2 (3x2 1) 5x 1 ) 5x 3 4x 3 )= 1 2 (5x3 3x) 7x 1 2 (5x3 3x) 3 ) + 48x ) 16x 3 )= 1 8 (63x5 70x 3 +15x)

Transcript

1 1 Prìblhma 4 Η αναδρομική σχέση γράφεται στη μορφή Για n =1 P n+1 = 1 n +1 [2n +1)xP n np n 1 ] P 2 = 1 2 3xP 1 P )= 1 2 3x2 1) Για n =2 P 3 = 1 3 5xP 2 2P 1 )= 1 3 = 1 2 5x3x2 3 5x 1 ) 2 3x2 1) 2x 5x 3 4x 3 )= 1 2 5x3 3x) Για n =3 Για n =4 P 4 = 1 4 7xP 3 3P 2 )= 1 4 7x 1 2 5x3 3x) 3 ) 2 3x2 1) = x4 21x 2 9x 2 +3)= x4 3x 2 +3) P 5 = 1 5 9xP 4 4P 3 )= 1 5 = 1 9x35x 4 9x3x2 + 9x x3 5 = x5 54x 3 27x +48x + 5 9x x4 3x 2 +3) 4 1 ) 2 5x3 3x 2 ) + 48x ) 4 16x 3 )= x5 7x 3 +15x) Θα αποδείξουμε ενδεικτικά για το P 3 ότι ικανοποιεί τόσο την εξίσωση Legendre όσο και την καθιερωμένη συνθήκη κανονικοποίησης. Εχουμε κατά σειρά 1 x 2 )P 3 2xP 3 +12P 3 = 1 x 2 ) 1 2 3x 2x1 2 15x2 3) + 65x 3 3x) = 15x 15x 3 15x 3 +3x +3x 3 18x =

2 2 και 1 P3 2 dx = x 6 +9x 2 3x 4 ) dx = 1 x x3 3 3x5 5 ) 1 1 = )= 2 7 = Prìblhma 5 Αναπτύσσουμε διωνυμικά αγνοώντας όρους υψηλότερους από t 3. Δηλαδή, στο z 2 θα αγνοήσουμε τον όρο t 4 και στο z 3 θα αγνοήσουμε όλους τους όρους εκτός από τον 8x 3 t 3 : 1 + z) 1/2 = 1 2xt + t 2 ) 1/2 = ) t 2 2xt) 1! ) 3 2 ) 2! t 4 +4x 2 t 2 4xt 3 )+ 1 2 ) 3 2 ) 5 2 ) 8x 3 t 3 + )+ 3! = 1+xt x2 1)t x3 3x)t 3 + Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι οι συναρτήσεις P n είναι πολυώνυμα, αφού προκύπτουν από τους όρους t 2 2xt) n. Prìblhma 8 Το ανάπτυγμα του x m σε P n x) θα περιέχει μόνο τα P n x) γιαταοποίαn m, δηλαδή τα πολυώνυμα με βαθμό μικρότερο ή ίσο της δύναμης x m, και επομένως 1 1 x m P x x) dx = όταν n>m Prìblhma 9 Από την Άσκηση 8.8 γνωρίζουμε ότι x 2 = c P + c 2 P 2 αφού το P 1 θα απουσιάζει, καθότι περιττό), οπότε x 2 = c 1+c x2 1) = c c c 2 2 x2 c 2 = 2 3 και c = c 2 2 = 1 3

3 3 Ομοίως x 3 = c 1 P 1 + c 3 P 3 = c 1 x + c x3 3x) =c 1 x + 5c 3 2 x3 3c 3 2 x 5c 3 2 =1 c 3 = 2 5 και c 1 = 3c 3 2 = 3 5 Τα c i υπολογίζονται και μέσω της έκφρασης της σελ. 46. Prìblhma 26 α) xj dx = xj 1 ) dx = xj 1 + c β) x 2 J dx = xxj )dx = xxj 1 ) dx = xxj 1 xj 1 dx = x 2 J 1 + xj dx = x2 J 1 + xj J dx + c γ) Βλ. σελ δ) x 4 J dx = x 3 xj )dx = x 3 xj 1 ) dx = x 4 J 1 3 x 3 J 1 dx = x 4 J 1 +3 x 3 J dx = x4 J 1 +3x 3 J 9 x 2 J dx = x 4 J 1 +3x 3 J 9x 2 J 1 9xJ +9 J dx + c = x 4 9x 2 )J 1 +3x 3 9x)J +9 J dx + c Οσον αφορά τον έλεγχο, για τη σχέση β) π.χ. έχουμε x 2 J + J = d dx x2 J 1 + xj ) δηλαδή μια άρτια συνάρτηση εμφανίζεται ως παράγωγος μιας περιττής, το οποίο ισχύει. Ενώ για τη σχέση γ) π.χ. θα πρέπει να συμφωνούν ασυμπτωτικά οι ελαχιστοβάθμιοι όροι. Οι όροι αυτοί είναι οι 4xJ 1 και 2x 2 J,ενώηασυμπτωτική μορφή για τα J n είναι J n c n x n, οπότε απαιτούμε

