ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται στον κάθε όρο της προόδου για να δημιουργηθεί ο επόμενος, ονομάζεται διαφορά της προόδου και συμβολίζεται με ω. Έτσι λοιπόν, έχουμε ότι ο αναδρομικός τύπος της αριθμητικής προόδου, είναι : ή Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον και διαφορά ω, έχουμε :... Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη, προκύπτει : Αριθμητικός μέσος Αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες : () Επομένως αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής προόδου, ο β ονομάζεται αριθμητικός μέσος. Συγχρόνως η σχέση (), αποτελεί - 94 -
ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τρεις αριθμοί α, β, γ να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τους ν πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου : Παρατηρούμε ότι ισχύουν :,,,...,,, () Από τις παραπάνω σχέσεις, προκύπτει η ιδιότητα: Οι ισαπέχοντες από τα άκρα όροι μιας αριθμητικής προόδου, έχουν άθροισμα ίσο με το άθροισμα των άκρων όρων. Με την βοήθεια της παραπάνω εμπειρίας, προκειμένου να βρούμε το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου, εργαζόμαστε ως εξής : S... S... Προσθέτοντας τις σχέσεις αυτές κατά μέλη, έχουμε : S... Λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα που προκύπτει από τις ισότητες (), γράφουμε : S... S S Επειδή, μπορούμε να έχουμε και τον τύπο : S - 95 -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε μία αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 94. Να βρείτε τη διαφορά ω και τον 0 ο όρο της προόδου. Αν υποθέσουμε ότι ω είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου τότε : 94 6 94 6 88 8. Τότε : 0 9 0 6 9 8 0 6 7 0 78. Έστω η αριθμητική πρόοδος 7,4,.Να βρείτε τον 8 ο όρο της. 47 και 7 8 8 7 7 4. Έστω η αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το 0 και πέμπτο όρο το. i) Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου. ii) Να βρείτε τον. i) Είναι 0 και 5 5 0 4 5 ii) 0 0 0 4. Ο τέταρτος όρος της αριθμητικής προόδου είναι 5 και ο 5 ος όρος της είναι 59. Να βρεθεί η πρόοδος. - 96 -
4 5 5 4 5 5 5959 5 4 59 4 5. Αν σε μία αριθμητική πρόοδο είναι 8 και τότε να βρείτε : i) Τον όρο που ισούται με ii) Τους θετικούς όρους iii) Τους όρους που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών και 4. i) Έστω ότι είναι ο όρος. Αρκεί να βρούμε τον ν. Έχουμε : 8 ii) Έχουμε: Άρα οι θετικοί όροι είναι οι :,,..., 6 0 0 8 0 7 iii) Είναι: 4 4 8 4 4 5 4 5 4 ή.. Άρα Οπότε είναι ο και ο 6. Να υπολογίσετε το άθροισμα : 5... 5. Παρατηρούμε ότι οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με 5 και 5. Έστω ν το πλήθος των όρων του αθροίσματος 5 5 5 5 0 Οπότε το άθροισμα είναι : 0 S0 0 0 59 470. - 97 -
7. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της αριθμητικής προόδου 5,, 7,... που βρίσκονται μεταξύ του 5 ου και του ου όρου της. Είναι 5 και 5 6. Το άθροισμα των όρων μεταξύ του 5 ου και του ου είναι : 5 S S5 5 7. 8. Να βρείτε πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου : 58,55,5,..έχουν άθροισμα ίσο με 578. Είναι 58, 55 58 και S 578. S 578 58 Εξάλλου : 68 9.56 9.56 0 ή 7. Επειδή ο ν είναι θετικός και ακέραιος παίρνουμε 7 9. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι και 7. i) Να βρείτε το πλήθος ν των πρώτων όρων της προόδου που δίνουν άθροισμα ίσο με 679. ii) Ποιος θα είναι ο τελευταίος όρος σ αυτή την περίπτωση; i) Θέλουμε να είναιsv 679, για κάποιο φυσικό αριθμό ν. Άρα: 7 Sv 679 679 679 6 7 7 679 7.58 7.58 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : 47.58 8.05 95 Οι ρίζες της εξίσωσης () είναι : - 98 -
95 96 4 95 95 4 4 7 4 95 94 (απορρίπτεται) 4 4 Επομένως 4. ii) Ο τελευταίος όρος του αθροίσματος είναι ο: 7 9 94. 4 4 4 4 0. Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της είναι S0 60 και το άθροισμα των πρώτων όρων της S. Να βρείτε τη διαφορά ω και τον ο όρο της. Από την σχέση : Από την σχέση : 9 S0 60 0 60 9 6 () S 7 () Λύνουμε το σύστημα των σχέσεων () και (). 9 6 9 6 9 6 7 7 8 4. Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία i) Το άθροισμα του ου και του 5 ου όρου είναι -, ενώ το άθροισμα του ου και του 6 ου είναι. ii) Το άθροισμα του ου και του 4 ου όρου είναι 7, ενώ το γινόμενο των ίδιων όρων είναι 0. i) Είναι: 5 4 4 6 5 6 5 Επομένως η αριθμητική πρόοδος είναι : 5,,,,, 5, 7, 9. - 99 -
ii) Είναι: 4 7 και 4 0. Προφανώς τα, 4αποτελούν ρίζες της εξίσωσης : x 7x 0 0 (). Η διακρίνουσα της () είναι : 49 40 9, και οι ρίζες της είναι x 5 x Αν 5, τότε 4. Όμως : 4 5 και 5 5 ή Η αριθμητική πρόοδος στην περίπτωση αυτή είναι : 7, 5,,,,,... Αν, τότε 4 5. Όμως : 4 5 και Η αριθμητική πρόοδος στην περίπτωση αυτή είναι : 7,,, 5,, 8,.... Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο αν ο ος και ο 7 ος όρος έχουν γινόμενο 00 και οι μεταξύ τους όροι έχουν άθροισμα 50. Από την υπόθεση είναι : 7 00 () και 4 5 6 Προφανώς όμως : S 50 (). 5 S S6 S 50 6 50 5 50 6 5 50 4 4 7 5 () Από την σχέση () παίρνουμε : 00 6 00 7 6 00 (4) 7 Λύνουμε το σύστημα των σχέσεων () και (4). - 00 -
7 5 7 5 4 8 49 65 7 6 00 4 7 6 400 4 8 4 400 4 8 49 65 5 5 9 4 8 4 400 Αν τότε η () δίνει : 7 5 7 5 5 Τότε η αριθμητική πρόοδος είναι η :, 5, 8,, 4, 7,.. Αν τότε η () δίνει : 7 5 7 5 46 Τότε η αριθμητική πρόοδος είναι η :, 0, 7, 4,, 8,... Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία ο 4 ος και ο 8 ος όρος της έχουν άθροισμα 8, ενώ το άθροισμα των κύβων των όρων αυτών είναι.40. Θέλουμε να είναι: 4 8 8 () και Από την σχέση () παίρνουμε : 4 8.40 () () 4 8 4 8 4 8 4 8 4 8.40.408 8.40 8 89 8 89 4 89 5 4 8 4 8 4 8 4 8 5 4 8 4 8 45 () Επειδή λοιπόν 48 45 και 4 8 8 οι αριθμοί 4, 8 θα είναι ρίζες της εξίσωσης : x 8x 45 0 (4). Η (4) έχει διακρίνουσα 4 445 4 80 44 και ρίζες : 8 0 5 8 x 8 6 4 5 και 8 ή 4 και 8 5 οπότε :, και επομένως : - 0 -
Για 4 5 και 8 έχουμε : 8 4 4 5 4 4 5 4 Η αριθμητική πρόοδος στην περίπτωση αυτή είναι : 4,, 8, 5,,. Για 4 και 8 5 έχουμε : 8 4 45 4 4 5 4 Η αριθμητική πρόοδος στην περίπτωση αυτή είναι : 6,, 0,, 6, 9,, 4. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχουν άθροισμα και γινόμενο 440. Έστω,, οι ζητούμενοι αριθμοί. Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε : () και 440 440 40 40 8 9 () Για και 9, οι αριθμοί είναι οι :,, 0 Για και 9, οι αριθμοί είναι οι : 0,, 5. Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχουν άθροισμα 6 και γινόμενο άκρων όρων 7. Έστω,,, οι ζητούμενοι αριθμοί. Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε : 6 4 6 4 () και 7 4 4 7 6 9 7 () Για 4 και, οι αριθμοί είναι οι :,, 5, 7 Για 4 και, οι αριθμοί είναι οι : 7, 5,, - 0 -
6. Να βρείτε πόσα πολλαπλάσια του 7 περιέχονται μεταξύ του 5 και του 00. Τα πολλαπλάσια του 7 έχουν την μορφή 7ν,. Έστω 7 () Επειδή είναι : 7 7 7 7 θα είναι : 7, και επομένως η ακολουθία * θα είναι αριθμητική πρόοδος με 7 και διαφορά 7. Θέλουμε τώρα να ισχύει :, 5 00 6 5 00 5 7 00 4 7 7 7 7, 4, 5, 6,...,4. και επειδή ο ν είναι φυσικός αριθμός, θα πρέπει : Όμως τα στοιχεία του συνόλου Α είναι 40. Άρα μεταξύ των αριθμών 5 και 00 βρίσκονται 40 πολλαπλάσια του 7. Αυτά είναι τα : 7, 4 74 8,..., 4 74 94 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) 7... x 80 με x 0 x x 5 x 8... x 9 65 i) Οι αριθμοί x, x 5, x 8,... αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το x και διαφορά Βρίσκουμε την τάξη του όρου x+9. Υποθέτουμε ότι ο x+9 κατέχει την κ θέση στην παρακάτω ακολουθία, οπότε: x 9 x 9 x x 9 9 0 0 Το πλήθος, συνεπώς, των όρων του αθροίσματος είναι 0. 9 x 9 Άρα : S0 0 0 x 5 0x 55-0 -
ii) Οι αριθμοί, 7,,..αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το και διαφορά 6. Βρίσκουμε την τάξη του όρου x Υποθέτουμε ότι ο x κατέχει την κ θέση στην παρακάτω ακολουθία, οπότε : x x 6 x 6 5 x () Το πλήθος, συνεπώς, των όρων του αθροίσματος είναι κ, και x 6 5 Θέλουμε να ισχύει : S 80 Άρα : S 6 80 80 80. 80 80 0... 0 () Για κ = 0 η () δίνει : x 65 60 5 60 5 55. 8. Ένα κολιέ αξίας 650.000 δρχ. αποτελείται από διαμάντια. Το μεσαίο διαμάντι είναι και το ακριβότερο. Τα υπόλοιπα διαμάντια είναι τοποθετημένα κατά σειρά αξίας, ώστε κάθε διαμάντι μέχρι το μεσαίο να αξίζει.000 δρχ. λιγότερο από το επόμενό του και στη συνέχεια, από το μεσαίο και πέρα, κάθε διαμάντι να αξίζει.500 δρχ. λιγότερο από το προηγούμενο του. Α. i) Πόσες δρχ. φθηνότερο από το μεσαίο διαμάντι είναι το πρώτο; ii) Πόσες δρχ. φθηνότερο από το μεσαίο διαμάντι είναι το τελευταίο; Β. Πόσες δρχ. είναι η αξία του μεσαίου διαμαντιού; Έστω,,..., 6, x,,,..., 6 οι τιμές των διαμαντιών. Το ακριβότερο διαμάντι είναι το μεσαίο, δηλαδή το x. Η ακολουθία,,..., 6 είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω =.000 () Η ακολουθία,,..., 6 είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά.500 () - 04 -
Α. i) Η διαφορά (σε δρχ.) του μεσαίου διαμαντιού από το πρώτο είναι: x 6 6 6.000 6.000 δρχ. () ii) Το τελευταίο διαμάντι κοστίζει 6 δρχ, όπου: 6 5 5.500.500 Επομένως το μεσαίο διαμάντι κοστίζει : x.500 (4) Η διαφορά (σε δρχ.) τελευταίου μεσαίου είναι : 6 x.500.500 4.000 δρχ. Επομένως το τελευταίο διαμάντι κοστίζει 4.000 λιγότερο. (5) Β. Η αξία του κολιέ είναι σύμφωνα με την υπόθεση 650.000 δρχ., και άρα :... x+... 650.000 6 6 5 5 6 x 6 650.000 (),(5) 6 0 x 6 0 650.000 6 x 6.000 0.000 x 6 x.500 0.500 650.000 6x 56.000 0.000 x 6x 4.000 80.000 650.000 x 40.000 650.000 x 650.000 40.000 x 990.000 x 0.000 δρχ. Το μεσαίο λοιπόν διαμάντι κοστίζει 0.000 δρχ. 9. Α. Σε μια αμφιθεατρική αίθουσα θεάτρου με 0 σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η η σειρά έχει 6 καθίσματα και η 7 η 8 καθίσματα. i) Πόσα καθίσματα έχει η 0 η σειρά; ii) Πόσα καθίσματα υπάρχουν από την 4 η έως και την 0 η σειρά; Β. Αν στην η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν 6 κενά καθίσματα, στη η υπάρχουν 9 κενά καθίσματα, στην η κ.τ.λ. i) Από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν μόνο κενά καθίσματα; ii) Πόσοι θα είναι οι θεατές; Α. Από την υπόθεση είναι : 6 και 7 8. Αν υποθέσουμε ότι ω είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου, τότε: 8 6 8 6 6 8 6 86 6 7-05 -
i) Η 0 η σειρά έχει 0 καθίσματα, όπου: 0 9 6 9 6 8 4 καθίσματα. ii) Τα καθίσματα που υπάρχουν από την 4 η έως και την 0 η σειρά είναι: S 4 5... 0 () 9 6 9 6 Όμως : S S0 S 0 0 8 4 0 50 54 96 καθίσματα. Β. Η η σειρά έχει 6 κενά καθίσματα, η η σειρά έχει 9 κενά καθίσματα, η η σειρά έχει κενά καθίσματα κ.τ.λ. Προφανώς η ακολουθία των κενών καθισμάτων είναι αριθμητική πρόοδος με 6, και διαφορά. i) Η πρώτη σειρά έχει 6 6 0 γεμάτα καθίσματα. Η δεύτερη σειρά έχει 8 9 9 γεμάτα καθίσματα. Η τρίτη σειρά έχει 0 8 γεμάτα καθίσματα κ.ο.κ. Η ακολουθία 0, 9, 8,.είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 0 και διαφορά. Ζητάμε τον φυσικό αριθμό ν, για τον οποίο : 0 0 0 0 0 ii) Οι θεατές είναι τόσοι, όσα τα γεμάτα καθίσματα των 0 πρώτων σειρών. Όμως τα γεμάτα καθίσματα των 0 πρώτων σειρών είναι: 0 9 9 0 9 S 0 0 0 0 55 θεατές. 0 0. Να υπολογιστεί το άθροισμα : S.... Από την ταυτότητα, για,,... έχουμε : - 06 -
...... προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: S S 6 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τον ζητούμενο όρο σε κάθε μια από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους. i) Τον 9 της :, 5, 7,.. ii) Τον 0 της : 6,,, 6,. iii) Τον της 5 7,,,, 4,.... Σε μια αριθμητική πρόοδο ο 0 ος όρος της είναι 45 και η διαφορά 4, να βρείτε τον πρώτο όρο της.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι και 7 να βρείτε τη διαφορά ω. 4. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι : 0 και 0 70 να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου. - 07 -
5. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι : 8 και 8 8, να βρείτε τον 5. 6. Σε μια αριθμητική πρόοδο ο 4 ος όρος είναι και ο ος όρος είναι 5. Να βρείτε τον ος όρος της. 7. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 5 και 6, τότε να βρείτε τον όρο της που ισούται με 7. 8. Να βρεθεί ο όρος της αριθμητικής προόδου με 7 και 4 ο οποίος ισούται με 97. 9. Να βρείτε το x ώστε οι αριθμοί : x, x, x 4 να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 0. Αν οι αριθμοί, α, β, 7 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να βρείτε τα α, β.. Αν δύο αριθμοί διαφέρουν κατά και ο αριθμητικός τους μέσος είναι 5 να βρείτε τους δύο αριθμούς.. i) Να βρεθεί ο αριθμητικός μέσος των 5, 5 ii) Να προσδιοριστεί ο x ώστε ο αριθμός να είναι αριθμητικός μέσος των αριθμών x και x +5.. Να βρείτε δύο αριθμούς των οποίων ο αριθμητικός μέσος είναι και διαφέρουν κατά 4. 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων των αριθμητικών προόδων : i) 4,,,.. ii),,,.. - 08 -
5. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) + 7 + 5 +..+ 0 ii) 6 + + 6 +.+ 90 6. Να βρείτε πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου 8, 44, 50,.έχουν άθροισμα ίσο με.095. 7. Πόσους πρώτους όρους πρέπει να πάρουμε από καθεμιά από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους για να έχουν άθροισμα 54 i) 6,, 0,.. ii) 4, 6, 8,.. 8. Να λυθεί η εξίσωση: x x 4 x 5... x 7 0. 9. Έστω η αριθμητική πρόοδος : 0,, 4,.. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της προόδου που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών και 00. 0. Να βρείτε το άθροισμα i) Των πρώτων 60 θετικών άρτιων ii) Όλων των περιττών αριθμών μεταξύ του 0 και 5.. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου οι αριθμοί : i),, ii),,. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + 5 + 9 +..+ x = 45 ii) x x 5 x... x 5 00 4 7 8. Να λύσετε την εξίσωση: x x x... x. - 09 -
* 4. Δίνεται η ακολουθία με και για κάθε i) Να δείξετε ότι η είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε της διαφορά της. o ii) Να βρείτε τον όρο της iii) Να υπολογίσετε το άθροισμα S 4 7... 00. 5. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου αν έχουν άθροισμα 6 και γινόμενο 0. 6. Να βρείτε πέντε διαδοχικούς όρους σε μια αριθμητική πρόοδο ώστε το άθροισμα των άκρων να είναι 4 και το άθροισμα των τετραγώνων του ου και του 4 ου όρου 6. 7. Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος στην οποία το άθροισμα του ου και 7 ου όρου της είναι 50, ενώ ο 4 ος και ο 8 ος διαφέρουν κατά 40. 8. Να βρεθούν αριθμοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι και το γινόμενο τους.87. 9. Να βρεθούν 5 αριθμοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμα τους είναι 0 και το γινόμενο μηδέν. 0. Να βρεθούν 4 αριθμοί που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι και το άθροισμα των τετραγώνων τους 6.. Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο αν το γινόμενο των άκρων όρων είναι 70 και το γινόμενο των μέσων όρων είναι 88.. Αν S, S, S είναι αντίστοιχα τα αθροίσματα των ν πρώτων όρων προόδων, που έχουν πρώτο όρο τον και διαφορές αντίστοιχα,, να αποδειχτεί ότι S S S. - 0 -
. Αν οι αριθμοί :,, με, δείξτε ότι. είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 4. Να προσδιοριστεί ο x ώστε να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου οι αριθμοί : 5x, x, x. 5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των πολλαπλασίων του μεταξύ 7 και 90. 6. Να βρείτε το άθροισμα των άρτιων από έως 400, που δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή του 8. 7. Να βρείτε το άθροισμα των 60 πρώτων όρων της ακολουθίας με. 8. Να βρείτε ποιους αριθμούς πρέπει να τοποθετήσουμε μεταξύ του 9 και 4 ώστε να προκύψουν διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 9. Αν το άθροισμα των 0 πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι 00 και το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της είναι 900, να βρείτε τους :., 40. Έστω ότι οι αριθμοί : x, x, x είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. i) Να βρείτε το x. ii) Αν ο α είναι ο ος όρος: α) να υπολογίσετε το άθροισμα 4 7... 7. β) να βρείτε το πλήθος των όρων που πρέπει να πάρουμε από τον 5 ο όρο και μετά ώστε να έχουν άθροισμα 5. - -
4. Ένας υπάλληλος σε μια εταιρεία παίρνει αύξηση κάθε χρόνο 0 στο μηνιαίο μισθό. Αν το 4 ο χρόνο εργασίας του ο μηνιαίος μισθός του ήταν 800 να βρείτε : i) Τον αρχικό του μηνιαίο μισθό. ii) Σε ποια χρονιά ο μηνιαίος μισθός του θα είναι περισσότερος από.000. iii) Πόσα εισέπραξε τα πρώτα χρόνια. 4. Κάποιος αγόρασε ένα αυτοκίνητο αξίας 5.000. Έδωσε προκαταβολή 6.900 και συμφώνησε το υπόλοιπο ποσό να το εξοφλήσει σε μηνιαίες δόσεις όπου κάθε επόμενη δόση θα αυξάνει σε σχέση με την προηγούμενη κατά 50. Να βρείτε το ποσό της ης και της 6 ης δόσης. 4. Ένα θέατρο έχει σειρές καθισμάτων. Η πρώτη σειρά έχει 0 καθίσματα και κάθε επόμενη έχει καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της. i) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά; ii) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο; iii) Σε μια παράσταση τα εισιτήρια της 7 ης σειράς διανεμήθηκαν δωρεάν και όλα τα υπόλοιπα πουλήθηκαν προς 9 το ένα. Πόσα χρήματα εισέπραξε το θέατρο; Π.44. Σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει: α α4 8 και α α6 0. i) Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο ii) Υπολογίστε το S 00 Π.45. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι S0 S6 60. Αν ο πρώτος όρος ισούται με το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης : βρεθεί ο α 50. x 5x 5x 0 να Π.46. Σε μια αμφιθεατρική αίθουσα θεάτρου με 0 σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η η σειρά έχει 6 καθίσματα και η 7 η έχει 8 καθίσματα. i) Πόσα καθίσματα έχει η 0 η σειρά; ii) Πόσα καθίσματα υπάρχουν από την 4 η έως και την 0 η σειρά - -
Π.47. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι α log8 και ω log i) Να βρεθεί ο α ii) Να βρεθεί το άθροισμα S α9 α0 α... α όπου α 9, α 0,...,α διαδοχικοί όροι της (α ν ). x x x Π.48. Οι αριθμοί α 7e, α e, α e αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου x i) Να αποδείξετε ότι e 7 ii) Να βρείτε τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου iii) Να αποδείξετε ότι α5 5α iv) Να υπολογίσετε το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου ως συνάρτηση του α. Π.49. Ο πέμπτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 7 και ο ένατος είναι 9. i) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) Να βρείτε τον δέκατο πέμπτο όρο της iii) Ποιος όρος της προόδου ισούται με 67 iv) Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της προόδου. Π.50 Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι : α βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με : εφα και ω 5, να π ημ α, συνα 0 συνα. Π.5 Αν α, β, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και P α 0 4 να βρείτε τις ρίζες του Px αx α β x αβx 4α α. Π.5 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος α, α ln x e και 4 i) Να βρείτε την τιμή του x. ii) Να υπολογίσετε τον iii) Να αποδείξετε ότι α, α, α,...της οποίας α ln 4x, x. α. α. - -
Π.5. Δίνεται η ακολουθία α ν με θετικούς όρους και η ακολουθία β ln α. ν ν Α. Να αποδειχτεί ότι αν α ν είναι γεωμετρική πρόοδος τότε η β ν είναι αριθμητική. Β. Αν το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της β ν είναι S0 0 να βρείτε το γινόμενο των 0 πρώτων όρων της α ν. Γ. Αν αν ν να βρείτε για ποιόν όρο της ισχύει βν ln5. - 4 -
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος, όταν κάθε όρος της δημιουργείται από τον προηγούμενο του, με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό. Ο σταθερός αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε τον κάθε όρο της γεωμετρικής προόδου για να δημιουργήσουμε τον επόμενο όρος της, ονομάζεται λόγος της προόδου, συμβολίζεται με λ και είναι πάντα διάφορος του μηδενός 0. Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο πρέπει να * είναι 0, με συνέπεια να έχουμε και 0 για κάθε. Από τα πιο πάνω, προκύπτει ότι ο αναδρομικός τύπος της γεωμετρικής προόδου είναι : ή Για μια γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο και λόγο λ, έχουμε διαδοχικά:... Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις αυτές κατά μέλη, έχουμε: Γεωμετρικός μέσος Αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες : () - 5 -
Η σχέση () αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε τρεις αριθμοί α, β, γ να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός : ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των α, γ. Άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου. Ας υποθέσουμε ότι,,,...,. Αναζητούμε το άθροισμα : S... Αν ο λόγος της προόδου είναι λ, το παραπάνω άθροισμα μπορούμε να το γράψουμε με τη μορφή : S... () Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της προηγούμενης σχέσης με λ, έχουμε : S... () Αφαιρώντας κατά μέλη από τη σχέση () την (), προκύπτει: S S S Εφ όσον, από την προηγούμενη σχέση έχουμε: S ή S Αν τότε ισχύει:, * επομένως από τη σχέση (), προκύπτει: S - 6 -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. i) Αν α και λ να βρεθεί ο α 6. ii) Αν α6 448 και λ να βρεθεί ο α. iii) Αν α 9 και α5 44 να βρεθεί ο λ. iv) Αν α και λ και αν 6 να βρεθεί ο ν. i) Είναι: 5 5 α6 α λ 4 4 448 α6 α λ 448 α 448 α α α 4 ii) Είναι: 5 5 44 α5 α λ 44 9 λ λ λ 6 λ λ 9 iii) Είναι: 4 4 4 4 4 4 iv) Είναι: ν ν ν 4 ν αν α λ 6 8 4 ν ν 5. Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι α και α8 84, να βρεθεί ο λ. 84 α8 α λ 84 λ λ λ λ λ Είναι : 5 5 5 5 5 5. Στην γεωμετρική πρόοδο α) με α, αν 64 και λ 8 4 4 β) με α, α5 να βρείτε το πλήθος ν να βρείτε τον λόγο λ. - 7 -
α) Είναι : β) Είναι : ν ν 6 ν ν αν α λ ν 6 64 64 4 4 4 4 4 α5 α λ λ λ λ λ 8 4 4 8 4. Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος, όταν : α) με α4 α 4, α α 6 α α β) με 4 6 4 α) Έχουμε : και α α8 4 4 α α 4 α λ α λ 4 α λ λ 4 () α α 6 α λ α λ 6 α λ λ 6 () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () παίρνουμε : α α 0 λ λ λ 4 λ 4 α λ λ 6 λ 6 λ 4 λ 5 Για λ 5 η () δίνει : α 5 5 6 α 5 6 6 α 5 α Στην περίπτωση αυτή η πρόοδος είναι :,, 5, 5,.. 5 5 Σημείωση Αν είναι λ τότε η () δίνει : α 6 α 0 6 (αδύνατη) β) Έχουμε : α4 α λ 4 4 4 λ λ 5 α6 α λ λ 4 7 8 α α8 α λ α λ α λ α 4 4 4 4 α α 64 α 8 56 4 8 () (4) - 8 -
Διακρίνουμε συνεπώς τις παρακάτω περιπτώσεις: Για α Για α Για α Για α 8 και 8 και λ λ 8 και 8 και λ λ, η γεωμετρική πρόοδος είναι : 8, 4,,,.., η γεωμετρική πρόοδος είναι : 8, 4,,,.,η γεωμετρική πρόοδος είναι : 8, 4,,,, η γεωμετρική πρόοδος είναι : 8, 4,,,. 5. α) Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι α4, α6 7 και αν 9.477, να βρεθεί ο ν. β) Να βρεθεί το πλήθος ν των όρων μιας γεωμετρικής προόδου α ν,αν έχουμε: α 4, αν 97 και Sν.456. α) Έχουμε: 6 4 α α λ 7 λ 9 λ () ν 4 ν 4 ν 4 ν 4 ν 4 α α λ 9.477 λ 79 9 9 9 ν 4 ν 4 6 ν 0 ν ν ν β) Εκ της αν α λ 97 4 λ λ 4 () Εκ της ν ν α () λ 4 λ λ 4 λ S.456 64 λ λ λ 64 λ 64 4 λ 64 λ 4 λ 64 λ 6 λ Για λ η σχέση () δίνει : ν ν 5 λ 4 ν 5 ν 6 () 6. Να προσδιοριστεί ο x ώστε οι αριθμοί : x, x, x 4 να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. - 9 -
Οι x, x, x 4 είναι μη μηδενικοί αφού δεν υπάρχει τιμή του x για την οποία ισχύει x 0 και x 0 και x 4 0. Πρέπει : x x x 4 5x 5x 0 5x x 0 x 0 ή x 7. Μεταξύ των αριθμών και.87 να τοποθετήσετε άλλους αριθμούς έτσι ώστε να προκύψουν 7 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Πρέπει να τοποθετήσουμε 5 αριθμούς. 7 6 Άρα α7.87.87 λ λ 79 λ ή λ και επομένως Αν λ τότε x 9, x 7, x 8, x4 4, x5 79 Αν λ τότε x 9, x 7, x 8, x4 4, x5 79 8. Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο 64. Έστω α, α, α λ λ Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε : οι ζητούμενοι αριθμοί ( λ 0 και α 0). α α α λ 64 α 64 α 4 α λ 4 () α 4 α α λ 4 4 4λ 4 λ 5 λ λ λ λ 5λ 0 () () - 0 -
Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : 5 4 5 6 9 και οι ρίζες της εξίσωσης είναι : λ 5 8 5 4 4 4 5 4 4, και επομένως : Αν α 4 και λ, τότε οι αριθμοί είναι :, 4, 8 Αν α 4 και λ, τότε οι αριθμοί είναι : 8, 4, 9. Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα μεσαίων όρων 5. α λ Έστω,, α λ, α λ α λ Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε: οι ζητούμενοι αριθμοί ( λ 0 και α 0). α α α λ α λ 6 α 6 α α λ λ α λ α λ 5 α λ 5 α 5 α λ 5λ λ λ λ 4 4 4 Αν α, τότε η σχέση () δίνει : λ 5λ λ 5λ 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : 5 4 5 6 9 και οι ρίζες της εξίσωσης είναι : λ 5 8 5 4 4 4 5 4 4, και επομένως: Αν α και λ, τότε οι αριθμοί είναι :,, 4, 6 4 Αν α και λ, τότε οι αριθμοί είναι : 6, 4,, 4 () () - -
Αν α, τότε η σχέση () δίνει : λ 5λ λ 5λ 0 (4) Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (4) είναι : 5 4 5 6 9 και οι ρίζες της εξίσωσης είναι : 5 λ 5 4 4 4 5 8 4 4, και επομένως: Αν α και λ, τότε οι αριθμοί είναι :,, 4, 6 4 Αν α και λ, τότε οι αριθμοί είναι : 6, 4,, 4 0. α) Ποιο είναι το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της :,, 4, 8.; β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους πρέπει να προσθέσουμε, για να πάρουμε άθροισμα 85; α) Οι αριθμοί,, 4, 8.αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το α και λόγο το λ, οπότε το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της είναι : 6 6 α λ 64 6 S6 λ β) Έστω ότι πρέπει να προσθέσουμε ν όρους για να πάρουμε άθροισμα 85. Τότε : ν α λ Sν 85 85 85 85 λ ν ν ν 8 ν 55 56 ν 8 ν - -
. Να βρείτε την γεωμετρική πρόοδο α ν S S α) 0 5, α β) S 6 και η διαφορά 4 α α 5, εάν α) Είναι : α λ 0 α 0 0,λ S0 λ 5 5 5 5 λ λ λ λ 5 5 S5 α λ λ λ λ α Για λ και η γεωμετρική πρόοδος είναι :, 4, 8, 6,,. β) Είναι : α λ () S 6 6 λ α α 5 α λ α 5 α λ 5 () 4 Η σχέση () λόγω της () γράφεται : 5 6 λ λ λ λ Για λ η σχέση () δίνει : α λ 5 α 5 6 α 5 α Επομένως η γεωμετρική πρόοδος είναι :, 6, 8, 54,... Σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι S6 8 S και S4 πρόοδος. 80. Να βρεθεί η Έχουμε : 6 α λ α λ 6 S6 8 S 8 λ 8 λ 7 0 λ λ λ λ 7 0 λ (απορρίπτεται ), λ - -
4 4 α λ α Επίσης είναι : Άρα η πρόοδος είναι :, 6, 8, 54,. S 80 80 80 α 4. Να βρείτε το θ 0, π, αν οι αριθμοί ημθ, συνθ και εφθ να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 6 Θα πρέπει να ισχύει : ημθ ημθ ημθ συν θ εφθ συν θ 6συν θ ημ θ 6 6 συνθ 6συν θ συν θ 6συν θ συν θ 0 () Θέτουμε συνθ x, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : 6x x 0 () Πιθανές ρητές ρίζες της () είναι οι αριθμοί του συνόλου :,,, 6 x η () δίνει : 6 6 0 8 4 4 4 Παρατηρούμε ότι για Με το σχήμα Horner, παίρνουμε : 6 0 6 4 0 Το πηλίκο της διαίρεσης είναι το π x 6x 4x, το οποίο δεν έχει ρίζες αφού η διακρίνουσά του είναι αρνητική. Έτσι, π π x συνθ συνθ συν θ κπ π θ (αφού θ 0, π ). Δεκτή γίνεται η τιμή - 4 -
4. α) Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε α α4 α α. Να βρεθεί ο λόγος της. β) Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να απλοποιήσετε την παράσταση : α γ β γ β δ α δ. α) Είναι : α α α α α α λ α λ α λ α λ α λ λ 4 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 0 λ λ 0 λ 0 λ λ 0 λ α 0 β) Επειδή οι αριθμοί α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πάρουμε : β αγ () γ βδ () αδ βγ () Τότε η παράσταση Π, δίνει : α γ β γ β δ α δ α γ αγ β γ βγ β δ βδ α δ αδ (),() β γ αγ βγ βδ αδ αγ βδ αγ βγ βδ αδ () βγ αδ 0 5. Αν α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου τότε να αποδείξετε ότι οι αριθμητικής προόδου.,, α β α γ α β αποτελούν διαδοχικούς όρους Αφού οι αριθμοί α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου θα ισχύει β α γ () - 5 -
Θα αποδείξουμε ότι οι αριθμοί,, α β α γ α β όρους αριθμητικής προόδου, θα αποδείξουμε δηλαδή ότι : α β α α γ α β α α γ β α γ αποτελούν διαδοχικούς α β α β α α α γ α β α β α γ α β α γ α β α γ α β Η σχέση όμως β α γ είναι αληθής. 6. Να λυθεί η εξίσωση : x *... 0, x. Το πρώτο μέλος είναι άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου με α, λ και πλήθος x, οπότε : x x x x 0 0 80 8 x 4 7. Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, δείξτε ότι: α δ β γ α γ β δ β γ. Είναι : α δ β γ α γ β δ αβ αγ βδ γδ αβ βγ αδ γδ αγ βδ βγ αδ () Αφού οι α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου ισχύουν : β αγ, γ βδ και β δ βγ αδ α γ οπότε () α δ β γ α γ β δ β γ βγ βγ β γ. 8. Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς, για τους οποίους ισχύουν τα εξής : i) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ii) αν αυξηθεί ο δεύτερος κατά 8, η πρόοδος γίνεται αριθμητική iii) αν αυξηθεί ο τρίτος κατά 64, γίνεται πάλι γεωμετρική - 6 -
Έστω α, β, γ οι ζητούμενοι αριθμοί. Τότε: Οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, άρα : β αγ () Οι αριθμοί α, β 8, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, άρα : β 8 α γ () Οι αριθμοί α, β 8, γ 64 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, άρα : β 8 α γ 64 () Η () λόγω της () γράφεται : β 8 α γ 64 β 6β 64 αγ 64α 6β 64 64α β 4α 4 (4) Η () λόγω της (4) γράφεται : β 8 α γ 4α 4 8 α γ 4α 4 α γ 7α 8 γ (5) Τέλος η () λόγω των σχέσεων (4) και (5) γράφεται : β αγ 4α 4 α 7α 8 6α α 6 7α 8α 9α 40α 6 0 Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι : 40 4 9 6 6 00 6 6 6 64 4 8 και οι ρίζες του α () 40 7 40 8 8 4 8 40 8 4 8 8 9 Για α 4 η (4) δίνει : β 4 4 4 και η (5) δίνει : γ 7 4 8 6 Οι αριθμοί λοιπόν είναι οι : 4,, 6 9. Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους να ισχύουν τα εξής : i) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ii) έχουν άθροισμα 5 iii) αν σ αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς, 4, 9 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. - 7 -
Έστω α ω, α, α ω οι ζητούμενοι αριθμοί. Σύμφωνα με την υπόθεση, έχουμε : α ω α α ω 5 α 5 α 5 Οι αριθμοί 6 ω, 9, 4 + ω είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, άρα : 9 6 ω 4 ω 8 44 4ω 6ω ω ω 8ω 6 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () δίνει : 4 4 6 576 Οι ρίζες είναι : ω 8 4 6 8 4 8 4 4 Για α 5 και ω, οι αριθμοί είναι :, 5, 8 Για α 5 και ω, οι αριθμοί είναι : 6, 5, -6 0. Ο Πέτρος γιορτάζοντας τα α γενέθλιά του, ζήτησε από τους γονείς του για δώρο 5.000 δρχ και κάθε επόμενα γενέθλια να του αυξάνουν το ποσό κατά.000 δρχ μέχρι να γιορτάσει τα χρόνια του. Ο πατέρας του αντιπρότεινε τα εξής : «Θα σου δώσω τώρα 500 δρχ. και κάθε επόμενα γενέθλιά σου θα σου διπλασιάζω το προηγούμενο ποσό». Ο Πέτρος σκέφτηκε λίγο και απέρριψε την πρόταση του πατέρα του πιστεύοντας ότι όταν θα γιορτάζει τα 8 α γενέθλιά του με τη δική του πρόταση θα πάρει περισσότερα χρήματα. i) Δικαιολογήσετε γιατί συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την άποψη του Πέτρου. ii) Πόσα χρήματα θα πάρει με τη δική του πρόταση στα α γενέθλιά του και πόσα θα έπαιρνε με την πρόταση του πατέρα του; i) Η πρόταση του πατέρα αποτελεί γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α 500 και λ. Άρα στα 8 α γενέθλια ο Πέτρος θα έπαιρνε : 6 6 α8 α λ 500 500 64.000δρχ. Η πρόταση του Πέτρου αποτελεί αριθμητική πρόοδο με β ω.000. Άρα στα 8 α γενέθλια ο Πέτρος θα έπαιρνε : 5.000 και - 8 -
β8 β 6ω 5.000 6.000 5.000 8.000.000δρχ. Επομένως, ο Πέτρος θα πάρει περισσότερα χρήματα, σύμφωνα με την πρόταση του. ii) Στα α γενέθλιά του, τα χρήματα που θα πάρει συνολικά ο Πέτρος, σύμφωνα: Με την πρότασή του, είναι : β 9ω 5.000 9.000 S 0 0 57.000 5 85.000 Με την πρότασή του πατέρα, είναι : 0 0 α λ 500 S 500.0 5.500 δρχ. λ δρχ. - 9 -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε κάθε μια από τις γεωμετρικές προόδους : i) του α 0 της:, 4, 8 5 75,.. ii) του α 5 της:,, 4,.. Να βρείτε τον ο όρο της γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6 ος όρος είναι 448 και ο λόγος.. Να προσδιοριστεί ο όρος της προόδου: 6,, 4,.ο οποίος ισούται με.07. 4. Να υπολογίσετε το λόγο λ μιας γεωμετρικής α ν όταν α α 4 7. και 5. Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος (α ν ) όταν : α και α 84. Να υπολογιστεί ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου, αν ο λόγος της είναι και ο α7 8. 6. Έστω η γεωμετρική πρόοδος : 6, 8, 4,..Να βρείτε τον όρο της προόδου που ισούται με 8. 7. Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο ο ος όρος είναι είναι 6 να βρείτε τον 0ο όρο της. και ο 6ος όρος - 0 -
8. Να βρείτε τον όρο της γεωμετρικής προόδου, 6, 8, που είναι ίσος με 486. 9. Σε μια γεωμετρική πρόοδο δίνεται α 5, ν και αν βρεθεί ο λόγος και το άθροισμα S ν. 5.0.Να 0. Σε μια γεωμετρική πρόοδο δίνεται α 5, λ και Sν βρεθεί το πλήθος ν. 5. Να. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου :, 5, 75, 75,.που : i) Υπερβαίνει το.600 ii) Είναι μικρότερος του.800. Να προσδιοριστεί ο x ώστε οι αριθμοί :, x, x+ να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.. Να βρείτε το x ώστε οι αριθμοί : 5x 9, x +, x να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 4. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου να δείξετε ότι: α β α β γ γ 5. Αν οι αριθμοί,, δείξετε ότι οι αριθμοί προόδου.. α β γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να β β β α,, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής 6. Αν οι μη μηδενικοί όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής α β γ προόδου, δείξτε ότι : α β γ α β γ. - -
7. Αν οι α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, δείξτε ότι: αβ γ β γ α β β γ. 8. Να προσδιοριστεί ο x ώστε να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής 4 προόδου οι αριθμοί : x, x, x 4. 9. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i) 80 +40 0 +..+ 5 8 ii) 8 6 +... 8 0. Στη γεωμετρική πρόοδο, 6, 8,.να βρείτε το πλήθος των πρώτων όρων που έχουν άθροισμα.. Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι : λ, αν 54 και Sν 40 να βρείτε τους α και ν.. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 9 όρων της γεωμετρικής προόδου (α ν ) στην οποία είναι: α α4 56 και α α6 504.. Αν το άθροισμα τριών διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι και το γινόμενό τους είναι 6 να βρείτε τους όρους αυτούς. 4. Να βρείτε τρεις αριθμούς ώστε να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να έχουν γινόμενο 8 και άθροισμα. 5. Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου όταν το γινόμενό τους είναι 5 και ο τρίτος είναι εξαπλάσιος του πρώτου. 6. Μεταξύ των αριθμών και 56 να παρεμβάλλετε άλλους τρεις αριθμούς ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. - -
7. Να λύσετε την εξίσωση : 0 ημx 4 ημ x 7 ημ x... 8 ημ x 45 8. Να βρεθούν τρεις αριθμοί που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο, αν το άθροισμά τους είναι 56 και το άθροισμα των αντίστροφών τους είναι 7. 9. Να βρεθούν ο πρώτος όρος και ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου, αν το άθροισμα των 4 πρώτων όρων είναι 40 και το άθροισμα των 8 πρώτων όρων είναι.80. 0. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου 4 Px αγx β x γx με το x + είναι να δείξετε ότι οι αριθμοί: α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Π.. i) Να λυθεί η εξίσωση x x 5x 50 0. ii) Να βρεθεί μια γεωμετρική πρόοδος με πέμπτο όρο την μικρότερη ρίζα και λόγο τη μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (i). iii) Να βρεθεί το άθροισμα Sν των ν πρώτων όρων της παραπάνω γεωμετρικής προόδου αν ως ν πάρω το τριπλάσιο της τρίτης ρίζας του ερωτήματος (i). Π.. Βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού x ώστε: συνx, ημx, εφx να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Π.. Να βρεθεί ο x αν οι αριθμοί όροι γεωμετρικής προόδου. x x, log, log είναι διαδοχικοί Π.4. Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος με α, α ημx, α4 ημx 0 x π. i) Να δείξετε ότι x π. - -
ii) Να δείξετε ότι ο λόγος είναι λ = και ο πρώτος όρος είναι α iii) Να βρείτε το άθροισμα των έξι πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου.. Π. 5.Η μελέτη βακτηριδίων έδειξε τα εξής : i) ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 400 ii) 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν.00 Ο τύπος που δίνει τον αριθμό των βακτηριδίων σε χρόνο t είναι kt P t P0 όπου P 0 ο αρχικός αριθμός και k σταθερά. Να βρείτε την σταθερά k. Να βρείτε τον αρχικό αριθμό P 0 των βακτηριδίων. - 4 -