ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της f ως πρς στ σημεί 0 = 0. β) Για πιες τιμές τυ ρυθμός μεταβλής της f ως πρς είναι θετικός και για πιες αρνητικός; γ) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής τυ συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτμένης της C f στ Α(,f()) ως πρς στ 0 = 1. α) Η f είναι παραγωγίσιμη με f () = 3 3 τότε ρυθμός μεταβλής της f ως πρς στ 0 = 0 θα είναι f (0) = = 3. β) τ πρόσημ της f () φαίνεται στν παρακάτω πίνακα. Άρα για (-,-1) (1,+ ) o ρυθμός μεταβλής είναι θετικός. Ενώ για (-1,1) o ρυθμός μεταβλής είναι αρνητικός. γ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτμένης της C f στ Α(,f()) είναι f () = 3 3. Τότε ρυθμός μεταβλής της f () ως πρς θα ισύται με f () = 6. Άρα ρυθμός μεταβλής στ 0 = 1 θα είναι f (1)= 6 1=6. Αν αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής μιας συνάρτησης f, με τύπ y = f(), ως πρς στ 0 αρκεί να υπλγίσυμε τ f ( 0 ). 1

2 Παράδειγμα. Μια εταιρία εκτιμά ότι τ κόστς παραγωγής μνάδων ενός από τα πρϊόντα της δίνεται από τη σχέση K() = ευρώ, ενώ η τιμή πώλησης από την συνάρτηση E() = 00 ευρώ. Nα βρείτε τ ριακό κέρδς για πώληση 15 μνάδων τυ πρϊόντς. Η συνάρτηση πυ συνδέει τ κέρδς P,τ κόστς Κ και τις πωλήσεις Ε είναι: P() = E() K() (1) Παραγωγίζντας τη (1) θα πάρυμε P () = E () K () () Όπυ K () = και E () = 00 Τότε η () θα δώσει P () = 00 ( ) = To ριακό κέρδς για πώληση 15 μνάδων τυ πρϊόντς ισύται με τ ρυθμό μεταβλής τυ κέρδυς για =15 άρα P (15) = = = 5 μν./μν.παραγ. Σε πρβλήματα της ικνμίας εκφράζυμε τ κόστς Κ, τ κέρδς P και την είσπραξη Ε μέσω τυ τύπυ P() = E() K() και παραγωγίζντας τα δυ μέλη της παραπάνω εξίσωσης εμφανίζυμε τυς αντίστιχυς ρυθμύς μεταβλής.

3 Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπ f() = e. α. Να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της για = 1. β. Να υπλγίσετε τ όρι e e lim 1. 1 α. Έχυμε f() = e, με D f =, πότε της συνάρτησης για = 1 είναι e. = e και ( ) f () f 1 = e, δηλαδή ρυθμός μεταβλής β. Παρατηρύμε ότι f (1) = e, επμένως e e f() f(1) lim = lim = f (1) = e Αν δύ μεταβλητά μεγέθη, y συνδένται με τη σχέση y παραγωγίσιμη στ την παράγωγ f ( 0 ). = f(), όταν f είναι μία συνάρτηση o, τότε νμάζυμε ρυθμό μεταβλής τυ y ως πρς τ στ σημεί o 3

4 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπ f () =. α. Να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της για =. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτμένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στ =. α. Έχυμε f () =, με D f =, πότε f () = και f () = =, δηλαδή ρυθμός μεταβλής της συνάρτησης για = είναι. β. Η εξίσωση της εφαπτμένης στ = είναι ( ) ( ) y f = f ( ) και επειδή f( ) = = 0, παίρνυμε y = ( ) y = 4. Ο ρυθμός μεταβλής μιας συνάρτησης f στ 0 Df, ισύται με τ συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτμένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στ 0. 4

5 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1. Ένα κινητό ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκς της καμπύλης y = 1, [1, + ). Σε πι σημεί Μ της καμπύλης ρυθμός μεταβλής της τετμημένης τυ Μ είναι τριπλάσις τυ ρυθμύ μεταβλής της τεταγμένης y αν y (t)>0 για κάθε t 0; Έστω =(t), y=y(t) ι συντεταγμένες τυ Μ τη χρνική στιγμή t. Έχυμε y(t) = (t) 1 τότε y (t)= 1 (t) 1 (t) (1) Αλλά ρυθμός μεταβλής τυ, (t) είναι τριπλάσις από τν ρυθμό μεταβλής τυ y, y (t) άρα (t) = 3y (t) () Από (1),() y (t) = Άρα 1 = 3 (t) 1 1 (t) 1 3y (t) με y (t) > 0. (t) 1 = 3 (t) 1 = 9 4 (t) = Τότε y(t) = = 3. Άρα τ ζητύμεν σημεί είναι Μ( 13 4, 3 ). Αν ένα κινητό κινείται κατά μήκς μιας καμπύλης C f πυ είναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τότε η τετμημένη και η τεταγμένη τυ τη χρνική στιγμή t είναι (t) και y(t), ενώ ρυθμός μεταβλής (t) και y (t) αντίστιχα. 5

6 Παράδειγμα. Αν όγκς V μιας σφαιρικής μπάλας αυξάνεται με ρυθμό 45cm 3 /sec, να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της επιφάνειας της E,όταν η ακτίνα είναι R=17cm. 4 3 Υπενθυμίζυμε ότι:( E= 4π R, V= π R ) 3 Έστω R = R(t) η ακτίνα της σφαίρας ως συνάρτηση τυ χρόνυ. Τότε όγκς V της σφαίρας συναρτήσει τυ χρόνυ θα είναι V(t) = 4 3 πr3 (t). Άρα ρυθμός μεταβλής τυ όγκυ θα είναι V (t) = 4 3 π3r (t)r (t) = 4πR (t)r (t) Άρα R (t) = V (t) 4π R (t) (1) Τ εμβαδόν της επιφάνειας E συναρτήσει τυ χρόνυ είναι E(t) = 4πR (t). Τότε ρυθμός μεταβλής της επιφάνειας θα είναι Ε (t) = 8πR(t) R (t). () V (t) V (t) H () λόγω της (1) Θα μας δώσει: Ε (t) = 8πR(t) Ε (t) = 4πR (t) R(t) 45 Για R(t) = 17 έχυμε E (t) = = 50cm / sec. 17 Για τη λύση πρβλημάτων με ρυθμό μεταβλής πρέπει να εκφράσυμε τ μέγεθς τυ πίυ αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής μέσω κάπιας συνάρτησης.στη συνέχεια συνδυάζντας τα δεδμένα τυ πρβλήματς δημιυργύμε κατάλληλη εξίσωση πυ περιέχει τη συνάρτηση και με παραγώγιση των δυ μελών της εξίσωσης εμφανίζεται ρυθμό μεταβλής τυ ζητύμενυ μεγέθυς. 6

7 Παράδειγμα 3. Έστω η συνάρτηση f() = e και Α σημεί της γραφικής παράστασης της f, στ πί η εφαπτμένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτμένης. β) Αν ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκς της καμπύλης της C f και καθώς περνάει από τ Α η τετμημένη τυ ελαττώνεται με ρυθμό 3 μνάδες ανά δευτερόλεπτ, να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της τεταγμένης τυ τη χρνική στιγμή πυ τ Μ περνάει από τ Α. α) Η εφαπτμένη της C f στ σημεί A( 0, f( 0 )) έχει εξίσωση ε: y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) και αφύ διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τ Ο (0,0) θα την επαληθεύει. Τότε ε: 0 f( 0 ) = f ( 0 )(0 0 ) όπυ f( 0 ) = e 0 και f ( 0 ) = e 0 άρα e = e 0 e = e 0 e e 0 = 0 e (1 0) = 0 1 = 0 = άρα Α(1,e) τ σημεί επαφής και η εξίσωση της ε: ( ) ( )( ) ( ) y f 1 = f 1 1 y e= e 1 y e= e e y= e Οπότε η εξίσωση της ζητύμενης εφαπτμένης είναι y=e. β) Έστω =(t), y=y(t) ι συντεταγμένες τυ Μ τότε y(t) = e (t) (1) Παραγωγίζντας τα δυ μέλη της (1) θα πάρυμε y (t) = e (t) (t) () Αλλά όταν τ Μ περνάει από τ Α(1,e) τ (t) μειώνεται με ρυθμό 3 μνάδες /sec,άρα (t) = 3 και (t) = 1. Τότε από τη σχέση () έχυμε : y (t) = e (-3)=-3e μνάδες/sec. Άρα η τεταγμένη μειώνεται με ρυθμό 3e μνάδες /sec. Αν ένα κινητό κινείται κατά μήκς της καμπύλης C f της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής της τετμημένης ή της τεταγμένης τη χρνική στιγμή πυ τ κινητό διέρχεται από τ σημεί Α: α) νμάζυμε =(t) και y=y(t) τις συντεταγμένες, τότε y(t) = f((t)) (1) β) παραγωγίζυμε τη (1) και έχυμε y (t) = f ((t)) (t) () γ) επιλύυμε την () ως πρς (t) ή y (t) αναλόγως την ερώτηση. 7