4 4 4xc 1 x +2x 2 c = 2x 2 2c 1 c )= δηλαδή θα πρέπει c 1 = c /2. Γνωρίζουμε όμως βλ. Άσκηση 8.25) ότι c n = c n 1 /2n, δηλαδή ότι c 1 = c /2. Prìblhma 31 Prìblhma 34 i) ak) = ku max x kρ,λ/k μ = u max k ρe λρ J kρ) dρ = u max k xe μx J x) dx = u max k 1) d dμ όπου χρησιμοποιήσαμε ενδιαμέσως τη σχέση 66) της σελ. 43. ii) kρ)e λ/k)kρ) J kρ) dkρ) 1 μ2 +1 = λku max k 2 + λ 2 ) 3/2 ak) = ku max ρe λρ2 J kρ) dρ = u max kρ)e λ/k2 )kρ) 2 J kρ) dkρ) k x kρ,λ/k 2 μ u max = xe μx2 J x) dx = u max 1 k k 2μ e 1/4μ = ku max 2 2λ e k /4λ όπου χρησιμοποιήσαμε ενδιαμέσως το αποτέλεσμα της Άσκησης 8.31α). Prìblhma 35 α) Το εκθετικό μπορεί να γραφτεί ως εξής 2xt) n 1) m t 2m e 2xt t2 = = 2x) n 1) m t n+2m m! m! m= n,m απ όπου είναι φανερό ότι οι συντελεστές του εκάστοτε όρου t n+2m για σταθερό n +2m είναι πολυώνυμα του x. Αυτό μπορεί να γίνει σαφέστερο αν θέσουμε n +2m = n n = n 2m και αλλάξουμε τις μεταβλητές άθροισης σε n και m. Για μια τυχούσα τιμή του n,το2m μπορεί να κυμανθεί από έως n, δηλαδή το m θα παίρνει τιμές από έως n /2, οπότε η παραπάνω έκφραση γίνεται

5 5 n t n n /2 m= 2x) n 2m n 2m)! 1) m m! β) Θα πρέπει βλ. Ενότητα 2.2, σελ. 4) η γεννήτρια συνάρτηση Gx, t) = e 2xt t2 να ικανοποιεί τη μερική διαφορική εξίσωση δηλαδή θα πρέπει L x + L t )Gx, t) = ) t n t n L x H n = λ n H n και L t = λ n L t t n = λ n t n Προκειμένου οι συναρτήσεις H n να ικανοποιούν την εξίσωση Hermite, θαπρέπει οπότε L x = 2 x 2 2x x και λ n = 2n L t t n =2nt n L t =2t t δηλαδή καταλήγουμε στην απαίτηση η γεννήτρια συνάρτηση να ικανοποιεί την εξίσωση 2 L x + L t )Gx, t) = x 2 2x x +2t ) e 2xt t2 = t που μπορούμε να επαληθεύσουμε εύκολα ότι ισχύει. Prìblhma 36 Υπολογίζουμε αρχικά το ολοκλήρωμα της τετραγωνισμένης γεννήτριας συνάρτησηςστοίδιοδιάστημα, ) με βάρος e x2 : e x2 G 2 x, t) dx = e x2 e 4xt 2t2 dx = e 2t2 e x 2t)2 dx = e 2t2 π = π 2 n t 2n Από το ανάπτυγμα της γεννήτριας συνάρτησης, όμως, 1) Gx, t) =e 2xt t2 = H n x) tn

6 6 έχουμε ότι e x2 G 2 x, t) dx = = n,m e x2 t n+m) m! ) ) H n x) tn H m x) tm dx m! m= e x2 H n x)h m x) dx 2) και αν συγκρίνουμε με το αποτέλεσμα 1), συμπεραίνουμε ότι θα πρέπει e x2 H n x)h m x) dx = I n δ nm όπου I n = οπότε το αποτέλεσμα 2) γίνεται και εξισώνοντας με το 1), έχουμε τελικά t 2n ) 2 I n e x2 Hn 2 x) dx π2 n = I n ) 2 I n =2 n π Prìblhma 37 Υποθέτουμε κατ αρχάς ότι ισχύει για τη γεννήτρια συνάρτηση Gx, t) = e 2xt t2 μια διαφορική εξίσωση του τύπου α x + β ) t + γ Gx, t) = οπότε καταλήγουμε ότι θα πρέπει να ισχύει α2t)+β2x 2t)+γ = α) Εάν επιλέξουμε α =έχουμε 2x 2t)β + γ =, η οποία ικανοποιείται με την επιλογή β =1,γ=2t 2x, οπότε τελικά έχουμε ) ) t n +2t 2x) Gx, t) = +2t 2x) H n t t = οπότε για τους συντελεστές του t n θα πρέπει να ισχύει η σχέση n +1)H n+1 n +1)! +2 H n 1 n 1)! 2xH n =

7 7 ή αλλιώς H n+1 +2nH n 1 2xH n = β) Εάν επιλέξουμε β =έχουμε 2αt + γ =, η οποία ικανοποιείται με την επιλογή α =1,γ= 2t, οπότεέχουμε ) ) x 2t Gx, t) = x 2t t n H n = οπότε για τους συντελεστές του t n θα πρέπει να ισχύει η σχέση H n 2 H n 1 n 1)! = H n =2nH n 1 Prìblhma 39 α) Εστω x n ο μεγιστοβάθμιος όρος μιας πολυωνυμικής λύσης. Για μεγάλα x, ο μεγιστοβάθμιος αυτός όρος θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση, οπότε θέτοντας y = x n έχουμε nn 1)x n 1 + nx n 1 nx n + λx n = λ n)x n = λ = n, n =, 1,... όπου βέβαια αγνοήσαμε τους όρους κατώτερης τάξης x n 1, αφού βρισκόμαστε στην περιοχή των μεγάλων x. β) Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή Liouville: μ = 1 ) 1 x x exp x dx = 1 x eln x x = e x οπότε έχουμε e x xy + e x 1 x)y + λe x y = οπότε w = e x και συνεπώς οι λύσεις L n x) ικανοποιούν τη σχέση e x L n x)l m x) dx =, n m) Prìblhma 4 Το ζητούμενο είναι να δείξουμε ότι η δοθείσα Gx, t) αναπτύσσεται στη μορφή

8 8 Gx, t) = L n tn όπου L n x) τα πολυώνυμα Laguerre. Για να ισχύει αυτό θα πρέπει βλ. Ενότητα 2.2, σελ. 4) η δοθείσα Gx, t) να ικανοποιεί τη μερική διαφορική εξίσωση όπου L x + L t )Gx, t) = ) t n t n L x L n = λ n L n και L t = λ n L t t n = λ n t n Προκειμένου οι συναρτήσεις L n να ικανοποιούν την εξίσωση Laguerre, θαπρέπει οπότε L x = x 2 +1 x) x2 x και λ n = n L t t n = nt n L t = t t δηλαδή καταλήγουμε στην απαίτηση η γεννήτρια συνάρτηση να ικανοποιεί την εξίσωση L x + L t )Gx, t) = x 2 +1 x) x2 x + t )[ 1 t 1 t exp xt )] = 1 t που μπορούμε να επαληθεύσουμε εύκολα ότι ισχύει. α) Υπολογίζουμε αρχικά το ολοκλήρωμα της τετραγωνισμένης γεννήτριας συνάρτησηςστοίδιοδιάστημα, ) με βάρος e x : e x G 2 x, t) dx = = = ) e x 1 2xt 1 t) 2 exp dx 1 t 1 1 t) 2 exp 1+t ) 1 t x dx 1 1 t 1 t) 2 1+t = 1 1 t 2 = t 2n 1) Από το ανάπτυγμα της γεννήτριας συνάρτησης, όμως, Gx, t) = 1 1 t exp xt ) = 1 t έχουμε ότι L n tn

9 9 e x G 2 x, t) dx = = n,m e x t n+m) m! ) L n x) tn m= ) L m x) tm dx m! e x L n x)l m x) dx 2) και αν συγκρίνουμε με το αποτέλεσμα 1), συμπεραίνουμε ότι θα πρέπει e x L n x)l m x) dx = I n δ nm όπου I n = οπότε το αποτέλεσμα 2) γίνεται και εξισώνοντας με το 1), έχουμε τελικά t 2n ) 2 I n 1= I n ) 2 I n =) 2 e x L 2 nx) dx β) Υποθέτουμε ότι ισχύει για τη γεννήτρια συνάρτηση μια διαφορική εξίσωση του τύπου α x + β ) t + γ Gx, t) = Επιλέγοντας α =έχουμε β 1 t x 1 t) 3 + γ 1 ) exp xt ) = β1 t x)+γ1 t) 2 = 1 t 1 t Η εξίσωση αυτή ικανοποιείται με την επιλογή β =1 t) 2,γ= t + x 1, δηλαδή έχουμε 1 t) 2 t ) +t + x 1) Gx, t) = 1 t) 2 ) t +t + x 1) οπότε για τους συντελεστές του t n έχουμε L n tn = και τελικά n +1)L n+1 n +1)! + n 1)L n 1 n 1)! 2nL n + L n 1 n 1)! + xl n L n =

10 1 L n+1 +x 2n 1)L n + n 2 L n 1 = Εν συνεχεία, επιλέγοντας β =έχουμε α t 1 t) 2 + γ 1 ) exp xt ) = αt + γ1 t) = 1 t 1 t Η εξίσωση αυτή ικανοποιείται με την επιλογή α =1 t, γ = t, δηλαδή έχουμε 1 t) ) x + t Gx, t) = 1 t) ) x + t οπότε για τους συντελεστές του t n έχουμε L n tn = και τελικά L n L n 1 n 1)! + L n 1 n 1)! = L n nl n 1 + nl n 1 =