Modificiran genetski algoritam za konstrukciju BIBD-a. Odjel za matematiku, Sveučilište u Rijeci
|
|
|
- Αποστόλης Αἰνέας Ρόκας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Modificiran genetski algoritam za konstrukciju BIBD-a Doris Dumičić Odjel za matematiku, Sveučilište u Rijeci Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
2 I. Martinjak, Mario-Osvin Pavčević: Modified Genetic Algorithm for BIBD Construction Doris Dumičić Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
3 Sadržaj 1 Uvod u genetski algoritam Povijesni razvoj GA Primjena GA Osnovno o GA Kodiranje kromosoma Selekcija Genetski operatori Parametri u GA Primjer Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
4 Sadržaj 1 Uvod u genetski algoritam Povijesni razvoj GA Primjena GA Osnovno o GA Kodiranje kromosoma Selekcija Genetski operatori Parametri u GA Primjer 2 BIBD Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
5 Sadržaj 1 Uvod u genetski algoritam Povijesni razvoj GA Primjena GA Osnovno o GA Kodiranje kromosoma Selekcija Genetski operatori Parametri u GA Primjer 2 BIBD 3 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
6 Sadržaj 1 Uvod u genetski algoritam Povijesni razvoj GA Primjena GA Osnovno o GA Kodiranje kromosoma Selekcija Genetski operatori Parametri u GA Primjer 2 BIBD 3 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a 4 Optimizacija ulaznih parametara Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
7 Sadržaj 1 Uvod u genetski algoritam Povijesni razvoj GA Primjena GA Osnovno o GA Kodiranje kromosoma Selekcija Genetski operatori Parametri u GA Primjer 2 BIBD 3 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a 4 Optimizacija ulaznih parametara 5 Rezultati Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
8 Povijesni razvoj GA Uvod u genetski algoritam Povijesni razvoj GA prvi pokušaji simuliranja biološke evolucije na računalima, Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
9 Povijesni razvoj GA Povijesni razvoj GA prvi pokušaji simuliranja biološke evolucije na računalima, pojavljuju se prve uspješne primjene i znanstveni članci na temu genetičkih algoritma, Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
10 Povijesni razvoj GA Povijesni razvoj GA prvi pokušaji simuliranja biološke evolucije na računalima, pojavljuju se prve uspješne primjene i znanstveni članci na temu genetičkih algoritma, John Holand i grupa kolega i studenata definiraju genetički algoritam, Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
11 Povijesni razvoj GA Povijesni razvoj GA prvi pokušaji simuliranja biološke evolucije na računalima, pojavljuju se prve uspješne primjene i znanstveni članci na temu genetičkih algoritma, John Holand i grupa kolega i studenata definiraju genetički algoritam, godine prvi primjer genetičkog programiranja, Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
12 Povijesni razvoj GA Povijesni razvoj GA prvi pokušaji simuliranja biološke evolucije na računalima, pojavljuju se prve uspješne primjene i znanstveni članci na temu genetičkih algoritma, John Holand i grupa kolega i studenata definiraju genetički algoritam, godine prvi primjer genetičkog programiranja, Pojavom osobnih računala genetički algoritmi se počinju naglo razvijati i upotrebljavati. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
13 Primjena GA Primjena genetskog algoritma Traženje najkraćeg puta, problem trgovačkog putnika, (TSP) strategija igara, problemi slični transportnom problemu, problem rasporedivanja procesa, problem odredivanja parametara sustava, optimiziranje upita nad bazom podataka, procjena rizika u poslovanju (banke, marketing i sl.) u situaciji gdje su podaci nepotpuni, nekonzistentni i imaju šum, planiranje električnih postrojenja, dizajn hidroelektričnih generatora, portretiranje osumnjičenika, bojanje i particioniranje grafova. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
14 Osnovno o GA Genetski algoritam biološka pozadina Genetski algoritmi (GA) su heurističke metode pretraživanja i optimizacije inspirirane procesima prirodne evolucije. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
15 Osnovno o GA Genetski algoritam biološka pozadina Genetski algoritmi (GA) su heurističke metode pretraživanja i optimizacije inspirirane procesima prirodne evolucije. U svakom koraku takvog algoritma tretira se tzv.populacija, odnosno podskup skupa svih mogućih jedinki iste vrste čija veličina ovisi o problemu koji se promatra. Populacija se sastoji jedinki, potencijalnih rješenja - kromosoma. Algoritam se fokusira na optimizaciji slučajno generirane početne populacije, a ne na pronalasku optimalnog rješenja na skupu svih mogućih jedinki. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
16 Osnovno o genetskom algoritmu Osnovno o GA Kromosomi se ocjenjuju dobrotom pomoću funkcije cilja ili dobrote (fitness function). Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
17 Osnovno o GA Osnovno o genetskom algoritmu Kromosomi se ocjenjuju dobrotom pomoću funkcije cilja ili dobrote (fitness function). U svakoj iteraciji selektira se odgovarajući broj najbolje rangiranih kromosoma (roditelja) za daljnje generiranje novih i boljih kromosoma (djece). Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
18 Osnovno o GA Osnovno o genetskom algoritmu Kromosomi se ocjenjuju dobrotom pomoću funkcije cilja ili dobrote (fitness function). U svakoj iteraciji selektira se odgovarajući broj najbolje rangiranih kromosoma (roditelja) za daljnje generiranje novih i boljih kromosoma (djece). Djeca (neki članovi nove populacije) se dobivaju djelovanjem genetskih operatora (križanje, mutacija). Tako nastaju nova potencijalna rješenja koja predstavljaju novu generaciju populacije u GA. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
19 Osnovno o GA Osnovno o genetskom algoritmu Kromosomi se ocjenjuju dobrotom pomoću funkcije cilja ili dobrote (fitness function). U svakoj iteraciji selektira se odgovarajući broj najbolje rangiranih kromosoma (roditelja) za daljnje generiranje novih i boljih kromosoma (djece). Djeca (neki članovi nove populacije) se dobivaju djelovanjem genetskih operatora (križanje, mutacija). Tako nastaju nova potencijalna rješenja koja predstavljaju novu generaciju populacije u GA. Iteracija se nastavlja sve dok se ne zadovolji kriterij završetka genetskog procesa koji je definirao korisnik. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
20 Osnovno o GA Osnovno o genetskom algoritmu Kromosomi se ocjenjuju dobrotom pomoću funkcije cilja ili dobrote (fitness function). U svakoj iteraciji selektira se odgovarajući broj najbolje rangiranih kromosoma (roditelja) za daljnje generiranje novih i boljih kromosoma (djece). Djeca (neki članovi nove populacije) se dobivaju djelovanjem genetskih operatora (križanje, mutacija). Tako nastaju nova potencijalna rješenja koja predstavljaju novu generaciju populacije u GA. Iteracija se nastavlja sve dok se ne zadovolji kriterij završetka genetskog procesa koji je definirao korisnik. Završetak rada znači da je pronadeno dovoljno dobro rješenje koje je vrlo blizu globalnog optimuma (odnosno maksimuma ili minimuma funkcije cilja). Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
21 Shema osnovnog GA Uvod u genetski algoritam Osnovno o GA [ START ] Generiranje proizvoljne populacije s n kromosoma (pogodno odabrana rješenja problema) [ FUNKCIJA CILJA ] Računanje vrijednosti funkcije cilja f (x) za svaki kromosom x u populaciji [ NOVA POPULACIJA] Kreiranje nove populacije ponavljanjem sljedećih koraka: 1 [SELEKCIJA] Prema funkciji cilja selektiraju se dva kromosoma - roditelji. 2 [KRIŽANJE] Križanje roditelja s odgovarajućom vjerojatnošću. Ako nema križanja, djeca su kopije roditelja. 3 [MUTACIJA] Mutacija potomka u svakom lokusu (pozicija u kromosomu) s odgovarajućom vjerojatnosti. 4 [PRIHVAT] Potomak ulazi u novu populaciju. [ZAMJENA] Na novoj se populaciji dalje provodi algoritam. [TEST] Ako je ispunjen uvjet završetka, stop i u trenutnu populaciju vrati najbolje rješenje. [PONAVLJAJ] Idi na drugu točku. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
22 Osnovno o GA Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
23 Kodiranje kromosoma Kodiranje kromosoma Kodiranje kromosoma je jedan od bitnih zadataka prilikom rješavanja problema pomoću GA. Ono ovisi o postavljenom problemu. Binarno kodiranje Ovo je najčešći i prvi oblik kodiranja u GA. Svaki kromosom se prezentira nizom bitova 0 ili 1. Primjer Problem pakiranja Ruksak odredenog kapaciteta treba napuniti sa što više predmeta zadanih veličina bez da se poveća veličina ruksaka. Kodiranje: Svaki bit ukazuje na pristutsvo odgovarajućeg predmeta u ruksaku. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
24 Kodiranje kromosoma Permutacijsko kodiranje Permutacijsko kodiranje se primjenjuje kod problema odredivanja redoslijeda, kao na primjer problem trgovačkog putnika (TSP). Svaki kromosom je prikazan kao niz brojeva u odgovarajućem redoslijedu. Nužne su odredene korekcije križanja i mutacije kako bi kromosomi ostali konzistentni. TSP Zadani su gradovi i njihove medusobne udaljenosti. Trgovački putnik mora posjetiti sve gradove točno jedanput i vratiti se u početni grad s tim da prijede najkraći put. Treba odrediti redoslijed obilaska gradova s minimalnom sumom predenih udaljenosti. Kodiranje: Kromosom predstavlja jedan redoslijed obilaska gradova. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
25 Kodiranje kromosoma Prilagodeno kodiranje Kod ovakvog kodiranja, svaki kromosom je predstavljen nizom odgovarajućih vrijednosti (cijeli, realni brojevi, slova, dijagrami, ili neki drugi znakovi ) povezanih s promatranim problemom. Često je nužno razviti nova križanja i mutacije. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
26 Selekcija Selekcija kromosoma u populaciji Kromosomi iz populacije se na temelju dobrote selektiraju za križanje. Na taj se način čuvaju i prenose dobra svojstva (dobri geni) na sljedeću generaciju jedinki, dok se lošija svojstva odbacuju. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
27 Selekcija Selekcija kromosoma u populaciji Kromosomi iz populacije se na temelju dobrote selektiraju za križanje. Na taj se način čuvaju i prenose dobra svojstva (dobri geni) na sljedeću generaciju jedinki, dok se lošija svojstva odbacuju. GA, s obzirom na način selekcije dijelimo na: generacijske i eliminacijske. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
28 Selekcija Generacijske selekcije 1/3 Proporcionalna selekcija Jedinke se biraju proporcionalno prema funkciji cilja. Jedinka sa najvećom vrijednosti funkcije cilja, ima najveće šanse da bude izabrana, dok najlošija jedinka ima najmanje šanse preživljavanja. Vjerojatnost preživljavanja ostalih jedinki je negdje izmedu. Doris Dumičić Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
29 Selekcija Generacijske selekcije 1/3 Proporcionalna selekcija Jedinke se biraju proporcionalno prema funkciji cilja. Jedinka sa najvećom vrijednosti funkcije cilja, ima najveće šanse da bude izabrana, dok najlošija jedinka ima najmanje šanse preživljavanja. Vjerojatnost preživljavanja ostalih jedinki je negdje izmedu. Turnirska selekcija Odabire se slučajan broj jedinki iz populacije (sa ili bez zamjena, ovisno o implementaciji), a najbolje od njih postaju roditelji sljedeće generacije. Postupak se ponavlja dok se ne popuni cijela sljedeća generacija, tj. dok broj novonastalih jedinki ne postane jednak veličini populacije. Ovaj se odabir često naziva i k-turnirski odabir, gdje k označava broj jedinki čije se vrijednosti funkcije cilja usporeduju. Taj se broj naziva veličina prozora. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
30 Selekcija Generacijske selekcije 2/3 Rulet selekcija ili jednostavna selekcija Svakom kromosomu u populaciji dodijeljen je dio kruga na temelju njegove vrijednosti funkcije cilja, kao na slici: Algoritam rulet selekcije: 1. [SUMA] Zbrajanje vrijednosti funkcije cilja za svaki kromosom u populaciji - S. 2. [SELEKCIJA] Generira se proizvoljan broj r [0, S]. 3. [PONAVLJANJE] Prolazak kroz populaciju i zbrajaju se vrijednosti funkcije cilja od najmanje prema najvećoj. Kada je suma veća od r, izlaz je posljednji selektirani kromosom. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
31 Selekcija Generacijske selekcije 3/3 Selekcija po rangu Cijela populacija se rangira tako da se svakom kromosomu promijeni vrijednost funkcije cilja (koja postaje ordinalni broj) tako da najlošije rangiran kromosom ima vrijednost funkcije cilja 1, sljedeći 2,... i najbolje rangiran poprima vrijednost N (broj kromosoma u populaciji). Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
32 Selekcija Eliminacijska selekcija 1 Generiranje početne populacije. 2 Selektiranje m < VEL POP loših kromosoma (vjerojatnost selekcije veća što je dobrota manja). 3 Brisanje selektiranih kromosoma. 4 Generiranje novih kromosoma od onih preživjelih pomoću genetskih operatora. 5 Dodavanje novih kromosoma i nadopunjavanje populacije. Algoritam je jednostavan i brz za implementaciju, te daje vrlo dobre rezultate ukoliko se prilikom generiranja nove populacije eliminiraju duplikati. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
33 Selekcija Elitizam Kod generiranja nove generacije, velika je šansa gubitka najboljih kromosoma. Kako se trenutno najbolja rješenja ne bi izgubila upotrebom genetskih operatora ili eliminacijom, tijekom selekcije javlja se potreba za zaštitom najbolje ili nekoliko najboljih jedinki od izmjena ili eliminacije. Zaštita najboljih jedinki naziva se elitizam i osigurava konvergenciju prema globalnom optimumu. Zaštićene jedinke zovemo elitnim jedinkama. Ukoliko je populacija velika, prilikom pretrage za najboljim jedinkama algoritam se usporava. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
34 Selekcija Doris Dumičić Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
35 Genetski operatori Genetski operatori Križanje (crossover) Križanjem u prirodi genetski se materijal prenosi s roditelja na djecu. Procesom križanja nastaju nove jedinke koje imaju kombinirane informacije sadržane u dvoje ili više roditelja. Vjerojatnost križanja ukazuje na učestalost izvodenja križanja. Ako ona iznosi 0, potomci su kopije njihovih roditelja jer nema križanja. Ako je vjerojatnost križanja 1, tada je svaki potomak dobiven križanjem. Cilj križanja je proizvesti nove potomke (kromosome) koji će imati dobre dijelove roditeljskih kromosoma i time će nova možda biti bolja od stare generacije. Ipak, dobro je pustiti jedan dio populacije koji će preživiti u novoj generaciji. Općenito, vjerojatnost križanja treba biti visoka 80-95%. (Mada neki rezultati pokazuju da je za neke probleme najbolja vjerojatnost križanja 60% ). Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
36 Genetski operatori Najpoznatije izvedbe križanja za jednostavni prikaz rješenja binarnim brojevima: 1. Križanje u jednoj točki (one point crossover). Odabire se jedna točka na roditeljima (jednako udaljena od početka za oba roditelja) i mijenja se desni dio kromosoma prvog roditelja s desnim dijelom kromosoma drugog roditelja. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
37 Genetski operatori 2. Križanje u dvije točke (two point crossover). Odabiru se dvije točke na roditeljima, pazeći da je pritom lijeva točka jednako udaljena od lijevog kraja i desna točka od desnog kraja kromosoma za oba roditelja. Roditelji izmjenjuju dijelove kromosoma izmedu tih točaka. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
38 Genetski operatori 3. Križanje rezanjem i spajanjem (cut and splice crossover). Na roditeljima se odabire točka koja nije jednako udaljena od početka roditeljskih kromosoma. Mijenja se desni dio kromosoma jednog roditelja s desnim dijelom kromosoma drugog. Na taj način nastaju djeca koja imaju različite duljine kromosoma. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
39 Genetski operatori 4. Uniformno križanje (uniform crossover). Usporeduju se bit po bit oba roditelja i mijenjaju se sa fiksnom vjerojatnošću od 50%. Ako se ta vjerojatnost razlikuje za pojedine gene, tada govorimo o p-uniformnom križanju. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
40 Genetski operatori 4. Uniformno križanje (uniform crossover). Usporeduju se bit po bit oba roditelja i mijenjaju se sa fiksnom vjerojatnošću od 50%. Ako se ta vjerojatnost razlikuje za pojedine gene, tada govorimo o p-uniformnom križanju. 5. Segmentno križanje - točke prekida biraju se proizvoljno za svako križanje. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
41 Genetski operatori 4. Uniformno križanje (uniform crossover). Usporeduju se bit po bit oba roditelja i mijenjaju se sa fiksnom vjerojatnošću od 50%. Ako se ta vjerojatnost razlikuje za pojedine gene, tada govorimo o p-uniformnom križanju. 5. Segmentno križanje - točke prekida biraju se proizvoljno za svako križanje. 6. Miješajuće križanje Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
42 Genetski operatori Mutacija 1/2 Mutacija U prirodi se mutacija definira kao slučajna promjena gena. Odredeni postotak jedinki se mutira i time dobivamo potpuno novu populaciju. Vjerojatnosti promjene za gene su različite, pa geni mogu biti stabilni i nestabilni. Mutacija se koristi kako bi se održala raznovrsnost populacije i stvorile nove jedinke s novim svojstvima. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
43 Genetski operatori Mutacija 1/2 Mutacija U prirodi se mutacija definira kao slučajna promjena gena. Odredeni postotak jedinki se mutira i time dobivamo potpuno novu populaciju. Vjerojatnosti promjene za gene su različite, pa geni mogu biti stabilni i nestabilni. Mutacija se koristi kako bi se održala raznovrsnost populacije i stvorile nove jedinke s novim svojstvima. Vjerojatnost mutacije p m ukazuje na učestalost mutiranja dijelova kromosoma. Najjednostavniji primjer mutacije je vjerojatnost da se neki bit u genetskom kodu (rješenju) promijeni iz svog originalnog stanja u novo stanje. To se postiže uvodenjem varijable za svaki bit u nizu. Ako se koristi binaran prikaz rješenja, mutacija je vjerojatnost da neki bit iz nule prijene u jedinicu ili iz jedinice u nulu. Ako je ona 1, cijeli kromosom je izmijenjen (invertiran), a ako je 0 niti jedan dio kromosoma nije izmijenjen. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
44 Mutacija 2/2 Uvod u genetski algoritam Genetski operatori Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
45 Mutacija 2/2 Uvod u genetski algoritam Genetski operatori Mutacija prevenira konvergenciju k lokalnom optimumu. Medutim, ne bi trebala biti preučestala, jer tada GA postaje algoritam slučajne pretrage. Vjerojatnost mutacije treba biti prilično niska 0,5-1%. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
46 Mutacija 2/2 Uvod u genetski algoritam Genetski operatori Mutacija prevenira konvergenciju k lokalnom optimumu. Medutim, ne bi trebala biti preučestala, jer tada GA postaje algoritam slučajne pretrage. Vjerojatnost mutacije treba biti prilično niska 0,5-1%. Jednostavna mutacija (Jednostavan GA) Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
47 Genetski operatori Mutacija 2/2 Mutacija prevenira konvergenciju k lokalnom optimumu. Medutim, ne bi trebala biti preučestala, jer tada GA postaje algoritam slučajne pretrage. Vjerojatnost mutacije treba biti prilično niska 0,5-1%. Jednostavna mutacija (Jednostavan GA) Miješajuća mutacija Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
48 Genetski operatori Mutacija 2/2 Mutacija prevenira konvergenciju k lokalnom optimumu. Medutim, ne bi trebala biti preučestala, jer tada GA postaje algoritam slučajne pretrage. Vjerojatnost mutacije treba biti prilično niska 0,5-1%. Jednostavna mutacija (Jednostavan GA) Miješajuća mutacija Potpuna miješajuća mutacija Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
49 Parametri u GA Parametri u GA 1/2 1. Veličina populacije Veličina populacije POP(t) = broj kromosoma u populaciji (u generaciji s rednim brojem t) ili u trenutku t. Uobičajeno POP = konst. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
50 Parametri u GA Parametri u GA 1/2 1. Veličina populacije Veličina populacije POP(t) = broj kromosoma u populaciji (u generaciji s rednim brojem t) ili u trenutku t. Uobičajeno POP = konst. Prevelika populacija usporava algoritam, a premala ne stvara dovoljno novih potomaka. Istraživanja su pokazala da nakon neke granice (koja ovisi o promatranom problemu) nije korisno povećavati veličinu populacije, jer ne ubrzava proces rješavanja problema. Dobra veličina za populaciju je 20-30, mada je ponekad i najbolja veličina. Neka istraživanja takoder pokazuju da najbolja veličina populacije ovisi o kodiranju, odnosno veličini niza znakova kojima kodiramo kromosome. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
51 Parametri u GA 2/2 Uvod u genetski algoritam Parametri u GA 2. Broj novih generacija Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
52 Parametri u GA 2/2 Uvod u genetski algoritam Parametri u GA 2. Broj novih generacija 3. Vjerojatnost mutacije p m Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
53 Parametri u GA 2/2 Uvod u genetski algoritam Parametri u GA 2. Broj novih generacija 3. Vjerojatnost mutacije p m 4. Vjerojatnost križanja p c i broj jedinki za eliminaciju M za generacijski, odnosno eliminacijski GA. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
54 Parametri u GA 2/2 Uvod u genetski algoritam Parametri u GA 2. Broj novih generacija 3. Vjerojatnost mutacije p m 4. Vjerojatnost križanja p c i broj jedinki za eliminaciju M za generacijski, odnosno eliminacijski GA. Tablica uobičajenih vrijednosti parametara za GA s malom i velikom populacijom: Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
55 Parametri u GA Višepopulacijski GA Novi genetski operatori: ubacivanje (reinsertion) migracija (migration) natjecanje (competition) Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
56 Parametri u GA Višepopulacijski GA Novi genetski operatori: ubacivanje (reinsertion) migracija (migration) natjecanje (competition) Prilagodljivi GA (AGA) Srinivas i Patnaik Namijenjen je radu u okruženju generacijskog GA Cilj je da se p m i p c povećavaju za lošija rješenja, a smanjuju za smanjuju za bolja rješenja. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
57 Primjer Primjer rada GA Primjer 1 Traženje optimuma funkcije f (x) = x 2, x [0, 31]. Primjer 2 Problem trgovačkog putnika (TS). Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
58 BIBD Konstrukcija BIBD-a primjenom GA Razvili su GA za konstrukciju BIBD-a pretraživanjem bez dodatnih pretpostavki. I otkrili su nove jednostavne dizajne s parametrima 2 (14, 4, 6). Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
59 BIBD Konstrukcija BIBD-a primjenom GA Razvili su GA za konstrukciju BIBD-a pretraživanjem bez dodatnih pretpostavki. I otkrili su nove jednostavne dizajne s parametrima 2 (14, 4, 6). Definicija Neka su v, k, λ N takvi da v > k 1 i λ 1. Neka je P = {p 1,..., p v } i B = {B 1,..., B b } disjunktni skup točaka i multiskup blokova i neka je I P B relacija incidencije na tim skupovima. Balansiran nepotpuni blok dizajn (BIBD) ili samo blok dizajn D s parametrima 2 (v, k, λ) je uredena trojka D = (P, B, I) za koju vrijedi: svaki blok iz B je incidentan s k točaka, svaki par točaka iz D je sadržan u λ blokova iz D, 1 < k < v 1. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
60 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Doris Dumičić Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
61 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Algoritam se temelji na 4-turnirskoj selekciji i križanju u 2 točke. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
62 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Algoritam se temelji na 4-turnirskoj selekciji i križanju u 2 točke. Svaki kromosom populacije je jedna b k matrica čiji su geni zapravo retci k člani podskup od skupa točaka P = {0, 1,..., v 1}. Jasno, takvi kromosomi su 2 (v, k, λ) dizajni ako se svaki dvočlani podskup skupa točaka P pojavljuje u točno λ redaka (gena) u tom kromosomu, bez dodatnih uvjeta koje treba ispitati da li su ispunjeni. Označimo s POP broj kromosoma u populaciji. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
63 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Algoritam se temelji na 4-turnirskoj selekciji i križanju u 2 točke. Svaki kromosom populacije je jedna b k matrica čiji su geni zapravo retci k člani podskup od skupa točaka P = {0, 1,..., v 1}. Jasno, takvi kromosomi su 2 (v, k, λ) dizajni ako se svaki dvočlani podskup skupa točaka P pojavljuje u točno λ redaka (gena) u tom kromosomu, bez dodatnih uvjeta koje treba ispitati da li su ispunjeni. Označimo s POP broj kromosoma u populaciji. Prebrojavali su koliko se puta svaki dvočlani podskup od P pojavljuje u retcima kromosoma zaustavljajući se na λ kada se ona dostigne. Funkcija cilja je definirana tako da svakom kromosomu pridružimo sumu brojeva pojavljivanja svakog para točaka. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
64 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Algoritam se temelji na 4-turnirskoj selekciji i križanju u 2 točke. Svaki kromosom populacije je jedna b k matrica čiji su geni zapravo retci k člani podskup od skupa točaka P = {0, 1,..., v 1}. Jasno, takvi kromosomi su 2 (v, k, λ) dizajni ako se svaki dvočlani podskup skupa točaka P pojavljuje u točno λ redaka (gena) u tom kromosomu, bez dodatnih uvjeta koje treba ispitati da li su ispunjeni. Označimo s POP broj kromosoma u populaciji. Prebrojavali su koliko se puta svaki dvočlani podskup od P pojavljuje u retcima kromosoma zaustavljajući se na λ kada se ona dostigne. Funkcija cilja je definirana tako da svakom kromosomu pridružimo sumu brojeva pojavljivanja svakog para točaka. U idealnom slučaju, kada je kromosom dizajn, suma iznosi ( v 2 ) λ = v(v 1) λ, 2 što je maksimalna (optimalna) vrijednost za funkciju cilja. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
65 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a U svakoj iteraciji, odabrana su dva najbolja kromosoma od četiri koji su proizvoljno odredeni. Oni zatim postaju roditelji u križanju s dvije točke, kao što je prikazano za biravninu (7, 4, 2): Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
66 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Dopuštene su dvije vrste mutacija, odnosno mutacijskih operatora. Jedno dijete može imati zamijenjen gen koji je odabran proizvoljno kao k-člani podskup od P, dok drugo dijete može imati zamijenjen samo jedan element proizvoljno odabranog gena. Oba operatora mutacije će se dogoditi s jednakom vjerojatnošću p m, uslijed eksperimentalnog iskustva. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
67 Modificirani GA za konstrukciju BIBD-a Algoritam GABIBD(v, k, λ, POP, c max ) Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
68 Optimizacija ulaznih parametara Optimizacija ulaznih parametara Nakon nekoliko provedenih eksperimenata optimizirali su ulazne parametre kako bi poboljšali algoritam. U tijeku testiranja 100 puta su pokretali algoritam za svaku odabranu trojku (v, k, λ) dok nisu pronašli rješenje. Najprije su ustanovili da su rezultati značajno bolji ako se zamijeni pozicija kromosoma (dva proizvoljno odabrana kromosoma mijenjaju poziciju u populaciji) prije njihovog odabira i tako dva susjedna kromosoma u jednoj iteraciji, nisu više susjedi u sljedećoj iteraciji. Pokazalo se da je optimalno oko 1000 zamjena za bilo koje dopustive parametre dizajna. Zatim su nizom testova dobili očekivane rezultate što se tiče veličine populacije odnosno POP: veća populacija, bolji rezutati. Isprobali su za populaciju veličine od i pokazalo se da je za POP optimum 60 s obzirom na definiciju funkcije cilja. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
69 Optimizacija ulaznih parametara GA je općenito vrlo osjetljiv na vjerojatnost mutacije, njihov glavni cilj je pronaći takav p m koji omogućuje najmanji mogući broj iteracija koje vode do prvog rješenja. Kako su postupno povećavali vjerojatnost mutacije, primijetili su (tablica) sve bolje rezultate i u prosječnom broju iteracija do prvog dizajna, avi i u broju rješenja, nsol. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
70 Optimizacija ulaznih parametara Usporedba dviju različitih početnih populacija Populacije se generiraju proizvoljno. Doris Dumičić Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
71 Rezultati Rezultati Proveli su dva niza testiranja. Jedno s ciljem mjerenja raspona algoritma i drugo s ciljem povećanja nekih već poznatih rezultata. Kod prvih eksperimenata, za svaki od odabranih parametara dizajna proveli su 100 pokretanja algoritma. U svakom od pokretanja, granica za iteracije, c max je postavljena na , a vjerojatnost mutacije je postavljena na 100 posto. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
72 Rezultati Uzorak za testiranje sastoji se od nekoliko BIBD klasa, čiji rezultati su u sljedećoj tablici: Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
73 Rezultati U drugom nizu testiranja, c max je povećana na milijun, dok su ostali parametri ostali nepromijenjeni kao u prethodnom nizu testiranja. Rezultati su prikazani u sljedećoj tablici: Dobiveni dizajni s parametrima 2 (13, 5, 5) su tada već poznati. Teorem 1 Postoji barem 78 dizajna s paramterima 2 (14, 4, 6). Postoji barem 24 jednostavnih dizajna s tim parametrima. Njih 74 imaju trivijalnu grupu automorfizama. Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
74 Rezultati Martinjak,I. Pavčević, M. Modified Genetic Algorithm for BIBD Construction, Proceedings of the ITI st Int. Conf. on Information Technology Interfaces, Cavtat, Doris Dumičić Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
75 Rezultati Tabu search algoritam za konstrukciju blok dizajna (V.Krčadinac, dokt.dizertacija 1/2) Doris Dumičić Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
76 Rezultati Tabu search algoritam za konstrukciju blok dizajna (V.Krčadinac, dokt.dizertacija 1/2) Nove donje ocijene za broj neizomorfnih dizajna Doris Dumičić Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
77 Rezultati Tabu search algoritam za konstrukciju blok dizajna (V.Krčadinac, dokt.dizertacija 2/2) Broj konstruiranih dizajna u 50 poziva tabu search algoritma: Doris Dumičić (ddumicic@math.uniri.hr) Odjel Modificiran za matematiku, genetski Sveučilište algoritamu za Rijeci konstrukciju () BIBD-a 9. siječnja / 44
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Tri osnovna tipa optimizacije struktura. Topološka optimizacija betonskih konstrukcija. Dimenzionalna optimizacija. Optimizacija oblika
Topološka optimizacija betonskih konstrukcija Tri osnovna tipa optimizacije struktura. Dimenzionalna optimizacija (sizing optimization). Optimizacija oblika (shape optimization) 3. Topološka optimizacija
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Umjetna inteligencija
Umjetna inteligencija Genetski algoritam Doc. dr. sc. Edouard Ivanjko Sadržaj Uvod Optimizacijski problemi Princip evolucije Koncept genetskog algoritma Kôdiranje rješenja Genetski operatori Primjer primjene
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
GENETSKI ALGORITMI KAO OPTIMIZACIJSKI ALAT - prednosti i nedostaci u odnosu na egzaktne matematičke metode
Fakultet SEMINARKO http://seminarko.weebly.com Seminarski rad iz kolegija XY ak. godina 2008/09. GENETSKI ALGORITMI KAO OPTIMIZACIJSKI ALAT - prednosti i nedostaci u odnosu na egzaktne matematičke metode
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
PRIMJENA GENETSKIH ALGORITAMA U MREŽNOM PLANIRANJU
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVOD ZA ELEKTRONIKU, MIKROELEKTRONIKU, RAČUNALNE I INTELIGENTNE SUSTAVE SEMINARSKI RAD PRIMJENA GENETSKIH ALGORITAMA U MREŽNOM PLANIRANJU Toni
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
PRIMJENA EVOLUCIJSKIH ALGORITAMA ZA RJEŠAVANJE APROKSIMACIJSKOG PROBLEMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 1719 PRIMJENA EVOLUCIJSKIH ALGORITAMA ZA RJEŠAVANJE APROKSIMACIJSKOG PROBLEMA Tonči Damjanid Zagreb, ožujak 2008. Sažetak Ovaj
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA
SVEUČILIŠTE U SPLITU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA Marija Vištica Mentor: prof.dr.sc. Slavomir Stankov Neposredni voditelj: dr.sc. Ani Grubišić Split, listopad 2012. Sadržaj
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI PROJEKT. Jadran Barač
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI PROJEKT Jadran Barač Zagreb, rujan 2007 S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi
Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
math.e Genetski algoritmi i biomorfi 1 Inspiracija u biologiji Genetski algoritmi i biomorfi math.e Vol of 11
1 of 11 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Genetski algoritmi i biomorfi genetski algoritam grafovi heuristički algoritmi optimizacija Nela Bosner (nela.bosner@math.hr ) i Tomislav Droždjek
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem