Α. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ. α β γ ΜΑΘΗΜΑ 10. Κεφάλαιο 2o : Τριγωνοµετρία. Υποενότητα 2.4: Νόµος των Ηµιτόνων Νόµος των Συνηµιτόνων. Θεµατικές Ενότητες:

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 10 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.4: Νόµς των Ηµιτόνων Νόµς των Συνηµιτόνων Θεµατικές Ενότητες: 1. Νόµς Ηµιτόνων.. Νόµς Συνηµιτόνων. Α. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Τ σηµαντικότερ πρόβληµα στη τριγωνµετρία είναι η διαδικασία εύρεσης άγνωστων στιχείων ενός τριγώνυ όταν έχυµε επαρκή στιχεία τυ. Με τη βήθεια των Νόµων Ηµιτόνυ και Συνηµιτόνων πυ ακλυθύν παρακάτω µπρύµε να επιλύσυµε ένα τρίγων εάν είναι γνωστό τρία κύρια στιχεία τυ, από τα πία τ ένα τυλάχιστν να είναι πλευρά. α β γ ηµα ηµβ ηµγ Νόµς Ηµιτόνων: Σε κάθε τρίγων ισχύει = = ( = R) Απόδειξη: Γ β α Α Β γ Στ ρθγώνι τρίγων ΑΓ έχυµε: Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός

2 ηµα= Γ Γ =ΑΓ ηµα Γ =β ηµα ΑΓ ( 1). Όµια στ ρθγώνι τρίγων ΒΓ έχυµε: Γ ηµβ= Γ =ΒΓ ηµβ Γ =α ηµβ ΒΓ Από (1), () έχυµε ότι: α β β ηµα=α ηµβ = ηµα ηµβ Όµια απδεικνύεται ότι: β γ = ηµβ ηµγ Οπότε συνλικά: α β γ = = ηµα ηµβ ηµγ Β. ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Νόµς Συνηµιτόνων: Σε κάθε τρίγων ισχύει α =β +γ βγσυνα β =γ +α γασυνβ γ =α +β αβσυνγ Απόδειξη: Γ β α Α Β γ Ας υπθέσυµε ότι θέλυµε να υπλγίσυµε τη πλευρά α τυ παραπάνω τριγώνυ. Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός

3 Εφαρµόζντας τ Π.Θ στ ρθγώνι τρίγων Γ Β έχυµε: α =Γ + Β 1 Αλλά από ρθγώνι τρίγων Γ Α ισχύει: Γ Α ηµα= Γ =β ηµα Α =β συνα ΑΓ ΑΓ και ( 3) Επίσης ισχύει ότι : Β=γ Α =γ β συνα ( απ σχεση 3 ) ( 4) Άρα η σχέση (1) µε βάση τις σχέσεις (), (4) γράφεται: α =β ηµ Α+ γ βσυνα α =β ηµ Α+γ βγσυνα+β συν Α α =β ηµ Α+συν Α +γ βγσυνα α =β +γ βγσυνα Με κυκλική εναλλαγή γραµµάτων πρκύπτυν και ι άλλι δύ τύπι. Πρσχή: Ο Νόµς Συνηµιτόνων απτελεί επέκταση τυ Πυθαγρείυ Θεωρήµατς αφύ αν εφαρµστεί για την περίπτωση πυ είναι π.χ Α= 90, έχυµε διαδχικά: α =β +γ βγσυνα α =β +γ βγσυν α =β +γ βγ α =β +γ 90 0 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Πλλές φρές από ένα τύπ µπρύµε να δηµιυργήσυµε άλλυς κάνόντας κυκλική εναλλαγή των γραµµάτων πυ εκφράζυν όµια µεγέθη. Για παράδειγµα παρατήρησε την κυκλική εναλλαγή στ Νόµ Α+Β Γ Συνηµιτόνων. Επίσης από τν τύπ συν =ηµ, όπυ γωνίες ενός τριγώνυ ΑΒΓ, πρκύπτυν επίσης ι τύπι: Β+Γ Α Γ+Α Β συν =ηµ και συν =ηµ. Α, Β ɵ, Γ ι Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 5 -

4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Τέσσερις κλασικές περιπτώσεις επίλυσης τριγώνυ είναι ι παρακάτω: Με Νόµ Ηµιτόνων: ίννται: Μια πλευρά και δύ γωνίες ( π.χ 1 ) ύ πλευρές και µία γωνία, όχι η περιεχόµενη. ( π.χ ) Με Νόµ Συνηµιτόνων: ίννται: ύ πλευρές και η περιεχόµενη γωνία ( π.χ 3 πχ 4 ) Οι τρεις πλευρές. ( π.χ 5 ) ( π.χ 1 ) Σε τρίγων ΑΒΓ είναι α = 0cm, 50, ɵ Β= Γ= 80. Να βρείτε τις πλευρές β και γ. Έχυµε διαδχικά: Α+Β+Γ= ɵ 180 Α= 180 Β Γ Α= ɵ Α= 50 Από τν Νόµ ηµιτόνων έχυµε: α γ 0 γ 0 ηµ ,985 = = γ= γ= γ= 5,7cm ηµα ηµγ ηµ 50 ηµ 80 ηµ 50 0,766 Επίσης έχυµε: α β 0 β 0 ηµ 50 = = γ= γ= 0cm ηµα ηµβ ηµ 50 ηµ 50 ηµ 50 ( π.χ ) Σε τρίγων ΑΒΓ είναι α = 8cm, β = 11cm και Β= 35. Να βρείτε τη πλευρά γ και τις υπόλιπες γωνίες τυ τριγώνυ. Από τν Νόµ ηµιτόνων έχυµε διαδχικά: α β ηµ ,574 = = ηµα= ηµα= = 0,417 ηµα ηµβ ηµα ηµ Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός

5 Άρα Α= 5 ή Α= 155. Η λύση όµως Α= 155 απρρίπτεται...γιατί;;;; Άρα Α+Β+Γ= ɵ 180 Γ= ɵ 180 Α Β Γ= ɵ Γ= ɵ 10 Επίσης έχυµε: β γ 11 γ 11 ηµ ,866 = = γ= γ= γ= 16,5cm ηµβ ηµγ ηµ 35 ηµ 10 ηµ 35 0,574 ( π.χ 3 ) Σε τρίγων ΑΒΓ είναι α = 10cm, β = 15cm και ɵ Γ= 150. Να βρείτε τη πλευρά γ και τις υπόλιπες γωνίες τυ τριγώνυ. Από τν Νόµ συνηµιτόνων έχυµε διαδχικά: γ =α +β αβσυνγ γ = + συν γ = + γ = γ = + γ = γ= συν , ,8 584,8 584,8 γ= 4,18cm Γνωρίζντας τώρα τις τρεις πλευρές τυ τριγώνυ µπρύµε να βρύµε τις γωνίες τυ πάλι από τν Νόµ των συνηµιτόνων. Αναλυτικά έχυµε: α =β +γ βγσυνα β +γ α βγ , , , ,4 709,8 συνα = = 0,978 75,4 Άρα Α= 1 και άρα Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός

6 Α+Β+Γ= ɵ 180 Β= 180 Α Γ Β= ɵ Β= 18 ( π.χ 4 ) Σε τρίγων ΑΒΓ είναι β= cm, γ= 3cm και A = 75. Να βρείτε τη πλευρά α και τις υπόλιπες γωνίες τυ τριγώνυ. Από τν Νόµ συνηµιτόνων έχυµε διαδχικά: α =β +γ βγσυνα α = + συν α = + α = α = α = α= , 59 5,44 0,59 5 1,6 3,74 3,74 α= 1,93cm Γνωρίζντας τώρα τις τρεις πλευρές τυ τριγώνυ µπρύµε να βρύµε τις γωνίες τυ πάλι από τν Νόµ των συνηµιτόνων. Αναλυτικά έχυµε: β =α +γ αγσυνβ α +γ β αγ ( 1,93) + ( 3) 1,93 3 3, ,93 1,73 4,74 συνβ = = 0,710 6,67 Άρα Β= 45 και άρα Α+Β+Γ= ɵ 180 Γ= ɵ 180 Α Β Γ= ɵ Γ= ɵ 60 Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός

7 ( π.χ 5 ) Οι τρεις πλευρές ενός τριγώνυ ΑΒΓ είναι α = 6cm, β= 6 3 cm και γ = 1cm. Να βρείτε τις γωνίες τυ τριγώνυ. Γνωρίζντας τώρα τις τρεις πλευρές τυ τριγώνυ µπρύµε να βρύµε τις γωνίες τυ από τν Νόµ των συνηµιτόνων. Αναλυτικά έχυµε: α =β +γ βγσυνα β +γ α βγ , συνα = = 0,867 49,1 Άρα Α= 30. Όµια έχυµε: β =α +γ αγσυνβ α +γ β αγ συνβ = = 0,5 144 Άρα Β= 60. Τελικά Α+Β+Γ= ɵ 180 Γ= ɵ 180 Α Β Γ= ɵ Γ= ɵ 90 Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός

8 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σε τρίγων ΑΒΓ είναι Γ= ɵ 10. Να δείξετε ότι ισχύει: γ =α +β +αβ. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: α = 5cm, Α= 30 και Β= 45. Να υπλγίσετε τη γωνία Γ και τις πλευρές β και γ. 3. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: α = β = 10cm και Α= 30. Να υπλγίσετε τη γωνία Β και Γ και την πλευρά γ. 4. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: α = cm, β= 6cm και Γ= ɵ 75. Να υπλγίσετε τη γωνία Α και Β και τη πλευρά γ. 5. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: α = cm, β = 4cm και γ= 5cm. Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ. 6. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: α = 3cm, β = 5cm και Β= 10. Να υπλγίσετε τις γωνίες Α, Γ και την πλευράς γ. 7. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: Α= 40, Β= 80 και ΑΓ = 50m. Να υπλγίσετε τη ΒΓ και την ΑΒ. 8. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: α = 7cm, β = 1cm και γ = 13cm. Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ. 9. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: α = 10cm, β = 15cm και A = 30. Να υπλγίσετε τις γωνίες B, Γ και την πλευράς AB. 10. Ένα τρίγων ΑΒΓ έχει: α = 6cm, β = 7cm και γ = 11cm. Να υπλγίσετε τη γωνία Β, τ ύψς Α και τ εµβαδόν τυ. 11. Σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση α= β συνγ. Να δείξετε ότι τ τρίγων είναι ισσκελές. 1. Παραλληλόγραµµ ΑΒΓ έχει: ΑΒ = 0cm, ΒΓ = 14cm και Γ= ɵ 80. Να υπλγίσετε τη διαγώνι Β, τη γωνία Α Β και τη διαγώνι ΑΓ. 13. Σε τρίγων ΑΒΓ είναι Α= 45. Να δείξετε ότι: α =β +γ βγ. Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός

9 14. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση β γ βσυνγ γ. Στη συνέχεια να γράψετε τυς τύπυς πυ α πρκύπτυν αν εναλλάξυµε κυκλικά τα γράµµατα. Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός