1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

Transcript

1 1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ, άρα ΒΔ εφω ΒΔ υ εφω (1). υ Τ τρίγων ΑΔΓ είναι ρθγώνι στ Γ, άρα ΔΓ εφθ ΔΓ υ εφθ (). υ Από (1) και () έχυμε: ΒΓ ΒΔ + ΔΓ υ εφω + υεφθ υ εφω + εφθ, άρα ΒΓ ΒΓ υ ( εφω+ εφθ) υ. εφω + εφθ Α ω θ υ Β Δ Γ. Να υπλγίσετε τις πλευρές τυ τριγώνυ τυ διπλανύ σχήματς. 1

2 Γνωρίζυμε ότι σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισμα των γωνιών τυ είναι 180. Έτσι: Α+Β+Γ 180 Β 60 άρα: Γ Α+ + Α+ Α Α 90. Άρα τ τρίγων είναι ρθγώνι, με υπτείνυσα τη ΒΓ. Έτσι έχυμε: Α Β Γ (α) ΑΒ ΑΒ 1 ΑΒ ημγ ημ0 ΑΒ 1 ΒΓ (β) ΑΓ ΑΓ ημβ ημ60 ΑΓ ημ60 ΑΓ ΑΓ ΒΓ η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις πυ μυ ζητάνε να μετατρέψω τα ακτίνια σε μίρες και τ αντίστρφ 1. Να εκφραστεί: i) η γων ία 0 σε rad ii) η γωνία π rad σε μίρες. α μ i) Από τν τύπ για μ 0 έχυμε: π 180 α 0 1 α 6α π α π. Άρα 0 π 180 π 6 6 π ii) Από τν ίδι τύπ για α έχυμε: π μ π πμ 180 μ 00 π 180 π 6 rad. Αντιμετώπιση: 1. Αν μια γωνία είναι μ 0 και α rad ισχύει μ α 180 π Με τν παραπάνω τύπ μετατρέπω τις μί- σε rad και αντί- ρες στρφα. Στν τύπ πτέ δεν κάνυμε αντικατάσταση στ π 14

3 η Μρφή Ασκήσεων: Εύρεση τριγωνμετρικών αριθμών μεγάλων γωνιών. 1. Να βρεθύν ι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας 70. Ισχύει Άρα: 1 ημ70 ημ ( ) ημ0 συν 70 συν συν 0 εφ70 εφ εφ0 σφ70 σφ σφ0. Να βρεθ ύν ι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας 7. 6π Ισχύει Οπότε π ( ) π 6 6π + π 6 6π π π + 6π + Άρα π π π 1 ημ ημ 6π + ημ π π π συν συν 6π + συν π π π εφ εφ 6π + εφ π π π σφ σφ 6π + σφ Αντιμετώπιση: Ανάλγα με τ μέτρ της γωνίας έχυμε: 1. Για τις γωνίες 0, 4, 60 γνωρίζυμε τυς τριγωνμετρικ ύς αριθμύς απ έξω, από τ πινακάκι ή τ μνημνικό κανόνα.. Για τις γωνίες 0, 90, 180, 70, 60 υπλγίζυμε τυς τριγωνμετρι-κύς αριθμύς από τν τριγωνμετρικό κύκλ και από τις συντεταγμένες τυ σημείυ τμής της τελικής πλευράς της γωνίας. 1

4 4 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ δίνεται ένας τριγωνμετρικός αριθμός μιας γωνίας και μας ζητύν να βρεθύν ι υπόλιπι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας 4 π 1. Αν συν x και π< x <, να βρεθύν ι άλλι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας x rad. Από την ταυτότητα ημ x + συν x 1, έχυμε: ημ x 1 συν x 1 1 π Άρα θα είναι ημ x ή ημ x. Όμως δίνεται ότι π < x <, πότε ημ x < 0 και συνεπώς ημ x.. Τις γωνίες πυ είναι μεγαλύτερες των 60 τις υπλγίζυμε από τυς τύπυς: ημ(60k + ω) ημω συν(kπ + ω) συνω 4. Για να εφαρμόσυ- με αυτές τις σχέσεις διαιρύμε τ μέτρ της γωνίας με τ 60 ή π και γράφυμε την ταυτότητα της διαίρεσης Δ δπ + υ Η εφx και η σφx υπλγίζνται τώρα από τις σχέσεις: ημx 1 4 εφx και σφ x συν x 4 4 εφx. Αν εφ x και π < x < π, να τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας x rad. βρεθύν ι άλλι Εφόσν μας δίνεται η εφx, μπρύμε να χρησιμπιήσυμε την εφ x τ αυτότητα ημ x για να υπλγίσυμε τ ημx. 1 + εφ x 16

5 ( ) εφ x 4 ημ x 1+ εφ x 1+ Άρα θα είναι 4 ημ x ή 4 ημ x π Όμως < x < π, πότε ημx > 0, συνεπώς ημx. 1 Επίσης από την ταυτότητα συν x 1 + εφ x υπλγίζυμε τ συνx.: συν x 1+ εφ x Οπότε θα είναι συν x ή συν x. Επειδή π συν x < 0 (αφύ < x < π ), θα είναι συν x. Τέλς, για τη σφx έχυμε: 1 1 σφx εφx η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ μας ζητύν να απδειχθεί μια σχέση με τριγωνμετρικύς αριθμύς Αντιμετώπιση: 1. Όταν μας δίνυν τ ημx ή τ συνx τότε κάνυμε χρ ήση τυ τύπυ ημ x + συν x 1.. Όταν μας δίνυν την εφx τότε κάνυμε χρήση τυ τύπυ εφ x ημ x 1+ εφ x. Όταν μας δίνυν την σφx τότε κάνυμε χρήση τυ τύπυ εφx σφx 1 και μετά παίρνυμε εφ x ημ x 1 + εφ x 1. Να απδείξετε ότι : συν α 1 1 ημ α. Από τη βασική ταυτότητα συν α + ημ α 1 έχυμε συν α 1 ημ α, πότε τ πρώτ μέλς της ισότητας γράφεται: συνα ημα ημα ημα 17

6 . Να απδείξετε ότι: 1 συν α + σφ α. ημα 4 ημ α Ξεκινώντας από τ πρώτ μέλς έχυμε διαδχικά: συν α συν α ημ α + συν α συν α + σφ α συν α + ημ α ημ α συν α ( ημ α + 1) ( 1 ημ α )( 1+ ημ α ) 1 ημ 4 α ημ α ημα ημα. Να απδείξετε ότι: συν θ συν θ 4 εφ θ+εφ θ Ξεκινώντας από τ πρώτ μέλς έχυμε διαδχικά: συν θ ημ θ συν θ συν θ συν θ συν θ συν θ ημ θ 1 4 εφ θ ( 1+ εφ θ ) εφ θ + εφ θ συνθ συνθ. Αντιμετώπιση: 1. Για να απδείξυμε μια σχέση ξεκινάμε από τ ένα μέ λς και καταλή- γυμε στ άλλ. Αν η σχέση είναι πλύπλκη τότε κάνυμε και στα δύ μέλη πράξεις ταυτόχρνα.. Κάνυμε χρήση των τριγωνμετρικών ταυττήτων 6 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις πυ χρειάζνται αναγωγή στ πρώτ τεταρτημόρι 1. Να βρείτε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς των γωνιών: α) π ( (β) 6 Η ΛΥΣ (α) 40 Άρα:

7 ( ) 4 ( ) ημ 960 ημ + ημ 0 ημ + (1) Όμως ημ(180 + φ) ημφ () () (1) ημ960 ημ ( ) ημ60. Όμια: 1 συν συν 60 εφ εφ60 σφ σφ60 67π π 6 11 π π π π (β) + 11π + 10π + π Άρα: 67π π π π 1 ημ ημ 10π + π + ημ π + ημ π π π Όμια: συν συν 10π + π + συν π π 67π π εφ εφ, σφ σφ Να απλπιηθεί η 7π 9π ημ + x (11 x) x ημ π + ημ παράσταση: Α π 11π 1π εφ + x x σφ x συν + Αντιμετώπιση: Χρησιμπιώ τυς παρακάτω τύπυς ή τυς εμπειρικύς κανόνες ημ( θ) ημθ συν( θ) συνθ, εφ( θ) εφθ σφ( θ) σφθ ημ(180 θ) ημθ συν(180 θ) συνθ εφ(180 θ) εφθ σφ(180 θ) σφθ Έχυμε ότι: 7π π π ημ + x ημ π + + x ημ + x π π π ημ π + + x ημ π + + x ημ + x συνx ημ(11 π + x) ημ(10 π + π + x) ημ( π + x) ημx 9π π π ημ x ημ 4π + x ημ x συνx 19

8 π π π εφ + x εφ π + + x εφ + x σφx 11π π π σφ x σφ 4π + x σφ x εφx 1π π π συν + x συν 6π + + x συν + x ημ x Άρα: x( x) x x x x συν ημ συν ημ συν συν Α συν x σφ x εφ x( ημx) ημx εφ x σφ x 1. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγω ν ΑΒΓ ισχύυν: Β Α+Γ (α) ημ( Α + Γ ) ημβ (γ) συν ημ Α Β+Γ (β) συν( Α + Γ ) συνβ (δ) σφ εφ ΛΥΣ Η (α) Ισχύει: Α+Β+Γ 180 Α+Γ 180 Β ημ( Α+Γ ) ημ 180 Β ημ( Α+Γ ) ημβ ( β) Ισχύει: Α+Β+Γ 180 Α+Γ 180 Β συν ( Α+Γ ) συν 180 Β συν ( Α+Γ ) συνβ ημ(180 + θ) - ημθ συν(180 + θ) συνθ εφ(180 +θ) εφθ σφ(180 + θ) σφθ ημ(90 θ) συνθ συν(90 θ) ημθ εφ(90 θ) σφθ σφ(90 θ) εφθ. ημ(90 + θ) συνθ συν(90 + θ) - ημθ εφ(90 + θ) -σφθ σφ(90 + θ) - εφθ. Α Β Γ Β Α+Γ (γ) Α+Β+Γ Β Α+Γ Β Α+Γ συν συν 90 συν ημ Α Β Γ Α Β+Γ (δ) Α+Β+Γ Α Β+Γ Α Β+Γ σφ σφ 90 σφ εφ 0

9 4. Να απδειχθύν τα παρακάτω: 68 ημ + ημ ημ 11 + συν 11 + συν 68 συν 68 1 Επειδή ι γωνίες 68 και είναι συμπληρωματικές και ι γωνίες 68 και 11 παραπληρωματικές, θα έχυμε: ημ συν68, πότε: ημ 68 + ημ ημ 68 +συν 68 1 (1) Επίσης: συν11 συν68 συν 11 συν 68 συν 11 + συν 68 0 () Επίσης: ημ11 ημ68, πότε: ημ 11 + συν 68 ημ 68 + συν 68 1 () Από (1), (), () έχυμε: ημ 68 + ημ ημ 11 + συν 11 + συν 68 συν 68 ( ημ ημ ) ( συν συν ) ( ημ συν ) ημ(70 θ) -συνθ συν(70 θ) - ημθ εφ(70 θ) σφθ σφ(70 θ) εφθ. ημ(70 + θ) -συνθ συν(70 + θ) ημθ εφ(70 + θ) -σφθ σφ(70 + θ) - εφθ. 7 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις γενικές π 1. Αν < x < π, να δειχθεί ότι: συν x+ συν x ημx+ συνx ημ x< 0 Έχυμε ότι: συν x+ συν x ημx+ συν x ημ x< 0 ( συν συν η x x) συν ( συ x x) συν x x+ x μ + ημ < 0 x ν + ημ < 0(1). Όμως ( συν x+ ημx) π > 0 και για κάθε < x < π είναι συνx < 0, πότε ισχύει η (1).. Να απδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω τέτια ώστε να ισχύει συνω α α + ( α ). 1

10 Έχυμε: α 1 0. α α + α α + 1+ α 1 +, διότι Δηλαδή: α α + για κάθε α (1) Όμως για κάθε γωνία ω είναι συνω 1 () Από τις σχέσεις (1) και () συμπεραίνυμε ότι δεν υπάρχει γωνία ω τέτια ώστε να ισχύει συνω α α +.