1. Uvodna razmatranja U ovom predavanju se navodi jedna motivacija za proučavanje tema koje čine sadržaj kursa.

Transcript

1 Izabrana poglavlja primnjn analiz 1. XI Uvodna razmatranja U ovom prdavanju s navodi jdna motivacija za proučavanj tma koj čin sadržaj kursa Linarni vrmnsko-invarijanti i vrmnsko-nprkidni sistmi. Sistm L j oprator koji ulaznom signalu/funkciji f dodljuj izlaz y, koji s zov i odziv sistma. Sistm j linaran ako važi L(αf + βg) = αl(f) + βl(g), α, β C. Vrmnska nprkidnost sistma znači da su ulazna i izlazna funkcija dfinisan nad nkim vrmnskim intrvalom. Prtpostavlja s da su vrdnosti ovih funkcija komplksni brojvi. Sistm j invarijantan u vrmnu ako iz f(t) y(t) sldi f(t t ) y(t t ), t R. Za linarn vrmnsko-nprkidn i vrmnsko-invarijantn sistm s koristi oznaka LTC. Vrmnski harmonik j signal oblika c iωt, gd su c = A iφ C i ω R zadati, a t R. Broj ω j frkvncija, A R amplituda, a φ R počtna faza vrmnskog harmonika c iωt = A iφ iωt = A i(ωt+φ). Ako j L LTC sistm, a f vrmnski harmonik, onda j odziv sistma takodj vrmnski harmonik oblika H ω iωt. Naim, ako j Lf = y, onda j y(t t ) = L(f(t t )) = L(c iω(t t ) ) = L(c iωt iωt ) = iωt L(c iωt ) = iωt y(t), pa j (za t = i t = s) y(s) = y() iωs, s R. Dakl, L : iωt H(ω) iωt. Funkcija H(ω) = H ω : R C naziva s frkvncijski odziv sistma, funkcija sistma ili funkcija prlaza (prnosa). Za H(ω) = H(ω) iφ(ω), modul H(ω) j amplituda odziva, a argumnt Φ(ω) faza odziva. Primr 1.1. U strujnom kolu sa gnratorom napona E(t), otpornikom R i kalmom L, jačina struj j data sa i(t) = 1 L t (t x)r/l E(x)dx, t R. 1

2 2 Ako j ulaz u strujno kolo vrmnski harmonik iωt, onda j ( ) i(t) = ξr/l iωξ dξ iωt, t R, L pa j frkvncijski odziv u primru strujnog kola H(ω) = 1 L ξr/l iωξ dξ, ω R. Ovo j, po dfiniciji, Furijova transformacija funkcij ξr/l, ξ R, pa s dirktnim računom, ili iz tablica Furijovih transformacija dobija H(ω) = 1/(R + iωl), ω R. Sistm j stabilan ako j odziv svakog ograničnog signala ograničn Impulsni odziv LCT sistma. Furijova transformacija ili spktar signala f s dfiniš nsvojstvnim intgralom: F (ω) = f(t) iωt dt, ω R, pri čmu s ω intrprtira kao ugaona frkvncija koja s mri u radijanima po skundi. Modifikacija spktra F s dobija množnjm sa nkom pogodno odabranom funkcijom: H(ω) F (ω), ω R. Torma o konvoluciji kaž da j Y (ω) = H(ω)F (ω) Furijova transformacija konvolucij y(t) = f(x)h(t x)dx = (f h)(t), t R, pri čmu su Y i H Furijov transformacij funkcija y i h rspktivno. Ako j, na primr, potrbno odstraniti frkvncij iznad unaprd utvrd nog praga ω >, onda s F (ω) množi takozvanom blok funkcijom koja j jdnaka sa 1 za ω ω, a koja s inač anulira (za ω > ω ). Kaž s da j signal f u tom slučaju propuštn kroz filtr. Od posbnog značaja j jdinični lmnt konvolucij. To j Dirakov dlta impuls, δ koji s dfiniš kontradiktornim uslovima: δ(x ξ) =, x ξ, b a δ(x ξ)dx = δ(x)dx = 1, { 1, a ξ b,, inač. Uz izvsna pojašnjnja, mož s pokazati da j Dirakova dlta jdinični lmnt konvolucij, odnosno, f(t) = (f δ)(t) = f(τ)δ(t τ)dτ, t R.

3 Na ovaj način j funkcija f prikazana uz pomoć nprkidn suprpozicij dlta impulsa δ(t τ). Naknadno ćmo dati primr ralizacij dlta impulsa kao sa niza funkcija. Posmatrajmo LCT sistm L. Svojstvo linarnosti s mož proširiti na pravilo nprkidn suprpozicij kojim s bskonačn sum zamnjuju intgraa: L = L, pa važi y(t) = Lf(t) = L(f δ)(t) = L f(τ)δ(t τ)dτ = Ako uvdmo oznaku h = Lδ, iz linarnosti sistma sldi y(t) = f(τ)h(t τ)dτ = (f h)(t), t R, 3 f(τ)lδ(t τ)dτ. pa j Furijova transformacija izlaza jdnaka proizvodu Furijovih transformacija ulaza i funkcij h = Lδ koja s naziva impulsni odziv sistma L. Prma tom, LTC sistmi s karaktrišu konvolucijom i impulsnim odzivom. Vza izmd u frkvncijskog odziva sistma H i njgovog impulsnog odziva h = Lδ s dobija iz: L iωt = iωτ h(t τ)dτ = iω(t τ) h(τ)dτ = H(ω) iωt. Prma tom, frkvncijski odziv sistma j Furijova transformacija njgovog impulsnog odziva. Ako j moguć primniti formulu invrzn Furijov transformacij za izlaz y, y(t) = 1 Y (ω) iωt dω, onda j y(t) = Y (ω) iωt dω = 1 H(ω)F (ω) iωt dω. 2 Odavd sldi da j, za fiksirano t, svaka frkvncijska komponnta iωt spktra F ulaznog signala f pojačana ili oslabljna sa H = Fh, pa ta funkcija ima ulogu filtriranja u frkvncijskom domnu, čim s opravdava naziv funkcija prnosa sistma. Sldća torma karaktriš stabilnost sistma prko njgovog impulsnog odziva. Torma 1.2. LCT sistm odrd n impulsnim odzivom h = Lδ j stabilan ako i samo ako h L 1 (R), to jst h(t) dt <. Dokaz. Nka j f(t) M, t R i nka h L 1 (R). Važi: y(t) f(τ) h(t τ) dτ M h(t τ) dτ <.

4 4 Obratni smr s dokazuj kontrapozicijom. L 1 (R) i dfinišmo pomoćnu funkciju: Prtpostavimo da h f(t) = Funkcija f j ogranična, f(t) 1 i { h( t), h( t), h( t), h( t) =. y() = Dakl, sistm nij stabilan. f(τ)h( τ)dτ = h(t) dt = Primr dlta konvrgntnog niza. U vrmnsko-frkvncijskoj analizi (i u nastavku kursa) posbnu ulogu igraju gausovsk funkcij. U opštm slučaju to su funkcij oblika a (x b)2 2c 2, gd su a, b, c ralni paramtri. Dat j niz gausovskih funkcija {(m/ mx2 } m N. Dokažimo da ovaj niz ima svojstvo rasjanja: mx 2 f(x)dx = f(), gd j f ogranična, intgrabilna i nprkidna u nuli. Drugim rčima, dati niz j dlta-konvrgntan u sldćm smislu: Dfinicija 1.3. Niz funkcija {s m } j dlta konvrgntan, u oznaci s m (t) = δ(t), ako j za sv dovoljno glatk funkcij f. Svojstvo rasjanja implicira jr s smnom x t = s dobija s m (t)f(t)dt = f(), s m (x t)f(x)dx = f(t), t R, s m (s)f(s + t)dx = f( + t) = f(t), t R. Ovim s opravdava naziv dlta konvrgntan niz. Najpr dokazujmo da j x2 dx = /2. Od nkoliko načina da s odrdi vrdnost ovog nsvojstvnog intgrala, biramo onaj u kojm s koristi thnika difrnciranja pod znakom intgrala.

5 ( t 2 Za t > posmatra s funkcija F (t) = dx) x2. Važi: F (t) = 2 t2 t x2 dx = 2 t2 ( za sv t >. Kako j t ( 1 F (t) = t 1 + y 2 (1+y2 )t 2 (1+y2 )t y 2 ) ) dy = d dt t t2 y 2 dy = 2t (1+y2 )t 2 dy, = 2t (1+y2 )t 2 dobija s (1+y2 )t 2 5 dy = d G(t), t >. 1 + y 2 dt Odavd j F (t) = G(t) + C, za nku konstantu C R i sv t >. Dakl, ( t 2 dx) (1+y2 )t 2 x2 = dy + C, t + t y 2 odakl j = 1 dy + C, iz čga sldi C = /4. Znači, 1+y 2 ( t ) 2 x2 dx = 4 (1+y2 )t 2 dy, 1 + y 2 pa j to jst t + ( t x2 dx = ) 2 x2 dx = 2. 4 t + (1+y2 )t y 2 dy, Prma tom x2 dx =. Smnom promnljiv x my dobija s mx 2 dx = 1. Sada dokazujmo svojstvo rasjanja. S obzirom da j ograničnost funkcij njno globalno svojstvo, a nprkidnost u nuli lokalno, funkciju f zapisujmo u obliku f(x) = f() + (f(x) f()) : mx 2 f(x)dx = f() + mx 2 (f(x) f())dx, i pokazujmo da drugi sabirak tži ka nuli kada m. Za proizvoljno A > važi: mx 2 (f(x) f())dx

6 6 A A = + + mx 2 (f(x) f())dx. A A Iz ograničnosti funkcij f sldi da j f(x) f() M, za nko M >, odakl j A A mx 2 (f(x) f())dx M kada m. Slično, A = M A mx 2 dx m mx 2 (f(x) f())dx =. y2 dy, Konačno, iz nprkidnosti funkcij f za proizvoljno ε > postoji δ > tako da j f(x) f() < ε kadgod j x < δ, birajući A < δ/2 dobija s A A ( mx m 2 (f(x) f())dx mx 2 f(x) f() dx A A A ε mx 2 dx A kada m. Ovim j dokazano da j = ε A m A m mx 2 f(x)dx = f(), y2 dy ε, pa j niz gausovskih funkcija {(m/ mx2 } m N jdan dlta konvrgntan niz Rzim. (1) Dfinisati LCT sistm, frkvncijski odziv i impulsni odziv sistma i pokazati da j frkvncijski odziv sistma Furijova transformacija njgovog impulsnog odziva. (2) Formulisati i dokazati tvrd nj koj karaktriš stabilnost sistma pomoću njgovog impulsnog odziva. (3) Dokazati da j mx 2 dx = 1. (4) Dfinisati dlta konvrgntan niz i dokazati da j niz gausovskih funkcija primr dlta konvrgntnog niza.