Umjetna inteligencija
|
|
|
- Καρπός Ζαφειρόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Umjetna inteligencija Genetski algoritam Doc. dr. sc. Edouard Ivanjko
2 Sadržaj Uvod Optimizacijski problemi Princip evolucije Koncept genetskog algoritma Kôdiranje rješenja Genetski operatori Primjer primjene 2
3 Uvod Razvoj umjetne inteligencije se jako oslanja na primjeni načela živih organizama Ljudska civilizacija je kreirala zakone koji sadrže razna pravila ponašanja Najjednostavniji sustav umjetne inteligencije je zaključivanje pomoću pravila Ljudska komunikacija koristi lingvističke varijable pune neodređenosti Neizrazita logika modelira neodređenosti Uključivanjem neizrazite logike u pravila zaključivanja nastao bolji sustav zaključivanja 3
4 Uvod Svi organizmi na Zemlji teže poboljšanju sebe, a neki prilagođavaju i svoju okolinu Koncept: brže, više, jače Roditelji žele da njihova djeca budu bolja od njih i da su bolje prilagođene okolini u kojoj žive Roditelji žele predati svoje najbolje značajke svojoj djeci Neki roditelji u tome uspiju, a neki ne Odvija se konstantna evolucija organizama koji traže optimalno rješenje za preživljavanje u svojoj okolini Kako taj koncept iskoristiti u tehničkim (prometnim) sustavima? 4
5 Uvod Problem pronalaska najkraćeg puta i optimalnog prometnog rješenja je vrlo bitan u prometu i transportu Najbolje rješenje našli mravi Algoritam kolonije mrava nastao imitacijom ponašanja mrava Kreiranje vlastitog i slijeđenje feromonskog traga drugih mrava 5
6 Optimizacijski problemi Optimizacija je postupak pronalaska optimalnog rješenja zadanog problema Definiran problem Definirana ograničenja Definirana ocjena kvalitete rješenja Kriterijska funkcija ili funkcija dobrote (engl. fitness function) Optimalno rješenje jest najbolje rješenje prema korištenoj ocjeni kvalitete rješenja i danim ograničenjima Jesu li najkraći, najbrži, najjeftiniji, najsigurniji put uvijek isti? 6
7 Optimizacijski problemi Mogući pristupi optimizaciji Tehnika grube sile ili iscrpna pretraga (engl. bruteforce) Samo za male jednostavne probleme s malim prostorom/skupom mogućih rješenja Heuristike odnosno algoritmi koji zadovoljavajuće brzo i zadovoljavajuće dobro mogu riješiti problem Nema garancije za pronalazak optimalnog rješenja Metaheuristike su skup algoritamskih koncepata za definiranje heurističkih metoda za rješavanje širokog skupa problema Evolucijski algoritmi koji poboljšavaju postojeći skup rješenja u potrazi za najboljim rješenjem» Nema garancije konvergencije prema optimalnom rješenju 7
8 Optimizacijski problemi Tijekom optimizacije pretražuje se prostor svih mogućih rješenja i traži se najbolje rješenje Kod složenih problema prostor rješenja jako velik Vrijeme izračuna raste jako brzo Primjer problema trgovačkog putnika Svodi se na pronalazak Hamiltonovog ciklusa u grafu Ima faktorijelnu složenost (NP težak problem) Pregled vremena izračuna primjenom iscrpnog pretraživanja Obilazak 12 gradova -> x vremena Obilazak 14 gradova -> 12,5x vremena Obilazak 16 gradova -> 33840x vremena 8
9 Optimizacijski problemi Algoritam optimizacije traži najmanju ili najveću vrijednost kriterijske funkcije Najbrži put Put s najvećom brzinom putovanja (max) Put s najkraćim vremenom putovanja (min) Isti problem se može riješiti traženjem najveće odnosno najmanje vrijednosti Koristi se inverz kriterijske funkcije ili promjena predznaka 9
10 Optimizacijski problemi Kriterijska funkcija se uvijek prilagođava problemu koji se rješava Potrebno obratiti pažnju na fizikalna/matematička svojstva varijabli koje se koriste Npr. traženje najmanjeg odstupanja između točne i procijenjene (estimirane) vrijednosti Točna procjena ima pogrešku 0 x xˆ 1» Odstupanje teži u x xˆ 2» Odstupanje teži u 0 10
11 Optimizacijski problemi Globalni i lokalni optimum Kod pretraživanja prostora rješenja često postoji više bliskih istaknutih većih/malih vrijednosti kriterijske funkcije Ovisno tražimo li najveću ili najmanju vrijednost Problem lokalnog i globalnog optimuma 11
12 Optimizacijski problemi Globalni i lokalni optimum Optimalno rješenje nepoznato i ovisi o više varijabli koje optimiramo Svaka varijabla predstavlja jednu dimenziju prostora rješenja Primjer problema s dvije varijable 12
13 Optimizacijski problemi Globalni i lokalni optimum Procedura optimizacije može zapeti u lokalnom optimumu Svako malo lokalno udaljavanje od trenutno optimalnog rješenja ima manju vrijednost kriterijske funkcije Povratak u lokalni optimum Veće udaljavanje od trenutno optimalnog rješenja može osigurati konvergenciju prema globalnom optimumu Ovaj problem se može izbjeći dovoljno velikim skupom razmatranih rješenja ili izbacivanja jednog rješenja iz podskupa sličnih razmatranih rješenja U slučaju više lokalnih optimuma dolazi do grupiranja dijelova skupa rješenja 13
14 Princip evolucije Osnove teorije evolucije postavio je Charles Darwin u svom djelu Postanak vrsta Organizmi su prilagođeni životu u prirodi Prilagodbu organizama uzrokuju procesi križanja i mijenjanja gena u kromosomima Radi ograničenosti prirodnih bogatstava preživljavaju samo najsposobniji (selekcija) Roditelji predaju svojoj djeci svoje značajke i djeca su slična svojim roditeljima Postoje male razlike zbog spajanja gena Mutacija može uzrokovati veće razlike 14
15 Princip evolucije Postavke Darwinove teorije razvoja vrsta 1. Potomaka uvijek ima više no što je potrebno 2. Veličina populacije je približno stalna 3. Količina hrane je ograničena 4. Kod vrsta koje se seksualno razmnožavaju, nema identičnih jedinki već postoje varijacije 5. Najveći dio promjena jedinke prenosi se nasljeđivanjem Zbog ograničenosti hrane preživjeti će samo jedinke koje se mogu najbolje prilagoditi novonastalim promjenama 15
16 Princip evolucije Jedinke koje su najsposobnije imati će priliku razmnožavati se i predati svojoj djeci svoje dobre značajke Manje sposobne jedinke neće imati priliku razmnožavati se i njihove značajka nestaju Nesposobne jedinke umiru uslijed nedostatka hrane, predatora i neprilagođenosti okolini u kojoj žive Može li se princip evolucije iskoristiti u pronalasku optimalnog rješenja složenog problema? 16
17 Princip evolucije Primjena u optimizaciji Populacija jedinki predstavlja skup postojećih rješenje problema za optimizaciju Skup rješenja najčešće ima stalan broj članova Nova rješenja problema kreiraju se iz postojećih rješenja Dva rješenja kako dva roditelja stvaraju dva nova rješenja kao svoju djecu Malim promjenama jednog postojećeg rješenja nastaje jedno novo rješenje Kriterijska funkcija određuje kvalitetu pojedinog rješenja Sva rješenja se rangiraju Samo najbolja rješenja ostaju u skupu rješenja ili kreiraju potpuno novi skup rješenja 17
18 Koncept genetskog algoritam Koncept genetskog algoritma (GA) zasnovan na konceptu evolucije Stohastički (slučajno) pretražuje prostor rješenja na temelju prirodnog izbora najsposobnijih kandidatnih rješenja Tijekom pretraživanja skup rješenja (populacija) se mijenja 18
19 Koncept genetskog algoritam Skup rješenja se može u svakoj iteraciji potpuno izmijeniti Generacijski GA Skup rješenja može u svakoj iteraciji zadržati najbolja rješenja Eliminacijski GA 19
20 Koncept genetskog algoritam Pseudokôd općenitog genetskog algoritma Generiraj slučajni skup početnih rješenja veličine N Dok je (rješenje loše) ILI (broj iteracija < dopuštenih iteracija) Selektiraj najbolja rješenja Primjeni genetske operatore na odabrana rješenja uz provjeru ispravnosti novog rješenja Križanje Mutacija Inverzija Ispiši najbolje rješenje 20
21 Koncept genetskog algoritam Selekcija Selekcija je proces odabira rješenja u GA radi Očuvanja dobrih rješenja Odbacivanja loših rješenja U procesu selekcije se često koristi elitizam Očuvanje najboljeg rješenja 21
22 Koncept genetskog algoritam Selekcija Jednostavna selekcija Naziva se i metoda ruleta (engl. roulette-wheel selection) Vjerojatnost odabira pojedine jedinke (rješenja) ovisi o iznosu dobrote te jedinke Određuje se kumulativna dobrota te omjer dobrote jedinke i ukupne dobrote populacije Generira se N slučajnih brojeva i odabire se rješenje u čiji interval kumulativne dobrote je upao generirani broj Neučinkovita kod malih razlika u kvaliteti rješenja 22
23 Koncept genetskog algoritam Selekcija Jednostavna selekcija Primjer Iznos dobrote generira raspodjelu rješenja u obliku ruleta Generator slučajnih brojeva označava polje ruleta Odabire se rješenje u čijem području je označeno polje ruleta 23
24 Koncept genetskog algoritam Selekcija Stohastička selekcija Slična jednostavnoj selekciji Generira se ista raspodjela rješenja i kreira se rulet s N polja Odabiru se rješenja u čijem području kumulativne dobrote se nalazi polje ruleta Rješenje se također odabire onoliko puta koliko puta se u njegovom području kumulativne dobrote nalazi polje ruleta 24
25 Koncept genetskog algoritam Selekcija Turnirska selekcija Slučajnim odabirom određenog broja rješenja se radi turnir između njih Odabire se najbolje ili se odbacuje najlošije rješenja Jednostavan turnir je između dva rješenja K-turnirska selekcija radi turnir između k rješenja Primjer 3-turnirske selekcije 25
26 Koncept genetskog algoritam Selekcija Selekcija najboljih Odabire se unaprijed zadani broj najboljih jedinki Tri vrste μ+λ selekcija Slučajno se odabire μ roditelja kako bi se stvorilo λ djece Zatim se iz dobivenog skupa rješenja odabire μ rješenja za novi skup rješenja (μ, λ) selekcija Slučajno se odabire μ roditelja kako bi se stvorila λ djece Vrijedi λ μ pa se odabire μ najbolje djece za novi skup rješenja Krnja selekcija Odabire n najboljih jedinki i kopira ih N/n puta u novi skup rješenja 26
27 Koncept genetskog algoritam Selekcija Linearno sortirajuća selekcija Vjerojatnost selekcije je proporcionalna rangu (poziciji) jedinke u poretku jedinki sortiranih po dobroti Najbolje rješenje ima indeks N, a najlošije 1 Vjerojatnost odabira pojedinog rješenja 27
28 Kôdiranje rješenja Informacije o živim bićima sadržane su u niti deoksiribonukleinske kiseline (DNK) Sastoji se većinom (98 %) od kromosoma Kromosomi se sastoje gena Na isti način je potrebno kôdirati skup rješenja Jedan kromosom biti će jedno rješenje Računala mogu obrađivati samo brojeve i potrebno je rješenje kôdirati brojevima Binarnim brojevima Prirodnim brojevima Realnim brojevima Permutacijama 28
29 Kôdiranje rješenja Binarni brojevi Byte ili više njih predstavlja kromosom, a bit gen Gen ima samo dva moguća stanja 0 i 1 Pojedini kromosom može predstavljati cijeli broj, realni broj, naredbu ili simboličku vrijednost Pretvaranje binarne vrijednosti u cijeli dekadski broj Preciznost prikaza ovisi o broju bitova k 29
30 Broj bitova potreban za precizan prikaz p decimala p log x x 10 1 Prikaz područja Kôdiranje rješenja k max min log 2 Binarni brojevi 30
31 Kôdiranje rješenja Prirodni brojevi Koriste se za kôdiranje rješenja kada se rješenja mogu predstaviti cijelim brojevima Dodatna primjena je za kôdiranje naredbi Primjer pomicanja mobilnog robot po mreži polja Kôd naredbe pomaka 0 -> naprijed 1 -> dijagonalno naprijed desno 2 -> dijagonalno naprijed lijevo 3 -> natrag 4 -> dijagonalno natrag desno 5 -> dijagonalno natrag lijevo 6 -> ostani na mjestu 7 -> desno 8 -> lijevo 31
32 Kôdiranje rješenja Realni brojevi Kôdiranje analogno kôdiranju pomoću binarnih i prirodnih brojeva za slučajeve kada se želi prirodnije prikazati skup rješenja iz neprekidne distribucije Cijeli i binarni brojevi prikazuju rješenja iz diskretne distribucije Realni brojevi preciznije prikazuju skup rješenja iz neprekidne distribucije 32
33 Kôdiranje rješenja Permutacije Kôdiranje permutacijama se koristi kada je potrebno u rješenju prikazati slijed događaja Pojedini događaj se kôdira prirodnim brojem Dva načina kôdiranja i-ti element niza reprezentira događaj koji se dogodio i-ti po redu Vrijednost i-tog elementa reprezentira poziciju na kojoj se dogodio i-ti događaj Bitan prikaz u prometu i transportu za prikaz rute Primjer prikaza ruta između čvorova a i e Prvi način kôdiranja [1,6,4] [2,3,4] [2,5] [1,6,3,5] 2 1 a b c 5 d e
34 Genetski operatori Genetski operatori služe za unos promjena u postojeći skup rješenja Na osnovu postojećih rješenja (roditelja) kreiraju nova rješenja (djecu) Vrste Križanje Binarni Mutacija Unarni Inverz Unarni 34
35 Genetski operatori Križanje (engl. crossover) Binarni operator -> dvoje roditelja stapanjem daje dvoje djece Imitira prirodnu spolnu reprodukciju Križanjem se postiže brza konvergencija optimumu Opasnost da optimizacija završi u lokalnom optimumu Djeca zadržavaju dobra svojstva roditelja 35
36 Genetski operatori Križanje (engl. crossover) Uniformno križanje Vjerojatnost križanja svakog gena je 0,5 Svako dijete sadrže pola gena pojedinog roditelja Križanje s n točaka prekida Slučajno se odabire jedno ili više mjesta križanja Primjer križanja s dvije točke prekida Roditelj1 -> Roditelj2 -> > Dijete > Dijete2 36
37 Genetski operatori Križanje (engl. crossover) Aritmetičko križanje Koristi se kod prikaza rješenja u obliku realnih brojeva Križanje obavlja prema izrazima Parametar a je slučajni težinski koeficijent iz [0, 1] Određuje koliko će utjecaja na pojedino dijete imati pojedini roditelj 37
38 Genetski operatori Križanje (engl. crossover) Heurističko križanje Koristi se kod prikaza rješenja u obliku realnih brojeva Križanje obavlja prema izrazima Parametar r je slučajni težinski koeficijent iz [0, 1] Moguća pojava problema kod kreiranje prvog djeteta jer se može naći izvan intervala pretraživanja rješenja Nakon n pokušaja generiranja koeficijenta r, lošiji roditelj postaje Dijete 1 38
39 Genetski operatori Mutacija U prirodi je mutacija trajna promjena genetskog materijala zbog vanjskog utjecaja Unutar genetskog algoritam se radi ubacivanje novih nizova u pojedino postojeće rješenje Unarni operator koji djeluje na jedno rješenje U binarnoj prezentaciji radi se komplement pojedinog bita (gena) 39
40 Genetski operatori Mutacija Jednostavna mutacija Slučajno se odabire bit koji će se komplementirati Moguće postaviti dodatne uvjete kada će se mutacija desiti Mala promjena rješenja pa postoji opasnost da pretraživanje zapne u lokalnom optimumu Jednostavna mutacija mijenja samo jedan bit Primjer Roditelj -> Dijete ->
41 Genetski operatori Mutacija Miješajuća mutacija Svi geni iz odabranog intervala se međusobno pomiješaju tako da im se indeks trenutne pozicije u kromosomu zamijeni s nekim drugim indeksom u granicama [0, VELIČINA_KROMOSOMA] Izmiješa se dva ili više gena Broj jedinica i nula kromosoma ostaje nepromijenjen Za miješajuću mutaciju moguće generirati slučajnu masku 41
42 Genetski operatori Mutacija Miješajuća mutacija Potpuno miješajuća mutaciji slučajno generira vrijednosti odabranih gena Invertirajuća miješajuća mutacija invertira vrijednost gena u slučajno odabranom intervalu 42
43 Genetski operatori Inverzija Premještanje dijela rješenja (gena) unutar niza Mjesto premještanja i duljina premještanja se slučajno odabire Operator pogodan kod rješavanja problema optimizacije ruta dostave Mijenja redoslijed obilaska mjesta unutar rješenja Primjer
44 Primjer primjene Pronalazak optimalne vrijednosti funkcije Minimum funkcije Rješenje x = 10, y(x) = 0,5 1 1 y( x) 1 x x
45 Primjer primjene Pronalazak optimalne vrijednosti funkcije Populacija od 5 rješenja konstantne veličine Koristi se binarno kôdiranje rješenja s 5 bitova Funkcija dobrote je inverz funkcije Minimum inverzom postaje maksimum Selekcija se radi ruletom Genetski operatori mutiranja i križanja 45
46 Primjer primjene Pronalazak optimalne vrijednosti funkcije Početna populacija Niz Vrijednost y i (x) f i (x) v ,345 0,743 v ,520 1,923 v ,000 1,000 v ,580 1,732 v ,505 1,980 Zbroj 7,378 Prosječna 1,476 Najveća 1,980 46
47 Primjer primjene Pronalazak optimalne vrijednosti funkcije 47
48 Primjer primjene Pronalazak optimalne vrijednosti funkcije Nova populacija Niz Vrijednost y i (x) f i (x) v ,471 0,680 v ,600 0,625 v ,625 1,600 v ,680 1,471 v ,500 2,000 Zbroj 6,375 Prosječna 1,275 Najveća 2,000 48
49 Primjer primjene Pronalazak optimalne vrijednosti funkcije 49
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Modificiran genetski algoritam za konstrukciju BIBD-a. Odjel za matematiku, Sveučilište u Rijeci
Modificiran genetski algoritam za konstrukciju BIBD-a Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku, Sveučilište u Rijeci Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Tri osnovna tipa optimizacije struktura. Topološka optimizacija betonskih konstrukcija. Dimenzionalna optimizacija. Optimizacija oblika
Topološka optimizacija betonskih konstrukcija Tri osnovna tipa optimizacije struktura. Dimenzionalna optimizacija (sizing optimization). Optimizacija oblika (shape optimization) 3. Topološka optimizacija
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
GENETSKI ALGORITMI KAO OPTIMIZACIJSKI ALAT - prednosti i nedostaci u odnosu na egzaktne matematičke metode
Fakultet SEMINARKO http://seminarko.weebly.com Seminarski rad iz kolegija XY ak. godina 2008/09. GENETSKI ALGORITMI KAO OPTIMIZACIJSKI ALAT - prednosti i nedostaci u odnosu na egzaktne matematičke metode
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
PRIMJENA GENETSKIH ALGORITAMA U MREŽNOM PLANIRANJU
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVOD ZA ELEKTRONIKU, MIKROELEKTRONIKU, RAČUNALNE I INTELIGENTNE SUSTAVE SEMINARSKI RAD PRIMJENA GENETSKIH ALGORITAMA U MREŽNOM PLANIRANJU Toni
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI PROJEKT. Jadran Barač
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI PROJEKT Jadran Barač Zagreb, rujan 2007 S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI
PRIMJENA EVOLUCIJSKIH ALGORITAMA ZA RJEŠAVANJE APROKSIMACIJSKOG PROBLEMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 1719 PRIMJENA EVOLUCIJSKIH ALGORITAMA ZA RJEŠAVANJE APROKSIMACIJSKOG PROBLEMA Tonči Damjanid Zagreb, ožujak 2008. Sažetak Ovaj
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Binarno stablo (BinaryTree)
Binarno stablo (BinaryTree) Binarno stablo T je konačan skup podataka istog tipa (čvorova) koji je ili prazan ili ima istaknuti čvor (korijen), a ostali čvorovi su podijeljeni u dva podskupa T L i T R
math.e Genetski algoritmi i biomorfi 1 Inspiracija u biologiji Genetski algoritmi i biomorfi math.e Vol of 11
1 of 11 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Genetski algoritmi i biomorfi genetski algoritam grafovi heuristički algoritmi optimizacija Nela Bosner (nela.bosner@math.hr ) i Tomislav Droždjek
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
TOLERANCIJE I DOSJEDI
11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Sadržaj: 1. Uvod Heuristički algoritmi....1 Penjanje uzbrdo i mogućnosti njegove primjene.... Simulirano kaljenje Opis algoritma..... Nači
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA SEMINARSKI RAD IZ KOLEGIJA ALGORITMI U SUSTAVIMA UPRAVLJANJA USPOREDBA HEURISTIČKIH ALGORITAMA NA PROBLEMIMA OPTIMIRANJA, NAPRTNJAČE I PROBLEMU
PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA
SVEUČILIŠTE U SPLITU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA Marija Vištica Mentor: prof.dr.sc. Slavomir Stankov Neposredni voditelj: dr.sc. Ani Grubišić Split, listopad 2012. Sadržaj
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Transportna logistika i inteligentni transportni sustavi
Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Poslijediplomski specijalistički studij TRANSPORTNA LOGISTIKA I MENADŽMENT Transportna logistika i inteligentni transportni sustavi prof. dr. sc. Hrvoje
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;