8 Παράδειγμα 4. α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε άξνας να εφάπτεται της C f στ 0 =, όταν f() = + κ +λ. β) Έστω,y ι διαστάσεις ενός ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ. Αν η διάσταση μεταβάλλεται με ρυθμό κ cm/sec και η διάσταση y μεταβάλλεται με ρυθμό λ cm/sec, όπυ κ, λ ι πραγματικί αριθμί τυ ερωτήματς (α), να βρεθεί ρυθμός μεταβλής τυ εμβαδύ τυ ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ τη χρνική στιγμή πυ τ =3cm και τ y=5 cm. α) Αφύ άξνας εφάπτεται της C f στ 0 f ( ) = 0 Όμως f ( ) = + κ Οπότε λύνντας τ σύστημα έχυμε : ( ) ( ) f = + κ +λ= 0 κ+λ= λ= f = 0 + k = 0 κ= 4 κ= =, θα ισχύυν ι σχέσεις : ( ) f = 0 και β) Οι διαστάσεις,y τυ ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ συναρτήσει τυ χρόνυ t είναι (t) και y(t) αντίστιχα. Επειδή τ (t) μεταβάλλεται με ρυθμό κ cm/sec άρα μειώνεται με ρυθμό cm/sec, άρα (t) = cm/sec. Ενώ τ y(t) μεταβάλλεται με ρυθμό λ cm/sec άρα αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/sec, άρα y (t) = 4 cm/sec. To εμβαδόν συναρτήσει τυ χρόνυ t δίνεται από τν τύπ E(t) = (t)y(t). Τότε ρυθμός μεταβλής τυ εμβαδύ είναι: E (t) = [(t)y(t)] = (t)y(t) + (t)y (t) = = cm /sec. Άρα τ εμβαδόν αυξάνεται με ρυθμό cm /sec. Αν αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής της επιφάνειας ενός επίπεδυ σχήματς,εκφράζυμε τ εμβαδόν μέσω κάπιυ τύπυ της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και παραγωγίζυμε τη σχέση αυτή, ώστε να εμφανίσυμε τ ρυθμό μεταβλής τυ εμβαδύ. 8

9 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα 1. = o Στ διπλανό σχήμα είναι A 90. Από τ σημεί Α διέρχεται ένας πδηλάτης πυ κινείται ευθύγραμμα πρς τ σημεί Γ με σταθερή ταχύτητα 4 m/sec. Στ σημεί Β πυ απέχει 5 m από τ σημεί Α, βρίσκεται ένας ακίνητς παρατηρητής. Να βρείτε τ ρυθμό μεταβλής της απόστασης πδηλάτη - παρατηρητή όταν η απόσταση αυτή είναι 13 m. Β Α Γ Διαπιστώνυμε ότι τα μεταβλητά μεγέθη πυ μας ενδιαφέρυν είναι η απόσταση τυ πδηλάτη από τ σημεί Α και από τ σημεί Β τις πίες νμάζυμε και y αντίστιχα. Β Ορίζυμε ως t o τη χρνική στιγμή στην πία αναζητύμε τ ρυθμό μεταβλής της απόστασης πδηλάτη - παρατηρητή και Δ τ σημεί στ πί βρίσκεται πδηλάτης τη χρνική στιγμή t o. Έτσι γνωρίζυμε: Α Δ Γ ( AB) = 5 m, (A ) = (t o), ( Β ) = y(t o) = 13m, (t) = 4 m / sec και ζητείται να υπλγίσυμε τ y (t o). Η σχέση με την πία συνδένται ι μεταβλητές για την τυχαία χρνική στιγμή t πρκύπτει από τ Πυθαγόρει θεώρημα: y (t) = (t) + 5 (1) Παραγωγίζυμε τη σχέση ως πρς t και παίρνυμε y(t) y (t) = (t) (t) και για τη χρνική στιγμή t o η παραπάνω σχέση δίνει: y(t ) y (t ) = (t ) (t ) y(t ) y (t ) = (t ) (t ). Αντικαθιστώντας τα δεδμένα έχυμε: 13y (t ) = (t ) 4 (). Επιστρέφυμε στη σχέση (1) η πία, για τη χρνική στιγμή t o δίνει: y (t ) = (t ) = (t ) + 5 9

10 (t o) = 1 m. Η σχέση () τώρα μας επιτρέπει τν υπλγισμό τυ 48 y (t o), άρα y (t o) = m/sec. 13 Όταν έχυμε να αντιμετωπίσυμε πρβλήματα στα πία εμφανίζεται στα ζητύμενα ή στα δεδμένα ρυθμός μεταβλής τότε: Κάνυμε τ σχήμα απτυπώνντας δύ διαφρετικές χρνικές στιγμές, δηλαδή την τυχαία χρνική στιγμή t και την χρνική στιγμή t 0 πυ ζητάμε τν ρυθμό μεταβλής, ώστε να είναι σαφές πια είναι τα σταθερά και πια τα μεταβλητά μεγέθη. Ονμάζυμε τα μεταβλητά μεγέθη χ, y κλπ. και εκφράζυμε τα δεδμένα και τα ζητύμενα σε σχέση με τα μεγέθη αυτά «μεταφράζντας» τις εκφράσεις αυτές σε μαθηματική γλώσσα. Βρίσκυμε τη συνάρτηση με την πία συνδένται ι μεταβλητές πυ μας ενδιαφέρυν. Η παραπάνω συνάρτηση για τη χρνική στιγμή t 0 στην πία ζητείται ρυθμός μεταβλής συνήθως μας δίνει πληρφρίες πυ θα αξιπιήσυμε στη συνέχεια. Παραγωγίζυμε τη συνάρτηση για να εμφανίσυμε τ ρυθμό μεταβλής πυ ζητείται, λαμβάνντας υπόψη ότι πλλές φρές περιέχνται στη συνάρτηση σύνθετες συναρτήσεις (Π.χ όταν η μεταβλητή είναι τ χ, ενώ είναι ( (t)) (t) (t) όταν είναι σύνθετη με μεταβλητή τ t ). Αν ζητείται ρυθμός μεταβλής σε μία συγκεκριμένη χρνική στιγμή t 0 αντικαθιστύμε τ t με t 0 αξιπιώντας τις πληρφρίες πυ γνωρίζυμε. 10

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ /6/ ΘΕΜΑ (3 μνάδες) (α) Η αντίσταση ενός D λευκόχρυσυ μετρήθηκε στη θερμκρασία πήξης τυ νερύ και βρέθηκε 8 Ω, ενώ στη συνέχεια μετρήθηκε σε θερμκρασία θ και βρέθηκε 448 Ω Να

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) = 0. f x = x + 1 στο x ο. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Λύση

2.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) = 0. f x = x + 1 στο x ο. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Λύση . Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 A Oµάδας. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D R ( ( ( στ. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D ( R ( ( ( στ ( ( ( ( ( ( ( (.i Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ). Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = =

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( )

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας .4 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 45 A Οµάδας. Μια σφαιρική µπάλα χιονιού αρχίζει να λειώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς. ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνεται συνάρτηση g με τύπο g ( x) = x f(x) και πεδίο ορισμού το. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: //7 ΘΕΜΑ ( μνάδες) Οι τιμές των αντιστάσεων και τυ κυκλώματς τυ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Τετάρτη 5 Νεμρίυ 014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Β Β1. Ένα κινητό διέρχεται τη χρνική στιγμή to=0 από τη θέση xo=0 ενός πρσανατλισμένυ άξνα Οx, κινύμεν κατά μήκς τυ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

ροή ιόντων και µορίων

ροή ιόντων και µορίων ρή ιόντων και µρίων Θεωρύµε ένα διάλυµα µίας υσίας Α. Αν εξαιτίας της ύπαρξης διαφρών συγκέντρωσης ή ηλεκτρικύ πεδίυ όλες ι ντότητες (µόρια ή ιόντα) της υσίας Α κινύνται µέσα σ αυτό µε την ίδια ριακή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Ρυθμός μεταβολής. Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής)

Ρυθμός μεταβολής. Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής) Ρυθμός μεταβολής (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής.4 Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής lisari.blogspot@gmail.com Περιεχόμενα. Θεωρία.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου. Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: // ΘΕΜΑ ( μνάδες) T κύκλωμα τυ παρακάτω σχήματς λαμβάνει ως εισόδυς τις εξόδυς των αισθητήρων Α και Β. Η έξδς τυ αισθητήρα Α είναι ημιτνικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Καθηγητές: Δ. ΚΑΛΛΙΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ & Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επιστημνικός Συνεργάτης: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2

έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2 . Έστω η συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f(). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο. e για κάθε. t 3 63 e dt 7 έχει

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα τ γράμμα πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Αν δείκτης διάθλασης ενός πτικύ υλικύ μέσυ είναι n= 4 3 ακτινβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς.

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R.

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R. 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 7 5 8 1 i) f()= ii) f()= 3 5 4 3 4 iii) f()= iv) f()= 3 3 8 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f()= 5 6 ii) f()= iii) f()= 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης y y A y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις : 4 4 A 6αβ 49α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης A y y y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις :

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, ψ συνδέονται με την σχέση ψ = f ( χ ), όταν f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ψ ως προς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 3 Ιουνίου 2004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 3 Ιουνίου 2004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004 Πέµπτη, 3 Ιυνίυ 004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Ο Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα τ γράµµα πυ

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου 6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι

Διαβάστε περισσότερα

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο). 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της

Διαβάστε περισσότερα

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιάσει σύντομα αλλά περιεκτικά τους τρόπους με τους οποίους παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα.

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιάσει σύντομα αλλά περιεκτικά τους τρόπους με τους οποίους παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα. 2.2. ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ 8 ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σπός Σπός της ενότητας αυτής είναι να παρυσιάσει σύντμα αλλά περιετιά τυς τρόπυς με τυς πίυς παρυσιάζνται τα στατιστιά δεδμένα. Πρσδώμενα απτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο την ευθεία = α + β, µε α, όταν Α. ( Β. η f είναι συνεχής στο = α R Γ. η f δεν είναι συνεχής στο. το όριο Ε. το

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ

Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ Kεφ. (part, pages - Σχέση διασπράς Exυμε βρεί την εξίσωση κύματς: λν = υ, όπυ υ = Τ /μ στη περίπτωση της χρδς. Οπότε υ ν = = λ ω = Τ /μ Τ /μ λ k H σχέση αυτ πυ συνδέει την γωνιακ συχνότητα ω με τν κυματαριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν

Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν Θ Ε Μ Α 1 Α. Για τις ερωτήσεις A1 A3 να γράψετε στην κόλλα σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπλα τ γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.

άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του. 1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ 1) Δίνεται η διπλανή γραφική παράσταση της ταχύτητας με το χρόνο. Να γίνει το διάγραμμα (θέσης χρόνου ), αν όταν o= είναι o =. Υπόδειξη Βρείτε τα εμβαδά μεταξύ της γραφικής παράστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids)

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 ΘΕΜΑ 1 : (Μνάδες 15) Πρτεινόμενες Λύσεις Η πόρτα μάζας Μ = 3m και πλάτυς μπρεί να περιστρέφεται χρίς τριβές

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρghjklzcvbn mqwertyuiopasdghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdghjklz

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poiras.weebly.o ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι,

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι, Kεφ. 16 (Part III, pages 6-34) ΣΤΤΙΚ ΗΜΜ ΠΕΔΙ Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Τ έργ πυ παράγεται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω σ ένα ελεύθερ φρτί τυ αγωγύ είναι, dw = f dr = qe υdt άρα Ρ = dw dt = qυ

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 6 Ιουνίου 2002 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 6 Ιουνίου 2002 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, 6 Ιυνίυ 00 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ερωτήσεις - να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπλα τ γράµµα πυ αντιστιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx

γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx ΘΕΜΑ A Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 5 Α. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάρι Αυτµάτυ Ελέγχυ Μάθηµα 3 Γενικευµένς τόπς ριζών Συστήµατα µε θετική ανάδραση Καλλιγερόπυλς 3 Γενικευµένς τόπς ριζών Έστω ανιχτό σύστηµα µε συνάρτηση µεταράς: G µε,, ρίζες και,, πόλυς > Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

] ) = ([f(x) ] 2 ) + (g (x) 2 = 2f(x) f (x) + 2 g (x) g (x) = 2f(x) g (x) + 2 g (x) [ f(x)] = 2f(x) g (x) 2 g (x) f(x) = 0. Άρα φ(x) = c.

] ) = ([f(x) ] 2 ) + (g (x) 2 = 2f(x) f (x) + 2 g (x) g (x) = 2f(x) g (x) + 2 g (x) [ f(x)] = 2f(x) g (x) 2 g (x) f(x) = 0. Άρα φ(x) = c. 1.6 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 56 58 A Οµάδας 1. Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύυν : f () = g() και g () = f() για κάθε R, να αδείξετε ότι η συνάρτηση φ() = [f() ] + [g () ] είναι σταθερή. Στ διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνεται η συνάρτηση f με f() s όπου η μέση τιμή και s η διακύμανση ενός δείγματος ν παρατηρήσεων μιας μεταβλητής Χ. Η εφαπτομένη της Α 1, f ( 1) έχει εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα