Μπάμπης Στεργίου. Ασκήσεις στη Γεωμετρία. Διαγωνισμός. Αρχιμήδης. Juniors-Μικροί. *** Αφιερωμένο στους μαθητές και τους συναδέλφους

Transcript

1 Μπάμπης Στεργίυ ιαγωνισμός Αρχιμήδης Juniors-Μικρί Ασκήσεις στη Γεωμετρία *** Αφιερωμέν στυς μαθητές και τυς συναδέλφυς 017

2 Σελίδα 1 από 5 Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017

3 Σελίδα από 5 A. Τρίγωνα τετράπλευρα ArJun.1 ίνεται ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ και σημεί στην πλευρά ΒΓ. Στην πρέκταση της ΑΓ παίρνυμε τμήμα ΓΕ Β. Να απδείξετε ότι Α Ε. ArJun. ίνεται τετράγων ΑΒΓ, σημεί Ε στην πλευρά ΑΒ και σημεί Ζ στην πλευρά ΒΓ, ώστε ΒΕ ΒΖ. Η κάθετη ΒΚ από τ Β πρς την ΓΕ τέμνει την Α στ σημεί Η. Να απδείξετε ότι: α) ΓΕ ΒΗ και ΓΕ ΒΗ. β) Τ ΗΖΓ είναι ρθγώνι. γ) Η γωνία ΚΖ ˆ είναι ρθή. ArJun.3 ίνεται τρίγων ΑΒΓ, τ μέσ Μ της ΒΓ, μια ημιευθεία Αx στ εσωτερικό της γωνίας ˆΑ πυ δεν διέρχεται από τ Μ και ι πρβλές, Ε των σημείων Β και Γ πάνω στην Αx. Να απδείξετε ότι: Μ ΜΕ. ArJun.4 ίνεται τετράγων ΑΒΓ και τ μέσ Μ της πλευράς ΑΒ. Η κάθετη πρς την ΑΓ στ σημεί Α τέμνει την ευθεία ΓΒ στ σημεί Ε. Να απδείξετε ότι τα σημεία Γ, Β, Ε βρίσκνται στην ίδια ευθεία. ArJun.5 Έστω Μ τ μέσ της πλευράς ΑΒ ενός τετραγώνυ ΑΒΓ. Η ευθεία Μ τέμνει την ευθεία ΓΒ στ σημεί Ε. Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΓΕ είναι ρθγώνι και ισσκελές. ArJun.6 Στη βάση ΒΓ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ παίρνυμε σημεί. Στις πλευρές ΑΓ, ΑΒ παίρνυμε αντίστιχα τα σημεία Ε και Ζ έτσι, ώστε: ΑΒ ˆ ΓΕ ˆ και ΑΓ ˆ ΒΖ ˆ. Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΖΕ είναι ισσκελές. ArJun.7 Στ εσωτερικό ενός ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ) υπάρχει ένα σημεί Μ, ώστε: ˆ 3 ΜΒΓ 30 και ΜΑΒ ˆ ΒΑΓ ˆ. 4 Να απδείξετε ότι ΑΜΓ ˆ 150. ArJun.8 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ είναι: ˆΒ 30 και ˆΓ 45 Αν Ε είναι τ συμμετρικό τυ Β ως πρς τ σημεί Γ, να απδειχθεί ότι ˆΕ 15. (Vrenceanu 006) ArJun.9 Έστω ΑΒΓ ισσκελές τρίγων με ΑΒ ΑΓ και ˆΑ 40. Στ εσωτερικό τυ ΑΒΓ παίρνυμε σημεί τέτι, ώστε ˆ ΓΑ 0. ˆ ΑΓ 10 και Α ΒΓ. Να απδείξετε ότι ArJun.10 ίνεται ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ και σημεί στην πλευρά ΑΓ. Η διχτόμς της γωνίας ΑΒ και η παράλληλη από τ Α πρς τη ΒΓ τέμννται στ σημεί Ε. Να απδείξετε ότι Β ΑΕ Γ. (Sperante Olympia 010) ArJun.11 Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός τριγώνυ ΑΒΓ παίρνυμε τα σημεία, Ε αντίστιχα έτσι, ώστε Β ΓΕ. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των τμημάτων ΒΕ, Γ και η ευθεία ΜΝ τέμνει τις ευθείες ΑΒ, ΑΓ στα σημεία Ζ και Η, να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΖΗ είναι ισσκελές. (Βυλγαρία 00) ArJun.1 Σε ένα ισσκελές τρίγων ΑΒΓ είναι ˆ ˆ Β Γ 80. Στην πλευρά ΑΓ παίρνυμε τμήμα Α ΒΓ. Να απδειχθεί ότι ΑΒ ˆ 10. ArJun.13 Θεωρύμε τ παραλληλόγραμμ ΑΒΓ, τ μέσ Μ τυ ΑΒ, τ μέσ Ν τυ ΑΓ και η πρβλή Ρ τυ στην ευθεία ΓΜ. Να απδείξετε ότι ΑΡΝ ˆ ΑΒΓ ˆ. ArJun.14 ίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ˆ (Α 90 ), τ ύψς Α, τυχαί σημεί Ρ τυ τμήματς Α, η κάθετη πρς την ΒΡ στ Ρ πυ τέμνει την ευθεία ΓΑ στ Ε και η παράλληλη από τ Ρ πρς τη ΒΓ πυ τέμνει την ΑΓ στ Ζ. Να απδείξετε ότι ΑΕ ΓΖ. ArJun.15 ίνεται τετράγων ΑΒΓ και τα σημεία Μ, Ν των πλευρών Γ, ΓΒ αντίστιχα έτσι, ώστε ΜΑ ˆ ΜΑΝ ˆ. Στην πρέκταση της ΝΒ παίρνυμε σημεί Ε τέτι, ώστε ΑΕ ΑΜ. Αν η ευθεία ΑΜ τέμνει τη ΒΓ στ Ρ, να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων ΑΕΡ είναι ρθγώνι. ΡΕ β) Μ ΒΝ. γ) ΑΝ Μ ΝΒ. (Arad 008) ArJun.16 Σε ένα τραπέζι ΑΒΓ με ΑΒ // Γ είναι Γ ΑΒ. Έστω Ν τ μέσ τυ Γ και Μ τ μέσ τυ ΒΓ. Εξωτερικά τυ ΑΒΓ θεωρύμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΕ και ΓΝΖ. Να απδειχθεί ότι: ˆ ΕΜΖ 90. Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017

4 Σελίδα 3 από 5 ArJun.17 Σε ένα ρθγώνι και ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ˆΑ 90 φέρυμε τη διάμεσ ΒΜ. Η κάθετη από τ Α πρς τη ΒΜ τέμνει τη ΒΓ στ σημεί. Να απδειχθεί ότι Β Γ. ArJun.18 Στ εξωτερικό ενός ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ o με Â 10 θεωρύμε τα ρθγώνια και ισσκελή τρίγωνα ΒΑ, ΑΓΕ με BA ˆ ΑΓΕ ˆ 90. Να απδειχθεί ότι: ˆ ΒΕ 90. (Ρυμανία 006) ArJun.19 ίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ και ι κύκλι C 1(A, AB) (με κέντρ τ σημεί Α και ακτίνα R1 AB) και C (A, AΓ) (με κέντρ τ σημεί Α και ακτίνα R AΓ). Ο κύκλς C 1(A, AB) τέμνει την ευθεία ΒΓ στ σημεί Ε και την ευθεία ΑΒ στ σημεί. Ο κύκλς C (A, AΓ) τέμνει την ευθεία ΒΓ στ σημεί Κ και την ευθεία ΑΓ στ σημεί Ν. α) Να απδειχθεί ότι τ τετράπλευρ ΕΚΝ είναι ρθγώνι. β) Αν τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές με ΓΑ ΓΒ και ˆΓ 30, να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΕΚΝ είναι τετράγων. (Θαλής 010) ArJun.0 ίνεται ρθγώνι και ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με υπτείνυσα ΒΓ. Στην πλευρά ΑΒ παίρνυμε τα σημεία Μ, Ν έτσι, ώστε ΑΜ ΒΝ. Η κάθετη από τ Α πρς την ΓΜ τέμνει τις ΓΜ, ΓΒ στα σημεία Ε και Ζ αντίστιχα. Να απδειχθεί ότι: α) ΑΖΓ ˆ ΒΖΝ ˆ, β) ΕΖ ˆ 45, όπυ είναι τ μέσ τυ ΒΓ. ArJun.1 Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α ενός τετραγώνυ ΑΒΓ με πλευρά α παίρνυμε αντίστιχα τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν έτσι, ώστε ΑΚ ΑΝ ΓΛ ΓΜ α. Να απδειχθεί ότι η ΚΜ είναι κάθετη στη ΛΝ. ArJun. ίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ με ˆΒ 90 και ˆΑ 45. Θεωρύμε τα μέσα και Ε των πλευρών ΒΓ και ΑΓ, αντίστιχα και σημεί Μ διαφρετικό από τ Α στ ευθύγραμμ τμήμα ΑΕ. Αν η μεσκάθετη τυ ευθυγράμμυ τμήματς ΒΜ τέμνει την ευθεία Ε στ Ζ και την ευθεία ΑΓ στ Θ, να απδείξετε ότι: α) ΒΜΖ ˆ Αˆ. β) Η ευθεία ΒΖ διχτμεί τη γωνία ΘΒΕ ˆ. (ΕΜΕ, Ευκλείδης 011, 01) B. Κύκλς εγγράψιμα ArJun.3 να τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ είναι εγγεγραμμέν σε κύκλ. Η εφαπτμένη τυ κύκλυ στ Β τέμνει την ευθεία ΑΓ στ σημεί Κ. Έστω Ε τ αντιδιαμετρικό τυ Α. Η κάθετη από τ Κ πρς την ευθεία ΑΕ τέμνει τν περιγεγραμμέν κύκλ τυ τριγώνυ ΒΓΚ στ. Να απδείξετε ότι η ΓΕ διχτμεί τη γωνία ΒΓ ˆ. ArJun.4 Ένα τρίγων ΑΒΓ είναι εγγεγραμμέν σε κύκλ με κέντρ Ο. Οι εφαπτμένες τυ κύκλυ στα σημεία Β, Γ τέμννται στ. Η κάθετη από τ πρς την ευθεία ΟΑ τέμνει τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ. Να απδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΒΕ, ΓΖ είναι ισσκελή. β) Ε Ζ. ArJun.5 ίνεται τρίγων ΑΒΓ με ˆΒ 60. Αν Η είναι τ ρθόκεντρ και Ο τ περίκεντρ τυ τριγώνυ, να απδειχθεί ότι η ΗΟ διχτμεί τη γωνία ΓΗ ˆ, όπυ Α είναι ύψς τυ τριγώνυ. ArJun.6 ίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ˆ o (A 90 ) και έστω Ε τ μέσ της διχτόμυ Β. Η εφαπτμένη τυ περιγεγραμμένυ κύκλυ τυ τριγώνυ ΑΕΒ στ σημεί Α τέμνει την πλευρά ΒΓ στ σημεί Μ. Να απδείξετε ότι η ευθεία ΜΕ και η διχτόμς της γωνίας ˆΓ τέμννται πάνω στν περιγεγραμμέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. (Θαλής 010) ArJun.7 ίνεται τρίγων ΑΒΓ και η διχτόμς Α. Στην πλευρά ΑΓ παίρνμε σημεί Ε, ώστε ΓΕ Γ. Η διχτόμς της γωνίας ˆΒ τέμνει την ευθεία Ε στ Ζ. Να απδειχθεί ότι ΖΑ Ζ. ArJun.8 ίνεται τρίγων ΑΒΓ εγγεγραμμέν σε κύκλ και η διχτόμς Α. Η ευθεία Α τέμνει τν κύκλ στ Ε. Ο κύκλς με διάμετρ Ε ξανατέμνει τν κύκλ στ Ζ. Αν Μ είναι τ μέσ τυ ΒΓ, να απδειχθεί ότι ΖΑΒ ˆ ΜΑΓ ˆ. ArJun.9 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ με ρθόκεντρ Η και περίκεντρ Ο η διχτόμς Α είναι κάθετη στην ΟΗ. Να απδειχθεί ότι ˆΑ 60. (Ρυμανία 1987) ArJun.30 Στ παρακάτω σχήμα ι χρδές Γ και ΕΖ είναι παράλληλες. Τα σημεία Η, Θ τυ τόξυ EZ είναι τυχαία. Τα τμήματα ΕΘ, Η τέμννται στ Κ και τα τμήματα ΖΗ, ΓΘ τέμννται στ Λ. Να απδειχθεί ότι τα τμήματα ΚΛ και Γ είναι παράλληλα. 5/0/017

5 Σελίδα 4 από 5 εφάπτεται στν κύκλ (c 1) στ σημεί Τ, τέμνει την ΒΓ στ σημεί Ν και τν κύκλ (c) στ σημεί N 1 (θεωρύμε BN BM ). Η άλλη εφαπτμένη εφάπτεται στν κύκλ (c 1) στ σημεί Σ, τέμνει την ΒΓ στ σημεί Κ και τν κύκλ (c) στ σημεί K 1 (θεωρύμε ΓΚ ΓΜ ). Να απδείξετε ότι ι ευθείες ΒΝ 1, ΓΚ 1 και ΑΜ περνάνε από τ ίδι σημεί (συντρέχυν). ArJun.31 ίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ, τ ρθόκεντρ Η, τ μέσ Μ τυ ΑΒ, τ μέσ Ν τυ ΗΓ και τ σημεί τμής Σ των διχτόμων των γωνιών ΗΒΓ ˆ, ΗΑΓ ˆ. Να απδειχθεί ότι τα σημεία Μ, Σ, Ν είναι συνευθειακά. ArJun.3 ίνεται τρίγων ΑΒΓ με ˆΑ διχτόμι τυ Β, ΓΕ. Να απδειχθεί ότι: α) Ι ΙΕ. β) ΒΕ Γ ΒΓ. 60 και ι ArJun.33 ύ κύκλι C 1, C τέμννται στα σημεία Α και Β. Μια ευθεία πυ διέρχεται από τ Β τέμνει τυς κύκλυς στα Γ και. Η ευθεία ΑΒ τέμνει τν περιγεγραμμέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΓ στ σημεί Ν. Οι ευθείες ΝΓ, Ν τέμνυν τυς κύκλυς C 1, C στα σημεία Ε και Ζ. Να απδειχθεί ότι: α) τα σημεία Ε, Β, Ζ είναι συνευθειακά. β) τα σημεία Α, Ε, Ν, είναι μκυκλικά. ArJun.34 ίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ με AB AΓ BΓ πυ είναι εγγεγραμμέν σε κύκλ C(Ο,R). Η διχτόμς Α τυ ΑΒΓ τριγώνυ τέμνει τν κύκλ στ Κ. Ένας κύκλς C 1 πυ έχει τ κέντρ τυ στην ακτίνα ΟΑ και περνάει από τα σημεία Α, τέμνει την ΑΒ στ Ε και την ΑΓ στ Ζ. Αν Μ είναι τ μέσ τυ ΓΖ, να απδειχθεί ότι ι ευθείες ΕΖ, Μ, ΚΓ συντρέχυν. (ΕΜΕ, Αρχιμήδης 01) ArJun.35 ίνεται τετράγων ΑΒΓ και εκτός αυτύ τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ. Οι ευθείες Β, ΑΓ τέμννται στ Η. Να απδειχθεί ότι τα σημεία Α, Η, Ζ βρίσκνται στην ίδια ευθεία. (Αρχιμήδης 006) ArJun.36 ίνεται ξυγώνι και σκαληνό τρίγων ΑΒΓ (με ΑΒ ΑΓ) εγγεγραμμέν σε κύκλ (c) με κέντρ Ο και ακτίνα R. Από τ σημεί Α φέρνυμε τις δύ εφαπτμένες πρς τν κύκλ (c 1), πυ έχει κέντρ τ σημεί Ο και ακτίνα r OM (Μ είναι τ μέσ της ΒΓ). Η μία εφαπτμένη ArJun.37 ίνεται τρίγων ΑΒΓ εγγεγραμμέν σε κύκλ (C) με κέντρ Ο και ακτίνα R. Ο περιγεγραμμένς κύκλς τυ τριγώνυ ΑΟΒ (έστω (C 1)) τέμνει την ΑΓ στ σημεί Κ και τη ΒΓ στ σημεί Ν. Έστω (C ) περιγεγραμμένς κύκλς τυ τριγώνυ ΓΚΝ και (C 3) περιγεγραμμένς κύκλς τυ τριγώνυ ΟΓΚ. Να απδείξετε ότι ι κύκλι (C 1), (C ) και (C 3) είναι ίσι μεταξύ τυς. (ΕΜΕ, Ευκλείδης 011) ArJun.38 ίνεται ημικύκλι διαμέτρυ ΑΒ και δύ σημεία Γ, αυτύ. Οι εφαπτμένες στα σημεία Γ, τέμννται στ Ε, ενώ ι Α, ΒΓ τέμννται στ Ζ. Αν η ΕΖ τέμνει την ΑΒ στ Μ, να απδειχθεί ότι τα σημεία Ε, Γ, Μ, είναι μκυκλικά. (Κίνα 010 (CWMO)) ArJun.39 Ένα ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ είναι εγγεγραμμέν σε κύκλ με κέντρ Ο. Φέρυμε τη διχτόμ Γ και την κάθετη από τ Ο πρς την Γ πυ τέμνει την ΑΓ στ Ε. Αν η παράλληλη από τ Ε πρς την Γ τέμνει την ΑΒ στ Ζ, να απδειχθεί ότι ΑΕ Ζ. ArJun.40 ίνεται ρθγώνι ΑΒΓ, η πρβλή Ε τυ Β στη διαγώνι ΑΓ, τ μέσ Μ τυ ΑΕ και τ μέσ Ν τυ Γ. Να απδειχθεί ότι η γωνία BMN ˆ είναι ρθή. ArJun.41 ίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ. Τ ύψς τυ Α τέμνει τν περιγεγγραμμέν κύκλ στ σημεί Ζ και o περιγεγραμμένς κύκλς τυ τριγώνυ ΒΖ τέμνει την ευθεία ΑΒ στ σημεί Ε. Αν η ευθεία Ε τέμνει την ευθεία ΑΓ στ Κ, και η ευθεία ΖΚ την ΒΓ στ σημεί Λ, να απδείξετε ότι τ σημεί είναι τ μέσ τυ ευθύγραμμ τμήματς ΒΛ. (Θαλής 010) ArJun.4 ύ κύκλι με κέντρα Κ και Λ τέμννται στα σημεία Α και Β. Οι ευθείες ΚΒ, ΛΒ τέμνυν τυς κύκλυς (Λ), (Κ) στα σημεία Ζ, Ε αντίστιχα. Μια παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ τέμνει τυς κύκλυς στα σημεία Μ και Ν. Να απδειχθεί ότι: ΜΝ ΑΕ ΑΖ. (Ρωσία 1995) 5/0/017

6 Σελίδα 5 από 5 Γ. Θεώρημα Θαλή Ομιότητα ArJun.43 ίνεται τραπέζι ΑΒΓ με ΑΒ // Γ και τ μέσ Μ τυ Γ. Η ΑΓ τέμνει τη ΒΜ στ Ε και η Β τέμνει την ΑΜ στ Ζ. Να απδειχθεί ότι ΖΕ // Γ. ArJun.44 ίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ και τα ύψη τυ Α, ΒΕ, ΓΖ. Oι κάθετες πρς τη ΒΓ στα σημεία Β, Γ τέμνυν τις ευθείες ΓΖ, ΒΕ στα σημεία Μ και Ν αντίστιχα. Να απδειχθεί ότι ΑΜ ˆ ΑΝ ˆ. (Ρυμανία, Albu 007) ArJun.45 ίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ, τ ύψς Α, η διχτόμς ΑΕ και τ έγκεντρ Ι τυ ΑΒΓ. Αν Θ είναι η πρβλή τυ Ι στην ΑΓ και η κάθετη στ Α πρς την ΑΓ τέμνει την ευθεία ΕΘ στ σημεί Η, να απδειχθεί ότι ΑΗ Α. (ΕΜΕ, Αρχιμήδης Junior 001) ArJun.46 Ένα τρίγων ΑΒΓ είναι εγγεγραμμέν σε κύκλ. Οι εφαπτμένες τυ κύκλυ στα Β, Γ τέμννται στ. Αν Μ είναι τ μέσ τυ ΒΓ, να απδείξετε ότι: ΑΒ ˆ ΜΑΓ ˆ. ArJun.47 ίνεται τετράγων ΑΒΓ και τα σημεία Μ, Ν των πλευρών ΒΓ, Γ αντίστιχα, ώστε ΒΜ ΓΝ. Οι ΑΒ, Μ τέμννται στ Ε, ι Α, ΒΝ τέμννται στ Ζ και ι ΒΖ, Ε τέμννται στ Ρ. Να απδειχθεί ότι: α) τα σημεία Ε, Γ, Ζ βρίσκνται στην ίδια ευθεία, β) ΑΡ ΜΝ, γ) ΖΕ ΑΡ. (Ρυμανία 006, Bacau VII) ArJun.48 Στην υπτείνυσα ΒΓ ενός ρθγωνίυ και ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ παίρνυμε τα σημεία Μ και Ν έτσι, ώστε ΜΝ ΒΜ ΓΝ, όπυ τα Β, Μ, Ν, Γ είναι μ' αυτή τη σειρά. Να απδειχθεί ότι ΜΑΝ ˆ 45. ArJun.49 Σε τρίγων ΑΒΓ φέρνυμε τη διχτόμ Α και τη διάμεσ ΑΜ. Η κάθετη από τ Β πρς την Α τέμνει την Α στ σημεί Ε και την ΑΜ στ σημεί Ζ. Να απδειχθεί ότι Ζ // ΑΒ. ArJun.50 ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και Ρ εσωτερικό σημεί τυ τριγώνυ, ώστε ΡΒΓ ˆ ΡΓΑ ˆ. Αν Μ είναι τ μέσ τυ ΒΓ, να απδειχθεί ότι: ˆ ˆ ΒΡΜ ΑΡΓ 180. ArJun.51 ίνεται τετράγων ΑΒΓ και σημεί Ε στη διαγώνι ΑΓ. Έστω Ζ, Η ι πρβλές τυ Ε στις Γ, Α αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) ΒΕ ΗΖ, β) τα σημεία Ρ, Ε, Β είναι συνευθειακά, όπυ Ρ είναι τ σημεί τμής των ΑΖ, ΓΗ. ArJun.5 ίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓ και ευθεία παράλληλη στην Β πυ τέμνει την πλευρά Γ στ Ε και την πλευρά ΒΓ στ Ζ. Η ευθεία ΑΕ τέμνει την ΒΓ στ Θ και η ΑΖ τέμνει τη Γ στ Η. Να απδειχθεί ότι: α) ΕΖ // ΘΗ. β) η ευθεία ΑΓ διχτμεί τ τμήμα ΘΗ. ArJun.53 Σε ένα τραπέζι ΑΒΓ (ΑΒ // Γ) είναι Γ Β. Οι διαγώνιες τέμννται στ Ε. Η παράλληλη από τ Ε πρς τη Γ τέμνει την Α στ Η. Να απδειχθεί ότι: α) η ΒΗ διχτμεί τη γωνία ΑΒ ˆ, β) η γωνία ΗΒΓ ˆ είναι ρθή. ArJun.54 ίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓ με ΑΒ ΒΓ. Στην πλευρά ΑΒ παίρνυμε σημεί Μ, ώστε ΒΜ ΒΓ. Μια ευθεία πυ διέρχεται από τ τέμνει τ τμήμα ΜΒ στ Ε, τη ΜΓ στ Η και την ευθεία ΓΒ στ Λ. Η ευθεία ΒΗ τέμνει την Α στ Ζ. Να απδείξετε ότι: Η Γ Ζ Γ α), β), ΗΛ ΓΛ ΒΛ ΓΛ γ) ΑΖ ΜΕ. ArJun.55 Στην πλευρά ΑΒ ενός τετραγώνυ ΑΒΓ παίρνυμε σημεί Ε. Η ευθεία Ε τέμνει την ευθεία ΓΒ στ Ζ. Η ευθεία ΓΕ τέμνει την ΑΖ στ Η. Να απδειχθεί ότι: ΒΗ Ζ. (Ρυμανία 01) ArJun.56 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ φέρυμε τη διάμεσ ΑΜ. Στην πλευρά ΑΒ παίρνυμε σημεί Τ έτσι, ώστε ΤΓ ΤΒ. Η διχτόμς της ΑΤΒ ˆ τέμνει την ΑΒ στ. Αν η Γ τέμνει την ΑΜ στ Ε, να απδείξετε ότι: ΤΕ Τ. (Ρυμανία 013, shortlist) 5/0/017

7 Σελίδα 1 από 1 Οι λύσεις των ασκήσεων Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

8 Σελίδα από 1 A: Τρίγωνα τετράπλευρα ArJun.1 Στην πλευρά ΑΒ παίρνυμε τμήμα ΒΖ Επειδή Β. ˆΒ 60 και Β ΒΖ, τ τρίγων ΒΖ είναι ισόπλευρ Επμένως: Ζ Β ΓΕ. Η // ΓΖ, πότε τ ΓΗΖ είναι παραλληλόγραμμ και επειδή έχει και μία ρθή γωνία (π.χ. την ˆ ), θα είναι ρθγώνι. γ) Έστω ότι ι διαγώνιες τυ ρθγωνίυ ΓΗΖ τέμννται στ σημεί Ο. Τ Ο είναι κινό μέσ των ΗΓ, Ζ και ΗΓ Ζ. Στ ρθγώνι τρίγων ΗΚΓ είναι: ΗΓ Ζ ΚΟ. Αφύ στ τρίγων ΚΖ η διάμεσς ΚΟ είναι ίση με τ μισό της πλευράς Ζ, αυτό είναι ρθγώνι. Άρα ΚΖ ˆ 90. ArJun.3 Έστω Ν τ μέσ τυ Ε. Στ τραπέζι ΒΓΕ τ τμήμα ΜΝ ενώνει τα μεσα των διαγωνίων ΒΓ και Ε. Άρα: ΜΝ // Β // ΓΕ. Τα τρίγωνα ΑΖ και ΓΕ είναι ίσα, διότι: Ζ ΓΕ, ΑΖ Γ, ως διαφρές ίσων τμημάτων, ΑΖ ˆ 10 ΓΕ ˆ. Άρα θα είναι και Α Ε. ArJun. α) Παρατηρύμε καταρχήν ότι ΑΒΗ ˆ ˆ ΒΓΕ, διότι είναι συμπληρωματικές της γωνίας ΒΕΓ ˆ (ή διότι είναι ξείες και έχυν τις πλευρές τυς κάθετες). Τα ρθγώνια τρίγωνα λιπόν ΑΒΗ και ΒΓΕ έχυν: ΑΒ ΒΓ, ΑΒΗ ˆ ΒΓΕ ˆ. Όμως Β ΑΕ, πότε ΜΝ // Β. Άρα ΜΝ Ε και έτσι ΜΝ είναι μεσκάθετς τυ Ε. Επμένως Μ ΜΕ. ArJun.4 Φέρνυμε τη ΜΓ. Τότε: ΑΜ ΒΓΜ, πότε: ΒΜΕ ˆ ΑΜ ˆ ΒΜΓ ˆ ρ. Επμένως ΑΜΕ ˆ ΑΜΓ ˆ και έτσι: ΑΜΕ ΑΜΓ. Επμένως τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα, πότε ΒΗ ΓΕ. Είναι επίσης ΒΕΓ ˆ ΑΗΒ ˆ, πότε: ˆ ˆ ˆ ˆ ΑΒΗ ΓΕΒ ΑΒΗ ΑΗΒ 90, διότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι. β) Επειδή ΑΒΗ ΓΒΕ, παίρνυμε ότι: ΑΗ ΒΕ ΒΖ. Επειδή Α ΒΓ και ΑΗ ΒΖ, θα είναι Η ΓΖ. Όμως Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

9 Σελίδα 3 από 1 Άρα ΑΕ ΑΓ, πότε τ τρίγων ΑΕΓ είναι ρθγώνι και ισσκελές. Έτσι: ˆ ΑΓΕ 45 ΑΓΒ ˆ. Αυτό σημαίνει ότι τα Γ, Β, Ε είναι συνευθειακά. ArJun.5 Είναι ΑΜ ΜΒΕ, πότε: ΒΕ Α ΑΒ. Είναι: 180 Αˆ 180 α β Βˆ Γˆ Άρα 90 α β (1). (1) ˆ ˆ ˆ ΑΒ ΑΓ ΓΑ β (90 α β) 90 α β (). ˆ ˆ ˆ () ΑΕ 180 ΑΒ ΕΓ 180 (90 α β) α 90 α β α 90 β. (1) ˆ ˆ ˆ ΑΕ ΕΓ ΕΓ α (90 α β) 90 β. ˆ ˆ ΑΕ ΑΕ 90 β, πότε τ τρίγων ΑΕ είναι ισσκελές. Έτσι Α ΑΕ. Όμια είναι Α ΑΖ, πότε ΑΖ ΑΕ. ArJun.7 Φέρνυμε τ ύψς ΑN τυ ΜΒ στ Ρ. Είναι τότε: ΑΒΓ πυ τέμνει την Στ ΑΓ ΑΕ τ ΑΓΕ η ΑΒ είναι λιπόν ύψς και διάμεσς, πότε. Αφύ: ΑΒ ΒΕ ΕΓ, ΑΓΕ είναι ισσκελές. ArJun.6 Έστω ΕΓ ˆ α και ΖΒ ˆ β. ΡΒΝ ˆ ΡΓΝ ˆ 30, ΒΡΝ ˆ ΝΡΓ ˆ 60, ΜΡΓ ˆ Άρα ΜΡΓ ˆ ΜΡΑ ˆ, πότε η ΡΜ διχτμεί τη γωνία ΑΡΓ ˆ. 3 Επειδή ΜΑΒ ˆ ΒΑΓ ˆ, είναι: 4 ˆ 1 ΜΑΓ ΒΑΓ ˆ, 4 Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

10 Σελίδα 4 από 1 δηλαδή: ˆ 1 ˆ 1 ΜΑΓ ΡΑΓ ΡΑΓ ˆ. 4 Άρα και η ΑΜ διχτμεί τη γωνία Μ είναι έγκεντρ. Άρα: ˆ ˆ ΑΡΓ ΑΜΓ ˆ ΡΑΓ, πότε στ ΡΑΓ τ Άλλς τρόπς Αν Η είναι τ μέσ τυ ΑΗ και Μ είναι σημεί τυ ΑΗ, ώστε ˆ ΜΓΑ 10, τότε: ΗΜΓ ˆ ΜΑΓ ˆ ΜΓΑ ˆ ArJun.8 Έστω Μ τ μέσ τυ ΑΒ και Α Β 30, είναι: ΑΒ Α ΜΑ Μ. ΒΓ. Αφύ Τ τρίγων ΑΜ είναι έτσι ισόπλευρ και αφύ Γ Α ˆ (ΓΑ 45 ), θα είναι: Γ Μ. Επειδή: ˆ ΓΜ και Γ Μ, είναι ΓΜ ˆ ΜΓ ˆ 15. Στ τρίγων όμως ΑΒΕ τ ΜΓ ενώνει τα μέσα δύ πλευρών, πότε ΜΓ // ΑΕ. Άρα: ˆ ˆ Ε ΜΓΒ 15. ArJun.9 Θεωρύμε στ εσωτερικό τυ ισόπλευρ τρίγων ΒΓΕ. Είναι τότε: ΒΕ ΒΓ Α και ΑΒΕ ˆ 10 ΑΓ ˆ. ΑΒΓ τ Στ ρθγώνι λιπόν τρίγων ΗΜΓ είναι: ΜΓ ΗΓ ΒΓ Α. Άρα ΑΜΓ ΑΓ, διότι: ΑΓ κινή, ΜΓ Α, ΜΓΑ ˆ ΑΓ ˆ 10. Άρα ΓΑ ˆ ΜΑΓ ˆ 0. ArJun.10 Στην πρέκταση της ΑΓ παίρνυμε τμήμα ΓΖ ΑΕ. Είναι τότε: ΑΒΕ ΓΒΖ, Άρα ΑΓ ΑΒΕ, πότε ΓΑ ˆ ΒΑΕ ˆ 0, διότι ˆ ΒΑΓ 40 και η ΑΕ διχτμεί τη γωνία ΒΑΓ ˆ. πότε ΑΒΕ ˆ ΓΒΖ ˆ φ και ΒΖ ΒΕ. Είναι επμένως: ΖΒΕ ˆ ΖΒΓ ˆ ΓΒ ˆ ΒΕ ˆ φ ω φ ˆ φ ω ΑΒΓ 60. Στ ΒΓΖ είναι: ˆ ˆ ˆ ΒΓΑ ΓΒΖ ΓΖΒ 60 φ Ζˆ Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

11 Σελίδα 5 από 1 Ζ 60 φ (1). Επειδή ΕΒΖ ˆ 60, παίρνυμε: ˆ ˆ ˆ ΒΖ ΕΒΖ ΕΒ 60 φ (). Οι (1) και () δίνυν Ζ ˆ ΒΖ ˆ, πότε τ τρίγων ΒΖ είναι ισσκελές. Άρα: Β Ζ Γ ΓΖ Γ ΑΕ. ArJun.11 Έστω Ρ τ μέσ τυ ΒΓ. Από τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΓΒ παίρνυμε ότι: ΕΓ Β ΡΜ ΡΝ. Επμένως τ τρίγων ΡΜΝ είναι ισσκελές, πότε: ΡΜΝ ˆ ΡΝΜ ˆ φ ω. ˆ ΖΒ 90. Επμένως: ˆ ˆ ˆ ΑΒ ΑΖ ΖΒ Άρα ΒΑ ˆ ArJun.13 Έστω ότι η ΓΜ τέμνει την Α στ Ε. Έτσι ΜΑ ΜΒ και ΑΕ // ΒΓ, είναι ΑΕ ΒΓ Α. ΑΜΕ ΒΜΓ, πότε Όμως είναι ΡΝ // ΒΖ, πότε ΑΖΗ ˆ ΖΝΡ ˆ και ΡΜ // ΑΓ, πότε ΑΗΖ ˆ ΗΜΡ ˆ. Αφύ: ΖΝΡ ˆ ΗΜΡ ˆ, είναι και ΑΖΗ ˆ ΑΗΖ ˆ. Άρα τ τρίγων ΑΖΗ είναι ισσκελές. ArJun.1 ίνυμε μια ακόμα λύση στ πασίγνωστ αυτό θέμα. Στ ρθγώνι τρίγων ΡΕ η ΡΑ είναι διάμεσς, πότε Ε ΡΑ Α. Στ ρθγώνι τρίγων ΡΓ η ΡΝ είναι διάμεσς, πότε Γ ΡΝ Ν. Τα τρίγωνα ΡΑΝ και ΑΝ έχυν τις πλευρές τυς ίσες, πότε είναι ίσα. Άρα: ΑΡΝ ˆ ΑΝ ˆ ΑΓ ˆ ΑΒΓ ˆ. Ερώτημα β) Να απδειχθεί ότι ΑΝ Ρ. Απάντηση Αφύ Ν ΝΡ και Α ΑΡ, η ΑΝ είναι μεσκάθετς τυ Ρ. Σχόλι Αφύ ΑΡ ˆ ΑΡ ˆ και ΝΡ ˆ ΝΡ ˆ, είναι ΑΡΝ ˆ ΑΝ ˆ. ArJun.14 Φέρυμε τη ΡΗ // ΑΓ πυ τέμνει τη ΒΓ στ Η. Τ ΡΗΓΖ είναι πρφανώς παραλληλόγραμμ, πότε ΖΓ ΡΗ. Φέρυμε την ΑΗ. Επειδή: Θεωρύμε τ ρθγώνι τρίγων ΑΒΕ με ΒΑΕ ˆ 10 και ˆΕ 90, στ εξωτερικό τυ ΑΒΓ. Έστω Ζ ΑΕ. Είναι ˆ ΖΑ 30, πότε: Α ΒΓ Ζ ΒΕ, διότι ΑΒΜ ΑΒΕ. Τ ΖΕΒ είναι λιπόν ρθγώνι, πότε Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

12 Σελίδα 6 από 1 Επειδή ΑΒ ΓΝ Ν α και ΒΗ ΓΖ ΓΝ α, είναι ΑΒΗ ΝΖ. Άρα ΑΗ Ζ. Έτσι ΑΕΗ ΕΖ, αφύ: ΗΡ ΑΒ και Α ΒΓ, τ Ρ είναι τ ρθόκεντρ τυ ΑΒΗ. Επμένως ΒΡ ΑΗ. Όμως ΒΡ ΕΡ, πότε: ΑΗ // ΡΕ. Άρα τ ΡΗΑΕ είναι παραλληλόγραμμ, πότε ΑΕ ΡΗ ΖΓ, δηλαδή ΑΕ ΓΖ. ArJun.15 α) Είναι Έτσι: ΑΜ ΑΒΕ, πότε ΑΜ ˆ ΕΑΒ ˆ. ˆ ˆ ˆ ΕΑΗ ΕΖ 70 Α Επμένως ΕΗ ΕΖ και αφύ τ Μ είναι μέσ τυ ΖΗ, θα είναι ΕΜ ΖΗ. ArJun.17 Σχηματίζυμε τ τετράγων ΑΒΕΓ. Επειδή Α ΒΜ, είναι: ΑΒΜ ˆ ΓΑΝ ˆ φ. Άρα ΑΒΜ ΑΓΝ, διότι: ΑΒ ΑΓ και ΑΒΜ ˆ ΓΑΝ ˆ. ΑΓ ΕΓ Επμένως ΓΝ ΑΜ, πυ σημαίνει ότι τ Ν είναι ΕΑΡ ˆ ΕΑΒ ˆ ΒΑΡ ˆ ˆ ˆ ˆ ΑΜ ΒΑΡ ΑΒ 90. β) Είναι ˆΡ ΝΑΡ ˆ φ, πότε τ Ν είναι μέσ τυ ΕΡ και έτσι: ΕΡ Μ ΒΝ ΕΒ ΒΝ ΕΝ. ΕΡ (β) γ) Είναι ΑΝ Μ ΒΝ. ArJun.16 Έστω Η τ συμμετρικό τυ Ζ ως πρς τ Μ. μέσ τυ ΓΕ. Στ τρίγων ΓΑΕ ι ΑΝ, ΓΟ είναι διάμεσι, πότε τ είναι βαρύκεντρ. Άρα: 1 1 Γ ΓΟ ΓΒ ΓΒ, δηλαδή Γ ΒΓ. Άρα Β Γ. 3 Άλλς τρόπς Φέρνυμε την ΑE ΒΓ. Τότε τ Κ είναι βαρύκεντρ στ τρίγων ΑΒΓ και: EΒΚ ˆ EΑ ˆ φ Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

13 Σελίδα 7 από 1 ισόπλευρ. Άρα ΖΕ ˆ 150, πότε: ως συμπληρωματικές της ω. Επειδή λιπόν είναι και: ΒΓ EΒ ΑE, είναι EΒΚ EΑ, πότε ΕΚ Ε. Άρα: 1 1 ΕΚ ΑΕ Ε ΕΓ Γ ΕΓ Γ ΒΓ Γ ΒΓ Β Γ. 3 Σχόλι Αφύ ΕΚ Ε, είναι ΕΚ ˆ 45 ΕΑΓ ˆ, πότε Κ // ΑΓ. Β ΚΒ Στ τρίγων ΒΜΓ θα είναι τότε, πότε Γ ΚΜ Β Γ. Άλλς τρόπς Στην πρέκταση τυ ΑΓ παίρνυμε τμήμα ΓΖ ΑΓ. Επειδή ΑΒ ΑΖ, είναι: ΑΜ ΑΒ ΑΒΜ ΑΒΖ. ˆ ˆ ΖΕ ΖΕ 15. Επμένως, αφύ ΖΑ ˆ 60, παίρνυμε: ΕΑ ˆ ΖΑ ˆ ΖΕ ˆ o o o ΒΕ ˆ ΒΑ ˆ ΑΕ ˆ Σημείωση Ισχύει και τ αντίστρφ. Έτσι, αν: ˆ o BΕ 90 o τότε Â 10. Πραγματικά, αν θέσυμε AZ ˆ ΑΖ ˆ ω, τότε: ˆ ˆ ω ω ΖΕ ΖΕ 45. ˆ ˆ ˆ o ω ΕΑ ΖΑ ZΕ ω 45 3ω 45 o. ˆ ˆ AB AΖ ω o o ω 60 o. Άρα τ τρίγων ΑΖ είναι ισόπλευρ, πότε ˆΑ 10. ArJun.19 α) Τ ΒΝΓ είναι παραλληλόγραμμ διότι ι διαγώνιες διχτμύνται. Άρα Ν // ΒΓ. Είναι όμως και: Άρα ΑΒΜ ˆ ΑΖΒ ˆ φ, πότε και: ΕΑΓ ˆ ΑΖΒ ˆ φ, διότι ΕΑΓ ˆ ΑΒΜ ˆ, ως συμπληρωματικές της ΑΜΒ ˆ (ή της ΒΑΕ ˆ ). Στ ρθγώνι λιπόν τρίγων ΑΒΖ η ΑΕ είναι διάμεσς, πότε τ είναι βαρύκεντρ μια και ι ΑΕ, ΒΓ είναι διάμεσι. Επμένως Β Γ. ArJun.18 Θεωρύμε τ τετράγων ΑΓΕΖ. Αφύ ˆ ΒΑΓ 10, είναι ΑΖ ˆ 60 και έτσι τ τρίγων ΑΖ είναι ˆ ˆ ΝΚΓ ΒΕ 90, πότε ΝΚ // Ε. Άρα τ ΝΚΕ είναι παραλληλόγραμμ και Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

14 Σελίδα 8 από 1 αφύ β) Έχυμε ˆΚ 90, είναι ρθγώνι. ˆΓ 30 και ΓΑ ΓΒ. Άρα τ ισσκελές, πότε: KN AK AΓ ΓB. ΑKN είναι Όμως ΑΒK ΑEΓ, διότι ΑΒ ΑΕ, AK o AΓ, AKB ˆ AΓE ˆ 30 και KBA ˆ AEΓ ˆ (πότε ΚΑΒ ˆ ΕΑΓ ˆ ). Επμένως ΚΕ ΒΓ. Είναι λιπόν ΚΝ ΚΕ, πότε τ ΝΚΕ είναι τετράγων. ArJun.0 α) Θεωρύμε τ τετράγων ΑΒΗΓ και τ σημεί τμής Κ των ΑΖ, ΒΗ. Ι ΝΙ ΑΝ ΑΚ ΚΒ ή ΑΝ ΑΚ ΚΒ ΜΤ Ι Ι ΝΙ ΑΝ ΑΚ ΚΒ ή ΜΤ ΝΙ (1). Επμένως MTK NIΛ (αφύ ˆΙ Τˆ 90, ΙΛ ΚΤ α, ΜΤ NI ). Άρα: ˆK Λˆ x, N ˆ M ˆ ω Είναι τότε: ˆ ˆ ˆ o RPΛ RΛP PMΓ x ω x 90 Άλλς τρόπς Από τ Α φέρνυμε ΑΕ // ΚΜ και ΑΖ // ΝΛ. Επειδή ΒΑK ˆ AΓM ˆ, είναι BK AM BN. Άρα AZΓ ˆ BZK ˆ BZN ˆ. ΑΓM ΑΒK, πότε ΒZK ΒZN, πότε β) Τ τετράπλευρ ΑΕΓ είναι εγγράψιμ διότι ˆ ˆ o AEΓ AΓ 90. Άρα: ˆ ˆ ΕΖ ΓΑ 45. ArJun.1 Φέρνυμε τις ΛΙ, ΚΤ παράλληλες πρς τις ΑΒ, Α αντιστίχως. Από τα παραλληλόγραμμα έχυμε ότι: α ΑΚ ΑΝ ΓΛ ΓΜ ΖΛ ΕΜ ΓΛ ΓΜ ΒΓ ΒΖ Γ Ε α ΒΖ Ε Άρα είναι ΒΖ Ε, πότε τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΒΖ είναι ίσα. Επμένως και φˆ ωˆ. Άρα ΕΑΖ ˆ 90. Επμένως ΚΜ ΝΛ. Επίσης πρκύπτει και η ισότητα ΚΜ ΝΛ. Άλλς τρόπς Μια μετρική απόδειξη. Είναι: ΑΝ ΑΚ ΜΓ ΓΛ α Ι ΝΙ ΑΝ ΑΚ ΚΒ ή ΑΝ ΑΚ ΤΓ ΜΤ Ι Αρκεί να απδείξυμε ότι: ΚΛ ΚΝ ΛΜ ΜΝ Πράγματι, ΚΛ ΚΝ ΛΜ ΜΝ Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

15 Σελίδα 9 από 1 πυ ισχύει. (α x) (α z) x y z t (α t) (α y) 4α α(x z t y) 4α α α 4α 4α, ArJun. α) Επειδή: ΖM ΖΒ και ΖΒ ΖΓ, τ Ζ είναι περίκεντρ τυ τριγώνυ ΜΒΓ. Άρα: o o 180 BZM ˆ 180 ω o x 90 ω Α. ˆ β) Στ τρίγων ΕΒΘ η ΕΖ διχτμεί τη γωνία ˆΕ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΕΒΓ και η ΘΖ διχτμεί τη γωνία ˆ ΒΘΕ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΒΘΜ. Άρα τ Ζ είναι έγκεντρ τυ τριγώνυ ΕΒΘ, πότε η ΒΖ διχτμεί τη γωνία ˆ ΕΒΘ. Σχόλι Λύσεις μπρύν να δθύν επίσης με χρήση εγγράψιμων τετραπλεύρων. B. Κύκλς εγγράψιμα ArJun.3 Έστω ΒΓΕ ˆ φ και ΕΓ ˆ x. Θα απδείξυμε ότι φ x. Αλλά: ArJun.4 α) Φέρνυμε την εφαπτμένη ΚΑΛ τυ κύκλυ. Επειδή Ζ // ΑΛ, είναι ΖΑΛ ˆ ΑΖ ˆ φ. Όμως: ΛΑΓ ˆ ΝΓΑ ˆ ΓΖ ˆ φ, ΕΓΒ ˆ ΕΑΒ ˆ φ, ΓΒΚ ˆ ΓΑΒ ˆ φ ρ, ΒΚ ˆ ΒΓ ˆ φ x. Επειδή ΑΕ Κ, είναι: o ρ φ x y 90 AΓΕ ˆ φ ω. Άρα ρ x y ω. Στ ΒΓΚ είναι: ΒΓΑ ˆ ΓΒΚ ˆ ΓΚΒ ˆ ω φ ρ y. Άρα ρ x y φ ρ y x φ. πότε ΖΓ ˆ ΓΖ ˆ φ. Άρα τ τρίγων ΓΖ είναι ισσκελές και έτσι Γ Ζ. Είναι Ε // ΑΚ, πότε ΚΑE ˆ AE ˆ ω. Όμως ΚΑB ˆ PBA ˆ EB ˆ ω, πότε τελικά: ΕΒ ˆ ΒΕ ˆ ω. Τ τρίγων ΒΕ είναι ισσκελές, πότε: Ε Β. Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

16 Σελίδα 10 από 1 β) Επειδή λιπόν Ε Β, Β Γ και Γ Ζ, θα είναι Ε Ζ. ArJun.5 Έστω ΓΕ τ ύψς από τ Γ. Τ τετράπλευρ ΗΕΒ είναι εγγράψιμ, πότε ˆ o ΑΗΓ 10. Είναι επίσης: ˆ ˆ o AOΓ B 10 AHΓ ˆ. Συνεπώς τ τετράπλευρ ΑΗΟΓ είναι εγγράψιμ. Άρα: ˆ ˆ OHΓ OAΓ 30. Επειδή HΓ ˆ 60 και ΟHΓ ˆ 30, η ΗΟ διχτμεί τη γωνία ΓΗ ˆ. ArJun.6 Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒ η ΑΕ είναι Β διάμεσς. Άρα ΑΕ ΕΒ. Είναι επίσης ΑΒΕ ˆ ΕΑΜ ˆ φ, πότε: ΑΒΜ ˆ BΑΜ ˆ φ. γ ρ ρ 180 ρ γ 90 (1). ΕΑ : ˆΕ ρ y φ ρ y φ (). ΑΒ : y ρ ω φ (3). ΑΒΓ : φ ω γ 180 φ ω γ 90 (4). Οι (1), (4) δίνυν: ρ γ φ ω γ ρ φ ω (5). Η (3) δίνει: (5) y ρ ω φ y (φ ω) ω φ y ω ΑΖ ˆ ΑΒΖ ˆ. Άρα τ ΑΒΖ είναι εγγράψιμ και αφύ Ζ ΖΑ, παίρνυμε Ζ ΖΑ. Σχόλι Από την (5) είναι ρ φ ω. Όμως στ ρ ω x. Άρα: φ ω ω x φ x BA ˆ ΒΖ ˆ. Τ ΑΒΖ είναι λιπόν εγγράψιμ, πότε: ΖΑ Ζ. ΒΖ είναι ArJun.8 Έστω ότι η ευθεία ΕΜ τέμνει τν κύκλ στ Ν. Η ΕΝ είναι διάμετρς τυ κύκλυ, πότε ˆ ΝΖΕ 90. Τ τρίγων ΜΑΒ είναι και αυτό ισσκελές, πότε ΜΑ ΜΒ. Άρα τ Μ είναι μέσ της ΒΓ o ( ΜΑΓ ˆ o 90 φ, Γˆ 90 Βˆ 90 φ ). Άρα τ Μ είναι τ περίκεντρ τυ τριγώνυ. Αν η ΜΕ τέμνει τν κύκλ (Α,Β,Γ) στ σημεί Ν, τότε τ Ν είναι μέσ τυ ΑΒ, διότι η ΜΕ είναι μεσκάθετς τυ ΑΒ. Αφύ ΝΑ ΝΒ, η ΓΝ διχτμεί τη γωνία ˆΓ. Σχόλι Αφύ ΜΕ είναι μεσκάθετς τυ ΑΒ, πρκύπτει ότι η ΜΕ και η διχτόμς της ˆΓ τέμννται στν κύκλ (Α,Β,Γ), σύμφωνα με τ θεώρημα τυ Ντίυ Πόλυ. ArJun.7 Με βάση τ σχήμα και αφύ ΓΕ ˆ ΓΕ ˆ ρ, είναι: Είναι όμως και ΖΕ ˆ 90, διότι η Ε είναι διάμετρς. Άρα τα σημεία Ν,, Ζ βρίσκνται στην ίδια ευθεία. Είναι ΖΑΕ ˆ ΖΝΕ ˆ, δηλαδή x y, διότι είναι εγγράψιμες γωνίες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ. Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

17 Σελίδα 11 από 1 Επειδή διάμετρ, είναι ˆ o EAN 90 ως εγγεγραμμένη πυ βαίνει σε ˆ ˆ ΑΝ ΜΝ 90. Άρα τ ΑΜΝ είναι εγγράψιμ, πότε: ΑΜ ˆ ΝΜ ˆ ω y. Είναι λιπόν x y και y ω, πότε x ω. Αλλά η Α είναι διχτόμς της ˆΑ, πότε ΑΒ ˆ ΜΑΓ ˆ, πυ είναι τ ζητύμεν. Σχόλι Επειδή ΖΑΒ ˆ ΜΑΓ ˆ, η ΑΖ είναι συμμετρδιάμεσς τυ ΑΒΓ. Η άσκηση δείχνει και έναν άλλ τρόπ κατασκευής της συμμετρδιαμέσυ. ArJun.9 Έστω ΟΜ ΒΓ. Επειδή: Από τις σχέσεις (1), () θα ισχύει: ΖΗ ˆ ΓΘΕ ˆ ω. Επμένως τ τετράπλευρ ΚΛΘΗ είναι εγγράψιμ, πότε ΘΗΛ ˆ ΘΚΛ ˆ φ. Αλλά από τ εγγεγραμμέν τετράπλευρ ΗΕΖΘ ισχύει ΘΗΖ ˆ ΘΕΖ ˆ φ, πυ σημαίνει ότι ΘΚΛ ˆ ΘΕΖ ˆ, συνεπώς: ΚΛ // ΕΖ // Γ. Η λύση έγινε από τ συνάδελφ και φίλ Μιχάλη Νάνν. ˆ ˆ ˆ ΗΑΒ ΟΑΓ ( 90 Β) και η Α είναι κάθετη στην ΗΟ, τ ισσκελές. Άρα: ΟΓ ΑΗ ΑΟ ΟΜ R ΟΜ ˆ ˆ ˆ ΟΓΒ ΟΒΓ 30 ΒΟΓ 10 ˆΑ 60. ΑΗΟ είναι ArJun.31 Από τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΒ, ΑΕΒ παίρνυμε: ΑΒ Μ ΜΕ (1). Σημείωση Αν ΟΝ ΑΓ και ΓΕ είναι τ ύψς από τ Γ, τότε: ΑΗ ΑΟ. ΗΑΕ ˆ ΑΟΝ ˆ. Επμένως ΑΗΕ ΑΟΝ, πότε ΑΓ ΑΕ. Από τ ρθγώνι τρίγων ΑΓΕ συμπεραίνυμε τώρα ότι ˆ ΑΓΕ 30, πότε ˆΑ 60. ArJun.30 Από τ εγγεγραμμέν τετράπλευρ ΘΕΓΖ έχυμε ότι: ΕΘΓ ˆ ΕΖΓ ˆ ω (1) και από τ εγγεγραμμέν τετράπλευρ ΓΖΗ έχυμε ότι: ΓΖ ˆ ΗΖ ˆ ω (). Όμια, από τα ρθγώνια τρίγωνα ΗΕΓ και ΗΓ παίρνυμε: ΗΓ Ν ΝΕ (). Τ τετράπλευρ ΑΒΕ είναι εγγράψιμ, πότε ι ΒΣ, ΑΣ διέρχνται από τ μέσ τυ τόξυ Ε. Άρα τ Σ βρίσκεται στν κύκλ (Α,Β,,Ε) και πρφανώς Σ ΣΕ. Άρα τα σημεία Μ, Σ, Ν βρίσκνται στη μεσκάθετη τυ Ε. ArJun.3 α) Στ Έτσι: ΙΒΓ η γωνία ˆ ΒΙΕ είναι εξωτερική. Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

18 Σελίδα 1 από 1 Βˆ Γˆ ΒΕΙ ˆ ΙΒΓ ˆ ΙΓΒ ˆ 10 ˆ 60 Α. ΒΑΖ ˆ x, BAE ˆ BΓΝ ˆ ΓΝ ˆ ΑΝ ˆ, πότε x β α x. Άρα α β και έχυμε τελειώσει. β) Αφύ τα Ε, Β, Ζ είναι συνευθειακά, παίρνυμε ΓΕΒ ˆ ΒΑΖ ˆ x NEZ ˆ NAZ ˆ. Άρα τ τετράπλευρ ΑΕΝΖ είναι εγγράψιμ. ArJun.34 Επειδή τ κέντρ τυ C 1 βρίσκεται στην ΟΑ, ι κύκλι C 1, C εφάπτνται στ Α. Έστω (ε) η κινή εφαπτμένη στ Α. Είναι τότε: Άρα τ ΑΕΙ είναι εγγράψιμ, πότε: Ι ΙΕ, ˆΑ αφύ ΙΑΕ ˆ ΙΑ ˆ. β) Φέρυμε τη διχτόμ ΑΙΖ τυ ΒΕΙ ΒΖΙ και ΓΙ ΓΖ, διότι: ˆ ˆ ˆ ˆ ΒΙΕ ΒΙΖ ΖΙΓ ΓΙ 60. Επμένως: ΒΕ ΒΖ και Γ ΓΖ. ΒΕ Γ ΒΖ ΓΖ ΒΓ. Σχόλι Ο νόμς των συνημιτόνων δίνει: α β γ βγσυνα β γ βγ. γ α β α Επειδή ΒΕ, Γ, έχυμε: α β α γ ΒΕ Γ αγ αβ α β α γ αγ γ αβ β α (α β)(α γ) αγ βγ (α βγ) α(α β)(α γ) α α. (α β)(α γ) (α β)(α γ) ΑΒΓ. Τότε ArJun.33 Φέρυμε τις ΑΕ, ΑΖ. Αν θέσυμε BZ ˆ α και ΓΒΕ ˆ β, αρκεί να απδείξυμε ότι α β. Είναι όμως: x φ (από τν C 1) και y φ (από τν C ), πότε x y. Επμένως ΕΖ // ΒΓ. α ρ (από την C 1 ) και β ρ (από τν C ), πότε Ζ // ΚΓ. Τ τετράπλευρ ΖΣΓ είναι παραλληλόγραμμ και έτσι η Σ διχτμεί τ τμήμα ΓΖ, δηλαδή η Σ διέρχεται από τ Μ. Σχόλια α) Επειδή E Ζ και ΒΓ // ΕΖ, η ΒΓ εφάπτεται με τν C 1 στ. β) Αν η ΚΒ τέμνει την ΖΕ στ Τ, τότε η Τ διχτμεί την ΒΕ, δηλαδή ι ΚΒ, ΕΖ και Ν συντρέχυν, όπυ Ν είναι τ μέσ τυ ΒΕ. γ) Η ΟΚ είναι μεσκάθετη της ΤΣ, αφύ τα τρίγωνα ΚΒΓ, ΚΤΣ είναι ισσκελή (ΒΓ // ΤΣ) και OK ΣΤ. δ) Τ σχήμα είναι βασικό και παραπέμπει σε βασικό λήμμα: Αν ι κύκλι εφάπτνται στ Α και η ΒΓ εφάπτεται στν μικρό κύκλ, τότε η Α διχτμεί τη γωνία ΒΑΓ ˆ. Πρόκειται δηλαδή για "αντίστρφ" γνωστύ θέματς. ArJun.35 Είναι ˆ ΒΓ 45 και: ˆ ˆ ΒΓΕ ΒΕΓ 15. Από τ τρίγων ΒΗΓ παίρνυμε: ˆ ΓΗ ΒΖΓ ˆ. ΓΕΒ ˆ ΓΑΒ ˆ ΓΑΝ ˆ ΓΝ ˆ ΒΖ ˆ Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

19 Σελίδα 13 από 1 Επμένως ΒΖΓΗ είναι εγγράψιμ, πότε: ˆ ˆ ΒΗΖ ΒΓΖ 60 και ΓΗΖ ˆ ΓΒΖ ˆ 60. Επειδή είναι και ΕΗΒ ˆ ΗΓ ˆ 60, αρκεί να απδείξυμε ότι ΑΗΕ ˆ 60. Είναι ΒΗΖ ˆ 60 ΑΕΒ ˆ, πότε τ ΑΕΒΗ είναι εγγράψιμ. Άρα: ˆ ˆ ΑΗΕ ΑΒΕ 60 και αφύ ΕΗΒ ˆ ΒΗΖ ˆ 60, τα σημεία Α, Η, Ζ είναι συνευθειακά. Όμως ΟΜ ΟΤ, πότε ΒΓ ΑΝ1. Άρα: ΒΜ ΤΝ 1. Αλλά ΝΤ ΝΜ, πότε ΝΒ ΝΝ1, δηλαδή ω y x. Αφύ ω x, θα είναι ΒΝ 1 // ΑΓ. Όμια, είναι ΓΚ 1 // ΑΒ, πότε τ ΑΒΡΓ είναι παραλληλόγραμμ. ArJun.37 Έχυμε: ArJun.36 Επειδή ΟΜ ΟΤ ΟΣ, θα είναι ΒΓ ΑΝ1 ΑΚ1. Αφύ ι ΒΓ, ΑΜ είναι ίσες, τ ΑΒΝ1Γ είναι τραπέζι, πότε ΒΝ 1 // ΑΓ. Όμια, είναι ΒΓ ΑΚ1, πότε ΓΚ 1 // ΑΒ. Αρα τ ΑΒΡΓ είναι παραλληλόγραμμ, πότε η ΑΡ διέρχεται από τ μέσ Μ της ΒΓ. Οι γωνίες ΟΒΓ ˆ και ΟΓΒ ˆ είναι ίσες με φ. Επίσης ι γωνίες ΟΒΚ ˆ, ΟΑΚ ˆ και ΟΓΑ ˆ είναι ίσες με ω, πότε ι γωνίες ΚΒΓ ˆ και ΚΓΒ ˆ είναι ίσες με φ ω. Άρα τ τρίγων ΚΒΓ είναι ισσκελές και έτσι ΚΒ ΚΓ. Είναι ΚΒ ΚΓ και ι γωνίες ΒΑΚ ˆ και ΚΝΓ ˆ είναι ίσες, πότε ι κύκλι (Α,Κ,Β) και (Γ,Κ,Ν) είναι ίσι. Αυτό ήταν τ πι αξιόλγ μέρς της άσκησης. Είναι ΟΑ ΟΓ και ι γωνίες ΟΒΑ ˆ και ΟΚΓ ˆ είναι ίσες, πότε ι κύκλι (Α,Β,Ο) και (Κ,Ο,Γ) είναι ίσι. Άρα ι κύκλι (c 1), (c ) και (c 3) είναι ίσι. ArJun.38 Είναι ˆ ˆ ΓΑΒ ΕΓΒ φ και: ΒΑ ˆ ΕΑ ˆ ω. Σχόλι Έστω ότι ι ευθείες ΒΝ 1, ΓΚ 1 τέμννται στ Ρ. Θα απδείξυμε ότι τ ΑΒΡΓ είναι παραλληλόγραμμ. Αρκεί π.χ. ΒΝ 1 // ΑΓ. Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

20 Σελίδα 14 από 1 Επμένως: ˆ ΓΖ ˆ ΑΓΖ ˆ ΓΑΖ 90 ΓΑ ˆ 1 ˆ 1 90 ΓΟ 90 (180 ΓΕ) ˆ ΓΕ ˆ. Επειδή επιπλέν είναι ΕΓ Ε, τ Ε είναι περίκεντρ τυ τριγώνυ ΖΓ, πότε: ΕΓ ΕΖ Ε. Είναι επμένως ΕΖΓ ˆ ΕΓΖ ˆ ΓΑΜ ˆ, πότε τ τετράπλευρ ΑΓΖΜ είναι εγγράψιμ. Άρα ΖΜΑ ˆ 90, δηλαδή ΕΖ ΑΒ. Επειδή: ˆ ˆ ˆ ΟΓΕ ΟΜΕ ΟΕ 90, τα σημεία Ε, Γ, Μ, Ο, είναι μκυκλικά. ArJun.39 Έστω ότι η ΑΟ τέμνει την Γ στ Η. Θα απδείξυμε ότι ΕΗ // ΑΒ. Επειδή ΑΟ ΒΓ, είναι: ΚΗΓ ˆ 90 ΚΓΗ ˆ 90 ΛΕΓ ˆ ΟΕΓ ˆ. ˆΓ BE AΓ, είναι ΚΜ ΑΓ. Άρα τ ΒΚΜΓ είναι εγγράψιμ, αφύ ι απέναντι γωνίες ˆΒ και ˆΜ είναι ρθές. Επειδή και τα Κ, Β, Γ, Ν είναι μκυκλκά, συμπεραίνυμε ότι τα σημεία Κ, Β, Γ, Ν, Μ είναι μκυκλικά. Άρα: ˆ ˆ ΒΜΝ ΒΚΝ 90. Άλλς τρόπς Άρα τ τετράπλευρ ΕΟΗΓ είναι εγγράψιμ. Επειδή ΟΑΓ ˆ ΟΓΑ ˆ x, είναι HOΓ ˆ x, πότε: HEΓ ˆ ΗΟΓ ˆ x Aˆ. Άρα ΕΗ // ΑΒ και έτσι τ ΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμ. Άρα Z ΕΗ ΕΑ, αφύ: ΕΗΟ ˆ ΕΓΟ ˆ x ΟΑΕ ˆ και έτσι τ τρίγων ΕΑΗ είναι ισσκελές. ArJun.40 Έστω Κ τ μέσ τυ ΑΒ. Τ ΚΒΓΝ είναι ρθγώνι, πότε τα σημεία Κ, Β, Γ, Ν είναι μκυκλικά και μάλιστα σε κύκλ με διάμετρ ΒΝ. Επειδή ΚΜ // ΒΕ και Αν Σ είναι μέσ τυ ΒΕ, τότε: ΑΒ Γ ΜΣ και ΜΣ // ΑΒ. Άρα ΜΣ // ΓΝ, πότε τ ΜΣΓΝ είναι παραλληλόγραμμ. Επειδή είναι ΜΣ ΒΓ, διόιτ ΑΒ ΒΓ και ΒΕ ΜΓ, τ Σ είναι ρθόκεντρ τυ τριγώνυ ΒΓΜ. Άρα ΓΣ ΒΜ και αφύ ΝΜ // ΓΣ, θα είναι ΝΜ ΒΜ, δηλαδή ΒΜΝ ˆ 90. ArJun.41 Φέρυμε τη ΒΖ. Αρκεί να είναι: ΖΒ ˆ ΖΛ ˆ, διότι τότε στ τρίγων ΖΒΛ η Ζ θα είναι ύψς και διχτόμς, πότε θα είναι και διάμεσς. Όμως x ω, διότι βαίνυν στ τόξ AB. Αρκεί λιπόν να είναι y ω. Αυτό σημαίνει ότι τ τετράπλευρ ΚΓΖ πρέπει να είναι εγγράψιμ. Φέρυμε και την ΖΓ. Είναι: ΑΚ ˆ ΕΖ ˆ ΕΒΖ ˆ ΑΓΖ ˆ ΚΓΖ ˆ ρ. Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

21 Σελίδα 15 από 1 ˆ ˆ ˆ ΕΒΖ 360 (ΑΒΕ ΑΒΖ) 1 ˆ (540 ΕΑΖ) 90 ΕΑΖ ˆ. Αφύ λιπόν η ΑΒ διχτμεί τη γωνία ΕΑΖ ˆ και ˆ ˆ ΕΑΖ ΕΒΖ 90, τ Β είναι έγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΕΖ. Είναι επμένως: ΜΒΕ ˆ ΒΕΖ ˆ ΒΕΑ ˆ, πότε τ ΕΒΑΜ είναι ισσκελές τραπέζι. Άρα ΑΕ ΒΜ. Όμια είναι ΑΖ ΒΝ, πότε ΜΝ ΜΒ ΒΝ ΑΕ ΑΖ. Επειδή ΑΚ ˆ ΚΓΖ ˆ ρ, τ ΖΓΚ είναι εγγράψιμ. Άρα y ω, δηλαδή ZK ˆ ΓΚ ˆ. Επμένως και x y και η απόδειξη λκληρώθηκε. Άλλς τρόπς Είναι μ x ω, πότε τ ΒΕΓΚ είναι εγγράψιμ. Άρα: Α ΑΖ ΑΒΑΕ ΑΚ ΑΓ. Αφύ Α ΑΖ ΑΚ ΑΓ, τ ΖΓΚ είναι εγγράψιμ. Επμένως: ΖΚ ˆ ΓΚ ˆ ΒΖΑ ˆ, πότε τ τρίγων ΖΒΛ είναι ισσκελές. Άρα η Ζ είναι και διάμεσς, ως διχτόμς, πότε Β Λ. ArJun.4 Φέρυμε τις ΑΒ, ΚΕ, ΛΖ. Είναι: ˆ 1 ˆ 1 ΕΑΒ ΕΚΒ (180 ΚΒΕ) ˆ 1 90 ΚΒΕ ˆ 90 ΛΒΖ ˆ ΒΛΖ ˆ ΒΑΖ ˆ, πότε η ΑΒ είναι διχτόμς της γωνίας ΕΑΖ ˆ. Θα απδείξυμε ότι τ Β είναι έγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΕΖ. Είναι: ΑΒΕ ˆ ΑΒΖ ˆ ΑΒΕ ˆ (180 ΑΒΚ) ˆ ˆ ˆΚ 180 ΚΒΕ ˆ ΕΑΒ 70 ΕΑΒ ˆ. ˆ ˆ ΑΒΕ ΑΒΖ (180 ΑΒΛ) ˆ ΑΒΖ ˆ 70 ΖΑΒ ˆ. Άρα παίρνυμε: 1 ΑΒΕ ˆ ΑΒΖ ˆ 540 (ΕΑΒ ˆ ΖΑΒ) ˆ 1 ˆ Πρκύπτει λιπόν ότι: (540 ΕΑΖ). Μπάμπης Στεργίυ - Μαθηματικός 5/0/017

22 Σελίδα 16 από 1 Γ. Θεώρημα Θαλή Ομιότητα ArJun.43 Αφύ ΑΒΕ ΕΜΓ, είναι: B ΜΗ ΜΒ, Γ ΗΓ ΝΓ διότι ΜΒ // Α // ΝΓ και ΗΒΜ ΗΓΝ. Έτσι: Β ΜΒ Γ ΝΓ και επειδή ΜΒ ˆ ΝΓ ˆ 90, τα τρίγωνα ΜΒ, ΝΓ είναι όμια. Άρα x y, πότε AΜ ˆ ΑΝ ˆ. ArJun.45 Επειδή ΑΗ, ΙΘ ΑΓ, είναι ΑΗ // ΙΘ. Άρα: ΙΘ ΕΙ (1). ΑΗ ΕΑ ΑΒ ΒΕ (1). ΜΓ ΕΜ Αφύ ΑΒΖ ΖΜ, είναι: ΑΒ ΒΖ (). Μ Ζ ΒΕ ΒΖ Αλλά ΜΓ Μ, πότε. Άρα ΖΕ // Μ, δηλαδή ΕΜ Ζ ΖΕ // Γ. Παρατήρηση Ισχύει και τ αντίστρφ. Αν δηλαδή ΕΖ // Γ, τότε τ Μ είναι μέσ τυ Γ. Πράγματι: ΑΒ ΒΕ ΑΒ ΒΖ και. ΜΓ ΕΜ Μ Ζ ΒΕ ΒΖ ΖΕ // Μ, πότε. ΕΜ Ζ Άρα ΑΒ ΑΒ ΜΓ Μ. ΜΓ Μ ArJun.44 Επειδή Α // ΜΒ // ΝΓ, είναι: ΑΜ ˆ ΒΜ ˆ x, AΝ ˆ ΝΕ ˆ y. Φέρυμε την ΙΖ ΒΓ. Είναι ΙΖ // Α, πότε: ΙΖ ΕΙ (). Α ΕΑ Από τις σχέσεις (1) και () παίρνυμε: ΙΘ ΙΖ ΑΗ Α, ΑΗ Α διότι ΙΘ ΙΖ, αφύ τ Ι είναι έγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. ArJun.46 Φέρυμε την εφαπτμένη (ε) στ Α και την παράλληλη από τ πρς την ε, πυ τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε και Ζ. Θα απδείξυμε ότι τα τρίγωνα ΜΒ, ΝΓ είναι όμια. Όμως: Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017

23 Σελίδα 17 από 1 Είναι φ φ1 και φ φ3. Όμως φ1 φ ως εντός εναλλάξ και φ3 φ4. Επμένως φ φ, πότε τ 4 ΓΖ είναι ισσκελές. Άρα Γ Ζ. Όμια και Β Ε και επειδή Β Γ, είναι Ε Ζ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕΖ είναι όμια, αφύ Β ˆ Ζ ˆ και Γˆ Εˆ. Έτσι: ΑΕ ΕΖ Ε Ε ΑΓ ΒΖ ΓΜ ΓΜ ΑΕ Ε Αυτή δίνει και επειδή ˆΕ ΑΓ ΓΜ ˆΓ ω, είναι ΑΕ ΑΓΜ. Άρα: ΑΕ ˆ ΓΑΜ ˆ, δηλαδή ΑΒ ˆ ΜΑΓ ˆ. ArJun.47 α) Θέτυμε για ευκλία ΑΒ α και ΒΜ x. Επειδή ΕΒΜ ΕΑ, παίρνυμε: ΕΒ ΒΜ ΕΒ x ΕΑ Α ΕΒ α α α ΕΒ x EB αx αx ΕΒ (1). α x Επειδή ΖΝ ΖΑΕ, παίρνυμε: Ζ Ν Ζ α x ΖΑ ΑΒ Ζ α α α Ζ (α x)z α(α x) x Ζ α(α x) α(α x) Z (). x Οι σχέσεις (1) και () δίνυν: αx α(α x) EB Ζ α ΒΓ Γ. α x x ΕΒ ΒΓ Άρα, πότε ΕΒΓ ΖΓ. Είναι επμένως Γ Ζ ΒΓΕ ˆ ΖΓ ˆ, πότε: ˆ ˆ ˆ ˆ ΒΓΕ ΓΖ ΖΓ ΓΖ 90. Άρα η γωνία ΖΓΕ ˆ είναι ευθεία. β) Επειδή ΑΝ ΓΜ, παίρνυμε ότι: ΑΝ ˆ ΓΜ ˆ. ΑΝ ˆ ΜΑ ˆ ΓΜ ˆ ΜΑ ˆ 90. Άρα Μ ΑΝ. Όμια είναι ΝΒ ΑΜ. Επμένως στ ΑΜΝ τ Ρ είναι ρθόκεντρ, πότε ΑΡ ΜΝ. γ) Θα απδείξυμε ότι ΖΕ // ΜΝ και μάλιστα ότι ΜΝ // ΓΖ. Αρκεί λιπόν να απδείξυμε ότι ΝΒ ΜΒ. ΝΖ ΜΓ Είναι όμως: ΜΒ x. ΜΓ α x ΝΒ ΒΓ α x ΝΖ Ζ α(α x) α x. x Άρα ΜΒ ΝΒ, πότε ΜΝ // ΕΖ και αφύ ΑΡ ΜΝ, θα ΜΓ ΝΖ είναι ΑΡ ΖΕ. ArJun.48 Θεωρύμε τμήμα ΡΓ τότε: ΡΝ ΡΓ ΓΝ ΒΜ ΓΝ ΜΝ. Επμένως ΝΡ ΝΜ (1). ΒΓ με ΡΓ ΒΜ. Είναι Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017

24 Σελίδα 18 από 1 Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΡΓ είναι ίσα, διότι ΑΒ ΑΓ, ΒΜ ΓΡ και: ˆ ˆ ΑΒΜ ΑΓΡ 45. Άρα ΑΜ ΑΡ και ΜΑΒ ˆ ΓΑΡ ˆ φ. Τα τρίγωνα λιπόν ΑΝΜ και ΑΝΡ είναι ίσα, διότι έχυν τις πλευρές τυς ίσες μία πρς μία. Άρα: ΝΑΜ ˆ ΝΑΡ ˆ. Όμως ΒΑΓ ˆ 90, πότε ΜΑΡ ˆ 90, αφύ ΜΑΒ ˆ ΓΑΡ ˆ φ. Άρα: ˆ ˆ ΜΑΡ 90 ΜΑΝ 45. ArJun.49 Αν η ΒΖ τέμνει την ΑΓ στ Η, τότε τ τρίγων ΑΒΗ είναι ισσκελές και τ Ε είναι μέσ τυ ΒΗ. Φέρυμε την ΕΜ. Για να είναι Ζ // ΑΒ, αρκεί να απδείξυμε ότι ΕΒ ΕΑ. Είναι όμως ΖΑΗ ΖΕΜ, πότε: ΕΖ Ε Επειδή ΡΒΓ ˆ ΡΓΑ ˆ φ, είναι: ΑΒΡ ˆ ΡΓΒ ˆ ΓΒΝ ˆ ω (). Είναι ΡΒΝ ˆ φ ω ΑΒΓ ˆ. Στη ΒΝ παίρνυμε σημεί Κ, ώστε ΡΒ ΡΚ. Τότε: ΡΚΒ ˆ φ ω ΡΓΝ ˆ (3), πότε τ ΡΚΝΓ είναι εγγράψιμ. Άρα: ˆ ˆ Ρ Κ 180 ΒΚΓ ˆ (4). 1 1 Επειδή ΑΒΓ ΡΒΚ, είναι: ΑΒ ΡΒ (5). ΒΓ ΒΚ Όμως ΑΒΡ ˆ ΓΒΚ ˆ ω, πότε η (5) εξασφαλίζει ότι τα τρίγωνα ΡΑΒ και ΚΒΓ είναι όμια. Άρα: ΑΡΒ ˆ ΒΚΓ ˆ (6). Η σχέση λιπόν (4) γράφεται: (6) ˆ ˆ ˆ 1 Ρ 180 ΒΚΓ 180 ΑΡΒ, δηλαδή Ρˆ ΑΡΒ ˆ 180. Έτσι: 1 ˆ ˆ ΒΡΜ ΑΡΓ 180. ArJun.51 α) Είναι: ΒΕ ΕΗ ΕΖ ΖΗ ΖΗ ΑΗ 1 1 ΕΖ ΕΖ ΕΖ ΖΕ ΕΜ ΑΓ ΗΓ ΑΓ ΑΓ ΕΜ ΕΜ ΕΜ Α Α Ε ΑΕ 1. Ε Ε Ε Απδείξαμε λιπόν ότι: ΕΒ ΕΑ, ΕΖ Ε πότε Ζ // ΑΒ. ArJun.50 Έστω Ν τ συμμετρικό τυ Ρ ως πρς τ Μ. Τ ΒΡΓΝ είναι παραλληλόγραμμ, πότε ΡΒΝ ˆ ΡΓΝ ˆ (1). ΒΖ ΒΗ (ΒΓ ΓΖ ) (ΒΑ ΑΗ ) ΓΖ ΑΗ ΕΖ ΕΗ. β) Είναι ΖΑ ΒΗ και ΓΗ ΒΖ, πότε τ Ρ είναι ρθόκεντρ στ ΒΗΖ. Έτσι: ΒΡ ΗΖ. Αλλά ΒΕ ΗΖ, πότε τα Β, Ε, Ρ είναι συνευθειακά. Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017

25 Σελίδα 19 από 1 ArJun.5 α) Επειδή ΑΒ // ΓΗ, είναι: ΑΖ ΒΖ (1). ΖΗ ΖΓ Επειδή Α // ΓΘ, παίρνυμε: ΑΕ Ε (). ΕΘ ΕΓ ΒΖ Ε Είναι όμως ΕΖ // Β, πότε. Επμένως ΖΓ ΕΓ ΑΖ ΑΕ, πότε στ ΖΗ ΕΘ ΕΖ // ΘΗ. ΑΘΗ είναι: ΑΕ ΑΒ ΑΒ (). ΕΓ Γ Β α) Από (1), () θα ισχύει τ αντίστρφ θεώρημα εσωτερικής διχτόμυ, δηλαδή: ΑΒΗ ˆ ΗΒ ˆ ω. β) Λόγω παραλληλίας ΒΓ ˆ ΑΒ ˆ ω (εντός εναλλάξ), και από τ ισσκελές τρίγων ΒΓ θα έχυμε ΒΓ ˆ ΓΒ ˆ φ. Συνεπώς: ˆ ω φ φ 180 φ ω ΗΒΓ 90. Άλλς τρόπς β) Από τ θεώρημα Cevà είναι: ΜΘ ΖΗ ΕΑ ΜΘ 1 1 ΜΗ ΖΑ ΕΘ ΜΗ ΜΘ ΜΗ, διότι ΖΗ ΕΘ, λόγω της ΕΖ // ΘΗ. ΖΑ ΕΑ ArJun.53 Πρεκτείνυμε τη ΒΗ και έστω Ζ τ σημεί τμής των ΒΗ, Γ. Είναι: Είναι: ΗΕ ΑΗ ΒΖ ΕΖ ΗΕ ΕΖ (1). Γ Α ΒΓ Γ Επμένως ΓΒ ˆ ΓΒ ˆ ΕΖΒ ˆ. Άρα: ΒΕ ΕΖ (). Είναι ακόμα ΕΗΒ ˆ ΗΒΑ ˆ (3). Από (1) και () πρκύπτει ότι: ΗΕ ΕΖ ΒΕ (4). Επμένως: ˆ ΗΒΖ 90 και ΕΗΒ ˆ ΕΒΗ ˆ (5). Από (3) και (5) έπεται ότι η ΒΗ είναι διχτόμς της γωνίας ˆ ΕΒΑ. ArJun.54 α) Στ ΓΛ η ΓΗ είναι διχτόμς. Ζ Η ΓΕ Ε Γ. ΑΒ ΗΑ ΑΕ ΕΒ ΑΒ Άρα: Ζ Γ Β ΖΒ ˆ ΒΖ ˆ ΖΒΑ ˆ. Έτσι, η ΒΗ διχτμεί τη γωνία ρθή. ˆ ΑΒΕ και η γωνία Άλλς τρόπς Από θεώρημα Θαλή στ τρίγων ΑΓ έχυμε: ΑΕ ΑΗ (1). ΕΓ Η Από τα όμια τρίγωνα ΕΑΒ, ΕΓ έχυμε: ˆ ΗΒΓ είναι β) Ζ // ΒΛ, πότε ΗΖ ΗΒΛ. Άρα: Ζ Η (α) Γ. ΒΛ ΗΛ ΓΛ γ) Είναι ΕΒ // Γ, πότε: ΒΕ ΒΛ (β) Ζ. Γ ΓΛ Γ Άρα ΒΕ Ζ, πότε: ΑΖ Α Ζ ΒΜ ΒΕ ΜΕ. ArJun.55 Στην ΒΓ παίρνυμε ΒΡ ΑΕ. Έτσι ΑΡ Ε. Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017

26 Σελίδα 0 από 1 ΒΖ ΕΒ ΒΖ α x ΒΖ // Α: Α ΕΑ α x α(α x) BZ (1). x α(α x) (1) α ΗΖ ΖΓ ΗΖ x ΗΑ ΑΣ ΗΑ ΣΑ α (). ΣΑ x AE ΣΑ x ΣΑ ΑΕ // Γ: Γ Σ α ΣΑ α x ΣΑ α x ΣΑ α x α α x. Στ ΑΜΒ με τέμνυσα την ΕΓ τ θεώρημα Μενελάυ δίνει: Α ΓΒ ΕΜ (1) ΤΑ ΕΜ 1 1 Β ΓΜ ΕΑ ΤΒ ΕΑ ΕΜ ΤΒ ΕΑ ΤΑ (). Όμως ΤΓ ΤΒ, πότε: ΒΓ ΒΓ ΤΜ ΜΒ ΤΒ 3 ΒΓ 3ΒΤ ΒΤ, 6 6 δηλαδή ΒΤ ΤΜ. Έτσι η () δίνει: ΕΜ ΤΜ ΤΜ. ΕΑ ΤΑ ΤΑ Άρα η ΤΕ είναι διχτόμς τυ ΤΑΜ, πότε ΤΕ Τ. Η () δίνει: ΗΖ α α(α x) αx ΗΑ x x α x (3). Είναι επίσης: α(α x) ΒΖ x α(α x) (4). ΒΡ x x Οι (3), (4) δίνυν: HZ BZ, HA BP δηλαδή ΒΗ // ΑΡ. Άρα BH Ζ, αφύ: ΑΡ Ζ. ArJun.56 Αφύ η Τ είναι διχτόμς, έχυμε: Α ΤΑ (1). Β ΤΒ Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017

27 Σελίδα 1 από 1 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017