ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 3 ο
ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα 3 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς αναδρομικούς τύπους (ΤΕΜΝΟΥΣΑΣ, Newton, Muller) Σφάλματα
ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Γενικός επαναληπτικός αλγόριθμος Εύρεση μιας σχέσης της μορφής x g x και την μετατρέπουμε ως αναδρομική x n g xn 1 Η επιλογή της συνάρτησης υπόκειται σε μαθηματικούς περιορισμούς g: a, b a, b
ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Παράδειγμα Να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 με f x x x 3 ( ) 1 στο διάστημα ( 1, 1) 3 3 x x 1 x x 1 n n 1 1 1 1 1 2 x x 1 1 x x 2 n 2 x xn 1 x 1 x 1 x 2x x 1 x x 2 2 3 n 1 2 n 2 x xn 1
ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αριθμητική επίλυση εξισώσεων See theory_3a.m
Μέθοδος Τέμνουσας
Αλγόριθμος Τέμνουσας ΕΙΣΟΔΟΣ: f(x), x1, x2, tol, N ΒΗΜΑ 1 ο ΘΕΣΕ i=3, x(1)=x1, x(2)=x2 ΒΗΜΑ 2 ο ΌΤΑΝ i<=n ΕΚΤΕΛΕΣΕ ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ 3-5 ΒΗΜΑ 3 ο ΘΕΣΕ x(i)=x(i-1)- (x(i-1)-x(i-2))/(f(x(i-1)-f(x(i-2))*f(x(i-1)) ΒΗΜΑ 4 ο ΑΝ f(x(i))=0 ή x(i)-x(i-1) <tol ΤΟΤΕ ΕΞΟΔΟΣ:ΤΟ x(i) ΕΙΝΑΙ Η ΛΥΣΗ ΚΑΙ ΤΕΡΜΑΤΙΣΕ ΒΗΜΑ 5 ο ΘΕΣΕ i=i+1 ΒΗΜΑ 6 ο ΕΞΟΔΟΣ:Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΚΑΙ ΤΕΡΜΑΤΙΣΕ
ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μέθοδος Τέμνουσας
1 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of x 0.8 0.6 0.4 0.2 x 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 1 2 3 4 5 6 7 8 iterations
3 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of f(x) 2.5 2 1.5 f(x) 1 0.5 0-0.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8 iterations
0.5 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of Error 0-0.5 Error -1-1.5-2 1 2 3 4 5 6 7 8 iterations
Μέθοδος Newton
Αλγόριθμος Newton ΕΙΣΟΔΟΣ: f(x), f (x), x1, tol, N ΒΗΜΑ 1 ο ΘΕΣΕ i=2, x(1)=x1 ΒΗΜΑ 2 ο ΌΤΑΝ i<=n ΕΚΤΕΛΕΣΕ ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ 3-5 ΒΗΜΑ 3 ο ΘΕΣΕ x(i)=x(i-1)-f(x(i-1))/f (x(i-1)) ΒΗΜΑ 4 ο ΑΝ f(x(i))=0 ή x(i)-x(i-1) <tol ΤΟΤΕ ΕΞΟΔΟΣ:ΤΟ x(i) ΕΙΝΑΙ Η ΛΥΣΗ ΚΑΙ ΤΕΡΜΑΤΙΣΕ ΒΗΜΑ 5 ο ΘΕΣΕ i=i+1 ΒΗΜΑ 6 ο ΕΞΟΔΟΣ:Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΚΑΙ ΤΕΡΜΑΤΙΣΕ
ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μέθοδος Newton
-0.6 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of x -0.65-0.7-0.75 x -0.8-0.85-0.9-0.95-1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 iterations
0 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of f(x) -0.1-0.2-0.3-0.4 f(x) -0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 iterations
0.35 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of Error 0.3 0.25 0.2 Error 0.15 0.1 0.05 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 iterations
ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αριθμητική επίλυση εξισώσεων ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Bisection method x 19 =-0.6823311 Regula-Falsi method x 10 =-0.6823273 Secant method x 8 =-0.6823278 Newton method x 6 =-0.6823278
0-0.1 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of x Bisect Falsi -0.2-0.3 x -0.4-0.5-0.6-0.7-0.8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 iterations
1.2 1 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of f(x) Bisect Falsi 0.8 0.6 f(x) 0.4 0.2 0-0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 iterations
1 0.8 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of x Secant Newton 0.6 0.4 0.2 x 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 1 2 3 4 5 6 7 8 iterations
3 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of f(x) Secant Newton 2.5 2 1.5 f(x) 1 0.5 0-0.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8 iterations
1 0.8 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of x Bisect Falsi Secant Newton 0.6 0.4 0.2 x 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 iterations
3 2.5 ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Convegence of f(x) Bisect Falsi Secant Newton 2 1.5 f(x) 1 0.5 0-0.5-1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 iterations
Αριθμητική επίλυση εξισώσεων See theory_3b.m