Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers"."

Transcript

1 Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses, Graphical methods, Statistical significance, Statistical error, Relationships among variables, Regression. The course does not include the technical details which are required from statisticians, but is aimed to get an understanding of the principles underlying statistical methods, particularly the methods that are useful for managesrs. In the course, guidelines will be presented how to avoid typical errors that lead to wrong conclusions of statistical results. Most textbooks titled "BUSINESS STATISTICS" include material beyond that which is covered in the current course. The pre-requisite for this course are basic concepts of probability. In particular : distributions of discrete and continuous variables, The Binomial Distribution, The Normal Distribution, ( how to obtain percentiles from tables). Descriptive statistics : Mean, Standard deviation. The Histogram Students will be required to pass a test on the pre-requisite topics. An attached file includes a sample of questions to give you an idea on what is expected in this test. Students whose previous degrees were in Statistics or Economics are exempted from this course. Exemptions are not given to those students who only took probability courses. The book : Business Statistics by Johnson R.A. & Wichern D.W, Wiley (1997) is one of numerous books on "BUSINESS STATISTICS" The internet includes many websites, (among them the WIKIPEDIA). The site : is an example of a useful demonstration on the NORMAL DISTRIBUTION properties. The Site: 1

2 is a nice visual example of using histograms The attached files in Hebrew are parts of a book in Hebrew available in the library of our faculty, titled : Basic Statistical Concepts and Their Applications, by Ayala Cohen.

3 הצגות גרפיות בהינתן אוסף של נתונים בצורה גולמית, קשה מאד ולמעשה לרוב לא ניתן לקבל מסקנות מהנתונים הגולמיים העיבוד של אוסף נתונים נדרש הן כאשר האוסף לפיכך, מעבדים את הנתונים. על ידי הסתכלות באוסף. בעיבוד, מקובל לתמצת מידע ולחשב ערכים מהווה מדגם מאוכלוסיה והן כשהאוסף הוא על כל האוכלוסיה. כמו: ממוצע הנתונים (אם הנתונים מספריים), שכיחות יחסית של מקרים אם מדובר מאפיינים מסכמים. היתרון בתימצות הוא שקל לנו לקלוט מידע כזה ולעתים קרובות הוא מספק את המטרה בנתונים קטגוריים. שלשמה נאספו הנתונים. סטטיסטיקה תאורית כוללת שיטות גרפיות שמטרתן להציג אוסף נתונים בצורה שתאפשר בקלות לראות לעתים קרובות, משתמשים בשיטות התאוריות כשלב ראשוני בעיבוד סטטיסטי ואחר מאפיינים של הנתונים. בהמשך נתאר מספר שיטות גרפיות לתאור נתונים. כך עוברים לשיטות מתוחכמות יותר של הסקה סטטיסטית. השיטה המתאימה תלויה בדרך כלל בסוג הנתונים. לשימוש בשיטות גרפיות מתאימות יתרון רב שכן מהגרף לא בכדי מקובלת האימרה שתמונה אחת שווה לעתים יותר מאלף מלים. ניתן ללמוד על מבנה הנתונים. סוגי משתנים משתנה כמותי מקבל ערכים מספריים כך שיש משמעות יש להבדיל בין משתנים כמותיים ומשתנים איכותיים. ניתן גם ליחס משמעות לסכום המספרים הללו ולהפרשם. יש משתנים שמקבלים ערכים מספריים אך לגודלם. למשל: מספר תעודת זהות, אין משמעות למספרים הללו ואין טעם לדבר על הפרשים או סכומים שלהם. דוגמאות למשתנה איכותי: דוגמאות למשתנה כמותי הן: גובה, משקל, שכר חודשי, מספר ילדים. מיקוד. במשתנה איכותי אין מה הגודל? כאשר דנים במשתנה כמותי יש משמעות לשאלה: כמה? צבע שיער, מגדר. כאשר בידינו נתונים על משתנה איכותי. איזה סוג אך יש משמעות לשאלה: משמעות לשאלה זו, (qualitative) ניתן לסווג את הנבדקים לפי הקטגוריות השונות שמקבל המשתנה האיכותי. לכן נהוג לומר על משתנה איכותי שהוא משתנה קטגורי.(categorical) משתנה קטגורי גם נקרא משתנה נומינלי (שמי- בעברית). משתנה אורדינלי לדוגמא משתנה המקבל 5 ערכים אפשריים: זהו משתנה שמקבל מספר ערכים שיש משמעות לסדר ביניהם. עבור טמפרטורה ניתן לומר שהפרש למשל: גרוע, בינוני, טוב, טוב מאד, מצוין. משתנה אינטרבלי זהו משתנה הנמדד בסקלה שיש בה משמעות להפרש. 4 מעלות צלסיוס. הטמפרטורה שנמדדה בשני מקומות היה משתנה מנה זהו משתנה הנמדד בסקלה שיש בה אפס אבסולוטי.כאשר מתיחסים למשתנה מנה יש משמעות לומר דוגמא מהתוצאה לנבדק אחר. ) למשל פי שנים) שהתוצאה לגבי נבדק מסוים היא פי פקטור מסוים אפשר לומר שגובהו של נבדק A הוא פי 1. מגובהו של נבדק B. למשתנה כזה הוא גובה. נהוג גם לסווג משתנים שמקבלים ערכים מספריים ל- סוגים: משתנים שמקבלים רק ערכים מספריים בדידים, וכאלה המקבלים ערכים רציפים. דוגמא למשתנה בדיד (discrete) הוא: מספר ממתינים בתור (יכול לקבל ערכים...,0,1, אך לא 3/ למשל). משתנה רציף( continuous ) יכול לקבל כל ערך בתחום מסוים. למשל: גובה, טמפרטורה, משקל. צורת הניתוח הסטטיסטי המתאימה תלויה בסוג המשתנה הנמדד.בפרט, הצגות גרפיות שונות מתאימות לסוגי משתנים שונים 3

4 דיאגרמת מקלות Bar diagram הצורה הגרפית הפשוטה המקובלת בעתונות הפופולרית היא דיאגרמת מקלות צורה זו מתאימה לתאר סוגי נתונים. סוג אחד, כאשר המשתנה הנמדד הוא קטגורי, סוג שני למשתנה כמותי בדיד. בדיאגרמת מקלות כמתואר בדוגמא המצ"ב, גובהו של כל מקל (bar) פרופורציונלי לשכיחות המקרים באותה הקטגוריה. בדוגמא שלפנינו ) גרף מספר 7) התפלגות מכירות מוצר לפי מותג סה"כ ת ט ד ב גרף מספר 7 המשתנה הקטגורי קיבל 4 ערכים ת אפשריים. ט השכיחות ד הגבוהה ביותרב היתה לקטגוריה ד. במונחים סטטיסטיים נאמר שזהו השכיח.mode בדוגמא זו יש הבדל יחסי גדול בין מספר המקרים ) השכיחות) בקטגוריה השכיחה לבין השכיחות בקטגוריה השנייה בגודלה מבחינת השכיחות (ת. לעומת ד.). דיאגרמת מקלות מתאימה כאמור, הן לתיאור נתונים עבור משתנה קטגורי והן לתיאור עבור משתנה בדיד מספרי. לדוגמא בדקו בבית חרושת 150 יריעות בד שכל אחת מהן בעלת שטח של 10 מ"ר וסיווגו כל אחת מהיריעות לפי מספר הפגמים ביריעה. ) גרף מספר 8) סה"כ מס' פגמים שכיחות 4

5 גרף מספר השכיח במקרה זה הוא 3 פגמים. לעומת זאת, למשתנה במשתנה קטגורי, בדיאגרמת המקלות מיקום המקלות על הציר האפקי הוא שרירותי. בדיד מספרי, בדיאגרמת המקלות יש משמעות למיקום המקל ולמרחקים בין המקלות. דיאגרמת מקלות נותנת אם המדגם מייצג את האוכלוסיה, נצפה שהשכיחויות תמונה על התפלגות המדגם למשתנה קטגורי ובדיד. היחסיות במדגם תהיינה "קרובות" לשכיחיות המתאימות באוכלוסיה. לדוגמא נסתכל בטבלה בעזרת דיאגרמת מקלות ניתן להציג בצורה גרפית תוצאות המובאות בטבלת סמיכות. שתארה את הקשר בין דעתם של בעלי מניות לבין המשתנה המתאר את מספר המניות ) 7 פרק 1) מס כך נקבל על ציר ה- X -ים נתאר לכל שורה את התפלגות הדעות (בעד, נגד, אדיש). שמחזיק בעל המניה.. 9 למעשה 3 קבוצות כמתואר בגרף מספר גרף מספר 9 frequency f o u f o u f o u a p n a p n a p n v p d v p d v p d o o e o o e o o e r s c r s c r s c e i e i e i d d d e e e d d d ההצגה הגרפית ממחישה את ההבדל בין אלה שיש להם מספר מניות קטן יחסית לבין אלה שלהם הרבה bar) ( הגבוה ביותר הוא בקטגוריה under המקל 00 בגרף, המתאים לאלה שלהם מעט מניות, over השמאלי 1000 מניות. בחלק "בעד", בעוד עבור בעלי מספר מניות רב, המקל הגבוה ביותר הוא המתאים למתנגדים. הצגה זו גם מראה שבכל 3 הקטגוריות לפיהן סווגו בעלי המניות יש יחסית מעט כאלה שלא החליטו (undecided) 5

6 היסטוגרמה (שיטה לתאור נתוני משתנה רציף) מעשית, מעגלים נתוני כאשר המשתנה יכול לקבל עקרונית כל ערך בתחום מסוים, אנו מגדירים אותו כרציף. בניגוד למשתנה בדיד, למשתנה רציף יכללו הנתונים לרוב מספר רב של ערכים השונים זה משתנה רציף. לפיכך, במרבית המקרים לא סביר להשתמש בדיאגרמת מקלות. (נקבל מספר רב של מקלות קטנים מזה. נסמן ב- X את המשתנה הרציף. במקרה זה נשתמש בתיאור גרפי הנקרא היסטוגרמה. כמעט כמספר הנתונים). את נתוני X נתאר בהיסטוגרמה. נתאר את הצעדים בבנית היסטוגרמה: נחשב את טווח ערכי X (המינימום והמכסימום של הנתונים). 1. האינטרבל יהיה "קרוב" נחלק אינטרבל המכיל את הטווח למרווחים, לאו דווקא מרווחים שוים).. לטווח ומכיל אותו. נניח מספר זה למרווח בכל מרווח נמנה את שכיחות (מספר) ערכי X באוסף הנתונים שנפלו במרווח. 3. I i הוא.n i... X min X max נחשב את השכיחות היחסית של המקרים במרווח זה המוגדרת על ידי: f i = n i /n כאשר: n = Σn i נתאר את התוצאות בצורה גרפית באופן הבא: בציר האופקי נסמן את המרווחים. הקצה השמאלי של המרווח הראשון יהיה האחרון יהיה X min X max או ערך קרוב לו הקטן ממנו, בעוד הקצה הימני של המרווח או ערך קרוב לו הגדול ממנו. בכל מרוח I i ל- f. i אם כל המרווחים שווים באורכם יהיה גובה כל מלבן פרופורציונלי ל- f. i השטח הכולל של ההיסטוגרמה יהיה לפיכך פרופורציונלי ל- = 1 i.σf נבנה מלבן ששטחו פרופורציונלי.4 בחירת מספר המרווחים ומיקומם על הציר האפקי תלויה במספר התצפיות, ופיזורן. אם נקח מרווחים גדולים מדי (יחסית לנתונים) נפסיד מידע על פיזור התצפיות בתוך המרווחים. לעומת זאת, אם נחלק את הנתונים למספר רב יחסית של מרווחים נקבל מספר קטן יחסית של תצפיות במרווח,תהיינה קפיצות גדולות בגובהי המלבנים וקשה יהיה ללמוד על מבנה ההתפלגות. תהליך הבניה של ההיסטוגרמה יכול להעשות במספר שלבים כאשר בנסיון ראשון משתמשים במספר רב יחסית של מרווחים ואחר כך מלכדים מרווחים ומצמצמים את מספרם. בדוגמא ה- 1 המוצגת, חולק הציר האופקי ל- 14 מרווחים בגודל שווה (של 5 יחידות). הגובה בהסטוגרמה פרופורציונלי לשכיחות. בגלל הרוחב השווה, 6

7 interval frequency [0,5) 1 [5,10) 7 [10,15) 3 [15,0) 4 [0,5) 8 [5,30) 11 [30,35) 7 [35,40) 4 [40,45) [45,50) 1 [50,55) 0 [55,60) 1 [60,65) 0 [65,70) Frequency More נסיון שני להציג אותם נתונים בהיסטוגרמה פחות מפורטת נעשה על ידי חלוקה למרווחים גדולים יותר (בגודל 10 יחידות). גם כאן החלוקה היתה למרווחים שוים. 7 interval frequency [0,10) 8 [10,0) 7 [0,30) 19 [30,40) 11 [40,50) 3 [50,60) 1 [60,70) 1 Total 50

8 Frequency More : בדוגמה הבאה, מוצגת היסטוגרמה שבה מספר המרווחים גדול מדי לעומת זאת, אותם נתונים הוצגו בהיסטוגרמה שבה מספר קטן מדי של מרווחים : 8

9 קשה לקבוע כלל לפיו ניתן לבחור בחלוקה אופטימלית. שנראית מתאימה לתיאור הנתונים. ובדרך כלל ע"י ניסיון וטעייה נמצאת ההיסטוגרמה בדוגמא הבאה מובאת היסטוגרמה ) גרף מספר 10) כאשר בסיסי המלבנים אינם ברוחב שווה. שכיחות המקרים בין 40 ל- 60 היא פי מזו בין 0 ל- 40. שכיחות המקרים בין 10 ל- 180 היא פי 3 מזו בין 40 ל- 60 כי אמנם גובה המלבן שנבנה על הבסיס בין 40 ל- 60 שווה לגובה המלבן שנבנה על הבסיס בין 10 ל- 180, אך השטח גדול פי 3 במלבן הרחב יותר. גרף מספר 10 הדוגמא הבאה גרף מספר ) (11 מתארת Revenue היסטוגרמה המבוססת על מדגם של 148 נשים מאחר והשטח פרופורציונלי לשכיחות, נוכל לומר למשל ש-% הנשים שלהם לחץ דם גבוה מ- 135 מ"מ קרוב יותר ל- 5% מאשר ל- 50%

10 גרף מספר כזכור, החציון מוגדר כאותו ערך שמחצית המקרים קטנים או שוים לו, ומחצית המקרים גדולים ממנו. החציון הוא למעשה אותו ערך שמחלק את ההיסטוגרמה ל- חלקים ששטחם שווה. לכן כאשר מספר התצפיות הולך וגדל, ניתן להקטין את רוחב האינטרבלים והעקום המתקבל דומה לעקום רציף. ) ראה גרף 1) פונקציה זו נקראת בגבול, כאשר האוכלוסיה אינסופית, ניתן לתאר את "ההיסטוגרמה" כפונקציה רציפה. השטח מתחת לעקומה המתוארת ע"י הפונקציה שווה לאחד. השטח מתחת הצפיפות.density function על ציר ה- X -ים (האורדינטה) מתאר את השכיחות היחסית [b,a] לעקומה שבסיסו הוא האינטרבל באוכלוסיה אינטרבלים באותו אורך ] a], b אם נשווה b. לבין a של אלה שעבורם ערך המשתנה הוא בין ואם באינטרבל האחד השטח מתחת לעקומת הצפיפות גדול יותר לעומת השני אזי ניתן לומר ] 1 a] 1, b ושם השכיחות היחסית גדולה יותר. שבאינטרבל הראשון צפוף יותר density) (higher גרף מספר

11 ההתפלגות הנורמלית ההתפלגות של תופעות רבות כמו: גובה, משקל, רמת משכל, רמת כולסטרול ניתנות לתיאור ע"י פונקצית צפיפות סימטרית הנקראת ההתפלגות הנורמלית. זו פונקציה בעלת צורה סימטרית הנראית כפעמון ולכן גם נקראת פונקצית הפעמון. הפונקציה גם נקראת העקום של גאוס. אם משתנה מקרי X הוא בעל התפלגות נורמלית (כמו גובה, רמת משכל, ואם הממוצע שלו באוכלוסיה הוא μ (פרמטר באוכלוסיה אנו מציינים כזכור באות יוונית) והשונות שלו באוכלוסיה, אזי ניתן לתאר בנוסחה הבאה את פונקצית הצפיפות שלו. היא מוגדרת לכל < x < - ושווה ל: f (x) = 1 1 exp π (x μ) (1) כפי שניתן לראות מהנוסחה, הפונקציה הזו סימטרית סביב, ומקבלת את הערך המכסימלי בנקודה μ. x = μ משמעות הדבר מבחינה סטטיסטית הוא שסביב הערך באוכלוסיה היא הגבוהה ביותר. שטוח יותר ופיזור השכיחות סביב μ μ הוא השכיח.(mode) צפיפות המקרים (שכיחות המקרים) ככל ש- μ גדול יותר. ) ראה גרף מספר 1) גדולה יותר, הפעמון גרף מספר 1 כדי להעריך מה שכיחות המקרים בכל אינטרבל שהוא [b,a] שבסיסו הוא הקטע [b,a]. זהו האינטגרל עלינו לחשב את השטח מתחת לעקומה, 11

12 b f (x)dx a () [b,a]. שנקבל בדגימה אקראית מאוכלוסיה זו יהיה באינטרבל האינטגרל שווה להסתברות שהערך X שווה לשטח מתחת x = μ, μ השטח מתחת לעקומה משמאל לערך סביב f(x) בגלל הסימטריה של. μ מאחר והשטח מבטא שכיחות יחסית פרושו שהסיכוי ש- X יהיה בעל ערך קטן לעקומה מימין לערך שווה לא רק לממוצע μ שווה לסיכוי ש- X יהיה בעל ערך גדול מ- μ ולכן לפי הגדרת החציון μ שווה ל-. = 1 משתנה שהתפלגותו כזו, נקרא =0 μ אלא גם לחציון. מקרה פרטי חשוב של ההתפלגות הנורמלית הוא כאשר נורמלי סטנדרטי ומסמנים אותו ב- Z. הסימון המקובל לציון משתנה נורמלי X עם ממוצע μ ושונות X ~ N(μ, ) הוא Z שהוא נורמלי סטנדרטי, אומר ש- X הוא משתנה המתפלג התפלגות נורמלית. לכן על N~ הסימן נרשום Z ~ N(0,1) כך ש: עבור כל משתנה נורמלי X, אם נבצע טרנספורמציה ליניארית למשתנה. X Y = ax + b אזי גם Y יתפלג נורמלי ) התפלגות פעמון). אבל, צורת הפעמון של Y תהיה שונה מזו של אם X ~ N(μ, ) אזי כפי שראינו, זאת, הפעמון של והשונות של Y למכפלה של הפעמון של X יהיה סימטרי סביב μ והפיזור סביבו יהיה בהתאם לגודל. לעומת Y תהיה יהיה סימטרי סביב aμ + b a,כך שסטית התקן תהיה. a כלומר, סטית התקן של Y a בסטית התקן של מכאן נובע (ניתן להוכיח בקלות) שאם אזי X ~ N(μ, ) X μ ~ N(0,1). X קומבינציות ליניאריות של משתנים נורמליים גם כן מתפלגות נורמלי לכן אם שווה Y = a 1 X 1 + a X אזי גם Y יהיה מפולג נורמלית. כדי לחשב את ההסתברות שמשתנה נורמלי X יקבל ערכים בתחום מסוים [b,a] ראינו שצריך לחשב את השטח מתחת לעקומה f(x) באינטרבל [b,a]. האינטגרל שיש לחשב לא ניתן לפתרון סגור אך בעזרת טבלאות מתאימות המצויות במרבית ספרי הסטטיסטיקה ניתן לקבל את התוצאה. 1

13 בעקרון, יש אינסוף התפלגויות נורמליות השונות ביניהן בהתאם למיקומן (μ) ולרוחב הפעמון (). בטבלאות אשר בספרים נתון האינטגרל המתאים להתפלגות נורמלית סטנדרטית (0,1)N Z ~ ומהן קל לקבל b a f (x)dx = b a. 1 1 exp π ושל μ את התשובה באופן כללי לכל קומבינציה של נראה כיצד זה נעשה: (x μ) dx = z = x μ b μ = ` a μ x 1 exp π 1 (z) dz המעבר מהאינטגרל השני לשלישי נעשה על ידי שינוי משתנה האינטגרציה מ- כלומר אם ל- אזי החישוב של הסיכוי לקבל Z, = 5 μ = = b לכן לדוגמא, אם 5) N(100,, X ~ ערך X בין = a 10 לבין נעשה על ידי חישוב הסיכוי לקבל ערך בין a μ = = b μ = = Φ(c) = c, c ערכו של האינטגרל, 1 e n 1/ (z ) dz לבין כיצד נחשב ערך זה? בטבלאות, נתון לכל ערך זהו הסיכוי שמשתנה מקרי נורמלי סטנדרטי יקבל ערך קטן או שווה לגודל c וזהו השטח בעקומה הנורמלית סטנדרטית שנמצא משמאל לערך c. φ(c ) - φ(c 1 ) c 1 < c c c 1 Z (3) הסיכוי שהמשתנה יקבל ערך בין בדוגמא שלנו: ההסתברות לקבל ערך בין לבין ל כאשר שווה ל: יהיה לפיכך φ(0.8) - φ(0.4)= = Z השטח בעקומה נורמלית סטנדרטית שנמצא בין הערך 0 לבין הערך 1 הוא כלומר, הסיכוי שמשתנה נורמלי סטנדרטי יקבל ערך בין 0 ל- 1 הוא מטעמי סימטריה זה גם הסיכוי שמשתנה נורמלי סטנדרטי יקבל ערך בין מינוס 1 לבין 0. לכן, 68% מהשטח של עקום נורמלי סטנדרטי נמצא בין 1- כפי שהזכרנו, עבור משתנה נורמלי שתוחלתו ושונותו,הסיכוי שיהיה בין ל- 1. a ל- b הוא כמו b μ. μ a μ הסיכוי שמשתנה Z יהיה בין לבין 13

14 a = μ X ~ N(μ, ) ניתן לבטא זאת בצורה הפוכה. הסיכוי שמשתנה יהיה בין לבין b = μ + הוא כמו הסיכוי ש- Z יהיה בין a μ μ μ = = 1 לבין b + μ μ + μ = = 1 כפי שראינו, סיכוי זה שווה ל- 68%. את התוצאה שהראינו ניתן לסכם: (μ -, μ + ) לכל משתנה נורמלי ) X ~ N(μ, הסיכוי שהוא יקבל ערך בתחום הוא.68%. μ + חישוב דומה, מראה לגבי השטח הנמצא בין μ - לבין שם מראה התוצאה שבקירוב רב - 95% הוא הסיכוי שאם ) X ~ N(μ, אזי X יהיה באינטרבל [μ -, μ + ].95.5% μ + הערך המדויק של אחוז השטח השטח הנמצא בין μ - לבין הוא נציין לבסוף שהסיכוי ש- X יהיה באינטרבל 3] [μ - 3, μ + הוא. 99.7% הכלל המסכם את התוצאות הנ"ל ידוע ככלל של: ; ;68 [μ - 3.5, μ + 3.5] באופן מעשי, ניתן לומר שכל השטח מתחת לעקום נורמלי נמצא בתחום f g בגרף מספר מוצגות ההסתברויות המאפיינות את ההתפלגות הנורמלית. הסימון של בגרף ( Gauss density) מציין שמדובר בצפיפות f שהיא גאוסית 14

15 גרף מספר יקבל לבין להדגמת חישובי הסתברויות למשתנה נורמלי נחשב את ההסתברות שמשתנה נורמלי (4,10)N ערך בין 6 לבין התשובה: הסתברות זו שווה להסתברות שמשתנה נורמלי סטנדרטי יקבל ערך בין = ערך זה שווה ל- = 0.5 φ(0.5) - φ(-) = =.6687 בעזרת תוכנת EXCEL ניתן לקבל את ההסתברויות המבוקשות לכל ) X. ~ N(μ, לדוגמא : בהפעלת הפקודה NORMDIST(a,mean,standard_dev,cumulative). הארגומנט cumulative הוא משתנה לוגי וכאשר נותנים לו את הערך true מקבלים את ההסתברות שמשתנה נורמלי שתוחלתו שווה לערך mean וסטית התקן שלו היא standard_dev יהיה בעל ערך הקטן או שווה ל a. לכן, ערך (4)φ עבור משתנה נורמלי שתוחלתו 40 ווסטית התקן שלו 1.5 הוא: NORMDIST(4,40,1.5,TRUE)= נפרט עתה תכונה נוספת של ההתפלגות הנורמלית: = Z לבין = 0 Z לפי הטבלאות של התפלגות נורמלית סטנדרטית, השטח שנמצא בין הערך שווה בדיוק ל- 1/4. מאחר והשטח בין < לבין = 0 Z שווה ל- 1/ פירושו שהסיכוי לקבל ערך Z כאשר (0,1)N Z ~ הוא בדיוק ¾. לכן הערך הוא למעשה הרבעון העליון של התפלגות נורמלית סטנדרטית. מטעמי סימטריה, הרבעון התחתון יהיה = Z. ניתן לסכם זאת כך עבור משתנה נורמלי כללי ) X ~ N(μ, x μ P = 3/ 4 (4) P [X μ ] = 3/ 4 (5) המשוואה (4) מבטאת את העובדה ש הוא הרבעון העליון של התפלגות נורמלית סטנדרטית. לרשום זאת גם בצורה ניתן Q Z = X ~ מכן נובעת (ע"י העברת אגפים) משוואה (5) לפיה הרבעון העליון של משתנה נורמלי ), N(μשווה ל: 15

16 Q X 3 = μ (6) בצורה אנלוגית ניתן להראות Q X 1 = μ (7) SAMPLE OF QUESTIONS ( PRE-REQUISITE REQUIREMENT FOR THE MBA STATISTICS COURSE) By Professor Ayala Cohen Question 1 The following display is part of a histogram where the frequency of cases in the interval (10,15] is 10. 1) What is the frequency of cases in the interval (35,50]? ) Draw the rectangle which is missing in this plot, corresponding to the interval (35,50], if the frequency of the cases for this interval is 45. Solution ) In histograms, the AREA of the rectangle is proportional to the frequency. The length of the interval (15,35] is four times larger than the length of the interval (10,15], the height of the rectangle in the latter interval is half the height of the rectangle on the interval (10,15]. Therefore, the area of the rectangle on the interval (15,35] is twice the area of the rectangle on the interval (10,15. Thus, the frequency in the interval (15,35] is 10*=0 ) The frequency in the interval (35,50 ] is 4.5 times larger than that in the interval (10,15]. The area of the rectangle corresponding to the interval (10, 15] is covered by rectangles of equal height (5). The length of the interval (35,50] is three times larger than the length of the interval (10,15].We construct the required rectangle on the interval (35,50], by using 9 rectangles, so that the height of the "large 16

17 rectangle on (35,50] " is 1.5 larger than the height of the rectangle above (10,15]. The area of the "large rectangle on (35,50] " will then be 4.5 the area of the rectangle on the interval (10,15] Question The following data are heights in cm, of 50 students : Calculate the frequency and relative frequency, for 10cm intervals. The intervals should be of the type (, ]. Draw the corresponding histogram Solution RELATIVE FREQUENCY FREQUENCY BIN

18 Frequency Question 3 The following histogram was constructed on the basis of 100 observations. The first rectangle represents the frequency in the interval whose end is The second rectangle represents the frequency in the interval [0.05,1.0). The third rectangle represents the frequency in the interval [1.0,1.99). The fourth rectangle represents the frequency in the interval [1.99,.06), and so on. Frequenc Bin

19 ) 15% of these data were larger than.which value? Solution In this histogram, the intervals are of equal width, therefore the heights of the rectangles represent the corresponding frequencies, which are: 1,,5,8,13,3,18,15,6,4,5 The corresponding cumulative frequencies are : 1,3,8,16,9,5,70,85,91,95,100 Accordingly, the 85'th percentile is The answer is therefore : 6.84 Question 4 In the end of a course, 71 students who took the course, were asked to evaluate their interest in the course. They were asked to give their evaluation on a discrete 1,,3,4,5 scale (1, corresponding to low). The following table displays the results. What are the mean, Variance and SD ( standard deviation)? GRADE Frequency Solution 1+ 3* + 11*3 + 16* *5 MEAN = = ( ) Variance = + 3( 3.648) + 11( ) ( ) + 31( ) = 3.95 SD = Varianc = 3.95 = Question 5 In a certain population, the probability of getting a positive response in a survey on a certain issue has been known to be 0.3. If a random sample is taken of 1000 people from that population, how many do you expect to express a positive response? 19

20 Solution The number of positive responses is a binomial variable, ( we assume that the responses of these individuals are independent). It is known that the expected value of a binomial variable X~Bin ( n,p) is np In the current problem n=1000 p=0.3 Therefore, the expected number is 300 Question 6 The number of daily entrances to a certain faculty website has been known to be a normal variable with mean 160. The standard deviation is unknown to you. However, you know that the probability that the daily entrances will be between 10 and 00 is ) What is the sd? ) What is the probability that in a certain day the number of entrances will be larger than 170? 3) What is the symmetric range of entrances which includes 75% of the distribution? Solution: 1) P (10 < X < 00) = 0.8 Since the expected value is 160 and the range [10,00] is symmetric around this value, then the probability of the range [160,00] is : Since μ=160 Therefore,, then P (X < 160) = 0.5 P (160 < X < 00) = 0.4 P(160 < X < 00) = 0.4 P(X < 00) P(X < 160) = P(Z < ) 0.5 = P(Z < ) = 0.9 From the normal probability tables, we know that the 90'th percentile of the standard normal distribution is equal to Therefore, Z = 1.85 = ) = 40 = P (X > 170) = 1 P(Z < ) = =

21 3) When we consider the middle part that includes 75% of the probability, we truncate 1.5% from each end. Therefore, we should find which is the 87.5 percentile of the standard normal distribution. According to the tables, it is : Z = 1.15 X = X = We see that the distance between the expected value (160) and the 87.5 percentile is 35.78, therefore due to symmetry of the normal distribution X = = 14. The answer is then that the symmetric range of entrances which includes 75% of the distribution is: [14.,195.78] Obviously the expected value (160) is in the middle of this interval. Question 7 In a certain population, it is known that the 5'th percentile of the income is 7000$ and the 75'th percentile is 8000$. It is also known that log income is normally distributed. What is the 50'th percentile? Solution Denote by Y the income X = logy ~ N( μ, Since X is normally distributed, the 50'th percentile of its distribution is in the middle between the 5'th and 75'th percentiles of its distribution Since X=logY, then X = + X X0.50 X Y = e Log is a monotone transformation, so that the ordering of X is the same as the ordering of the corresponding Y. Therefore, the 50'th percentiles satisfy the equation: The answer is therefore : Y0.50 = exp(x0. 5) Y = 0.5 = e 1/ [log7000+ log8000] (7000)(8000) = 7483 As we see, the 50 'th percentile is actually the geometric mean of the 5'th and 75'th percentiles. ) 1

22 Question 8 If X is normally distributed with mean and variance 169, what is its 5'th percentile? Solution Denote by Z. 75 = the.75'th percentile of the standard normal distribution. According to the tables Denote by the.75'th percentile of the distribution of X X 95 X. 75 = Z. 75 = X 0.75 = μ + Z = μ + Z. = (0.675)13 = Question 9 If X is normally distributed with mean 10 and SD= 3, what is its 90'th percentile? Solution Question 10 μ + * 9 Z0. = 10 + (3)(1.85) = It is known that cholesterol is a is normally distributed variable. In a certain population it was found that 75% had levels below 18.5 and 5% had level below ) What percent will have level higher than 10? ) Out of a sample of 100 from that population, how many would you expect to have levels higher than 30? Solution X 0.5 = μ X 0.75 = μ We obtain equations for the unknown parameters μ, By summing the equations, we obtain : By taking the difference, we obtain : 18.5 = μ = μ = μ μ = 10

23 1) ) = = 1.09 X μ P [X > 10] = P > = P[Z > 0] = X μ P [X > 30] = P > = P[Z > 1.655] = We expect 5 people to have levels higher than 30. Question 11 On the basis of a large data set that were collected in an insurance company on the time (measured in days) required for handling claims, (X ), it was found that Y==log(X) is normally distributed with mean.7 and SD= ) Out of 500 claims, how many are expected to be handled after more than 14 days? ) The company decided to register as "success" every time a claim is handled in less than 14 days. What is the probability that out of 4 claims, all will be successes? Solution 1) We expect 500*0.47=35 P[log X > log14] = P[Y > log14] = P[Y >.639] Y = P > = P[Z > ] = ) The probability of 4 successes in a binomial distribution is p**4, where p is the probability of success. The answer is therefore (0.47)**4= Question 1 In a certain city there are two hospitals. One large, the other small. In the large hospital, the daily number of deliveries is about 90, while in the smaller it is about 10. Each hospital registered each day during the whole year of 007 the number of days that the PERCENT of boys born on that day was larger than 0.7. In the end of 007, they compared these two numbers. Which number will be larger, the one corresponding to the small or the large hospital? Assume that the probability of a boy is 1/, and that the number of births of boys each day are therefore independent binomial variables, with the same n each day, which is 90 for the large hospital, and 10 for the small one.. Solution Let X/n denote the proportion of boys born on a certain day. The expected value of X/n is 1/, since p=1/ and the expected value of X is np. The variance of X is npq=n/4, and therefore the variance of X/n is pq/n. ( If Y=CX and C is constant, it is easy to prove that Var(CX)=C** ( Var(X)) 3

24 It means that the variance of X/n in the larger hospital is much smaller than the variance of X/n in the larger hospital. Therefore, in the larger hospital, most days the value of X/n will be close to the mean which is 1/ and only very few will have values larger than 0.7. The answer is then that the number corresponding to the smaller hospital will be the larger of the two numbers. 4

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram? HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Statistics & Research methods. Athanasios Papaioannou University of Thessaly Dept. of PE & Sport Science

Statistics & Research methods. Athanasios Papaioannou University of Thessaly Dept. of PE & Sport Science Statistics & Research methods Athanasios Papaioannou University of Thessaly Dept. of PE & Sport Science 30 25 1,65 20 1,66 15 10 5 1,67 1,68 Κανονική 0 Height 1,69 Καμπύλη Κανονική Διακύμανση & Ζ-scores

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1

1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 Chapter 7: Exercises 1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 35+n:30 n a 35+n:20 n 0 0.068727 11.395336 10 0.097101 7.351745 25

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Business English. Ενότητα # 9: Financial Planning. Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Business English. Ενότητα # 9: Financial Planning. Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Business English Ενότητα # 9: Financial Planning Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is Volume of a Cuboid The formula for the volume of a cuboid is Volume = length x breadth x height V = l x b x h Example Work out the volume of this cuboid 10 cm 15 cm V = l x b x h V = 15 x 6 x 10 V = 900cm³

Διαβάστε περισσότερα

Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3) Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Τα γνωστικά επίπεδα των επαγγελματιών υγείας Στην ανοσοποίηση κατά του ιού της γρίπης Σε δομές του νομού Λάρισας

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Τα γνωστικά επίπεδα των επαγγελματιών υγείας Στην ανοσοποίηση κατά του ιού της γρίπης Σε δομές του νομού Λάρισας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΦΡΟΝΤΙΔΑ ΥΓΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τα γνωστικά επίπεδα των επαγγελματιών υγείας Στην ανοσοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΑ Ι. Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education. Ζωή Κανταρίδου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΑΓΓΛΙΚΑ Ι. Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education. Ζωή Κανταρίδου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

Code Breaker. TEACHER s NOTES

Code Breaker. TEACHER s NOTES TEACHER s NOTES Time: 50 minutes Learning Outcomes: To relate the genetic code to the assembly of proteins To summarize factors that lead to different types of mutations To distinguish among positive,

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1: Κεφάλαιο 2: Κεφάλαιο 3:

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1: Κεφάλαιο 2: Κεφάλαιο 3: 4 Πρόλογος Η παρούσα διπλωµατική εργασία µε τίτλο «ιερεύνηση χωρικής κατανοµής µετεωρολογικών µεταβλητών. Εφαρµογή στον ελληνικό χώρο», ανατέθηκε από το ιεπιστηµονικό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. www.cms.org.cy

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ www.cms.org.cy ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ

Διαβάστε περισσότερα

Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C

Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C An alcoholometer is a device that measures the concentration of ethanol in a water-ethanol mixture (often in units of %abv percent alcohol by volume). The depth to which an alcoholometer sinks in a water-ethanol

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία. Μελέτη των μηχανικών ιδιοτήτων των stents που χρησιμοποιούνται στην Ιατρική. Αντωνίου Φάνης

Διπλωματική Εργασία. Μελέτη των μηχανικών ιδιοτήτων των stents που χρησιμοποιούνται στην Ιατρική. Αντωνίου Φάνης Διπλωματική Εργασία Μελέτη των μηχανικών ιδιοτήτων των stents που χρησιμοποιούνται στην Ιατρική Αντωνίου Φάνης Επιβλέπουσες: Θεοδώρα Παπαδοπούλου, Ομότιμη Καθηγήτρια ΕΜΠ Ζάννη-Βλαστού Ρόζα, Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.»

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων.

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η προβολή επιστημονικών θεμάτων από τα ελληνικά ΜΜΕ : Η κάλυψή τους στον ελληνικό ημερήσιο τύπο Σαραλιώτου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ HACCP ΣΕ ΜΙΚΡΕΣ ΒΙΟΤΕΧΝΙΕΣ ΓΑΛΑΚΤΟΣ ΣΤΗΝ ΕΠΑΡΧΙΑ ΛΕΜΕΣΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

Risk! " #$%&'() *!'+,'''## -. / # $

Risk!  #$%&'() *!'+,'''## -. / # $ Risk! " #$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # $ +/ #%&''&(+(( &'',$ #-&''&$ #(./0&'',$( ( (! #( &''/$ #$ 3 #4&'',$ #- &'',$ #5&''6(&''&7&'',$ / ( /8 9 :&' " 4; < # $ 3 " ( #$ = = #$ #$ ( 3 - > # $ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΑΓΡΟΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Οικονομετρική διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense

14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Day one I. Word Study and Grammar 1. Most Greek verbs end in in the first person singular. 2. The present tense is formed by adding endings to the present stem.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ ΣΟΦΙΑ Socm09008@soc.aegean.gr

ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ ΣΟΦΙΑ Socm09008@soc.aegean.gr ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΧΗ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: Διερεύνηση των απόψεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ ΥΓΕΙΑΣ "

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΧΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΡΚΕΤΙΓΚ ΑΛΕΧΑΝΔΡΕΙΟ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΛΕΧΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΡΚΕΤΙΓΚ ΑΛΕΧΑΝΔΡΕΙΟ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΛΕΧΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΡΚΕΤΙΓΚ ΑΛΕΧΑΝΔΡΕΙΟ \ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ θεμα: Μελέτη της γνώσης, στάσης, πρόθεσης και συμπεριφοράς των χρηστών

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών

Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ενότητα 3: Παπασταυρίδης Σταύρος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιγραφή Ενότητας Ιταλοί Αβακιστές. Αλγεβρικός Συμβολισμός. Άλγεβρα στην Γαλλία, Γερμανία, Αγγλία.

Διαβάστε περισσότερα

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού)

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Προσδοκώμενα αποτελέσματα Περιεχόμενο Ενδεικτικές δραστηριότητες

Διαβάστε περισσότερα

Anti-Final CS/SE 3341 SOLUTIONS

Anti-Final CS/SE 3341 SOLUTIONS CS/SE 3341 SOLUTIONS Anti-Final 1. Users call help desk every 15 minutes, on the average. There is one help desk specialist on duty, and her average service time is 9 minutes. Modeling the help desk as

Διαβάστε περισσότερα

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Γιάννης Κουτεντάκης, BSc, MA. PhD Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Περιεχόµενο Μαθήµατος Ορισµός της αναερόβιας φυσικής κατάστασης Σχέσης µε µηχανισµούς παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΠΟΛΥΦΑΙΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΟΞΕΙΔΩΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΟΚΟΛΑΤΑΣ Αναστασία Σιάντωνα Λεμεσός

Διαβάστε περισσότερα

Investigating the fuzzy areas of accuracy and confidence of muslim pupils- learners of Greek as Second Language in Thrace, Greece

Investigating the fuzzy areas of accuracy and confidence of muslim pupils- learners of Greek as Second Language in Thrace, Greece Investigating the fuzzy areas of accuracy and confidence of muslim pupils- learners of Greek as Second Language in Thrace, Greece Polyxeni Intze & Nikolaos Mathioudakis Democritus University of Thrace,

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΕΤΗ 2011-2013"

ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΕΤΗ 2011-2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Επιμέλεια Κρανιωτάκη Δήμητρα Α.Μ. 8252 Κωστορρίζου Δήμητρα Α.Μ. 8206 Μελετίου Χαράλαμπος Α.Μ.

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικά για Στατιστική Ανάλυση. Minitab, R (ελεύθερο λογισμικό), Sas, S-Plus, Stata, StatGraphics, Mathematica (εξειδικευμένο λογισμικό για

Λογισμικά για Στατιστική Ανάλυση. Minitab, R (ελεύθερο λογισμικό), Sas, S-Plus, Stata, StatGraphics, Mathematica (εξειδικευμένο λογισμικό για ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 1ο Τι είναι το SPSS; Statistical Package for the Social Sciences Λογισμικό για διαχείριση και στατιστική ανάλυση δεδομένων σε γραφικό περιβάλλον http://en.wikipedia.org/wiki/spss

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S.

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Σημειώσεις για το μάθημα Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Παπάνα Αγγελική E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Τμήμα Τυποποίησης και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ: ΒΑΖΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΑΣΙΝΟ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ!

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ: ΒΑΖΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΑΣΙΝΟ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ! ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ: ΒΑΖΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΑΣΙΝΟ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ! ΘΥΜΑΡΑ Μ. Μ. 11 Ο Γυμνάσιο Πειραιά, Δ/νση Β/Θμιας Εκπ/σης Πειραιά e-mail: margthym@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το πρόγραμμα της διαμόρφωσης των σχολικών

Διαβάστε περισσότερα

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο αρχείο δεδομένων diavitis.sav καταγράφεται η ποσότητα γλυκόζης στο αίμα 10 ασθενών στην αρχή της χορήγησης μιας θεραπείας, μετά από ένα μήνα και μετά από δύο μήνες. Μελετήστε την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΜΑ»

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΜΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Π.Μ.Σ. «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΜΑ» «Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΚΛΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΙΣΗΓΜΕΝΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΚΛΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΙΣΗΓΜΕΝΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Διπλωματική Εργασία ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΚΛΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΙΣΗΓΜΕΝΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Του ΚΩΣΤΟΥΛΗ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΤΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

TABLES AND FORMULAS FOR MOORE Basic Practice of Statistics

TABLES AND FORMULAS FOR MOORE Basic Practice of Statistics TABLES AND FORMULAS FOR MOORE Basic Practice of Statistics Exploring Data: Distributions Look for overall pattern (shape, center, spread) and deviations (outliers). Mean (use a calculator): x = x 1 + x

Διαβάστε περισσότερα

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτικές λειτουργίες

Συντακτικές λειτουργίες 2 Συντακτικές λειτουργίες (Syntactic functions) A. Πτώσεις και συντακτικές λειτουργίες (Cases and syntactic functions) The subject can be identified by asking ποιος (who) or τι (what) the sentence is about.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΜΟΡΙΑΚΗ ΚΑΙ ΦΑΙΝΟΤΥΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΚΥΠΡΙΑΚΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΣΚΛΗΡΟΥ ΣΙΤΑΡΙΟΥ ΠΟΥ ΑΠΟΚΤΗΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΡΑΠΕΖΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Το franchising ( δικαιόχρηση ) ως µέθοδος ανάπτυξης των επιχειρήσεων λιανικού εµπορίου

Διαβάστε περισσότερα

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1)

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1) Name: Date: Nuclear Physics 5. A sample of radioactive carbon-4 decays into a stable isotope of nitrogen. As the carbon-4 decays, the rate at which the amount of nitrogen is produced A. decreases linearly

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΣΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ-ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων II. Γραμμική Παλινδρόμηση με το S.P.S.S.

Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων II. Γραμμική Παλινδρόμηση με το S.P.S.S. Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων II Γραμμική Παλινδρόμηση με το S.P.S.S. μέρος Α (απλή παλινδρόμηση) Νίκος Τσάντας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές Ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Newborn Upfront Payment & Newborn Supplement

Newborn Upfront Payment & Newborn Supplement GREEK Newborn Upfront Payment & Newborn Supplement Female 1: Το μωρό μου θα ρθει σύντομα, θα πρέπει να κανονίσω τα οικονομικά μου. Άκουσα ότι η κυβέρνηση δεν δίνει πλέον το Baby Bonus. Ξέρεις τίποτα γι

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

1999 MODERN GREEK 2 UNIT Z

1999 MODERN GREEK 2 UNIT Z STUDENT NUMBER CENTRE NUMBER HIGHER SCHOOL CERTIFICATE EXAMINATION 1999 MODERN GREEK 2 UNIT Z (55 Marks) Time allowed Two hours (Plus 5 minutes reading time) DIRECTIONS TO CANDIDATES Write your Student

Διαβάστε περισσότερα

EU-Profiler: User Profiles in the 2009 European Elections

EU-Profiler: User Profiles in the 2009 European Elections ZA5806 EU-Profiler: User Profiles in the 2009 European Elections Country Specific Codebook Cyprus COUNTRY SPECIFIC CODEBOOK: CYPRUS Variable answer_29 answer_30 saliency_29 saliency_30 party_val_49 party_val_50

Διαβάστε περισσότερα

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade Για να ελέγξετε το λογισμικό που έχει τώρα η συσκευή κάντε κλικ Menu > Options > Device > About Device Versions. Στο πιο κάτω παράδειγμα η συσκευή έχει έκδοση λογισμικού 6.0.0.546 με πλατφόρμα 6.6.0.207.

Διαβάστε περισσότερα

Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά.

Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Διαστημικό εστιατόριο του (Μ)ΑστροΈκτορα Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Μόλις μια παρέα πελατών κάτσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם בס"ד יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם עבודת מסכמת זו הוגשה כחלק מהדרישות לקבלת תואר "מוסמך למדעים" M.Sc. במדעי המחשב באוניברסיטה הפתוחה החטיבה למדעי המחשב

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΥΛΗ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΣΤΗΝ ΑΥΛΗ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Η ΑΥΛΗ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΣΤΗΝ ΑΥΛΗ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Η ΑΥΛΗ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΣΤΗΝ ΑΥΛΗ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΥ Κ. 6ο Δμοτικό Σχολείο Κηφησιας Πηνελόπη Δέλτα, Β Δ/νση Εκπ/σης Αθήνας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πρόθεσή μας είναι να παρουσιάσουμε ένα συνδυασμό των προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα