ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου: 4264 Τμήμα: Μηχανολόγων Μηχανικών Εξάμηνο: 9 ο Ακαδημαϊκό έτος: 2006 2007
1. Α Ερώτημα 1.1 Γωνίες φ2 και φ3 Για τον προσδιορισμό των γωνιών φ 2 και φ 3 καταστρώνουμε αρχικά τις εξισώσεις που περιγράφουν τον μηχανισμό του μαδητήρα. Αυτές είναι οι εξής: από την οποία εξάγονται 2 εξισώσεις, μία για την κατεύθυνση x και μία για την κατεύθυνση y: προκύπτοντας ένα σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους. Όμως επειδή το σύστημα είναι μη γραμμικό, αν και έχει αναλυτική λύση, επιλύεται αριθμητικά χρησιμοποιώντας την μέθοδο Newton Raphson. Η μέθοδος Newton Raphson είναι μία επαναληπτική μέθοδος κατά την οποία θεωρείται μία αρχική εκτίμηση της λύσης και συνέχεια υπολογίζεται μία καλύτερη προσέγγιση της πραγματικής λύσης. Όταν η τιμή των 2 συναρτήσεων γίνει μικρότερη από την ακρίβεια που έχουμε ορίσει, τότε θεωρούμε ότι έχουμε προσδιορίσει την πραγματική λύση. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα ζητήθηκε να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων για κάθε γωνία θ. Έτσι όταν η μέθοδος έβρισκε μία λύση για τις γωνίες φ 2 και φ 3 για συγκεκριμένη γωνία θ, μετέβαλλε την γωνία θ κατά μία μικρή τιμή και έψαχνε λύση του καινούριου συστήματος που προέκυπτε. Για να λύνεται το καινούριο σύστημα πιο γρήγορα, αλλά και να παρουσιάζει μεγαλύτερη ευστάθεια η μέθοδος, σαν αρχική εκτίμηση των γωνιών οριζόταν η τιμή των γωνιών στο προηγούμενο βήμα (για την προηγούμενη θ). Εφόσον η θ μεταβάλλεται λίγο, λογικό είναι και οι 2 άλλες γωνίες να μην παρουσιάζουν μεγάλες μεταβολές. Έτσι η αρχική εκτίμηση βρίσκεται πολύ κοντά στην πραγματική λύση και ο επιλυτής λύνει πιο γρήγορα το σύστημα. Για να στήσουμε την αριθμητική μέθοδο του Newton Raphson χρειάζεται να υπολογίζουμε τον Ιακωβιανό πίνακα των εξισώσεών μας, ο οποίος δίνεται από τον τύπο: όπου f είναι το διάνυσμα των εξισώσεων και q είναι το διάνυσμα των αγνώστων (στην περίπτωσή μας φ 2 και φ 3. Κάνοντας τις πράξεις προσδιορίζουμε τον Ιακωβιανό πίνακα στην εξής μορφή: Ισχύει ότι πολλαπλασιάζοντας τον Ιακωβιανό πίνακα με το διάνυσμα της νέα εκτίμησης της λύσης, προκύπτει το διάνυσμα των εξισώσεων. Άρα πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο
του Ιακωβιανού με το διάνυσμα των εξισώσεων προκύπτει η νέα εκτίμηση της λύσης. Αντικαθιστώντας την νέα αυτή εκτίμηση στις εξισώσεις ελέγχουμε το σφάλμα της εκτίμησης, και αν είναι μεγαλύτερο από την ακρίβεια που έχουμε θέση, τότε επαναλαμβάνουμε την διαδικασία για να προσδιορίσουμε τον καινούριο Ιακωβιανό πίνακα για το νέο σημείο. Επαναλαμβάνοντας τους υπολογισμούς για κάθε γωνία θ, προκύπτουν οι λύσεις για τις γωνίες φ 2 και φ 3 για κάθε θ. Εικόνα 1 Γωνίες φ2 και φ3 Όπως γίνεται φανερό, για να μπορεί να επιλυθεί το πρόβλημα με αυτή τη μέθοδο, θα πρέπει να υπάρχει ο αντίστροφος του Ιακωβιανού πίνακα, ώστε να μπορεί να πολλαπλασιαστεί με το διάνυσμα των εξισώσεων. Επιπλέον μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε ότι υπάρχουν σημεία του μηχανισμού για τον οποίο ισχύει ότι η οριζουσά του είναι μηδέν. Αυτά τα σημεία προσδιορίζονται εύκολα, εάν μηδενίσουμε την ορίζουσα: Και προκύπτει τελικά ότι Άρα για τις θέσεις για τις οποίες ισχύει φ 2 φ 3 =(κ+1)π/2 η μέθοδος μας δεν μπορεί να υπολογίσει την λύση του συστήματος. Τέτοια σημεία είναι τα σημεία έκτασης και επικάλυψης του μηχανισμού. 1.2 Γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση των μελών Ο προσδιορισμός της γωνιακής ταχύτητας των μελών είναι απλός στην περίπτωση που γνωρίζουμε την ταχύτητα των μελών για κάθε γωνία θ. Παραγωγίζοντας τις εξισώσεις κίνησης από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτουν οι εξής σχέσεις: το οποίο είναι ένα γραμμικό σύστημα 2 αγνώστων με 2 εξισώσεις και λύνεται εύκολα για κάθε τριάδα θ, φ 2,φ 3. Ομοίως εργαζόμαστε και για τον προσδιορισμό των γωνιακών
επιταχύνσεων. Παραγωγίζοντας τις εξισώσεις από τις οποίες προκύπτουν οι γωνιακές ταχύτητες έχουμε: το οποίο είναι και πάλι ένα σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους. Στην περίπτωσή μας ισχύει ότι η γωνιακή επιτάχυνση του 1 ου μέλους είναι μηδέν, αφού το μέλος έχει σταθερή ταχύτητα. Τα αποτελέσματα των υπολογισμών για την γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση των μελών 1 και 2 φαίνεται στις εικόνες Εικόνα 2 Γωνιακές ταχύτητες του μέλους 2 και 3 Εικόνα 3 γωνιακές επιταχύνσεις του μέλους 2 και 3 1.3 Ταχύτητα και επιτάχυνση μάζας μαδητήρα Για τον προσδιορισμό της ταχύτητας και της επιτάχυνσης της μάζας του μαδητήρα, χρειάζεται να προσδιορίσουμε πρώτα την θέση του για κάθε γωνία του 1 ου μέλους θ. Για να προσδιορίσουμε την θέση παίρνουμε το διάνυσμα θέσης του σημείου Δ που ισούται με:
Εικόνα 4 Θέση μάζας Δ στην κατεύθυνση x και y Εικόνα 5 Θέση μάζας Δ στο χώρο έπειτα παραγωγίζουμε ως προς το χρόνο για να προκύψει η ταχύτητα. Με μία επιπλέον παραγώγιση προκύπτει και η επιτάχυνση. Οι σχέσεις για την ταχύτητα και την επιτάχυνση είναι οι εξής:
Εικόνα 6 ταχύτητα μάζας Δ στην κατεύθυνση x και y Εικόνα 7 επιτάχυνση μάζας Δ στην κατεύθυνση x και y 1.4 Θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση κέντρου μάζας Για τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου μάζας, χρειάζεται να προσδιορίσουμε την θέση των κέντρων μάζας του κάθε μέλους. Έπειτα πολλαπλασιάζουμε το διάνυσμα του κάθε μέλους με την μάζα του μέλους, προσθέτουμε τα επιμέρους γινόμενα και διαιρούμε με την συνολική μάζα των μελών. Έτσι προκύπτουν οι εξής εξισώσεις:
Εικόνα 8 θέση κέντρου μάζας στην κατεύθυνση x και y Εικόνα 9 θέση κέντρου μάζας μηχανισμού στο χώρο Παραγωγίζοντας τις εξισώσεις μία φορά προκύπτει η ταχύτητα του κέντρου μάζας, ενώ με δεύτερη παραγώγιση προκύπτει η επιτάχυνση του κέντρου μάζας: Εικόνα 10 ταχύτητα κέντρου μάζας στην κατεύθυνση x και y
Οι εξισώσεις υπολογισμού της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας δεν παρουσιάζονται λόγω του ότι το μέγεθός τους δεν τις επιτρέπει να χωρέσουν σε μία σειρά. Εικόνα 11 επιτάχυνση κέντρου μάζας στην κατεύθυνση x και y Η ακινητοποίηση του κέντρου μάζας δεν είναι δυνατή μόνο με την προσθήκη μαζών στην προέκταση των μελών 1 και 2. Η ακινητοποίηση του κέντρου μάζας είναι δυνατή μόνο με την προσθήκη 3 τουλάχιστον μαζών στον μηχανισμό. Δηλαδή μόνο εάν τοποθετηθούν μάζες στις προεκτάσεις και των 3 ων μελών. 1.5 Ισοδύναμη μαζική ροπή αδράνειας Όπως μας δίνεται και από την άσκηση, η ισοδύναμη ροπή αδράνειας μπορεί να δοθεί από τον τύπο: όπου Τ είναι η συνολική κινητική ενέργεια του μηχανισμού σε κάθε θέση θ. Άρα, προσδιορίζοντας την συνολική κινητική ενέργεια του μηχανισμού για κάθε θ, μπορούμε να υπολογίσουμε την ισοδύναμη μαζική ροπή αδράνειας. Η κινητική ενέργεια του κάθε μέλους δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις: Και η ισοδύναμη μαζική ροπή αδράνειας από την σχέση:
Εικόνα 12 Η ισοδύναμη μαζική ροπή αδράνειας του μηχανισμού 1.6 Δυνάμεις αρθρώσεων Για τον προσδιορισμό των δυνάμεων αρθρώσεων χρησιμοποιούμε τον νόμο του Νεύτωνα. Από τη στιγμή που γνωρίζουμε τα κινηματικά μεγέθη όλων των μελών, μπορούμε εύκολα να εφαρμόσουμε τον νόμο του Νεύτωνα γι αυτά. Έτσι προκύπτουν οι εξής εξισώσεις: 1 ο μέλος: 2 ο μέλος: 3 ο μέλος: Με αυτόν τον τρόπο, καταλήγουμε σε ένα σύστημα 9 εξισώσεων με 9 αγνώστους. Επειδή το σύστημα αυτό είναι γραμμικό, η επίλυσή του γίνεται πολύ εύκολα. Επιλύοντας το σύστημα για όλες τις τριάδες θ, φ 2 και φ 3, προσδιορίζουμε τις δυνάμεις για κάθε σημείο λειτουργίας του μηχανισμού.
Εικόνα 13 δύναμη στον σύνδεσμο Α στην κατεύθυνση x και y Εικόνα 14 δύναμη στον σύνδεσμο Β στην κατεύθυνση x και y Εικόνα 15 δύναμη στον σύνδεσμο Γ στην κατεύθυνση x και y
Εικόνα 16 δύναμη στον σύνδεσμο Ο στην κατεύθυνση x και y Υπολογίζοντας την απαιτούμενη ροπή Μ 0 σε κάθε σημείο λειτουργίας του μηχανισμού, προσθέτοντας όλες τις τιμές και διαιρώντας με τον αριθμό των τιμών, προσδιορίζουμε την μέση ισχύ του κινητήρα, ώστε να δουλεύει ο μηχανισμός με τις συγκεκριμένες στροφές (240 rpm). Έτσι υπολογίζουμε ότι η μέση ισχύς του κινητήρα είναι P m =711.4 W, ή 0.95 Hp. 1.7 Συνισταμένη αδρανειακή δύναμη Ο τρόπος υπολογισμού της συνισταμένης αδρανειακής δύναμης είναι πολύ απλός. Είτε προσδιορίζουμε τις δυνάμεις στα σημεία στήριξης Ο και Γ, χωρίς όμως να λάβουμε υπ όψιν την δύναμη F Δ, λόγω του ότι δεν είναι αδρανειακή δύναμη. Ένας πιο απλός υπολογισμός είναι να εφαρμοστεί η σχέση του Νεύτωνα πάνω στο κέντρο μάζας του μηχανισμού. Γνωρίζοντας τη επιτάχυνση του κέντρου μάζας κάθε στιγμή, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τι δύναμη ασκεί το πλαίσιο στο κέντρο μάζας για να κινηθεί. Η δύναμη αυτή είναι ίση και αντίθετη με τη συνισταμένη αδρανειακή δύναμη που ασκεί ο μηχανισμός στο πλαίσιο. Εικόνα 17 Συνισταμένη αδρανειακή δύναμη στο πλαίσιο στην κατεύθυνση x και y
2 Β Ερώτημα 2.1 Κεντρική διαφορά Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα του μηχανισμού στην μόνιμη κατάσταση λειτουργίας, θα πρέπει να καταστρώσουμε αρχικά την εξίσωση κίνησης του μηχανισμού. Για την κατάστρωση αυτή χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις του Lagrance: όπου Τ είναι η κινητική ενέργεια του μηχανισμού, V η δυναμική και D η συνάρτηση σκέδασης του Rayleigh. Για το σύστημα που μελετάμε ισχύουν τα εξής: Άρα η εξίσωσης κίνησης είναι: όπου I eq είναι η παράγωγος της ισοδύναμης μαζικής ροπής αδράνειας ως προς την γωνία θ. Λύνοντας λοιπόν αυτή την εξίσωση, προσδιορίζουμε για κάθε χρονική στιγμή την γωνία θ και την γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση. Για να προχωρήσουμε στην αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης, αντικαθιστούμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση με τα εξής: όπου θ n η γωνία την χρονική στιγμή n, θ n+1 η γωνία θ στην χρονική στιγμή n+1 και h είναι το βήμα της αριθμητικής ολοκλήρωσης. Αντικαθιστώντας την ταχύτητα και την επιτάχυνση στην εξίσωση κίνησης, προκύπτει μία γραμμική εξίσωση 2 ου βαθμού, την οποία και λύνουμε ως προς θ n+1 με την γνωστή μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2 ου βαθμού.
Όπως φαίνεται, στην εξίσωση εμφανίζεται ο όρος θ n 1, δηλαδή η γωνία κατά την χρονική στιγμή n 1. Είναι λογικό λοιπόν, η μέθοδος αυτή να μην μπορεί να ξεκινήσει, γιατί για n=0 χρειαζόμαστε την γωνία την χρονική στιγμή 1. Για να ξεπεράσουμε αυτό το εμπόδιο, και να ξεκινήσει η επίλυση, υπολογίζουμε την γωνία την χρονική στιγμή 1 από την παρακάτω σχέση: Λύνοντας την εξίσωση δευτέρου βαθμού προκύπτουν οι ζητούμενες γωνίες, και βάση αυτών υπολογίζονται οι ταχύτητες και επιταχύνσεις για κάθε χρονική στιγμή. Όμως λόγο των πολύ μεγάλων αριθμών που εμφανίζονται κατά την επίλυση, επιλέγεται μία λίγο πιο σταθερή μέθοδος από την κλασσική. Βάση αυτής της μεθόδου, ισχύει: όπου α, β και γ οι συντελεστές της εξίσωσης. Η επίλυση αυτή παρουσιάζει μεγαλύτερη σταθερότητα όταν το β 2 είναι πολύ μεγαλύτερο του 4αγ. Όπως φαίνεται και από την εξίσωση κίνησης, είναι αναγκαίος ο προσδιορισμός των μεγεθών Ι eq, Ι eq, Μ 0 και της μερικής παραγώγου της γωνίας φ 3 ως προς θ. Για τον υπολογισμό αυτών τον μεγεθών σε κάθε χρονική στιγμή, χρησιμοποιούνται προσεγγιστικά πολυώνυμα. Τα πολυώνυμα αυτά είναι τέτοια, ώστε να προσεγγίζουν τις τιμές των μεγεθών αυτών για κάθε γωνία θ (άρα και για κάθε χρονική στιγμή). Η προσέγγιση έγινε με την μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων, και βασίστηκε στα δεδομένα από το Α ερώτημα. Οι εξισώσεις προσέγγισης των μεγεθών είναι: (3.9258 018*6*θ 5 1.586e 014*5*θ 4 +1.5169e 011*4*θ 3 +3.9842e 009*3*θ 2 8.4404e 006*2*θ+0.0012172)*1000/(2Pi) I eq =(1.5006e 018*θ 7 4.3612e 015*θ 6 +3.8245e 012*θ 5 1.5957e 010*θ 4 1.3116e 006*θ 3 +0.00056398*θ 2 0.056638*θ+2.19) )*1000/(2Pi) M o =3.327e 015*vt 6 6.9529e 012*vt 5 +5.0398e 009*vt 4 1.7239e 006*vt 3 +0.00031195*vt 2 0.019547*vt+15.426 Ολοκληρώνοντας αριθμητικά την εξίσωση, με αρχικές συνθήκες: θ 0 =2 rad, θ 0=0 και προσδιορίζοντας την αρχική γωνιακή επιτάχυνση από την εξίσωση κίνησης, αντικαθιστώντας την αρχική θέση και ταχύτητα, παρουσιάζεται το εξής αποτέλεσμα:
Εικόνα 18 χρονική απόκριση μηχανισμού 2.2 Μείωση διακυμάνσεων μηχανισμού Για τη μείωση των διακυμάνσεων του μηχανισμού προστίθεται ένας σφόνδυλος, ο οποίος αυξάνει την αδράνεια του μηχανισμού και απορροφά της απότομες μεταβολές της επιτάχυνσης. Για να μελετηθεί η συνεισφορά του σφονδύλου στην εξομάλυνση της ταχύτητας του μηχανισμού, λύθηκε το σύστημα για πολλές τιμές της μαζικής ροπής αδράνειας του σφονδύλου, ξεκινώντας από 0 και καταλήγοντας σε 25 kgm 2. Εικόνα 19 Συσχέτιση βαθμού ανομοιομορφίας δ και μαζικής ροπής αδράνειας για μικρό κινητήρα Από την ανάλυση αυτή, μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι για γωνιακή ταχύτητα 32 rad/sec, πετυχαίνουμε τον ιδανικό βαθμό ανομοιομορφίας της γωνιακής ταχύτητας δ=0.01 για πρόσθετη μαζική ροπή αδράνειας I add =149 kg m 2. Λύνοντας την εξίσωση προσθέτοντας την επιπλέον μαζική ροπή αδράνειας, προκύπτει το εξής αποτέλεσμα:
Εικόνα 20 χρονική απόκριση μηχανισμού με πρόσθετη μαζική ροπή αδράνειας και μεσαίο κινητήρα Παρατηρούμε ότι ο μηχανισμός χρειάζεται περίπου 140 δευτερόλεπτα για να φτάσει την μόνιμη κατάσταση, λόγο της αυξημένης ροπής αδράνειας. Όμως επίσης παρατηρούμε ότι οι διακυμάνσεις της ταχύτητας είναι πολύ μικρές, όπως προβλέφθηκε και από το προηγούμενο διάγραμμα. Επαναλαμβάνοντας την ίδια ανάλυση για έναν μεγαλύτερο κινητήρα (30 hp αυτή τη φορά), καταλήγουμε στο παρακάτω διάγραμμα σχετικά με την συσχέτιση του βαθμού ανομοιομορφίας και της επιπρόσθετης μαζικής ροπής αδράνειας: Εικόνα 21 Συσχέτιση βαθμού ανομοιομορφίας δ και μαζικής ροπής αδράνειας για μεγάλο κινητήρα Στην προκειμένη περίπτωση, για να επιτευχθεί βαθμός ανομοιομορφίας δ=0.01, πρέπει να προστεθεί μαζική ροπή αδράνειας I add =132 kg m 2. Προσθέτοντας αυτή τη μάζα έχουμε την εξής μεταβατική κατάσταση:
Εικόνα 22 χρονική απόκριση μηχανισμού με πρόσθετη μαζική ροπή αδράνειας και μεγάλο κινητήρα Σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε ότι ο μηχανισμός χρειάζεται περίπου 25 δευτερόλεπτα για να φτάσει στην μόνιμη κατάσταση, δηλαδή σχεδόν 5 φορές πιο γρήγορα από ότι με τον προηγούμενο κινητήρα (1 hp). Επιπλέον επιτυγχάνεται περίπου 5 φορές μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα. Στην περίπτωση που τοποθετήσουμε μικρότερο κινητήρα, τότε από την ανάλυση προκύπτει ότι χρειαζόμαστε μεγαλύτερη μαζική ροπή αδράνειας για να πετύχουμε τον επιθυμητό βαθμό ανομοιομορφίας. φ Εικόνα 23 Συσχέτιση βαθμού ανομοιομορφίας δ και μαζικής ροπής αδράνειας για μικρό κινητήρα Για έναν μικρότερο κινητήρα (0.0001 hp ή 90 W), προκύπτει απαιτούμενη μαζική ροπή αδράνειας I add = 176 kg m 2 και η μεταβατική απόκριση του μηχανισμού γι αυτή την περίπτωση φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:
Εικόνα 24 χρονική απόκριση μηχανισμού με πρόσθετη μαζική ροπή αδράνειας και μικρό κινητήρα Η μεταβατική περίοδος διαρκεί περίπου 220 δευτερόλεπτα, κάτι που δικαιολογείται από την μικρή ισχύ του κινητήρα. Και σε αυτή την περίπτωση βλέπουμε πως ο μηχανισμός δέχεται μικρές αυξομειώσεις της ταχύτητας του, ενώ η τελική του ταχύτητα είναι περίπου 8 rad/sec. 2.3 Η μέθοδος Newmark Για να ολοκληρωθεί το σύστημα με την μέθοδο Newmark θα πρέπει αρχικά να καταστρωθούν οι εξισώσεις κίνησης. Χρησιμοποιώντας και πάλι τις εξισώσεις του Lagrance, όπως και στην μέθοδο της κεντρικής διαφοράς, προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης. Γνωρίζουμε ότι: Έτσι προκύπτουν οι 2 εξισώσεις κίνησης για το σύστημά μας, που σε μητρωική μορφή γράφονται ως εξής:
Όπου Από την μέθοδο του Newmark γνωρίζουμε ότι: Αντικαθιστώντας τις δύο αυτές εξισώσεις στο σύστημα των εξισώσεων κίνησης, προκύπτει ένα σύστημα 2 εξισώσεων με δύο αγνώστους (γωνιακή επιτάχυνση του 1 ου και 2 ου μέλους). Επειδή αυτή η εξίσωση περιέχει μη γραμμικούς όρους, που προέρχονται από τον όρο που είναι υψωμένος στο τετράγωνο, δεν είναι εύκολη η αναλυτική επίλυσή του. Γι αυτό χρησιμοποιούμε και πάλι την μέθοδο Newton Raphson ώστε να προσδιορίζουμε σε κάθε χρονικό βήμα την λύση του συστήματος. Γνωρίζοντας την γωνιακή επιτάχυνση για την επόμενη χρονική στιγμή, μπορούμε να προσδιορίσουμε εύκολα και την γωνιακή ταχύτητα και γωνία, από τις εξισώσεις που δόθηκαν παραπάνω. Η μέθοδος του Newton Raphson δεν αναλύεται περισσότερο σε αυτή την παράγραφο, καθώς έχει περιγραφεί αναλυτικά στην πρώτη παράγραφο. Πρέπει επιπλέον να υπολογιστεί η επιθυμητή στιβαρότητα του στρεπτικού ελατηρίου, ώστε η πρώτη ιδιοσυχνότητα που αντιστοιχεί στην ελαστική ιδιομορφή του συστήματος να είναι ίση με την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, δηλαδή 25 rad/sec. Για να υπολογιστεί λοιπόν η επιθυμητή στιβαρότητα θα πρέπει να λυθεί το ιδιοπρόβλημα Κ ω 2 Μ =0. Έτσι έχουμε: Ή όπου είναι η μέση τιμή της μαζικής ροπής αδράνειας του μηχανισμού 4 ων μελών. Κάνοντας τους υπολογισμούς προκύπτει ότι k 0 =1082.6 Nm. Έτσι ολοκληρώνοντας το σύστημα γι αυτή την τιμή του k 0, προκύπτει η παρακάτω μεταβατική απόκριση. Εικόνα 25 χρονική απόκριση μηχανισμού με k0 τέτοιο ώστε η διέγερση να έχει συχνότητα ίση με την πρώτη ιδιοσυχνότητα
Παρατηρούμε ότι το σύστημα δεν φτάνει σε μία μόνιμη κατάσταση ταλάντωσης, και αυτό είναι λογικό αν αναλογιστεί κανείς ότι τα χαρακτηριστικά του συστήματος (η k 0 ) έχουν επιλεγεί έτσι, ώστε να διεγείρεται το σύστημα στην πρώτη του ιδιομορφή. Εάν δεν υπήρχε απόσβεση στο σύστημα, τότε αυτό θα έκανε ταλάντωση άπειρου εύρους. Έπειτα μελετάται η απόκριση του συστήματος στην περίπτωση k=10k 0. Εικόνα 26 χρονική απόκριση μηχανισμού με k0 10πλάσιο από την προηγούμενη περίπτωση Το σύστημα σε αυτή την περίπτωση εμφανίζει περιοδική απόκριση, έστω και με μεγάλη περίοδο, σχετικά με την περίοδο της διέγερσης. Στην επόμενη περίπτωση, όπου k=k 0 /10, έχουμε την εξής απόκριση. Εικόνα 27 χρονική απόκριση μηχανισμού με k0 υπό 10πλάσιο από την πρώτη περίπτωση Όπως αναμενόταν, εμφανίζεται και πάλι περιοδική απόκριση, μικρότερου εύρους. Στην τελευταία περίπτωση, όπου έχουμε σχεδόν απαραμόρφωτο σύνδεσμο (k=1e7), τα 2 μέλη εμφανίζονται να κινούνται με την ίδια ακριβώς ταχύτητα, σαν να ήταν δηλαδή ένα σώμα.
Εικόνα 28 χρονική απόκριση μηχανισμού με k0 πολύ μεγάλο (απαραμόρφωτο)