ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) ΑΘΗΝΑ web: Πρόβλημα 1 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ» 10 Νεμβρίυ 018 ΤΑΞΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπλγίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: Πρόβλημα Α Στ διπλανό σχήμα τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΓ, ˆΑ 40 και ΑΔ είναι η διχτόμς της γωνίας ˆΑ. Επίσης τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΒΗ είναι ισσκελή με ΕΑ ΕΒ και ΑΒ ΑΗ. Να απδείξετε ότι: α) β) ΑΗΒ ˆ 0. ΑΓΗ ˆ 40. γ) Η ΗΒ είναι διχτόμς της γωνίας ˆ ΑΗΓ. Πρόβλημα 3 Ο Νίκς επισκέφθηκε για ψώνια 3 καταστήματα στη σειρά. Στ πρώτ κατάστημα ξόδεψε 30 ευρώ περισσότερα από τ μισό των χρημάτων πυ είχε μαζί τυ. Στ δεύτερ κατάστημα ξόδεψε 40 ευρώ περισσότερα από τ μισό των χρημάτων πυ τυ είχαν μείνει, όταν βγήκε από τ πρώτ κατάστημα. Στ τρίτ κατάστημα ξόδεψε 50 ευρώ περισσότερα από τ μισό των χρημάτων πυ τυ είχαν μείνει, όταν βγήκε από τ δεύτερ κατάστημα. Αν μετά την αγρά τυ στ τρίτ κατάστημα τελείωσαν τα χρήματά τυ, να βρείτε πόσα χρήματα είχε μαζί τυ όταν ξεκίνησε τις αγρές τυ. Πρόβλημα 4 Τρεις θετικί ακέραιι α, β, γ, με α β γ, έχυν μέγιστ κινό διαιρέτη τν ακέραι 7 και ελάχιστ κινό πλλαπλάσι τν ακέραι Αν γνωρίζετε ότι μέγιστς κινός διαιρέτης των α, β ισύται με τ μέγιστ κινό διαιρέτη των β, γ, να βρείτε τις δυνατές τιμές των α, β, γ. Κάθε θέμα βαθμλγείται με 5 μνάδες. Διάρκεια διαγωνισμύ: 3 ώρες. Καλή επιτυχία! Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών 1

2 Πρόβλημα 1 - Απάντηση Έχυμε: Πρόβλημα - Απάντηση ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α α) Για να απδείξυμε ότι ΑΗΒ ˆ 0, έχυμε: Η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας ˆΑ με πμένως Αˆ Αˆ 0. 1 ˆΑ 40. Ε- Τ τρίγων ΑΕΒ είναι ισσκελές με ΕΑ ΕΒ. Επμένως ˆ ˆ Α1 Β1, δηλαδή ˆΒ 0. 1 Τ τρίγων ΑΒΗ είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΗ. Επμένως ΑΗΒ ˆ Βˆ 1. Άρα η ζητύμενη γωνία είναι ΑΗΒ ˆ 0. β) Για να απδείξυμε ότι ΑΓΗ ˆ 40, έχυμε: Η γωνία Η γωνία ˆ ΓΑΗ είναι ˆ ΒΑΗ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΗ είναι ΓΑΗ ˆ ΒΑΗ ˆ Αˆ ΒΑΗ ˆ Τ τρίγων ΑΓΗ είναι ισσκελές διότι ΑΒ ΑΗ, άρα και ΑΓ ΑΗ. Επμένως: Άρα η ζητύμενη γωνία είναι γ) Από τα πρηγύμενα έχυμε ότι Αυτό σημαίνει ότι Πρόβλημα 3 - Απάντηση A τρόπς ˆ ˆ ˆ 180 ΓΑΗ ΑΓΗ ΑΗΓ 40 ΑΓΗ ˆ 40. ΑΗΒ ˆ 0 και ΓΗΒ ˆ ΑΗΓ ˆ ΑΗΒ ˆ ΑΗΒ ˆ ΓΗΒ 0 ˆ ΑΗΓ 40. Επμένως: ˆ, πότε η ΗΒ είναι διχτόμς της γωνίας ˆ ΑΗΓ. Στ τρίτ κατάστημα Νίκς ξόδεψε όλα τα χρήματα πυ τυ είχαν μείνει από τ δεύτερ κατάστημα, αφύ σύμφωνα με τα δεδμένα τέλειωσαν τα χρήματά τυ. Όμως ξόδεψε τα μισά των χρημάτων πυ είχε και 50 επιπλέν. Επμένως τα μισά των χρημάτων πυ είχε αντιστιχύν σε 50. Άρα μπαίνντας στ τρίτ κατάστημα είχε 100 πυ τυ είχαν μείνει από τ δεύτερ κατάστημα. Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών

3 Στ δεύτερ κατάστημα Νίκς ξόδεψε τα μισά από τα χρήματα πυ τυ είχαν μείνει από τ πρώτ κατάστημα και 40 επιπλέν. Τυ περίσσεψαν όμως 100. Επμένως τα μισά από τα χρήματα πυ είχε, ελαττωμένα κατά 100 αντιστιχύν σε 40. Δηλαδή τα χρήματα πυ είχε, ελαττωμένα κατά 00 ήταν ακριβώς 80. Άρα μπαίνντας στ δεύτερ κατάστημα είχε 80 πυ τυ είχαν μείνει από τ πρώτ κατάστημα. Στ πρώτ κατάστημα Νίκς ξόδεψε τα μισά από τα χρήματα πυ είχε μαζί τυ για αγρές και 30 επιπλέν. Τυ περίσσεψαν όμως 80. Επμένως τα μισά από τα χρήματα πυ είχε, ελαττωμένα κατά 80 αντιστιχύν σε 30. Δηλαδή τα χρήματα πυ είχε, ελαττωμένα κατά 560 ήταν ακριβώς 60. Άρα μπαίνντας στ πρώτ κατάστημα είχε 60. Επμένως όταν Νίκς ξεκίνησε τις αγρές τυ είχε μαζί τυ 60 ευρώ. Β τρόπς Ας υπθέσυμε ότι πηγαίνντας Νίκς στ τρίτ κατάστημα είχε x ευρώ. Εκεί ξόδεψε τα μισά από τα χρήματά τυ και 50 επιπλέν. Επειδή δεν τυ έμειναν καθόλυ χρήματα, δηλαδή ξόδεψε τα x ευρώ πυ είχε, έχυμε την εξίσωση: x x 50 x x 100 x 100 Επμένως όταν έφυγε από τ δεύτερ κατάστημα τυ είχαν μείνει 100. Ας υπθέσυμε ότι πηγαίνντας Νίκς στ δεύτερ κατάστημα είχε y ευρώ. Εκεί ξόδεψε τα μισά από τα χρήματά τυ και 40 επιπλέν. Επειδή όμως τυ έμειναν 100 έχυμε την εξίσωση: y y y y y 80 Επμένως όταν έφυγε από τ πρώτ κατάστημα τυ είχαν μείνει 80. Ας υπθέσυμε ότι πηγαίνντας Νίκς στ πρώτ κατάστημα είχε z ευρώ. Εκεί ξόδεψε τα μισά από τα χρήματά τυ και 30 επιπλέν. Επειδή όμως τυ έμειναν 80 έχυμε την εξίσωση: z z z z z 60 Επμένως όταν Νίκς ξεκίνησε τις αγρές τυ είχε μαζί τυ 60 ευρώ. Γ τρόπς Έστω ότι Νίκς είχε x ευρώ όταν ξεκίνησε τις αγρές τυ. Τότε: Στ πρώτ κατάστημα ξόδεψε x x ευρώ και τυ έμειναν: Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών 3

4 Στ δεύτερ κατάστημα ξόδεψε τυ έμειναν: x 60 x x 60 x 60 x ευρώ x 60 x x ευρώ και x 60 x 100 x 10 x 100 x 0 ευρώ x 0 x 0 x 180 Στ τρίτ κατάστημα ξόδεψε ευρώ και δεν 8 8 τυ έμειναν καθόλυ χρήματα. Τελικά έχυμε τη εξίσωση: x 60 x 100 x 180 x 4 8 8x 4 x 60 x 100 x 180 8x 4x 40 x 00 x 180 x 60 Επμένως όταν Νίκς ξεκίνησε τις αγρές τυ είχε μαζί τυ 60 ευρώ. Πρόβλημα 4 - Απάντηση A τρόπς Σύμφωνα με την υπόθεση ι αριθμί α, β, γ είναι διαφρετικά πλλαπλάσια τυ 7. Επμένως, θα είναι της μρφής: α 7κ, β 7λ, γ 7μ, όπυ κ, λ, μ είναι θετικί ακέραιι με κ λ μ Επίσης ι αριθμί α, β, γ είναι διαιρέτες τυ 1008 και επειδή έχυμε:, α 7κ κ, β 7λ λ 7λ 7λ λ Τα κλάσματα αυτά πρέπει να είναι θετικί ακέραιι. Όμως ι θετικί διαιρέτες τυ 14 είναι 1,, 7, 14. Λόγω τυ ότι κ λ μ διακρίνυμε τις περιπτώσεις: Αν κ 1, λ, μ 7, τότε α 7, β 144, γ 504 διότι ΜΚΔ(α,β) ΜΚΔ(β,γ) 7. Οι τιμές αυτές είναι δεκτές Αν κ 1, λ, μ 14, τότε α 7, β 144, γ Οι τιμές αυτές απρρίπτνται διότι ΜΚΔ(α,β) 7 ΜΚΔ(β,γ) 144 Αν κ 1, λ 7, μ 14, τότε α 7, β 504, γ Οι τιμές αυτές απρρίπτνται διότι ΜΚΔ(α,β) 7 ΜΚΔ(β,γ) 504 Αν κ, λ 7, μ 14, τότε α 144, β 504, γ Οι τιμές αυτές απρρίπτνται διότι ΜΚΔ(α,β) 7 ΜΚΔ(β,γ) 504 Τελικά ι δυνατές τιμές των θετικών ακεραίων α, β, γ είναι: α 7, β 144, γ Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών

5 Β τρόπς Οι θετικί ακέραιι α, β, γ με α β γ είναι ταυτόχρνα πλλαπλάσια τυ 7 και διαιρέτες τυ Επειδή και ι διαιρέτες τυ 14 είναι 1,, 7, 14, ι α- ριθμί πυ είναι ταυτόχρνα πλλαπλάσια τυ 7 και διαιρέτες τυ 1008 είναι: 17 7, 7 144, , Αν α 7, β 144, γ 504, τότε ΜΚΔ(α,β) ΜΚΔ(β,γ) 7. Επμένως ι τιμές αυτές είναι δεκτές. Αν α 7, β 144, γ 1008, τότε ΜΚΔ(α,β) 7 ΜΚΔ(β,γ) 144. Επμένως ι τιμές αυτές απρρίπτνται. Αν α 7, β 504, γ 1008, τότε ΜΚΔ(α,β) 7 ΜΚΔ(β,γ) 504. Επμένως ι τιμές αυτές απρρίπτνται. Αν α 144, β 504, γ 1008, τότε ΜΚΔ(α,β) 7 ΜΚΔ(β,γ) 504. Επμένως ι τιμές αυτές απρρίπτνται. Τελικά ι δυνατές τιμές των θετικών ακεραίων α, β, γ είναι: Γ τρόπς α 7, β 144, γ 504 Αναλύυμε τυς αριθμύς 7 και 1008 σε γινόμεν πρώτων παραγόντων και έχυμε: Γνωρίζυμε ότι: και Ο ΜΚΔ δύ ή περισστέρων αριθμών είναι τ γινόμεν όλων των κινών πρώτων παραγόντων των αριθμών αυτών με τ μικρότερ εκθέτη καθένας. Τ ΕΚΠ δύ ή περισστέρων αριθμών είναι τ γινόμεν όλων των κινών και μη κινών πρώτων παραγόντων των αριθμών αυτών με τ μεγαλύτερ εκθέτη καθένας. Επμένως όλι ι αριθμί α, β, γ θα έχυν παράγντα τ 3 3. Εκτός από αυτόν τν 4 4 παράγντα, ρισμένι θα έχυν επιπλέν παράγντα τ ή τ 7 ή τ και τ 7. Οι διαφρετικί αριθμί πυ παράγνται με βάση τ παραπάνω σκεπτικό, κατά αύξυσα σειρά, είναι: ή Οι αριθμί α, β, γ με τη διάταξη α β γ είναι τρείς από τυς παραπάνω αριθμύς 7, 144, 504, Όμως ισχύει ΜΚΔ(α,β) ΜΚΔ(β,γ). Έτσι έχυμε: ΜΚΔ(7,144) 7 ΜΚΔ(144,504) 7 ΜΚΔ(7,144) 7 ΜΚΔ(144,1008) 144 ΜΚΔ(7,504) 7 ΜΚΔ(504,1008) 504 ΜΚΔ(144,504) 7 ΜΚΔ(504,1008) 504 Επμένως ι δυνατές τιμές των θετικών ακεραίων α, β, γ είναι: α 7, β 144, γ 504 Δ. Σπαθάρας, τ. Σχλικός Σύμβυλς Μαθηματικών 5