Θέματα Στατιστικής στη γλώσσα R

Transcript

1 Θέματα Στατιστικής στη γλώσσα R Ποσότητες οδηγοί και τα ποσοστιαία σημεία των αντίστοιχων κατανομών Ν(0,1) Student s t X 2, F Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων ένα δείγμα για τη μέση τιμή κανονικής διασπορά γνωστή διασπορά άγνωστη για τη διασπορά κανονικής για ποσοστό δύο ανεξάρτητα δείγματα για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο κανονικών ίσες διασπορές άνισες διασπορές για το πηλίκο των διασπορών δύο κανονικών για τη διαφορά ποσοστών 2

2 Ποσότητες οδηγοί - ποσοστιαία σημεία των αντίστοιχων κατανομών Η α.σ.κ. της Ν(0,1), Φ(x), και η Φ -1 (p) Φ: IR [0,1] Φ(x)=P(Z i x) Φ -1 :(0,1) IR 3

3 Η α.σ.κ. της Ν(0,1), Φ(x), η Φ -1 (p) και τα z α Φ(z α )=1-α z α =Φ -1 (1-α) z α =qnorm(1-α) Φ(-z α )=1-Φ(z α )=α -z α =Φ -1 (α) -z α =qnorm(α) z α =-qnorm(α) 4

4 Η α.σ.κ. της X 2, F(x), η F -1 (p) και τα X 2 ν,α F(X 2 ν,α)=1-α X 2 ν,α =F -1 (1-α) F(X 2 ν,1-α)=α X 2 ν,1-α =F -1 (α) X 2 ν,α=qchisq(1-α,df=v) X 2 ν,1-α=qchisq(α,v) 5

5 Τα ποσοστιαία σημεία X 2 ν,α για διάφορα ν 6

6 Τυπική κανονική κατανομή και Student s t κατανομή 7

7 Τα ποσοστιαία σημεία t ν;α και βαθμοί ελευθερίας F(t ν,α )=1-α t ν,α =F -1 (1-α) t ν,α =qt(1-α,df=v) F(-t ν,α )=α -t ν,α =F -1 (α) -t ν,α =qt(α,v) t ν,α =-qt(α,v) 8

8 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων ένα δείγμα από κανονική κατανομή 9

9 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων ένα δείγμα από κανονική κατανομή 10

10 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων ένα δείγμα από κανονική κατανομή, ΔΕ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά δεν έχω τις παρατηρήσεις, μόνον τις δειγματικές παραμέτρους 11

11 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων ένα δείγμα από κανονική κατανομή, ΔΕ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά έχω τις παρατηρήσεις mean of x: percent confidence interval: [ , ] 90 percent confidence interval: [ , ] 95 percent confidence interval: [ , Inf) 95 percent confidence interval: ( Inf, ] 12

12 ένα δείγμα από κανονική κατανομή, ΔΕ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά έχω τις παρατηρήσεις (συνέχεια ) 13

13 ένα δείγμα από κανονική κατανομή, ΔΕ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά έχω τις παρατηρήσεις (συνέχεια ) 14

14 ένα δείγμα από κανονική κατανομή, ΕΥ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά έχω τις παρατηρήσεις (συνέχεια ) Έλεγχοι Υπόθεσης (ένα δείγμα) για μέση τιμή δείγματος από κανονική κατανομή Η 0 : μ=μ 0 Η 0 : μ μ 0 Η 0 : μ μ 0 Η 1 : μ μ 0 Η 1 : μ>μ 0 Η 1 : μ<μ 0 μ 0 =0 δεν ανήκει στο δ.ε. σ.ε. 95% οπότε p - value<5% 15

15 έχω τις παρατηρήσεις δείγματος από κανονική κατανομή, ΕΥ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά (συνέχεια ) 16

16 έχω τις παρατηρήσεις δείγματος από κανονική κατανομή, ΕΥ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά (συνέχεια ) 17

17 έχω τις παρατηρήσεις δείγματος από κανονική κατανομή, ΕΥ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά (συνέχεια ) 18

18 έχω τις παρατηρήσεις δείγματος από κανονική κατανομή, ΕΥ για τη μέση τιμή, άγνωστη διασπορά (συνέχεια ) μ 0 = ανήκει στο δ.ε. σ.ε. 90% οπότε p - value>10% το μ 0 = ανήκει στα δ.ε. σ.ε. 1- α> 1 - p - value=68.32% 19

19 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων ένα δείγμα από κανονική κατανομή 20

20 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων για ποσοστό (ασυμπτωτικά) 21

21 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων για ποσοστό (ασυμπτωτικά) 22

22 Έλεγχοι Υποθέσεων για ποσοστό (ασυμπτωτικά) 23

23 Έλεγχοι Υποθέσεων για ποσοστό (ασυμπτωτικά) 24

24 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή, ίσες διασπορές δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή, άνισες διασπορές 25

25 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή Data about the cost of a meal per person from a sample of 50 city restaurants mean of x : percent confidence interval: [ , ] 80 percent confidence interval: [ , ] 26

26 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή Data about the cost of a meal per person from a sample of 40 suburban restaurants. Does a meal per person cost the same in both types of restaurants? mean of y : percent confidence interval: [ , ] 80 percent confidence interval: [ , ] 27

27 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή το 0 δεν ανήκει στο δ.ε. σ.ε. 95% οπότε Η 0 : μ 1 =μ 2 (μ 1 - μ 2 =0) Η 1 : μ 1 μ 2 (μ 1 - μ 2 0) p - value< 5 % 28

28 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή το 3 ανήκει στο δ.ε. σ.ε. 95% οπότε Η 0 : μ 1 =μ 2 +3 ( μ 1 - μ 2 =3) Η 1 : μ 1 μ 2 +3 (μ 1 - μ 2 3) p - value> 5 % 29

29 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για το πηλίκο των διασπορών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή 30

30 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για το πηλίκο των διασπορών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή το 1 δεν ανήκει στο δ.ε. σ.ε. 99% οπότε Η 0 : σ 2 1 =σ 2 2 (σ 2 1 /σ 2 2 =1) Η 1 : σ 2 1 σ 2 2 (σ 2 1 /σ 2 2 1) p - value<0.1% το 2 ανήκει στο δ.ε. σ.ε. 80% οπότε Η 0 : σ 2 1 =2σ 2 2 (σ 2 1 /σ 2 2 =2) Η 1 : σ 2 1 2σ 2 2 (σ 2 1 /σ 2 2 2) p - value>20% 31

31 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή (ζευγαρωτές παρατηρήσεις) 32

32 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή (ζευγαρωτές παρατηρήσεις) 33

33 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων, για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή (ζευγαρωτές παρατηρήσεις) 34

34 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων δύο ανεξάρτητα δείγματα, διαφορά δύο ποσοστών (ασυμπτωτικά) 35

35 Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων δύο ανεξάρτητα δείγματα, διαφορά πολλών ποσοστών (ασυμπτωτικά) H 0 : the four populations from which the patients were drawn have the same true proportion of smokers. H 1 : this proportion is different in at least one of the populations. I II III IV smokers Non smokers