτωση που µας ενδιαφέρει εδώ, θα έχουµε a n = ορ `a n, a n `a n a n = ` n (a ) a n = n aa n.
44 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ παράγοντας n + 1 και σε ποια ο n. Εφαρµόζοντας επανειληµµένα την (5.), µε σηµείο εκκίνησης τη θεµελιώδη κατάσταση 0, παίρνουµε n = 1 n! (a ) n 0, που γράφεται στην αναπαράσταση θέσης ως µε ψ n (x) = 1 n! (a ) n ψ 0 (x) (5.4) a = 1 (x ip) = 1 ( x d ). p= id/dx dx Έτσι, παραδείγµατος χάριν, για n = 1 θα έχουµε ψ 1 (x) = 1 ( 1 x d ) 1 1! dx 4 e x / = π π xe x / που είναι πράγµατι η κανονικοποιηµένη µορφή της ιδιοσυνάρτησης ψ 1, όπως µπορεί να ελέγξει µόνος του ο αναγνώστης. Γενικότερα µε βάση την εκπεφρασµένη µορφή των a και ψ 0 (x) η (5.4) γράφεται ως ( 1 ψ n (x) = x d ) n e x / π n n! dx και ύστερα από µερικές µετατροπές δείτε σχετικό πρόβληµα στο τέλος του κεφαλαίου ως 1 ψ n (x) = / π n n! e x H n (x), όπου H n (x) η έκφραση ( ) d n H n (x) = ( 1) n e x e x, (5.5) dx που είναι γνωστή ως τύπος του Rodrigues και δίνει τα γνωστά µας πολυώνυµα Hermite κανονικοποιηµένα µε τον συµφωνηµένο στη βιβλιογραφία τρόπο. Ένας τρόπος να βεβαιωθείτε γι αυτό ότι δηλαδή η (5.5) όντως δίνει τα «επίσηµα» πολυώνυµα Hermite είναι να εισαγάγετε την (5.5) στον συµβολικό σας υπολογιστή και να αντιπαραβάλετε τις εκφράσεις που παίρνετε µε εκείνες που προκύπτουν αν ζητήσετε κατ ευθείαν τα αντίστοιχα πολυώνυµα. Αν το συµβολικό σας
3. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 45 πρόγραµµα είναι η Mathematica, τότε η εντολή για την (5.5) µπορεί να γραφεί ως # "! $ { +* } #%%&')( '",ενώ η κατ ευθείαν «ζήτηση» των πολυωνύµων Hermite γίνεται µέσω της εντολής +./.3 (0'1. Εισάγοντας επίσης στον υπολογιστή σας και την έκφραση των ιδιοσυναρτήσεων µπορείτε να έχετε αµέσως όποια από αυτές επιθυµείτε και βεβαίως τη γραφική της παράσταση µέσω της αντίστοιχης εντολής. Οι τέσσερις πρώτες από αυτές δίνονται στο σχήµα 5.3 πάνω στις αντίστοιχες ενεργειακές στάθµες. Σχηµα 5.3: Οι τέσσερις πρώτες ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή. Η πρώτη ιδιοσυνάρτηση είναι άρτια µε µηδέν κόµβους, η δεύτερη περιττή µε έναν κόµβο, η τρίτη πάλι άρτια µε δύο κόµβους, κ.ο.κ. 3. Αλγεβρικές τεχνικές υπολογισµού Είδαµε προηγουµένως ότι η αλγεβρική µέθοδος µας δίνει τη δυνατότητα να κατασκευάσουµε εκπεφρασµένα τις ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή και βάσει αυτών να υπολογίσουµε οποιαδήποτε άλλη ποσότητα επιθυµούµε: Μέσες τιµές, αβεβαιότητες ή στοιχεία µήτρας διαφόρων µεγεθών που εµφανίζονται στις
46 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ εφαρµογές. Στην πραγµατικότητα η εκπεφρασµένη γνώση των ιδιοσυναρτήσεων δεν είναι καθόλου αναγκαία για τέτοιους υπολογισµούς, οι οποίοι µπορούν να εκτελεστούν µε έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο, που είναι µάλιστα και πολύ απλούστερος. Η γενική ιδέα είναι η εξής: Αφού η δράση των τελεστών a και a πάνω στις ιδιοκαταστάσεις είναι γνωστή σχέσεις (5.) και (5.3) τότε το ίδιο θα ισχύει και για τους τελεστές x και p, αφού αυτοί εκφράζονται µέσω των a και a ως x = a + a, p = a a i όπως προκύπτει αµέσως από τις (5.11), λύνοντας ως προς x και p. Για να υπολογίσουµε λοιπόν µια µέση τιµή της µορφής A = n A(x, p) n ή ένα µη διαγώνιο στοιχείο µήτρας, όπως π.χ. το A nm = n A(x, p) m, δεν έχουµε παρά να εκφράσουµε τον τελεστή A(x, p) συναρτήσει των a και a και να υπολογίσουµε τη δράση του πάνω στην κατάσταση n. ύο σχετικά παραδείγµατα είναι τα εξής: ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Υπολογίστε τις αβεβαιότητες x και p για την τυχούσα ιδιοκατάσταση n του αρµονικού ταλαντωτή. Λύση: εδοµένου ότι x = p = 0 (γιατί;) θα είναι ( x) = x και επίσης ( p) = p. Για τη µέση τιµή x θα έχουµε διαδοχικά x = n x n = 1 n (a + a ) n 1 n (a + a )(a + a ) n = 1 n (a + a + aa + a a) n = 1 n aa }{{} + }{{} a a n = 1 n + 1 n (N + 1) n = = n + 1 N+1 N x = n + 1 και εντελώς ανάλογα p = n + 1. Σηµειώστε ότι τα αποτελέσµατα αυτά θα µπορούσαν να έχουν εξαχθεί και χωρίς κανέναν υπολογισµό αν παρατηρούσαµε εξ αρχής ότι τα x και p εµφανίζονται συµµετρικά στη
3. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 47 χαµιλτονιανή H = (x + p )/ και εποµένως αναµένεται να είναι x = p H = E n = 1 ( x + p ) = x = p x = p = E n = n + 1, όπως βρήκαµε προηγουµένως. Σηµειώστε ακόµα ότι στον παραπάνω υπολογισµό αγνοήσαµε αµέσως τις µέσες τιµές n a n και n a n που προφανώς µηδενίζονται, αφού η δράση των a και a στην κατάσταση n στα δεξιά τους, θα δώσει τις καταστάσεις n και n + που είναι ορθογώνιες στην κατάσταση n από αριστερά. Και ο γενικός κανόνας είναι προφανής: Κατά τον υπολογισµό µέσων τιµών της µορφής n αλυσίδα τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής n θα κρατάµε µόνο εκείνες τις «αλυσίδες» που περιέχουν ίδιο αριθµό τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Υπολογίστε τη µέση τιµή n x 4 n για την τυχούσα ιδιοκατάσταση n του αρµονικού ταλαντωτή. Λύση: Θα είναι διαδοχικά n x 4 n = 1 4 n (a + a ) 4 n = 1 4 n (a + a ) (a + a ) n = 1 4 n (a + a + aa + a a)(a + a + aa + a a) n = 1 4 n (a a + a a + aa aa + aa a a + a aaa + a aa a + ) n (1) όπου σύµφωνα µε τα προαναφερθέντα κρατήσαµε µόνο τους όρους µε ίδιο αριθµό τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής. Κάθε όρος αυτού του τύπου δεν µπορεί παρά να είναι τελικά µια συνάρτηση της χαµιλτονιανής H = a a + (1/) = N + (1/) ή που είναι το ίδιο του τελεστή αρίθµησης N = a a. Και ο λόγος βεβαίως είναι ότι οι ιδιοκαταστάσεις n είναι και ιδιοκαταστάσεις κάθε τέτοιου όρου αφού η δράση του που περιλαµβάνει τον ίδιο αριθµό αναβιβάσεων και καταβιβάσεων θα τις αφήνει στη θέση τους. Έτσι ένας τρόπος να υπολογίσουµε την παραπάνω µέση τιµή είναι να εκφράσουµε κάθε όρο της ως συνάρτηση του N, οπότε βέβαια η ζητούµενη τιµή θα προκύπτει µε την αντικατάσταση N n. Για τους τελευταίους τέσσερις όρους στην (1) ο υπολογισµός
48 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ γίνεται «διά γυµνού οφθαλµού» αν λάβουµε υπ όψιν ότι a a = N και aa = N +1 λόγω της µεταθετικής σχέσης [a, a ] = 1. Έτσι θα έχουµε aa }{{} N+1 aa }{{} N+1 a a }{{} N aa }{{} N+1 = (N + 1), aa }{{} N+1 = N(N + 1), a a }{{} N }{{} a a = (N + 1)N N }{{} a a = N. N Για τους δύο πρώτους όρους a a και a a χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε επιπλέον και τις µεταθετικές σχέσεις [N, a] = a Na = an a και [N, a ] = a Na = a N + a. Έτσι θα έχουµε a a a }{{} aa a = a(n + 1)a = ana + aa N+1 = a(a N + a ) + aa = (N + 1)N + (N + 1) = (N + 1)(N + ) a a a }{{} a a a = a Na = a (an a) = a an a a = N N. N Αθροίζοντας όλα τα παραπάνω το αποτέλεσµα είναι n x 4 n = 3 4 (n + n + 1). 4. Σύµφωνες καταστάσεις και το κλασικό όριο του ταλαντωτή ( ) Είδαµε νωρίτερα ότι οι εκφράσεις των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής a = (x + ip)/ και a = (x ip)/ αναδύθηκαν αβίαστα από την ιδέα της παραγοντοποίησης της χαµιλτονιανής H = (x + p )/ η οποία, σε κλασικό κατ αρχάς επίπεδο, γράφεται αµέσως ως H = α α, όπου α = (x + ip)/ και α = (x ip)/. Αν όµως θυµηθούµε επίσης ότι η κλασική ενέργεια του ταλαντωτή, συναρτήσει του πλάτους A της ταλάντωσής του, γράφεται ως E cl = 1 ka = 1 mω A = 1 A (για m = ω = 1) ή ακόµα (αν το πλάτος της ταλάντωσης θεωρηθεί µιγαδικό ώστε να συµπεριλαµβάνει και τη φάση της) ως E cl = 1 A A, ( ) Μπορεί να παραλειφθεί από τον «βιαστικό» αναγνώστη.
4. ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 49 τότε η αντιπαραβολή µε την έκφραση H = α α οδηγεί αµέσως στη σκέψη ότι οι κβαντικοί τελεστές a και a που αποτελούν το κβαντικό ανάλογο των α και α θα είναι κάποιο είδος κβαντοµηχανικού αντίστοιχου του κλασικού πλάτους ταλάντωσης A. (Με έναν, αναµενόµενο, συντελεστή αναλογίας αφού δεν είναι A = α αλλά A = α.) Αν όµως ο τελεστής a ή ο a αντιπροσωπεύει πράγµατι το κβαντικό ανάλογο του πλάτους ταλάντωσης τότε οι ιδιοκαταστάσεις του, δηλαδή οι λύσεις της εξίσωσης ιδιοτιµών a α = α α, (5.6) θα αντιπροσωπεύουν εκείνο το είδος κβαντικών καταστάσεων που θα βρίσκονται όσο γίνεται πιο κοντά στο κλασικό όριο. Όπου µια κατάσταση καθορισµένης ενέργειας είναι πάντα και µια κατάσταση καθορισµένου πλάτους ταλάντωσης. Οι καταστάσεις α που ορίζονται από την (5.6) µε α έναν τυχόντα µιγαδικό αριθµό ( ) είναι γνωστές ως σύµφωνες καταστάσεις (coherent states) και οι βασικές τους ιδιότητες διατυπώνονται υπό µορφήν θεωρήµατος ως ακολούθως: ΘΕΩΡΗΜΑ: α) Οι σύµφωνες καταστάσεις δεν έχουν καθορισµένη ενέργεια. Η µέση ενέργεια και η αβεβαιότητα ενέργειας του ταλαντωτή σε µια σύµφωνη κατάσταση α είναι ίση µε E = α + 1, E = α. (5.7) β) Μη όντας ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, οι σύµφωνες καταστάσεις θα γράφονται ως µια επαλληλία τέτοιων ιδιοκαταστάσεων. Θα είναι συγκεκριµένα α = e α / n=0 α n n! n, (5.8) όπου οι καταστάσεις α και n υποτίθενται κανονικοποιηµένες. γ) Στην αναπαράσταση θέσης οι σύµφωνες καταστάσεις, µε Imα = 0, περιγράφονται από τις κυµατοσυναρτήσεις ψ α (x) x α = 1 4 π e (x α ) /. (5.9) ( ) Σηµειώστε ότι ο τελεστής a δεν είναι ερµιτιανός και εποµένως οι ιδιοτιµές του α δεν υποχρεούνται να είναι πραγµατικοί αριθµοί όπως στις περιπτώσεις που εξετάζαµε µέχρι τώρα. Αυτό όµως σηµαίνει µεταξύ άλλων ότι ο τελεστής a δεν αντιπροσωπεύει ένα φυσικό µέγεθος µε την αυστηρή έννοια του όρου.
50 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Απόδειξη: Θα είναι διαδοχικά ( α) E = H = α a a + 1 ) α = α a a α + 1 = ( a α ) ( a α ) + 1 = ( α α ) ( α α ) + 1 = α α α α + 1 = α α + 1 (ό.έ.δ.) Για την αβεβαιότητα ενέργειας θα είναι κατ αρχάς ( E) = H H όπου ( H = α a a + ) 1 ( α α a a + 1 ) ( a a + 1 ) α ( = α a aa a + a a + 1 ) α 4 = α a aa a α + α a a α + 1 4. (Α) Μια χρήσιµη γενική παρατήρηση για την εκτέλεση τέτοιων υπολογισµών απορρέει από τη σχέση συζυγίας α a = ( a α ) = ( α α ) = α α, η οποία µας λέει ότι το συζυγές διάνυσµα α είναι ιδιοδιάνυσµα του συζυγούς τελεστή a θεωρουµένου ότι δρα προς τα αριστερά του µε ιδιοτιµή α, δηλαδή τη συζυγή της αρχικής. Σε αυτό το πνεύµα µπορούµε να γράψουµε αµέσως α a a α = α α α α = α α (Β) και α a aa a α = α α aa α α = α α α aa α α α α (a a + 1) α = α α ( α a a α + 1 ) = α α(α α + 1) = α 4 + α. (C)
4. ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 51 Θα είναι λοιπόν και εποµένως H = α 4 + α + 1 4 ( E) = H H = α 4 + α + 1 ( 4 α + 1 ) = α β) Έστω E = α α = n (ό.έ.δ.) c n n, (5.30) όπου c n προσδιοριστέοι συντελεστές. Εισάγοντας την (5.30) στην (5.6) παίρνου- µε α ( ) c n n = a c n n = c n a n n n n = (5.31) c n n n 1 c n+1 n + 1 n n n όπου η µετατόπιση του αθροιζόµενου δείκτη (n n + 1) στην προτελευταία σειρά δεν αλλάζει το σηµείο εκκίνησης του n που παραµένει το n = 0 λόγω της παρουσίας του συντελεστή n που µηδενίζεται για n = 0. Εξισώνοντας τώρα τους συντελεστές των καταστάσεων n µεταξύ πρώτης και τελευταίας σειράς στην (5.31), παίρνουµε c n+1 = α n + 1 c n, δηλαδή µια απλούστατη αναδροµική σχέση που δίνει αµέσως c n = αn n! c 0, όπου το c 0 υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης ( ) c n α n = c 0 = e α c 0 = 1 n! n=0 n=0 α / c 0 = e c n = αn n! e α /
5 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ α = e α / n=0 α n n! n. (ό.έ.δ.) γ) Στην αναπαράσταση θέσης η εξίσωση ιδιοτιµών των σύµφωνων καταστάσεων a α = α α παίρνει τη µορφή ( 1 x + d ) ψ α (x) = αψ α (x) dx που είναι µια απλούστατη πρωτοτάξια εξίσωση µε (µη κανονικοποιηµένη) λύση την ψ α e 1 x +α x και σε κανονικοποιηµένη µορφή αν Im α = 0 (α ) ψ α (x) = e α 4 π e x /+α x 1 4 π e (x α ) /, (ό.έ.δ.) ενώ για τυχόν µιγαδικό α (= α 1 + ia ) θα έχουµε ψ α (x) = 4 1 e (x α 1 ) /+iα x. (5.3) π Από φυσικής πλευράς τα αποτελέσµατα (5.7) έως (5.9) είναι πολύ εύλογα. Με εξαίρεση τον (αναµενόµενο) σταθερό όρο 1/ η πρώτη από τις (5.7) E = α α + (1/) επιβεβαιώνει πλήρως την υπόθεσή µας ότι η ιδιοτιµή α που χαρακτηρίζει τις σύµφωνες καταστάσεις είναι το κβαντικό ανάλογο του κλασικού πλάτους ταλάντωσης µε την επίσης αναµενόµενη διαφορά ενός παράγοντα ίσου µε. (Το κλασικό πλάτος A = x max συνδέεται µε το α µέσω της σχέσης A = α.) Η δεύτερη από τις (5.7) E = α είναι επίσης αξιοµνηµόνευτη. Μας λέει ότι στο όριο των µεγάλων πλατών όπου αναµένεται να ισχύει η κλασική φυσική θα είναι E E = α α + (1/) α 1 α 0, το οποίο σηµαίνει ότι σε αυτό το όριο οι κβαντικές αβεβαιότητες θα είναι συγκριτικά αµελητέες και οι κβαντικές καταστάσεις καθορισµένου πλάτους δηλαδή οι σύµφωνες καταστάσεις θα γίνονται ταυτόχρονα και καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας. Θα αποκαθίσταται δηλαδή η κλασική συµπεριφορά.
4. ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 53 Όσο για το αποτέλεσµα (5.8) αυτό µας δίνει τη «σύνθεση» της σύµφωνης κατάστασης α από ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις n. Συγκεκριµένα, για µια σύµφωνη κατάσταση πλάτους α οι πιθανότητες εµφάνισης των διαφόρων ιδιοκαταστάσεων n θα δίνονται από τον τύπο P n (α) = α n e α n! (5.33) και, όπως µπορείτε να δείτε στον υπολογιστή σας, για κάθε δεδοµένο α η κατανοµή (5.33) ως συνάρτηση του n είναι αρχικά αύξουσα, «πιάνει» το µέγιστό της σε κάποια τιµή n = n max και µετά αποσβένυται στο µηδέν. Και είναι επίσης µια καλή άσκηση να δείξετε αριθµητικά, και µετά να δικαιολογήσετε θεωρητικά, ότι για σχετικά µεγάλα α π.χ. για α 4 η πιθανότερη τιµή του n (n = n max ) συνδέεται µε το α µέσω της σχέσης n max α ( α 4) Πολύ εύγλωττη από φυσικής πλευράς είναι επίσης και η έκφραση (5.9) της κυ- µατοσυνάρτησης που περιγράφει µια σύµφωνη κατάσταση µε Im α = 0, στην αναπαράσταση θέσης. Όπως βλέπετε, η µορφή της είναι ένα γκαουσιανό εκθετικό, όπως εκείνο της θεµελιώδους καταστάσεως, αλλά µε το κέντρο του στη θέση x 0 = α που αντιστοιχεί στο κβαντικό ανάλογο του κλασικού πλάτους A = α. Η µέση θέση του σωµατιδίου σε αυτή την κατάσταση θα είναι, προφανώς, x = α ενώ η µέση ορµή µηδέν p = 0 αφού η σχετική κυµατοσυνάρτηση είναι πραγµατική. Στο ηµικλασικό όριο των σχετικά µεγάλων α µια σύµφωνη κατάσταση θα περιγράφει λοιπόν έναν ταλαντωτή που έχει εκτοπισθεί από τη θέση ισορροπίας του x = 0 και βρίσκεται στη (µέση) θέση x 0 = A = α µε (µέση) αρχική ταχύτητα µηδέν. Και αν αυτή η ηµικλασική εικόνα είναι σωστή, τότε η αναµενόµενη χρονική εξέλιξη της κυµατοσυνάρτησης (5.9) είναι να διατηρήσει τη µετατοπισµένη γκαουσιανή µορφή της αλλά µε το κέντρο της να ταλαντεύεται περιοδικά όπως στο αντίστοιχο κλασικό πρόβληµα. Περιµένουµε δηλαδή τουλάχιστον για µεγάλα α ότι η χρονική εξέλιξη θα διατηρεί το χαρακτήρα µιας σύµφωνης κατάστασης ως σύµφωνης κατάστασης και θα «εξελίσσει» απλώς το πλάτος της α κατά τα προβλεπόµενα από την κλασική ταλάντωση. Το ότι έτσι όντως έχουν τα πράγµατα επιβεβαιώνεται από το ακόλουθο θεώρηµα. ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Η χρονικά εξελιγµένη µορφή µιας σύµφωνης κατάστασης α είναι πάλι µια σύµφωνη κατάσταση α(t) µε (µιγαδικό) πλάτος α(t) ίσο µε α(t) = αe it (5.34)
54 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ όπως και στο αντίστοιχο κλασικό πρόβληµα µε τις ίδιες παραµέτρους (m= ω = 1). Απόδειξη: Θα είναι, κατά τα γνωστά, α, t = U(t) α = e iht α ( = 1) ( = e iht e ) α / α n n = e α / n n! n α n n! e iht n = e α / n α n n! e i(n+ 1 )t n = e α / e it/ n (αe it ) n n! n (5.35) και αν αγνοήσουµε τη σταθερή (ως προς x) φάση e it/ που δεν έχει φυσική σηµασία όπως γνωρίζουµε τότε το αποτέλεσµα (5.35) θα γράφεται ως α, t = e α(t) / n α(t) n n! n α(t), όπου α(t) = αe it, όπως θέλαµε να αποδείξουµε. Με µιγαδικό πλέον α (= α(t) = α(cos t + i sin t) η χρονικά εξελιγµένη κυ- µατοσυνάρτηση θέσης θα περιγράφεται τώρα σύµφωνα µε την (5.3) από την έκφραση ψ α (x, t) = 1 4 π e (x α cos t) /+iα sin t x, που αντιστοιχεί πράγµατι σε µια ταλαντευόµενη γκαουσιανή καµπάνα µε στιγµιαίο κέντρο στο x 0 (t) = α cos t αλλά και µια στιγµιαία (µέση) ορµή ( ) p t = α sin t, ( = 1) που είναι επίσης σύµφωνη µε το αντίστοιχο κλασικό αποτέλεσµα. Σηµειώστε τέλος ότι η χρονική εξέλιξη (5.34) µιας σύµφωνης κατάστασης θα µπορούσε να προβλεφθεί επίσης και µάλιστα πολύ απλούστερα αν χρησιµοποιούσαµε την αναπαράσταση Heisenberg (Κεφ. 4,.) στο πλαίσιο της οποίας θα έπρεπε να αναζητήσουµε όχι τη χρονικά εξελιγµένη µορφή των καταστάσεων ( ) Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη δείτε και σχετικό πρόβληµα στο τέλος του 1ου κεφαλαίου ότι για µια κυµατοσυνάρτηση Ψ(x) της µορφής Ψ(x) = ψ(x)e ikx, όπου ψ(x) πραγµατική συνάρτηση, η µέση ορµή του σωµατιδίου είναι ίση µε k.
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 55 α αλλά του σχετικού τελεστή a a(t) που διέπεται από τη σχετική εξίσωση Heisenberg i da(t) = [ a(t), H ] = [ H, a(t) ] = a(t) (5.36) dt όπου, βέβαια, χρησιµοποιήσαµε τη γνωστή µεταθετική σχέση [H, a] = a η οποία ισχύει και για τον τελεστή a(t) αφού προέρχεται από τον a a(0) µε έναν µοναδιαίο µετασχηµατισµό (Κεφ. 4,.). Η (5.36) ολοκληρώνεται αµέσως µε αποτέλεσµα a(t) = ae it, (5.37) όπου a a(0) ο τελεστής δηµιουργίας στην αναπαράσταση Schrödinger. Η (5.37) είναι, βεβαίως, το αναµενόµενο αποτέλεσµα αφού τώρα δηλαδή στην αναπαράσταση Heisenberg η χρονική εξέλιξη φέρεται από τους κβαντοµηχανικούς τελεστές (και όχι από τις κυµατοσυναρτήσεις) οπότε είναι λογικό η (5.34) να παίρνει τώρα τη µορφή (5.37). Στα προβλήµατα που ακολουθούν θα έχει την ευκαιρία ο αναγνώστης να µελετήσει περισσότερο τις σύµφωνες καταστάσεις αλλά και ορισµένες γενικεύσεις τους όπως τις λεγόµενες συµπιεσµένες καταστάσεις (squezed states) που έχουν αποκτήσει πρόσφατα ένα µεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον στο πλαίσιο της φυσικής των λέιζερ. Προβλήµατα Ανασκόπηση της στοιχειώδους θεωρίας 1. Στο φυσικό σύστηµα µονάδων του αρµονικού ταλαντωτή η κατάσταση του σωµατιδίου, σε µια ορισµένη στιγµή, περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση ψ(x) = Ne λx /. (1) Υπολογίστε την πιθανότητα να προκύψει από µια µέτρηση η ενέργεια E 0 = 1/ της θεµελιώδους στάθµης. Ποια είναι η πιθανότητα να προκύψει από τη µέτρηση η ενέργεια E 1 = 3/ της πρώτης διεγερµένης στάθµης;. Να βρεθεί η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας για το δυναµικό του «µισού αρµονικού ταλαντωτή» V (x) = {, x < 0 kx /, x > 0 Ποιο είναι το πλήρες σύνολο των ιδιοκαταστάσεών του και των αντίστοιχων ιδιοτιµών;
56 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 3. Στο φυσικό σύστηµα µονάδων του αρµονικού ταλαντωτή η κατάσταση του σωµατιδίου σε µια ορισµένη στιγµή περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση ψ(x) = Nx e x /. (1) Όλοι οι ισχυρισµοί που ακολουθούν είναι λαθεµένοι. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί, χωρίς να κάνετε κανέναν υπολογισµό; (α) Οι µόνες τιµές της ενέργειας που µπορούν να προκύψουν από τις µετρήσεις είναι εκείνες που αντιστοιχούν στις άρτιες ιδιοσυναρτήσεις. ηλαδή οι E 0, E, E 4,.... (β) Η µέση ενέργεια του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι: i) E = 3, ii) E = 1/4. (γ) Η µέση κινητική ενέργεια του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι K = 5/. (δ) Η µέση ορµή του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι p =. 4. Υπολογίστε την πυκνότητα πιθανότητας των ορµών ενός αρµονικού ταλαντωτή στη θεµελιώδη του κατάσταση. Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής µε ορµές που είναι κλασικά απαγορευµένες για τη δεδοµένη ενεργειακή κατάσταση; 5. Ένα σωµατίδιο µάζας m εκτελεί τριδιάστατη κίνηση υπό την επίδραση του δυναµικού V = 1 kx + 1 ky + 1 kz = 1 mω (x + y + z ) (1) που είναι γνωστό ως ο τριδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής. Βρείτε τις ιδιοτιµές και τις ιδιοσυναρτήσεις του και δώστε το ενεργειακό διάγραµµα για τις τρεις πρώτες στάθµες δείχνοντας και τον εκφυλισµό της καθεµιάς. ουλέψτε στο σύστηµα µονάδων όπου = m = ω = 1. 6. Ένα σωµατίδιο µάζας m κινείται υπό την επίδραση του δυναµικού (ανισότροπος αρ- µονικός ταλαντωτής) V (x, y, z) = 1 kx + 1 ky + kz. Κάντε το ενεργειακό διάγραµµα για τις τέσσερις πρώτες στάθµες του και κατασκευάστε εκπεφρασµένα την ιδιοσυνάρτηση της θεµελιώδους στάθµης. 7. Επανειληµµένες µετρήσεις της ενέργειας στην ίδια φυσική κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή έδωσαν µόνο τις δύο τιµές E 0 = 1/ και E 1 = 3/ µε συχνότητες P 0 = 1/3 και P 1 = /3. (α) Γράψτε την πιο γενική κατάσταση του ταλαντωτή που ανταποκρίνεται στα δεδο- µένα αυτών των µετρήσεων. (β) Προσδιορίστε επακριβώς αυτή την κατάσταση αν σας δίνεται επιπλέον ένα από τα ακόλουθα δεδοµένα: i) x = 0 ii) x = 1/3 iii) p = 0 iv) p = /3. 8. Είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι η κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή είναι µια επαλληλία της θεµελιώδους και της πρώτης διεγερµένης καταστάσεώς του. Προσδιορίστε επακριβώς αυτή την κατάσταση µε καθένα από τα ακόλουθα ζεύγη δεδοµένων: α) E = 1, x = 1/ β) x = 1/, p = 1/ γ) E = 5/4, p = 0.
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 57 Αλγεβρική θεωρία 9. Κατασκευάστε τις (απειροδιάστατες) µήτρες που αναπαριστούν τους τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας. 10. Στην αλγεβρική θεωρία του αρµονικού ταλαντωτή κρίνεται σκόπιµο (όπως τονίσαµε και στο κείµενο) αντί της χαµιλτονιανής H = a a+ 1 να χρησιµοποιούµε τον τελεστή N = a a, µέσω του οποίου η εξίσωση ιδιοτιµών H n = (n + 1 ) n γράφεται στην κοµψότερη µορφή N n = n n, από όπου και ο χαρακτηρισµός του N ως τελεστή αρίθµησης. (Οι ιδιοτιµές του n κατα- µετρούν τον αριθµό των ενεργειακών κβάντων ω που περιέχονται στην εξεταζόµενη ιδιοκατάσταση.) Χρησιµοποιώντας τη βασική µεταθετική σχέση [a, a ]=1, δείξτε ότι ισχύουν και οι ακόλουθες: α) [N, a ] = a δ) [N, (a ) ] = (a ) β) [N, a] = a ε) [N, a aa ] = a aa γ) [N, a ] = a στ) [N, aa a] = aa a. Στην πραγµατικότητα όλες οι παραπάνω µεταθετικές σχέσεις είναι εκ των προτέρων προφανείς. Γιατί; Ποιος είναι ο κοινός γενικός κανόνας; 11. Εξηγήστε, µε έναν απλό συλλογισµό, γιατί κάθε γινόµενο της µορφής aa a a... µε το ίδιο πλήθος τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής είναι αναγκαστικά µια συνάρτηση του τελεστή αρίθµησης N = a a. Βρείτε ποια είναι αυτή η συνάρτηση για καθένα από τα ακόλουθα γινόµενα: α) aa a a, β) a aaa, γ) aaa a, δ) aaaa a a. 1. Χωρίς να υποθέσετε τίποτα για τους τελεστές a και a πέραν του ότι είναι ο ένας συζυγής του άλλου δείξτε ότι το γινόµενό τους (aa ή a a) είναι: α) ερµιτιανός τελεστής, β) θετικά ορισµένος και άρα το φάσµα του θα περιέχει µόνο θετικές ιδιοτιµές και ενδεχοµένως το µηδέν. 13. Κατασκευάστε τη διάκριτη µήτρα που αναπαριστά τον τελεστή της ισοτιµίας στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αρµονικού ταλαντωτή. Περιµένετε η µήτρα αυτή να είναι διαγώνια ή όχι; 14. Η κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή σε µια δεδοµένη στιγµή δίνεται από την κυµατοσυνάρτηση ψ(x) = e (x a) / / 4 π. είξτε ότι οι πιθανότητες να βρούµε µια οποιαδήποτε από τις άρτιες ιδιοτιµές ή µια οποιαδήποτε από τις περιττές δίνονται από τους τύπους P ± (a) = 1 ± e a. Αλλάζουν αυτές οι πιθανότητες µε τον χρόνο; 15. Ένας διαφορετικός και µάλλον απλούστερος τρόπος υπολογισµού της µέσης τιµής n x 4 n, από αυτόν που δώσαµε στο κείµενο, συνίσταται στη διαπίστωση ότι είναι n x 4 n = n x x n = x n,
58 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ οπότε η ιδέα του υπολογισµού είναι να δράσουµε στην κατάσταση n µε τον τελεστή x = ( ) a + a = 1 ( a + a + aa + a a ) και να υπολογίσουµε το «τετραγωνισµένο µήκος» της κατάστασης επαλληλίας που προκύπτει, ως άθροισµα των τετραγώνων των συντελεστών της. Βεβαιωθείτε ότι η χρήση αυτής της µεθόδου δίνει το ήδη γνωστό µας αποτέλεσµα και εφαρµόστε την µετά και στην οµοειδή περίπτωση της µέσης τιµής n p 4 n. Μπορείτε να µαντέψετε το αποτέλεσµα; 16. Αν καταλάβατε καλά την υπολογιστική τεχνική του προηγούµενου προβλήµατος, τότε δεν θα δυσκολευτείτε να την εφαρµόσετε και για τις µέσες τιµές, στην τυχούσα κατάσταση n, µιας ακόµα µεγαλύτερης δύναµης των x και p. Παραδείγµατος χάριν, της έκτης δύναµης. Κάντε το. 17. εδοµένου ότι ο τελεστής xp δεν είναι ερµιτιανός (γιατί;) η µέση τιµή xp θα είναι µιγαδικός εν γένει αριθµός. είξτε ότι ειδικά για τις ιδιοκαταστάσεις του αρµονικού ταλαντωτή θα είναι 18. Με αφετηρία τη σχέση Re n xp n = 0, Im n xp n = 1 ψ n (x) = 1 n! (a ) n ψ 0 (x) ( = 1). που δίνει τις κανονικοποιηµένες ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή µε επανειληµµένη δράση του τελεστή δηµιουργίας a πάνω στη βασική κατάσταση, αποδείξτε τον τύπο 1 ψ n (x) = / H πn n! e x n (x), (1) όπου τα πολυώνυµα Hermite H n (x) κανονικοποιηµένα µε τον συµφωνηµένο στη βιβλιογραφία τρόπο θα δίνονται από τον τύπο του Rodrigues Σύµφωνες καταστάσεις ( ) n d H n (x) = ( 1) n e x e x. () dx 19. Όντας ιδιοκαταστάσεις ενός µη ερµιτιανού τελεστή του τελεστή καταστροφής a οι σύµφωνες καταστάσεις α δεν αναµένεται να έχουν την ιδιότητα της ορθογωνιότητας. Για να το ελέγξετε υπολογίστε το εσωτερικό γινόµενο α β και δείξτε ότι για α, β πραγµατικά θα είναι α β = e 1 (α β). Ποια είναι η αντίστοιχη έκφραση για α, β τυχόντες µιγαδικούς αριθµούς;
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 59 0. Υπολογίστε τις µέσες τιµές x και p στην τυχούσα σύµφωνη κατάσταση α του αρµονικού ταλαντωτή και βεβαιωθείτε ότι έχουν την φυσικά αναµενόµενη µορφή. Χρησιµοποιήστε κατόπιν αυτά τα αποτελέσµατα για να υπολογίσετε και τη µέση τιµή x(t) = α x(t) α του τελεστή θέσης στην αναπαράσταση Heisenberg όπως αυτός υπολογίστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Πώς σχολιάζετε φυσικά το αποτέλεσµά σας; 1. είξτε ότι µια τυχούσα σύµφωνη κατάσταση α µπορεί να προκύψει από τη θεµελιώδη µε δράση του τελεστή D(α) = e αa. είξτε δηλαδή ότι θα είναι α = N e αa 0, όπου N συντελεστής κανονικοποίησης. Ποιο είναι το N ;. Για την τυχούσα σύµφωνη κατάσταση µε α = λ + iµ υπολογίστε τις ποσότητες x, p, x, p και κατόπιν τις αντίστοιχες αβεβαιότητες x και p. Υπάρχει κάτι το αξιοσηµείωτο στο αποτέλεσµά σας; 3. είξτε ότι οι σύµφωνες καταστάσεις όπως ορίζονται από τη σχέση a α = α α είναι καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας ισχύει δηλαδή ότι x p = 1/ ( = 1) και επιπλέον ότι οι αβεβαιότητες θέσης και ορµής (στο φυσικό σύστηµα µονάδων του ταλαντωτή) είναι ίσες. Είναι δηλαδή x = p = 1/. 4. Το προηγούµενο πρόβληµα ευλόγως θέτει το ερώτηµα του κατά πόσον υπάρχουν καταστάσεις που έχουν την πρώτη από τις παραπάνω ιδιότητες είναι δηλαδή καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας αλλά όχι τη δεύτερη. Είναι δηλαδή σε αδιάστατες µονάδες x p. Τέτοιες καταστάσεις προκύπτουν πράγµατι κατά τρόπο τελείως ανάλογο µε τις σύµφωνες καταστάσεις, αν αντί των a και a ορίσουµε τους νέους τελεστές A = 1 (x + iλp), A = 1 (x iλp) (1) όπου λ τυχούσα πραγµατική παράµετρος της οποίας το αναµενόµενο φυσικό περιεχόµενο είναι µάλλον απλό: ηλώνει τον (άνισο πλέον) βαθµό συµµετοχής των x και p στον σχηµατισµό των τελεστών A και A. Είναι λογικό λοιπόν να περιµένουµε ότι αν ως νέες «σύµφωνες καταστάσεις» ορίσουµε εκείνες που ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιµών A α = α α () τότε µάλλον αυτές θα είναι οι καταστάσεις που αναζητούµε. Με αυτή την προσδοκία κατά νου δείξτε µε έναν καθαρά αλγεβρικό υπολογισµό ότι γι αυτές τις καταστάσεις θα ισχύουν οι σχέσεις λ x =, p = 1 λ οι οποίες έχουν ακριβώς τις ζητούµενες ιδιότητες: Είναι x p = 1/ και x p αν λ 1.
60 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Για την απόδειξη θα χρειαστεί να δείξετε πρώτα τη µεταθετική σχέση [A, A ] = λ. Οι καταστάσεις που ορίζονται µε τον παραπάνω τρόπο σχέσεις (1) και () είναι γνωστές στη βιβλιογραφία ως «συµπιεσµένες καταστάσεις» (squeezed states) και ο λόγος γι αυτή την ονοµασία γίνεται εύκολα αντιληπτός αν λύσετε την εξίσωση () στην αναπαράσταση θέσης και δείτε τι ρόλο παίζει το λ στη σχετική κυµατοσυνάρτηση. Κάντε το. 5. Βρείτε τη χρονικά εξελιγµένη µορφή των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής µε δύο διαφορετικούς τρόπους: α) Κατευθείαν µέσω της σχετικής εξίσωσης Heisenberg ia(t) = [H, A(t)] και β) Με άµεση αντικατάσταση στις σχέσεις ορισµού a(t) = 1 ( x(t) + ip(t) ), a (t) = 1 ( x(t) ip(t) ) των ήδη γνωστών εκφράσεων για τους τελεστές Heisenberg x(t) και p(t). Τι συµπεραίνετε από τα αποτελέσµατά σας ως προς τη χρονική εξέλιξη µιας σύµφωνης κατάστασης α ; Θα παραµείνει σύµφωνη κατάσταση; Και αν ναι, µε τι πλάτος α; 6. Χρησιµοποιήστε τη δεύτερη από τις παραπάνω µεθόδους για να βρείτε τη χρονικά εξελιγµένη µορφή των τελεστών A και A για µια τυχούσα τιµή της παραµέτρου λ. είξτε συγκεκριµένα ότι θα είναι A(λ, t) = A(λ, 0) cos t iλa(1/λ, 0) sin t (1) και βεβαίως A (λ, t) = A(λ, t). Τι συµπεραίνετε από την (1) ως προς τη χρονική εξέλιξη µιας «συµπιεσµένης κατάστασης»; Θα παραµείνει µια συµπιεσµένη κατάσταση µε το ίδιο λ και κάποιο χρονικά εξελιγµένο «πλάτος» α ή όχι; Συγκρίνετε µε την περίπτωση λ = 1, οπότε βέβαια οι συµπιεσµένες καταστάσεις α, λ και οι σχετικοί τελεστές A και A συµπίπτουν µε τις συνήθεις σύµφωνες καταστάσεις. 7. είξτε ότι, συναρτήσει των τελεστών A και A η χαµιλτονιανή H = (x + p )/ του αρµονικού ταλαντωτή γράφεται ως H = 1 4λ ( (λ 1)(A + A ) + (λ + 1)A A + λ(λ + 1) ). Συµπίπτει η παραπάνω έκφραση µε εκείνη που µας είναι γνωστή για λ = 1; Γεννήτρια συνάρτηση 8. Στη θεωρία των λεγόµενων ειδικών πολυωνύµων Legendre, Hermite, Laguerre κ.λπ. µια κλασική µέθοδος για τη µελέτη και το χειρισµό τους είναι εκείνη της γεννήτριας συνάρτησης. Η µέθοδος συνίσταται στο να βρούµε µια συνάρτηση δύο µεταβλητών G(x, t) τέτοια ώστε το ανάπτυγµά της σε δυναµοσειρά ως προς t να έχει ως συντελεστές τα πολυώνυµα P n (x) που µας ενδιαφέρουν. Να είναι δηλαδή G(x, t) = c n P n (x)t n, (1) n=0
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 61 όπου οι επιπλέον αριθµητικοί συντελεστές c n είναι τέτοιοι ώστε τα έτσι οριζόµενα πολυώνυµα P n (x) να έχουν την κανονικοποίηση που έχει συµφωνηθεί στη βιβλιογραφία. Το πώς προσδιορίζεται η γεννήτρια συνάρτηση G(x, t) για κάθε δεδοµένη οικογένεια πολυωνύµων είναι ένα µη τετριµµένο θέµα για το οποίο µπορεί να βρει ο αναγνώστης κάποιες χρήσιµες σκέψεις στο τελευταίο κεφάλαιο του βιβλίου: Στ. Τραχανά, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Όσον αφορά ειδικά στα πολυώνυµα Hermite, αρκεστείτε στην... εξ επιφοιτήσεως αλήθεια(!) ότι η γεννήτρια συνάρτηση έχει τη µορφή G(x, t) = exp(xt t ) και ότι τα... γεννάει µέσω της σειράς e xt t = n=0 βάσει της οποίας καλείστε να αποδείξετε ότι H n (x) tn n!, () (α) Οι συναρτήσεις H n (x) που ορίζονται µέσω της () είναι πράγµατι πολυώνυµα που ικανοποιούν την εξίσωση Hermite H n xh n + nh n = 0 και εποµένως είναι όντως τα πολυώνυµα Hermite. (β) Ότι θα ικανοποιούν τη συνθήκη ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης + καθώς και τις αναδροµικές σχέσεις e x H n (x)h m (x) dx = n n! πδ nm H n+1 = xh n nh n 1, H n = nh n 1, βάσει των οποίων και ειδικότερα της πρώτης µπορούν να κατασκευαστούν όλα τα ανώτερα (κανονικοποιηµένα) πολυώνυµα µε αφετηρία τα δύο πρώτα από αυτά. H 0 = 1 και H 1 = x. Κατασκευάστε µε αυτό τον τρόπο τα πέντε πρώτα και βεβαιωθείτε ότι έχουν τη µορφή που δίνεται στη βιβλιογραφία ή µέσω της Mathematica µε την εντολή HermiteH[n, x]. 9. Πέρα όµως από το να αποτελεί µια συµπαγή εγγραφή όλων των ιδιοτήτων των πολυωνύµων Hermite η γεννήτρια συνάρτησή τους µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τον ακριβή υπολογισµό ποσοτήτων που εµφανίζονται στις εφαρµογές, όπως π.χ. τα πλάτη πιθανότητας c n = (ψ n, ψ) = + + ψ n (x)ψ(x) dx = N n e x / H n (x)ψ(x) dx, (1) όπου N n = ( π n n!) 1/ οι συντελεστές κανονικοποίησης τύπος (1) του προβλή- µατος 18 και ψ(x) µια τυχούσα δεδοµένη κυµατοσυνάρτηση. Το ολοκλήρωµα (1) είναι της γενικής µορφής I n = + H n (x)f (x) dx ()
6 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ και µπορεί εύκολα να υπολογιστεί αν είναι γνωστό το ολοκλήρωµα I(t) = + G(x, t)f (x) dx = + e tx x F (x) dx, οπότε τα ολοκληρώµατα I n θα προκύπτουν από το ανάπτυγµα Taylor της συναρτήσεως I(t) σε συνδυασµό µε τη σχέση ορισµό () του προηγούµενου προβλήµατος. Εφαρµόστε τα παραπάνω για να υπολογίσετε τα πλάτη πιθανότητας c n για την γκαουσιανή κυµατοσυνάρτηση ψ(x) = 4 λ π e λx / η οποία για λ = 1 συµπίπτει, βεβαίως, µε την κυµατοσυνάρτηση της θεµελιώδους στάθµης αλλά για κάθε άλλο λ δεν ταυτίζεται µε καµιά ιδιοσυνάρτηση και εποµένως θα αναπτύσσεται σε µια πλήρη, εν γένει, σειρά της µορφής ψ(x) = n c n ψ n (x) µε προσδιοριστέα c n. Μπορείτε να πείτε εκ των προτέρων ποια c n θα µηδενίζονται;