OSNOVE MEHANIKE FLUIDA

Transcript

1 ONOVE MEHANIKE FLUIDA Pripremili: mr.sc. Davor Franjković, Jasna vien (Napomena: Za pregled ormula potrean je program Rapid Pi, koji možete preuzeti na stranici prona verzija traje 60 dana) * 3 temeljna načela: 1. masa ne može iti niti stvorena niti uništena, tj. masa je stalna zakon održanja mase jednadža kontinuiteta 2. sila je jednaka umnošku mase i akceleracije F = ma 2. Newtonov zakon 3. energija je stalna, može se samo mijenjati iz jednog olika u drugi * odgovarajući model luida 1. kontrolni volumen konačnih dimenzija a) kontrolni volumen iksiran u prostoru luid prolazi kroz njega = granična površina (kontrolna površina) ) kontrolni volumen se gia zajedno s luidom; u njemu se stalno nalaze iste čestice luida

2 2. eskonačno (ininitezimalno) mali element luida eskonačno mali, ali dovoljno velik da sadrži ogroman roj molekula, tako da vrijedi pretpostavka o kontinuiranosti luida a) iksiran u prostoru d ) gia se zajedno s luidom d 3. molekularni pristup * 3 temeljna načela primijeniti na odgovarajući model luida kako i doili izraze koji pravilno opisuju strujanje * Kinematika Brzina V jk k jk jk k = u i + v j + w k = vx i jk + v y j + v z k jk Urzanje jk DV jk a = V jk = V jk + u V jk + v V jk + w Dt y z lokalno urzanje konvektivno urzanje

3 * MATERIJALNA DERIVACIJA D = + u + v + w Dt y z a x = u u + u u + v u + w y z a y = v a z = w + u v + v v y v + w z w + u w + v w + w y z * metode za proučavanje kinematike luida Langrangeova metoda Eulerova metoda promatra se čestica promatra se točka u prostoru * DIVERGENCIJA ILI GRADIJENT BRZINE V jk V jk k = vx i jk + v y j + v z k jk rzina je vektor 5V jk = v x + v y y v + z (gradijent rzine je skalarna veličina) z 5 = g k i + jk j + jk k y z Q Laplaceov operator (nala)

4 z V jk v z v y v x y x * VRTLOŽNOT BRZINE jk ω 5BV jk = k jk jk i j k k v = i z v y z y z L v x v y v z M g + jk j v x v z g + k jk v v x y g (vektorska veličina)

5 * JEDNADŽBA KONTINUITETA Masa ne može iti niti stvorena niti uništena. Maseni protok koji napusti kontrolni volumen kroz graničnu površinu = smanjenje mase s vremenom unutar kontrolnog volumena d jk AV jk = dav n d = V jk c jk ta d =V n A tad dm = ρd = ρav n A tad m =Z ρv n A tad m = ρv n ta m A = m = ρv t n A maseni protok Z ρv jk jk d =@ Z ρd Z ρd +Z ρ V jk jk A d = 0 jednadža kontinuiteta u integralnom oliku (struja koja izlazi iz kontrolnog volumena) (struja koja ulazi u kontrolni volumen)

6 Z ρ d + Z ρ V jk jk A d = 0 Teorem divergencije: Z Vjk d jk =Z 5AV jk c d Z ρ d +Z 5 ρav jk c d = 0 ρ Z F jk c G +5A ρ V d = 0 ρ jk c +5A ρ V = 0 jednadža kontinuiteta u dierencijalnom oliku - neustaljeno strujanje: ρ = ρ x, y, z, t - ustaljeno strujanje: = 0Q ρ = ρ x, y, z Z ρav jk jk jk c A d = 0 ili 5A ρ V = 0 * Jednadža kontinuiteta za strujnu cijev za ustaljeno gianje 1 : V 1 jk A d 1 jk =@V 1 A d 1 2 : V 2 jk A d 2 jk =V 2 A d 2 3 : V 3 jk A d 3 jk = 0 Z ρd +Z ρ V jk jk d = 0

7 = 0 Q ustaljeno gianje Z ρ V jk jk d = 0 1 ρ 1 V 1 d 1 +Z 2 ρ 2 V 2 d 2 = 1 V 1 A 1 + ρ 2 V 2 A 2 = 0 ρ 1 V 1 A 1 = ρ 2 V 2 A 2 Za nestlačivi luid: ρ 1 = ρ 2 = ρ = konst Q V 1 A 1 = V 2 A 2 * JEDNADŽBA ODRŽANJA KOLIČINE GIBANJA (Jednadža momenta, osnovna jednadža dinamike luida) F jk = maa jk Q 2. Newtonov zakon jk d F = jk c mav dt mav jk - količina gianja (moment) ila = promjena količine gianja s vremenom - volumenske sile: sila gravitacije, elektromagnetske sile... - površinske sile: tlak i tangencijalno naprezanje na graničnoj površini F jk =Z ρ jk d@z pd jk jk + F + visc Fjk + kont Fjk osl Z ρ jk jk F N d Q volumenske sile G kg Z pd jk Q površinske sile jk Fvisc jk Fkont jk Fosl Q viskozne sile Q sile konture Q sile oslonaca d jk c m V =Z dt ρ V jk jk c jk d AV + Z ρ V jk d dm A

8 Promjena količine gianja jednaka je zroju količine gianja koja izlazi iz kontrolnog volumena kroz graničnu površinu i promjene količine gianja unutar kontrolnog volumena s vremenom. Z ρ V jk d +Z ρ V jk jk c jk d V =Z ρ jk d@z pd jk + F jk visc + Fjk kont + Fjk osl Jednadža održanja količine gianja u integralnom oliku Teorem gradijenta Z pd jk =Z pd 5 Z ρ V jk c d + Z ρ V jk jk c jk d V = Z ρ jk d@ Z5 pd + F jk visc + Fjk kont + Fjk osl Vektorska jednadža Q 3 skalarne jednadže V jk k jk jk k = u i + v j + w k = vx i + v y ρu X: Z d + Z ρ V jk jk c d u = Z ρ x d@z j jk + v z k jk p c c c d + F x + F x + F x visc kont osl Teorem divergencije: Z ρ V jk jk c d u =Z ρuv jk c jk d =Z 5A ρu V jk c d F ρu Z jk c +5A ρu ρ x + p c c c F F X d = 0 visc kont osl Jednadže održanja količine gianja u dierencijalnom oliku Q Navier tokesove jednadže ρu jk c +5A ρu V = ρ p c + F x ρv jk c +5A ρv V = ρ p c + F y y ρw jk c +5A ρw V = ρ p c + F z z visc visc visc c c + F x + F x kont osl c c + F y + F y kont osl c c + F z + F z kont osl

9 g c Za ustaljeno = 0, neviskozno F visc = 0 strujanje u kojem se volumenske sile te sile c konture i oslonca mogu zanemariti = 0, F kont = 0, F osl = 0 : 5 ρu V jk c p =@ 5 ρv V jk c p =@ y EULEROVE JEDNADŽBE 5 ρw V jk c p =@ z * Primjena jednadže održanja količine gianja na određivanje otpora dvodimenzionalnog tijela y x u 1 = const u 2 = (y) Z ρ V jk d +Z ρ V jk jk c jk d V =Z ρ jk d@z pd jk + F jk visc + Fjk kont + Fjk osl Z ρ V jk jk c jk d V + Z pd jk jk =F kont jk Fkont sila na konturi jk kont sila na kontrolni volumen

10 3. Newtonov zakon x: Z ρ V jk jk c c d u +Z pd F D =@Z ρ V jk jk c d u x c =@ F x =@ F D kont i c F D = +Z ρ 1 u 1 dy ρ 2 u 2 dy a h c u2 J.K. i ρ 1 u 1 dy +Z ρ 2 u 2 dy = 0 a i h Z ρ 1 u 1 dy =Z ρ 2 u 2 dy /* u 1 a i h Z ρ 1 u 12 dy =Z ρ 2 u 1 u 2 dy uvrstiti a F D =Z ρ 2 u 1 u 2 dy@z ρ 2 u 22 dy F D =Z h h h ρ 2 u 2 u u 2 dy ρ = constq FD = ρz h u 2 u u 2 dy * JEDNADŽBA ENERGIJE (NAGE) Energija ne može iti niti stvorena niti uništena, ona samo prelazi iz jednog olika u drugi. U integralnom oliku: Z ρ e + V 2 g d +Z ρ e + V 2 g V jk jk A d = Z 2 2 q A ρd + Q Z p V jk jk visc A d + Z ρ jk jk c A A V d + W visc promjena ukupne promjena energije toplina dovedena rad izvršen na rad volumenskih rad energije unutar kroz graničnu luidu unutar luid uslijed sila na luid viskoznih kontrolnog volumena površinu kontrolnog sila tlaka na u kontrolnom sila s vremenom volumena graničnoj volumenu površini

11 U dierencijalnom oliku: H I H I V 2 g J ρ e + K+5A ρ e + V 2 g J AV jk K= ρq p V jk c jk jk c A + ρ A V + Q visc WA visc MATERIJALNA DERIVACIJA (TOKEOVA, TVARNA) D = + u + v + w Dt y z D = jk + VA5 Dt lokalna konvektivna (prijenosna) derivacija Dρ jk jk + ρ5av = 0 Dt jednadža kontinuiteta ρ Du p c =@ + ρ Dt x + F x visc c c + F x + F x kont osl ρ Dv p c c c =@ + ρ Dt y y + F y + F y + F y visc kont osl jednadža održanja količine gianja ρ Dw Dt p c c c =@ + ρ z z + F z + F z + F z visc kont osl D e + V g 2 2 ρ = ρq A jk c jk jk c pv + ρ A V + Q Dt + WA visc visc jednadža energije * BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA x: ρ Du p =@ Dt ρ u u u u p + ρu + ρv + ρw =@ y z u u u u 1 p + v + w =@ /*dx y z ρ u u u u 1 p dx + v dx + w dx =@ dx y z ρ trujnica udz@wdx = 0 vdx@ udy = 0

12 u u u u 1 p dx + u dy + u dz =@ dx y z ρ u u g u dx + u dy + dz =@ 1 p dx y z ρ u = u x,y,z du = u u dx + u dy + dz y z udu =@ 1 p dx ρ 1 c d u 2 1 p =@ dx 2 ρ 1 c d v 2 1 p =@ dy 2 ρ y 1 c d w 2 1 p =@ dz 2 ρ z + c 1 =@ ρ 1 d u2 + v 2 + w 2 2 p g p dx + p dy + dz y z V 2 = u 2 + v 2 + w 2 1 c 2 dp d V =@ 2 ρ dp = p p p dx + dy + dz y z dp =@ ρvdv Eulerova jednadža p 2 V 2 dp =@ ρ Z VdV Z p 1 V 1 p p 1 =@ ρ V 2 2g p ρv = p ρv 2 2 Bernoullijeva jednadža p ρv 2 = const Q duž strujnice

13 * TRUJNICA, PUTANJA, TRUJNA CIJEV putanja elementa A V jk strujnica (streamline) A A nema protoka kroz strujnice kod ustaljenog strujanja strujnica i putanja se podudaraju B B putanja elementa B (staza, path) strujna cijev skupina strujnica y d jk V jk v y = (x) strujnica u jk j k i x

14 d jk jk BV = 0 d jk k jk jk = dx i + dy j + dz k V jk k jk jk = u i + v j + w k d jk k jk jk jk i j k BV = k c jk jk c dx dy dz = i wdy@vdz + j udz@wdx + k vdx@ udy = 0 L u v wm wdy@ vdz = 0 udz@wdx = 0 Q dy v = dz w ; dz w = dx u ; dx u dy = v vdx@ udy = 0 Trag je određen pozicijom svih čestica koje su prošle kroz određenu točku u prostoru (streakline). Vremenska linija (timeline) susjedne čestice nakon određenog vremena * PRIMJER - ZADATAK Na ispitnom stolu istražuje se horizontalna sila koju stvara ispuh mlaznog motora na vertikalno postavljenu ravnu ploču. Brzina ispuha je 150 m/s pri standardnim uvjetima na razini mora, a promjer ispuha je 0,3 m. Odredi veličinu horizontalne sile. Ispuh ima karakteristike zraka. 1. način

15 Z ρ V jk d + Z ρ V jk jk jk jk V d A =F + G Fjk + P Fjk + K Fjk O GV ρvava 1 = p n A A@ p n A A + F o F o =@ ρav 2 A A 1 =@ 1,225A150 2 A 0,32 π =@ 194 N 4 F x =@ F o = 194 N 2. način Z ρ V jk d + Z ρ V jk jk jk jk V d A =F + G Fjk + P Fjk + K Fjk O GV ρvva 1 = p n A A@ p n A A + F k F k =@ ρv 2 A 1 F x =@ F k = 194 N 3. način

16 Z ρ V jk d + Z ρ V jk jk jk jk V d A =F + G Fjk + P Fjk + K Fjk O GV ρvva 1 = p n A A + F k F k =@ p n A@ ρv 2 A 1 F x =@ F k = p n A + ρv 2 A 1 F x = F p n A = p n A + ρv 2 A p n A F x = ρv 2 A