Verkefni 1: Splæsibrúun og jafnhæðarferlar
|
|
- Ευτύχιος Παπανδρέου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Verkefni 1: Splæsibrúun og jafnhæðarferlar Friðrik Freyr Gautason og Guðbjörn Einarsson I. SPLÆSIBRÚUN FORRITUÐ Hérna er markmiðið að útfæra forrit sem leyfir notanda að smella á teikniglugga eins oft og hann vill. Þegar allir punktarnir eru komnir þá á forritið að teikna 3. stigs splæsibrúun í gegnum punktana. Það á að vera hægt að velja á milli 4 askilyrða þ.e. ekki-hnúts, þvinguð, náttúruleg og lotubundin askilyrði. A. Móðurforritið: S-MOTHER.m Forritið S-MOTHER.m sér um að halda utan um smellta punkta og teiknar síðan splæsibrúunina. Það byrjar á að setja upp teiknigluggann og leyfir notanum að smella á hann með vinstri músarhnapp uns stutt er á einhvern annan hnapp. Um leið og smellt er, teiknar forritið hring utan um þann stað sem smellt var á. Þegar þessu er lokið og notandinn kýs að hætta þá hefur S-MOTHER.m geymt gildi á öllum smelltum punktum í vigrunum x og y. Forritið sir þessi gildi í splaesi.m sem reiknar út splæsibrúunarferil á milli punktanna. Vandamál kemur þó upp þegar ekki er smellt í vaxandi röð (það er að segja vaxandi x gildi) en auðvelt er að leysa það með því að líta á ferilinn sem stikaferill (x(t), y(t)), þá er splæst bæði x(t) og y(t) og í lokinn ferillinn teiknaður. %--- S-MOTHER.m ---% a=-1; b=1; c=-1; d=1; % Morkin a teiknifletinum axis([a b c d]) % Teikniglugginn settur upp hold on % Leyfir okkur ad teikna oftar en einu sinni hnappur = 1; % Erum ad lesa inn hnit ur glugganum x=[]; y=[]; % hnitavigrarnir while(hnappur == 1) [xtmp,ytmp,hnappur] = ginput(1); % Lesum inn hnitin if(hnappur) x=[x,xtmp]; % Baetum nyju hnitunum vid thau gomlu y=[y,ytmp]; plot(x,y, o ) x=[x x(1)]; y=[y y(1)]; n = length(x); % Teiknum hringi i kringum punktana % Lokum ferlinum til ad sja % betur ad lotubundnu skilyrdin virka %Ef adeins einn punktur er gefinn er hann adeins teiknadur if(n==1) plot(x,y, o ) %Annars er kalllad a spleasi.m til thess ad reikna ut splaestan feril %yy(tt) og xx(tt), haegt er ad lita a (xx(tt),yy(tt)) sem stikadan feril %sem sidan er teiknadur. else t=1:n; tt=linspace(1,n,1); xx=splaesi(t,x,4,,,tt); yy=splaesi(t,y,4,,,tt); plot(xx,yy)
2 Ath að fallið linspace býr til stikavigurinn tt með 1 punktum á milli 1 og lengdar x. B. Splæsiaðferðin sjálf: splaesi.m splaesi.m tekur inn vigur gildi x og y ásamt tilgreindum jaðarskilyrðum, afleiðum í apunktum ef með þarf og einnig vigurinn xx. xx segir til um þau gildi á splæsta ferlinum sem notandinn vill fá út í úttakið yy. splaesi.m kallar á fallið splaesistudlar.m sem gefur því, eins og nafnið gefur til kynna, splæsistuðlana í brúunarmargliðunum, en farið verður nánar í það fall á eftir. yy er einfaldlega reiknað út frá splæsistuðlunum og xx með tvöfaldri for lykkju. Fyrst er athugað á hvaða bili punktur í vigrinum xx er og því næst flett upp viðeigandi stuðlum og punkturinn í yy vigrinum reiknaður út. %--- splaesi.m ---% %Inntak er vigur x og fallgildi y, num sem tilgreinir jadarskilyrdi %df1 og df2 sem tilgreinir afleidur i apunkti og xx sem segir til %um hvad uttakid yy a ad vera. function yy = splaesi(x,y,num,df1,df2,xx) %Sed til thess ad splesi.m gefi uttak med thvi ad skilgreina strax yy. yy = []; %Athugad hvort vigurinn xx er innan gefins vigur x, annars er %villuskilabod gefid, og forritid haettir keyrslu. if ( max(xx)>max(x) min(x)>min(xx) ) disp VILLA: Oll stok xx verda ad vera innan staka x. ; return; %Kallad er a splaesistudlar.m til thess ad reikna ut studlana %a,b,c og d. [a,b,c,d] = splaesistudlar(x,y,num,df1,df2); %Ef einhver villa er gefin i splaesistudlar.m tha skilar forritid %ollum stokum sem -1, og gefur villuskilabod. Vid thurfum thvi ekki %ad gefa villuskilabod en vid haettum keyrslu. if(a(1) == -1 && b(1) == -1 && c(1) == -1 && d(1) == -1) return; %Her er yy reiknad ut fra a,b,c og d med thekktri formulu med notkun %tvofaldrar for-lykkju, fyrst er rennt i gegnum oll stok i xx og borin %saman vid oll stok i x til thess ad akvarda hvada studla a ad nota, sidan %er yy einfaldlega reiknad. for i=1:length(xx) for j=1:length(x)-1 if( xx(i) >= x(j) && x(j+1) > xx(i) x(j+1) == xx(i)) yy(i) = a(j) + b(j)*( xx(i) - x(j) ) + c(j)*( xx(i) - x(j) )^2 + d(j)*( xx(i) - x(j) )^3; Forritið splaesistudlar.m tekur inn sömu gildi og splaesi.m fyrir utan að vigrinum xx er sleppt þar sem hann er óþarfur. Útkoman úr því eru splæsistuðlarnir a, b, c, d sem eru stuðlar í brúunarmargliðunni. a stuðlarnir eru einfaldlega y gildin á inntakinu. c stuðlarnir eru fundnir út frá fylkjajöfnunni Ac = B þar sem fylkið A og vigurinn B eru ákvörðuð útfrá x, y og jaðarskilyrðunum. b og d eru síðan ákvörðuð með einföldum jöfnum. Í stuttu máli byrjar aðferðin á því að fylla inn í efstu og neðstu línur fylkisins A og vigursins B eftir gefnum jaðarskilyrðum, því næst er klárað að fylla út restina af fylkinu og vigrinum sem er eins fyrir öll jaðarskilyrði. Þá er einfalt að reikna restina af stuðlunum út með MATLAB aðferðum. %--- splaesistudlar.m ---%
3 %Uttak er splaesistudlarnir a,b,c og d fyrir splaesimarglidur %skv. venjum i namskeidinu. ATH: a,b,c,d eru vigrar. inntakid %er vigrar x og y asamt num sem tilgreinir jadarskilyrdi og %df1 og df2 sem tilgreinir fyrstu afleidur a jadrunum. function [a,b,c,d] = splaesistudlar(x,y,num,df1,df2) %Lengd vigurs x gefid gildi nx vegna mikillar notkunar. nx = length(x); %Ef vigrarnir eru mislangir er villuskilabod gefid og forritid %haettir keyrslu, ath ad uttakinu er gefid gildi -1. if(nx ~= length(y)) a = -1; b = -1; c = -1; d = -1; disp VILLA: Lengd vigra x,y verdur ad vera su sama. ; return; %Vid krefjumst lagmarksfjolda af punktum 3. if( 3 >= nx ) disp VILLA: Of fair punktar gefnir. a = -1; b = -1; c = -1; d = -1; return; %Vigrar og fylki eru skilgreind fyrir seinni notkun. h = []; A = zeros(nx,nx); B = zeros(nx,1); a = y; b = []; c = []; d = []; %fyllt er inn i h vigurinn skv venjum. for i=1:nx-1 h(i) = x(i+1)-x(i); %Her er fyllt inn i fylkid A og vigurinn B eftir hvert %jadarskilyrdi skal nota. Her er tho adeins fyllt i efstu %linu og nedstu baedi i A og B. Formulur ma finna i bok. %Theim stokum sem ekki er gefid gildi eru. %EKKI-HNUTS if(num==1) A(1,1) = h(2); A(1,2) = - ( h(1) + h(2) ); A(1,3) = h(1); A(nx,nx-2) = h(nx-2); A(nx,nx-1) = - h(nx-3) - h(nx-2); A(nx,nx) = h(nx-3); B(1) = ; B(nx) = ; %THVINGUD elseif(num==2)
4 %Her er krafist ad inntakid se 5 talsins. if(nargin ~= 5) disp VILLA: Breyturnar "df1" og/eda "df2" vantar. ; a = -1; b = -1; c = -1; d = -1; return; A(1,1) = 2*h(1); A(1,2) = h(1); A(nx,nx-1) = h(nx-2); A(nx,nx) = 2*h(nx-1); B(1) B(nx) = 3*( a(2) - a(1) )/h(1) - df1*3; = df2*3-3*( a(nx) - a(nx-1) )/h(nx-2); %NATTURULEG elseif(num==3) A(1,1) = 1; A(nx,nx) = 1; B(1) = ; B(nx) = ; %LOTUBUNDIN elseif(num==4) A(1,1) = 1; A(1,nx) = - 1; A(nx,1) = h(1); A(nx,nx-1) = h(nx-2); A(nx,nx) = 2*( h(1) + h(nx-2) ); B(1) = ; B(nx) = 3*( ( a(2) - a(1) )/h(1) - ( a(nx) - a(nx-1) )/h(nx-1) ); %Ef num tekur ekki gildi 1,2,3 eda 4 tha skilar forritid villu. else disp VILLA: Breytan "num" tekur ekki rett gildi ; a = -1; b = -1; c = -1; d = -1; return; %Restin af fylkinu er fyllt inn sem er eins fyrir oll skilyrdin for i=2:nx-1 A(i,i-1) = h(i-1); A(i,i) = 2*( h(i-1) + h(i) ); A(i,i+1) = h(i); B(i) = 3*( a(i+1) - a(i) )/h(i) - 3*( a(i) - a(i-1) )/h(i-1); %nu er jofnuhneppid Ac = B leyst sem gefur c studlana. c = A\B; %b og d studlar eru reiknadir skv. thekktum formulum nu thegar c er %thekkt. for i=1:nx-1 d(i) = ( c(i+1) - c(i) )/( 3*h(i) ); b(i) = ( a(i+1) - a(i) )/h(i) - h(i)*( 2*c(i) + c(i+1) )/3;
5 C. Prófun á aðferðinni Forritið S-MOTHER.m og splaesi.m var prufað fyrir öll 4 jaðarskilyrðin og útkoman eru myndir 1-4 þar sem 1 sýnir ekki hnúts jaðarskilyrði, 2 sýnir þvinguð jarðarskilyrði, 3 sýnir náttúruleg jaðarskilyrði og 4 sýnir lotubundin jaðarskilyrði. Mynd 5 sýnir skekkju frá réttu gildi fyrir öll 4 jaðarskilyrðin fyrir fallið sin(x) þegar 1 splæsipunktar eru notaðir á bilinu upp í 2π. Greinilegt er að þvinguð og náttúruleg jaðarskilyrði gefa hér bestu nálgunina en nálægt jöðrunum verður skekkjan töluverð hjá ekki-hnúts og lotubundun skilyrðum. Taylornálgun sin(x) um núll inniheldur ekki x 2 lið, það er c = sem er það sem náttúruleg jaðarskilyrði gera ráð fyrir. Þetta er ástæða þess að náttúruleg skilyrði virka vel í apunktunum. 1.8 Not a knot Mynd 1: Sýnir prufukeyrslu á S-MOTHER.m fyrir ekki hnúts jaðarskilyrði á splaesi.m aðferðinni. 1.8 Clamped Mynd 2: Sýnir prufukeyrslu á S-MOTHER.m fyrir ekki hnúts jaðarskilyrði á splaesi.m aðferðinni.
6 1.8 Natural Mynd 3: Sýnir prufukeyrslu á S-MOTHER.m fyrir ekki hnúts jaðarskilyrði á splaesi.m aðferðinni. 1.8 Periodic Mynd 4: Sýnir prufukeyrslu á S-MOTHER.m fyrir ekki hnúts jaðarskilyrði á splaesi.m aðferðinni. II. JAFNHÆÐARFERLAR Í þessum liði verkefnisins er fall útfært til þess að teikna jafnhæðarferla falls z = f(x, y). Forritað var móðurforritið C-MOTHER.m sem teiknar fallið f(x, y) á tvívítt plan með pcolor aðferð í MATLAB. Á myndina er svo unnt að smella, þá kallar móðurforritið á aðferðina jafnhaedarferill.m sem reiknar út jafnhæðarferilinn og skilar splæstum ferli út ásamt þeim punktum sem reiknaðir voru. Móðurforritið teiknar þá ferilinn sem liggur í gegnum punktinn sem á var smellt. Hægt er að smella eins oft og hugurinn girnist.
7 5 x NAK CLAMPED NATURAL PERIODIC Mynd 5: Sýnir mismun á splæstum gildum og raunverulegum fyrir allar gerðir askilyrða. Notaðir voru 1 splæsipunktar á bilinu upp í 2π fyrir fallið sin(x). A. Móðurforritið: C-MOTHER.m Forritið er nokkuð líkt í uppbyggingu eins og S-MOTHER.m nema nú er strax teiknað á svæðið gefið fall z = f(x,y). Fallið sjálft er skilgreint í annari aðferð fall.m til þess að auðvelda umskiptingu á föllum. Vigrarnir X og Y eru gefnir með meshgrid aðferðinni sem skilar fylki fyrir bæði X og Y, en fall.m er forritað miðað við það. Kosturinn við fall.m er að það getur hæglega reiknað út eitt fallgildi eða skilað vigri af gildum. Notast var við pcolor til þess að teikna fallið á svæðið með colormap spring sem gefur einkar fallega liti. %--- C-MOTHER.m ---% a=; b=1; c=; d=1; axis([a b c d]) hold on hnappur = 1; % Morkin a teiknifletinum % Teikniglugginn settur upp % Leyfir okkur ad teikna oftar en einu sinni % Erum ad lesa inn hnit ur glugganum %Vigrar(fylki) X og Y skilgr. [X,Y] = meshgrid(a:.5:b,c:.5:d); %Fallgildin reiknud ut med thvi ad kalla a fall.m Z = fall(x,y); %Vorlegt litval. colormap spring %Litmynd teiknud. pcolor(x,y,z) while(hnappur == 1) [x1,y1,hnappur] = ginput(1); % Lesum inn hnitin if(hnappur) %Upphafspunktur skilgr. P = [x1 y1]; %Kallad a jafnhaedarferill.m til thess ad reikna ut jafnhaedarferilinn. [xx,yy,p] = jafnhaedarferill(p,a,b,c,d); %Splaestur jafnhaedarferill asamt punktum sem splaest %er i gegunum teiknadir ofan a myndina. plot(xx,yy, -k,p(:,1),p(:,2), o )
8 Eins og sést af forritinu er staðsetning á músinni þegar smellt er stungið í vigur P sem síðan er notað sem inntak í jafnhaedarferill.m ásamt jaðri svæðisins. Forritið notar aðferð sem búin var til fyrir verkefnið í stað MATLAB contour aðferðarinnar en einfalt er að umbreyta því þannig að sú aðferð sé notuð. Hér sést einnig að ekki er einungis splæstur jafnhæðarferill teiknaður heldur eru punktarnir P sem jafnhaedarferill.m reiknar út einnig teiknaðir. %--- fall.m ---% function [Z] = fall(x,y) %jafnhaedarferill.m og C-MOTHER.m kalla a %fall.m til thess ad reikna ut fallgildin. %thetta audveldar breytingar. Z = X.^2+Y.^2; Aðferðin fall.m er eins og sést afar einföld en er aðeins notuð til hægðarauka. B. Aðferðin: jafnhaedarferill.m Hér fer lýsing á aðferðinni jafnhaedarferill.m sem er aðalforritið í verkefninu. Aðferðin virkar í stuttu máli þannig að upphafspunktur ásamt upplýsingum um fallið er tekið inn í lykkju sem reiknar næsta punkt á jafnæðarferlinum með því að stika línu í fjarlægð α í stefnu snertilsins við ferilinn, línan er stikuð þannig að hún liggji hornrétt á snertilinn. Hægt er að reikna snertilinn T með því að snúa þvervigrinum N um 9 gráður, en þvervigurinn reiknast út frá stiglinum með formúlunni N = grad f grad f. Síðan til þess að finna næsta punkt á ferlinum er jafnan f(x(t),y(t)) f(x,y ) = leyst tölulega, athugum að x(t) og y(t) tákna hér stikun á ofangreindri línu og punkturinn (x,y ) er upphaflegi punkturinn P sem er inntak inn í aðferðina. Þetta er gert uns ferillinn lokast eða hann lir utan skilgreiningarmengisins sem er inntak í aðferðina. Athgum að grad f er reiknað tölulega með aðferðinni ( f(x+h,y) f(x h,y) grad f =, 2h ) f(x,y+h) f(x,y h), 2h þannig að við þurfum að ákveða tvær stærðir, α og h. Við veljum h þannig að það sé um 1% af fjarlægð punktsins (x,y) frá jaðri mengisins, og notum viðeigandi h fyrir hvern punkt á ferlinum. Talsvert erfiðara er að ákvarða α en almennt má velja α um 1% af fjarlægð punktsins (x,y ) frá jaðri mengisins þar sem sama α er notað fyrir alla punktana á ferlinum. Við komumst að því að þegar upphafspunkturinn liggur nálægt jaðri verður α of lítil stærð og reiknitíminn verður of langur. Við settum því lággildi á α, en þá kom í ljós að ef ferillinn var lokaður nálægt miðju skilgreiningarmengisins þá varð α hugsanlega of stórt þannig að engin lausn var á jöfnunni f(x(t),y(t)) f(x,y ) = innan eðlilegra marka. Þetta gerist þegar α er stórt miðað við ferilinn sjálfan vegna þess að aðferðin snidill.m sem notuð er til þess að leysa jöfnuna er gölluð. Ef α er of stórt þá getur snidill.m lent í óanlegri lykkju og látið keyrsluna eyðileggjast. Betra hefði verið að gera öriggisventil á snidll.m þannig að hann skilar villustærð þegar stefnir í óefni og þá væri hægt að helminga α og keyra aftur í gegn, svo hefði aftur þurft örrigisventil á þá lykkju og ef ekkert dygði yrði ferillinn ekki teiknaður en forritið héldi áfram í keyrslu (það er að segja móðurforritið). Við reyndum að þessum sökum að setja hágildi á α en eftir tilraunir ákváðum við að stilla α á fast gildi sem virtist hentugast fyrir flestar gerðir ferla, það var um 1% af breidd (eða hæð) mengisins. %--- jafnhaedarferill.m ---% %Inntak er punktur a ferlinum P asamt staerd mengis D, gefid med %apunktum a, b, c og d. Fallid skilar svo splaestum ferli yy %sem fall af xx asamt osplaestum punktum sem eru reiknadir P. function [xx,yy,p] = jafnhaedarferill(p,a,b,c,d) lambda = fall(p(1),p(2)); %Fyrsta fallgildid reiknad P=[]; %Uttaksvigur P skilgr. P(1,:) = P; %Fyrsta gildi P gefid
9 i=1; %Teljari. %alpha er skilgreint sem 1% af breidd (eða haed) kassans alpha =.1*abs(min([b-a d-c])); %Staerdir fyrir snidill.m (gefid a uglunni) t=; eps = 1e-1; %Monitor parameter. l=; %ADAL LYKKJAN! %her eru punktar P reiknadir. %Lykkjan heldur afram ad ganga svo lengi sem l er ekki -1 og ferillinn hefur ekki %nad i skottid a ser. while(l~=-1 && (sqrt(sum((p-p(i,:)).^2)) > alpha 3 > i)) %h skilgreint fyrir hvern punkt P(i,:). h =.1*min([abs(P(i,1)-a) abs(p(i,1)-b) abs(p(i,2)-c) abs(p(i,2)-d)]); %Nalgun a gradient vigrinum reiknud, midad vid gefid h. gradz = [(fall(p(i,1)+h,p(i,2))-fall(p(i,1)-h,p(i,2)))/(2*h) (fall(p(i,1),p(i,2)+h)-fall(p(i,1),p(i,2)-h))/(2*h)]; %Gradientvigurinn stadladur til thess ad gefa einingarnormal. N = gradz/sqrt(sum(gradz.^2)); %Normal snuid um pi/2 til thess ad gefa snertil i punktinum P(i,:). T = [N(2),-N(1)]; %Punktur i fjarlaegd alpha i stefnu T fra punkti P(i,:) skilgr. Q = P(i,:) + alpha*t; %ATHUGAD: hvort Q li utan kassa, %THA: N gefid gildi vigurs samsida marka, % Q gefid gildi punkts a jadri. % og l gefid gildi -1 til thess ad a while lykkjuna. if (a>q(1)) N = [ 1]; Q = [a (P(2)-Q(2))*(a-P(1))/(P(1)-Q(1))+P(2)]; l =-1; elseif (Q(1)>b) N = [ -1]; Q = [b (Q(2)-P(2))/(Q(1)-P(1))*(b-Q(1))+Q(2)]; l =-1; elseif (c>q(2)) N = [-1 ]; Q = [(P(1)-Q(1))*(c-P(2))/(P(2)-Q(2))-P(1) c]; l =-1; elseif (Q(2)>d) N = [1 ]; Q = [(Q(1)-P(1))*(d-Q(2))/(Q(2)-P(2))-Q(1) d]; l =-1; %Stikud lina skilgreind i gegnum punkt Q i stefnu N.
10 linfunc fall(q(1)+t*n(1),q(2)+t*n(2))-lambda; %Agiskun t1 gefid gildi skv. fyrirmaelum if (fall(q(1)+alpha*n(1),q(2)+alpha*n(2))>fall(q(1)-alpha*n(1),q(2)-alpha*n(2))) t1=-alpha; else t1=alpha; %lausnin r fundin med snidill.m r=snidill(linfunc,t,t1,eps); %Teljari haekkadur og fundinn punktur geymdur i P vigrinum. i=i+1; P(i,:) = Q+r*N; %l er -1 ef ferillinn for ut af jadri kassa. %Tha er adal lykkjan urtekin thar sem nu er snuid um -pi/2. if l==-1 i = i+1; %Talan j = i geymd fyrir notkun seinna. j = i; %Naesti punktur i vigrinum faer upphaflega gildid P. P(i,:) = P; %ADAL LYKKJAN ENDURTEKIN. %nu heldur hun afram ad ganga a medan l er ekki -2 en thad gerist thegar %ferillinn fer aftur ut af morkum kassans. vid leyfum hringamyndun afram %ef svo kynni ad gerast. while(l~=-2 && (sqrt(sum((p-p(i,:)).^2)) > alpha j+3 > i)) h =.1*min([abs(P(i,1)-a) abs(p(i,1)-b) abs(p(i,2)-c) abs(p(i,2)-d)]); gradz = [(fall(p(i,1)+h,p(i,2))-fall(p(i,1)-h,p(i,2)))/(2*h) (fall(p(i,1),p(i,2)+h) -fall(p(i,1),p(i,2)-h))/(2*h)]; N = gradz/sqrt(sum(gradz.^2)); T = [-N(2),N(1)]; %SNUID I OFUGA ATT! Q = P(i,:) + alpha*t; if (a>q(1)) N = [ 1]; Q = [a (P(2)-Q(2))*(a-P(1))/(P(1)-Q(1))+P(2)]; l =-2; elseif (Q(1)>b) N = [ -1]; Q = [b (Q(2)-P(2))/(Q(1)-P(1))*(b-Q(1))+Q(2)]; l =-2; elseif (c>q(2)) N = [-1 ]; Q = [(P(1)-Q(1))*(c-P(2))/(P(2)-Q(2))-P(1) c]; l =-2; elseif (Q(2)>d) N = [1 ]; Q = [(Q(1)-P(1))*(d-Q(2))/(Q(2)-P(2))-Q(1) d]; l =-2;
11 linfunc fall(q(1)+t*n(1),q(2)+t*n(2))-lambda; if (fall(q(1)+alpha*n(1),q(2)+alpha*n(2))>fall(q(1)-alpha*n(1),q(2)-alpha*n(2))) t1=-alpha; else t1=alpha; r=snidill(linfunc,t,t1,eps); i=i+1; P(i,:) = Q+r*N; %Fjoldi punkta i vigri geymd (k), en m er aldrei notud. [k,m] = size(p); %ENDURRODUN A VIGRI! %P1 og P2 eru geymsluvigrar og their sidan settir saman i lokinn til thess %ad mynda P vigurinn a ny. Athugum ad P inniheldur P i saeti j sem vid %viljum losna vid. %P1 Skilgreindur. P1 = []; %Fyrstu j-1 stokin ur P geymd i P1, thetta eru punktar fra P og ad jadri. for i = 1:j-1 P1(i,:) = P(i,:); %P2 skilgreindur. P2 = []; %Seinustu j stokin ur P radad i ofugri rod i vigurinn P2, thannig ad fyrsta stakid %i P2 er punktur vid jadarinn og sidasti er punktur nalaegt P. for i=1:k-j P2(i,:) = P(k+1-i,:); %Tha er vigrunum augljoslega skeytt saman i P. P = []; P = [P2;P1]; %t og tt skilgreint til thess ad splaesa um. t=1:k-1; tt=linspace(1,k-1,1); %splaesi.m notad med EKKI-HNUTS jadarskilyrdum til thess ad splaesa saman ferilinn. xx=splaesi(t,p(:,1),1,,,tt); yy=splaesi(t,p(:,2),1,,,tt); %Ef l er tha er ljost ad vid hofum lokadan feril og thvi sjaum vid til thess ad sidasta %stakid i P se aftur upphafspunkturinn P. Thvi naest er t og tt og xx og yy fundid med %thvi ad kalla a splaesi.m med LOTUBUNDNUM askilyrdum. if (l==) P = [P;P]; [k,m] = size(p); t=1:k; tt=linspace(1,k,1);
12 xx=splaesi(t,p(:,1),4,,,tt); yy=splaesi(t,p(:,2),4,,,tt); Eins og sést er aðferðin talsvert löng vegna lélegrar forritunar og uppsetningar, en það kemur ekki að sök þegar hún er notuð. Við sjáum að ef ferillinn er ekki lokaður á skilgreiningarmenginu og lir á jaðri þess þá höfum við í raun aðeins hluta af jafnhæðarferlinum sem við viljum fá, við þurfum því að gefa merki um að við lentum á jaðrinum l=-1 og stoppa lykkjuna. Síðan hleypum við inn í samskonar lykkju og áður sem snýr þvervigrinum N nú í -9 gráður til þess að fá stefnuvigurinn T og reiknar punkta á ferlinum frá upphafspunkti í öfuga stefnu, að lokum urröðum við vigrinum þannig að hann snúi rétt eins og sést í aðferðinni. Nú þegar allir punktarnir eru fengnir er splæst á milli þeirra með splaesi.m á svipaðan hátt og gert er í S-MOTHER.m sem er þá úttakið. Athugum að þegar ferillinn er lokaður (l=) þá notum við lotubundin askilyrði, en þegar hann er ekki lokaður þá notum við ekki hnúts askilyrði í splaesi.m aðferðinni. C. Notkun á aðferðinni Við prófum fyrst aðferðinna á einföldum föllum f(x,y) = xy á menginu x [,1], y [,1] sem á að gefa okkur einungis opna ferla og hins vegar f(x,y) = x 2 + y 2 á menginu x [ 1,1], y [ 1,1] sem mun gefa okkur hringi sem jafnhæðarferla Mynd 6: Fallið f(x,y) = xy á menginu x [,1], y [,1]. Jafnhæðarferlar eru teiknaðir með svörtum línum ofan á graf fallsins ásamt því að reiknaðir punktar P eru teiknaðir með. Síðan er hægt að teikna tvinngild föll en þá sleppum við að teikna graf fallana og teiknum aðeins jafnhæðarferlana. Þetta gerðum við og sést afraksturinn á myndum 8,9 og 1.
13 Mynd 7: Fallið f(x,y) = x 2 +y 2 á menginu x [ 1,1], y [ 1,1]. Jafnhæðarferlar eru teiknaðir með svörtum línum ofan á graf fallsins ásamt því að reiknaðir punktar P eru teiknaðir með Mynd 8: Fallið f(z) = ln z 1 +ln z+1 á menginu x [ 4,4], y [ 4,4] þar sem z = x+iy. Jafnhæðarferlar eru teiknaðir með svörtum línum.
14 Mynd 9: Fallið f(z) = z 2 á menginu x [,1], y [,1] þar sem z = x+iy. Jafnhæðarferlar raunhlutans eru teiknaðir með bláum línum en þverhlutans með rauðum Mynd 1: Fallið f(z) = arcsin(z) á menginu x [,1], y [,1] þar sem z = x+iy. Jafnhæðarferlar raunhlutans eru teiknaðir með bláum línum en þverhlutans með rauðum.
Reikniverkefni VII. Sævar Öfjörð Magnússon. 22. nóvember Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir
Reikniverkefni VII Sævar Öfjörð Magnússon 22. nóvember 25 8.3.4 Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir KAFLI 9.2 Pólar 2. stigs kerfa Í þessum kaa vinnum við með 2. stigs ker á forminu H(s) = ω 2 n. ()
Διαβάστε περισσότεραMeðalmánaðardagsumferð 2009
Meðalmánaðardagsumferð 2009 Almennt Á meðfylgjandi stöplaritum gefur að líta, hvernig umferð um 74 staði/snið dreifist hlutfallslega eftir mánuðum yfir árið 2009. Í upphafi var ákveðið að velja alla talningarstaði,
Διαβάστε περισσότεραÞriggja fasa útreikningar.
Þriggja asa útreikningar. Hér þurum við að byrja á því að skilgreina 4 hugtök. 1. Netspenna er spenna sem við mælum á milli tveggja asa.. Netstraumur er straumurinn í hverjum asaleiðara.. Fasaspenna er
Διαβάστε περισσότεραPRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES
PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES GUÐMUNDUR EINARSSON Herkúles Prófbúðir April 8, 2014 1 / 52 OUTLINE 1 Grunnhugtök, einfaldar aðgerðir og innfeldi Grunnhugtök Innfeldi Jafna Línu
Διαβάστε περισσότεραx(t) = T 0 er minnsta mögulega gildi á T
Fyrir x(t) = u(t) þá fáum við lim t y(t) = lim t tu(t) = sem er óstöðugt. (oft er gott að skoða hvort impúlssvörunin sé alsamleitin, ef svo er, þá er kerð stöðugt). Tímaóháð Ker er tímaóháð ef það kemur
Διαβάστε περισσότεραBústólpi ehf - Nýtt kjarnfóður H K / APRÍL 2014
Bústólpi ehf - Nýtt kjarnfóður H K / APRÍL 2014 Nýtt kjarnfóður frá Bústólpa PREMIUM PRO-FIT 17 PREMIUM PRO-FIT 13 Nýtt kjarnfóður frá Bústólpa PREMIUM PRO-FIT 17 Kjarnfóður sem ætlað er að hámarka fitu,
Διαβάστε περισσότεραLíkindi Skilgreining
Líkindi Skilgreining Ω = útkomumengi = mengi allra hugsanlegra útkoma. Atburður er hlutmengi í Ω. Ω A Skilgreining: Atburðir A og B kallast sundurlægir (ósamræmanlegir) ef A B =. Ω A B Skilgreining: Líkindi
Διαβάστε περισσότεραUndirstöðuatriði RC-tengds magnara Ólafur Davíð Bjarnason og Valdemar Örn Erlingsson 28. apríl 2009
Háskóli Íslands Vor 2009 Kennari: Vilhjálmur Þór Kjartansson Undirstöðuatriði RC-tengds magnara 28. apríl 2009 1 Magnari án forspennu Notuð var rás eins og á mynd 1. Við bárum saman uce og ube á sveiflusjá.
Διαβάστε περισσότεραAðskilnaður breytistærða í rúmi
Kai 9 Aðskinaður breytistærða í rúmi 9.1 Bygjujafna í skífu 2 u = c 2 2 u, x 2 + y 2 < a 2 t 2 js: u = 0, x 2 + y 2 = a 2 us: u u t=0 = ϕ, = ψ t=0 t 9.1) Geymum upphafsskiyrðin us) beitum aðskinaði breytistærða
Διαβάστε περισσότεραEðlisfræði 1. Dæmi 5.2 (frh.) Dæmi Dæmi (frh.) d) P = W tog. = 0, 47kW. = 9, 4kJ
S I S Menntakólinn Dæi 5. frh. - 5.3 R E Y K SIGILLUM J A V SCHOLÆ I C E N í Reykjavík 5. frh. d P W tog t 9,4kJ 0 0, 47kW Eðlifræði Kafli 5 - Vinna og orkuvarðveila Óleyt dæi 5. nóveber 006 Kritján Þór
Διαβάστε περισσότεραMenntaskólinn í Reykjavík
Menntakólinn í Reykjaík Jólaróf 006, fötudaginn 5. de. kl. 9 0 Eðlifræði í 6.M og S náttúrufræðideild I Sör erkefnið er á 5 töluettu blaðíðu. Leyfileg hjálargögn eru hjálagt forúlublað og aareiknir. otaðu
Διαβάστε περισσότεραÁlyktanir um hlutföll og tengslatöflur
Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur LAN 203G & STÆ209G Anna Helga Jónsdóttir Sigrún Helga Lund Háskóli Íslands Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur 1 / 27 Helstu atriði:
Διαβάστε περισσότεραBorðaskipan í þéttefni
Eðlisfræði þéttefnis I: Borðaskipan í þéttefni Kafli 7 Jón Tómas Guðmundsson tumi@hi.is 8. vika haust 2017 1 Inngangur Sú nálgun sem gerð var með einnar rafeindar nálguninni og með því að gera ráð fyrir
Διαβάστε περισσότεραt 2 c2 2 Φ = 0. (2.1)
2 Bylgjuaflfræði Eftir að de Broglie setti fram tilgátu sína og í ljós kom að hún átti við rök að styðjast var ljóst að finna þyrfti bylgjujöfnu sem þessar bylgjur hlíttu. Rafsegulbylgjur, hljóðbylgjur
Διαβάστε περισσότεραForritunarkeppni Framhaldsskólanna 2014
2014 Morpheus deild - eftir hádegi Háskólinn í Reykjavík 20. mars 2014 Verkefni 1 Á Milli Skrifið forrit sem les inn þrjár heiltölur a, b og c. Skrifið út Milli ef talan b er á milli a og c á talnalínunni.
Διαβάστε περισσότεραGeoGebruhjálp Handbók með útgáfu 3.2
GeoGebruhjálp Handbók með útgáfu 3.2 2 Markus Hohenwarter og Judith Hohenwarter www.geogebra.org Handbók GeoGebra 3.2 Höfundar Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org
Διαβάστε περισσότεραSpan og orka í einfaldri segulrás
Rafmagnsvélar 1 - RAF601G 1 Span og orka í einfaldri segulrás Inductance and energy in a simple magnetic circuit Rafmagnsvélar 1 - RAF601G 2 Lögmál Faradays spansegulviðnám Lögmál Faradays er hluti af
Διαβάστε περισσότεραRAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn
RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn Miðvikudaginn 20. okóber 2010, kl. 08:20-09:50 Leyfileg hjálpargögn: reiknivél og ei A-blað með hverju sem er (innan marka heilbrigðrar skynsemi) á báðum hliðum.
Διαβάστε περισσότεραKaplan Meier og Cox. Aðferðafræði klínískra rannsókna haustið 2010 Fimmtudagur 11 nóvember. Thor Aspelund Hjartavernd og Háskóla Íslands
Kaplan Meier og Cox Aðferðafræði klínískra rannsókna haustið 2010 Fimmtudagur 11 nóvember Thor Aspelund Hjartavernd og Háskóla Íslands Tími að atburði í heilbrigðisvísindum Í heilbrigðisvísindum er útkoman
Διαβάστε περισσότερα6. júní 2016 kl. 08:30-11:00
Sveinsprófsnefnd sterkstraums Rafmagnsfræði, stýrikerfi og búnaður 6. júní 2016 kl. 08:30-11:00 Nafn: Kennitala: Heimilisfang:_ Hjálpargögn: Skriffæri, reglustika, og reiknivél. Nota má bókina Formúlur
Διαβάστε περισσότεραGagnasafnsfræði Venslaalgebra og bestun fyrirspurna. Hallgrímur H. Gunnarsson
Gagnasafnsfræði Venslaalgebra og bestun fyrirspurna Hallgrímur H. Gunnarsson Inngangur SQL: SQL er declarative mál, segir bara hvað á að reikna, en ekki hvernig. Það er undir gagnasafnskerfinu komið að
Διαβάστε περισσότεραFRÆÐSLUSKRIFSTOFA RAFIÐNAÐARINS
FÆÐSLSKIFSTOF FIÐNÐINS FOMÚL VEGN SVEINSÓFS Í FIÐNM Útgáfa SVEINSÓFSNEFND FIÐN STEKSTMS Fræðsuskrifstofa rafiðnaðarins Sveinsprófsnefnd sterkstraums FOMÚL FOMÚLTEXTI ρ Δ cosϕ I ρ Δ ρ Δ Spenna V I Straumur
Διαβάστε περισσότεραH2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði
H2S loftgæðamælingar, Norðlingaholt, Hveragerði, 1. og 2. ársfjórðungur 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 14 16. júlí 2015 H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir janúar til
Διαβάστε περισσότερα4.01 Maður ekur 700 km. Meðalhraðinn er 60 km/klst fyrstu 250 km og 75 km/klst síðustu 450 km. Hver er meðalhraðinn?
4. kafli, dæmi og vör með útreikningum Skrifað út 9..4; :34 4. Maður ekur 7 km. Meðalhraðinn er 6 km/klt fyrtu 5 km og 75 km/klt íðutu 45 km. Hver er meðalhraðinn? S S Sv.: Hér þarf að reikna tímann fyrir
Διαβάστε περισσότεραIðjuþjálfun LIE0103 Hrefna Óskarsd.
Intraplural fluid alveoli P atm = O mmhg P alv P ip = P alv = O mmhg Lung elastic recoil 4 mmhg Chest wall P ip = -4 mmhg að anda inn og út. útöndun án mikils krafts, þ.e. af ákveðnu hlutleysi, og getum
Διαβάστε περισσότεραNokkur valin atriði úr aflfræði
Einföld sveifluhreyfin Nour valin atriði úr aflfræði Soðum raftajöfnuna fyrir orm með ormstuðul sem má rita á eftirfarandi formi: mẍ = x sem er óhliðruð. stis diffurjafna. Umritum hana yfir á eftirfarandi
Διαβάστε περισσότεραGreinargerð Trausti Jónsson. Sveiflur IV. Árstíðasveiflur í háloftunum yfir Keflavík
Greinargerð 44 Trausti Jónsson Sveiflur IV Árstíðasveiflur í háloftunum yfir Keflavík VÍ-VS4 Reykjavík Mars 24 Árstíðasveifla ýmissa veðurþátta í háloftunum yfir Keflavík Inngangur Hér verður fjallað um
Διαβάστε περισσότεραAð setja fastan og kvikan texta í myndaglugga GeoGebru
Að setja fastan og kvikan texta í myndaglugga GeoGebru Vinnublað 5 Judith og Markus Hohenwarter www.geogebra.org Íslensk þýðing: ágúst 2010 Þýðendur Freyja Hreinsdóttir Guðrún Margrét Jónsdóttir Nanna
Διαβάστε περισσότεραStillingar loftræsikerfa
Stillingar loftræsikerfa Apríl 009 Stillingar loftræsikerfa Höfundar: og Útgefandi: IÐAN fræðslusetur ehf IÐAN fræðslusetur Skúlatúni 105 Reykjavík Fyrsta útgáfa 004 Önnur útgáfa 008 Þriðja útgáfa 009
Διαβάστε περισσότεραVeghönnunarreglur 03 Vegferill
3 Veghönnunarreglur 03 01.08.2010 Flokkun gagna innan Vegagerðarinnar Flokkur Efnissvið Einkenni (litur) 1 Lög, reglugerðir, og önnur Svartur fyrirmæli stjórnvalda 2 Stjórnunarleg fyrirmæli, Gulur skipurit,
Διαβάστε περισσότεραBLDC mótorstýring. Lokaverkefni í rafmagnstæknifræði BSc. Halldór Guðni Sigvaldason
BLDC mótorstýring Halldór Guðni Sigvaldason Lokaverkefni í rafmagnstæknifræði BSc 2014 Höfundur: Halldór Guðni Sigvaldason Kennitala: 201266-2979 Leiðbeinandi: Baldur Þorgilsson Tækni- og verkfræðideild
Διαβάστε περισσότεραGuðbjörg Pálsdóttir Guðný Helga Gunnarsdóttir NÁMSGAGNASTOFNUN
Guðbjörg Pálsdóttir Guðný Helga GunnarsdóttirNÁMSGAGNASTOFNUN Til nemenda Námsefnisflokkurinn 8 tíu er ætlaður nemendum í 8. 10. bekk. Grunnbókin 8 tíu 5 skiptist í átta meginkafla. Í hverjum kafla er
Διαβάστε περισσότεραH 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og Nesjavallavirkjun
H 2 S loftgæðamælingar á Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. ársfjórðungur 2018 Bls. 1 Skýrsla nr. 42 3. maí 2018 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar fyrir
Διαβάστε περισσότερα1) Birgðabreyting = Innkaup - Sala + Framleiðsla - Rýrnun - Eigin notkun. Almennari útgáfa af lögmálinu hér fyrir ofan lítur svona út:
Massajöfnunarkerfi Svokölluð jöfnunarkerfi eru notuð til að fylgjast með magni efnis þegar það fer í gegnum ferli. Slík kerfi eru útgáfur af lögmálinu um varðveislu massans. Einfaldasta jöfnunarkerfið
Διαβάστε περισσότεραSæmundur E. Þorsteinsson, TF3UA
Sæmundur E. Þorsteinsson, TF3UA Flutningslínur Á formlegri ensku heita þær Transmission Lines Líka oft kallaðar Feeder lines Fæðilínur Flutningslínur, merkjaflutningslínur Flutningslína flytur afl (merki)
Διαβάστε περισσότεραH 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun
H 2 S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. ársfjórðungur 2016 Bls. 1 Skýrsla nr. 21 26. apríl 2016 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar
Διαβάστε περισσότεραH2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði
H2S loftgæðamælingar, Norðlingaholti og Hveragerði, fyrir árið 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 18 18. janúar 2016 H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir árið 2015 Unnið
Διαβάστε περισσότεραH 2 S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði
H 2 S loftgæðamælingar, Norðlingaholti og Hveragerði, 1. - 3. ársfjórðungur 2016 Bls. 1 Skýrsla nr. 24 19. október 2016 H 2 S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir
Διαβάστε περισσότερα9 x 2 x 2 x 3 = 19 (9 + 2) 2 3 = 19
Verkefnablað 7.35 Horfin aðgerðartákn Settu aðgerðartákn (+,, :, ) og sviga á rétta staði þannig að svörin verði rétt. Dæmi: 9 x 2 x 2 x 3 = 19 (9 + 2) 2 3 = 19 a 9 x 8 x 3 x 2 = 7 b 16 x 9 x 5 x 5 = 10
Διαβάστε περισσότεραH 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun
H2S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. og 2. ársfjórðungur 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 15 16. júlí 2015 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar
Διαβάστε περισσότεραFylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Symbicort mite Turbuhaler 80 míkrógrömm/4,5 míkrógrömm/skammt, Innöndunarduft
Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Symbicort mite Turbuhaler 80 míkrógrömm/4,5 míkrógrömm/skammt, Innöndunarduft Budesonid/formoterolfumarattvíhýdrat Lesið allan fylgiseðilinn vandlega áður
Διαβάστε περισσότεραOrkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku
1 Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku Electromechanical energy conversion principles Umbreyting milli raforku og hreyfiorku Umbreytingin getur almennt gengið í hvora áttina sem er: Umbreyting úr
Διαβάστε περισσότεραNiðurstöður aurburðarmælinga í Jökulsá í Fljótsdal árið 2003
Verknr.: 7-546763 Jórunn Harðardóttir Svava Björk Þorláksdóttir Niðurstöður aurburðarmælinga í Jökulsá í Fljótsdal árið 2003 Unnið fyrir Landsvirkjun OS-2004/010 Apríl 2004 ISBN 9979-68-141-1 ORKUSTOFNUN
Διαβάστε περισσότεραVísandi mælitæki (2) Vísandi mælitæki. Vísandi mælitæki (1) Vísandi mælitæki (3)
1 2 Vísandi mælitæki (2) Vísandi mælitæki Fjöldi hliðrænna tækja byggir á því að rafsegulsvið myndast umhverfis leiðara með rafstraumi. Við það færist vísir: Með víxlverkun síseguls og segulsviðs umhverfis
Διαβάστε περισσότεραViðskipta- og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 6
Viðskipta- og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 6 Háskóli Íslands Helgi Tómasson Líkindafræði kafli 2-9 Berið saman við líkindafræðina í Newbold. Tilgangur líkindafræði í tölfræðinámsskeiði er að
Διαβάστε περισσότεραVeghönnunarreglur 02 Þversnið
3 Veghönnunarreglur 02 10.01.2011 Flokkun gagna innan Vegagerðarinnar Flokkur Efnissvið Einkenni (litur) 1 Lög, reglugerðir, og önnur Svartur fyrirmæli stjórnvalda 2 Stjórnunarleg fyrirmæli, Gulur skipurit,
Διαβάστε περισσότεραHugtakalisti fyrir 10. bekk. Listinn er ekki tæmandi!!!
Hugtakalisti fyrir 10. bekk. Listinn er ekki tæmandi!!! Tölur o Talnamengin eru fjögur: N, Z, Q og R. o Náttúrulegar tölur (N) Allar jákvæðar heilar tölur. ATH. ekki 0. o Heilar tölur (Z) Allar heilar
Διαβάστε περισσότεραSKALI STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG KENNARABÓK. Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth
SKALI KENNARABÓK STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth Menntamálastofnun 8542 3B Skali 3B Kennarabók Heiti á frummálinu: Maximum
Διαβάστε περισσότεραEðlisfræði II: Riðstraumur. Kafli 11. Jón Tómas Guðmundsson 10. vika vor 2016
Eðlisfræði II: Riðstraumur Kafli 11 Jón Tómas Guðmundsson tumi@hi.is 10. vika vor 2016 1 Inngangur Grafið sem sýnir augnabliksgildi rafmerkis sem fall af tíma er nefnt bylgjuform merkis Gjarnan eru bylgjuform
Διαβάστε περισσότεραMeistararitgerð. Verðlagning langlífisáhættu
Meistararitgerð í hagfræði Verðlagning langlífisáhættu Rafn Sigurðsson Hagfræðideild Háskóla Íslands Leiðbeinendur: Helgi Tómasson, Birgir Hrafnkelsson Júní 2010 Útdráttur Í fyrri hluta verkefnisins er
Διαβάστε περισσότεραCHEMISTRY. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss. Rafeindabygging atóma. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss
CHEMISTRY The Central Science 9th Edition Rafeindabygging atóma David P. White Allar bylgjur hafa einkennandi bylgjulengd, λ, og útslag, A. Tíðni bylgju, ν, er fjöldi heilla bylgna sem fara yfir línu á
Διαβάστε περισσότεραH2S mælingar í Norðlingaholti og Hveragerði Skýrsla um mælingar árið 2013 Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur
Bls. 1 Skýrsla nr. 2 (útgáfa 2) 12. janúar 2014 H2S mælingar í Norðlingaholti og Hveragerði Skýrsla um mælingar árið 2013 Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur Höfundur: Andrés Þórarinsson Verkfræðistofan
Διαβάστε περισσότεραbarnatennurnar BÓKIN UM Bókin um barnatennurnar
Sem nýbakaðir foreldrar eigum við margt ólært. Við viljum gera allt sem í okkar valdi stendur til að hugsa vel um börnin okkar. Góð munnhirða er barninu nauðsynleg. Sem foreldri gegnir þú lykilhlutverki
Διαβάστε περισσότεραRit LbhÍ nr Áhrif aldurs áa, þunga, holda og framleiðsluára. á gagnasafni Hestbúsins
Rit LbhÍ nr. 110 Áhrif aldurs áa, þunga, holda og framleiðsluára á frjósemi áagreining á gagnasafni Hestbúsins 2002-2013 Jóhannes Sveinbjörnsson Emma Eyþórsdóttir Eyjólfur K. Örnólfsson 2018 Rit LbhÍ nr.
Διαβάστε περισσότεραHæðarkerfi og hæðir Þórarinn Sigurðsson Landmælingar Íslands
Hæðarkerfi og hæðirh Þórarinn Sigurðsson Landmælingar Íslands thorarinn@lmi.is Tilkoma hæðarkerfisinsh Nefnd til að fjalla um landmælingar lingar á Íslandi sett á fót t 1991 Sameiginlegt hæðarkerfi h fyrir
Διαβάστε περισσότεραUm tölvur stýrikerfi og forritun
Um tölvur stýrikerfi og forritun Tölvur Fyrstu tölvurnar voru smíðaðar um miðja síðustu öld. Þær voru gríðarstórar á okkar tíma mælikvarða og fylltu stóra sali. Grunnhlutar tölva hafa frá þessum fyrstu
Διαβάστε περισσότεραH 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun
H2S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, fyrir árið 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 19 18. janúar 2016 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar fyrir
Διαβάστε περισσότεραfyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4)
Viðskipta- og Hagfræðideild fyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Hagrannsóknir II, Helgi Tómasson Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4) Nokkur hugtök Stationarity: Weak/Strong.
Διαβάστε περισσότερα16 kafli stjórn efnaskipta
16 kafli stjórn efnaskipta Stjórnun efnaskipta kodhydrata, próteina og fitu Þegar við erum búin að koma næringu úr meltingarveginum og út í blóðið, þarf að koma næringunni áfram yfir í þær frumur sem eiga
Διαβάστε περισσότεραTölfræði II. Lausnahefti við völdum dæmum. Haustönn 2004
Tölfræð II Lausaheft vð völdum dæmum Haustö 4 Erledur Davíðsso 5 Erledur Davíðsso Efsyfrlt Dæm Slembbreytur, líkdafræð...4 Dæm - Þéttföll...4 Dæm 3 Ýmsar drefgar...4 Dæm 4 - Vætgld...5 Dæm 5 Vægsframleðarar...5
Διαβάστε περισσότεραHÖNNUN BURÐARVIRKIS IÐNAÐARHÚSS SAMANBURÐUR Á MISMUNANDI BYGGINGAREFNUM
HÖNNUN BURÐARVIRKIS IÐNAÐARHÚSS SAMANBURÐUR Á MISMUNANDI BYGGINGAREFNUM Lokaverkefni í byggingartæknifræði BSc 2014 Höfundur: Kennitala: 110981-3929 Torfi G.Sigurðsson Tækni- og verkfræðideild School of
Διαβάστε περισσότεραHÖNNUN Á STRENGLÖGN 11KV ÞINGVALLASVEIT
HÖNNUN Á STRENGLÖGN 11KV ÞINGVALLASVEIT Ágúst Jónsson Lokaverkefni í rafiðnfræði 2016 Höfundur: Ágúst Jónsson Kennitala:290174-4659 Leiðbeinandi: Lárus Einarsson Tækni- og verkfræðideild School of Science
Διαβάστε περισσότεραStær fræ i. Kennsluleiðbeiningar. Kennsluleiðbeiningar. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 15. febrúar 2007
4 1 2 3 5 6 Kennsluleiðbeiningar Kennsluleiðbeiningar 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN 15. febrúar 2007 Átta tíu Stærðfræði 4 Kennsluleiðbeiningar 2007 Guðbjörg Pálsdóttir og Guðný Helga Gunnarsdóttir 2007 teikningar
Διαβάστε περισσότεραÁLFHÓLAR BURÐARÞOLSHÖNNUN STÁLGRINDARHÚSS
ÁLFHÓLAR BURÐARÞOLSHÖNNUN STÁLGRINDARHÚSS Jóhanna Bettý Durhuus Lokaverkefni í byggingartæknifræði BSc 011 Höfundur/höfundar: Jóhanna Bettý Durhuus Kennitala: 160584-3789 Leiðbeinandi: Jón Guðmundsson
Διαβάστε περισσότεραC Q T. þessu blaði. 5. tbl. 23. árg. des. 2005
C Q T F Í Þeir félagar Ársæll TF3AO og Bjarni TF3GB tóku þátt í CQ WW RTTY keppninni vestur í Otradal hjá Þorvaldi TF4M. Sjá nánar í grein í blaðinu. Myndina tók Þorvaldur Stefánsson TF4M þessu blaði 5.
Διαβάστε περισσότεραSkýrsla LV nr: LV Dags: desember Titill: Landbrot á bökkum Hálslóns í Kringilsárrana úttekt 2017
Lykilsíða Skýrsla LV nr: LV-2017-103 Dags: desember 2017 Fjöldi síðna: 15 Upplag: Dreifing: Birt á vef LV Opin Takmörkuð til Titill: Landbrot á bökkum Hálslóns í Kringilsárrana úttekt 2017 Höfundar/fyrirtæki:
Διαβάστε περισσότεραFOUCAULT þrír textar 2014
FOUCAULT þrír textar www.starafugl.is 2014 Inngangur: Listaverk er ekki hlutur, það er lífið Nanna Hlín Halldórsdóttir Núna þegar niðurnjörvaður prófessjónalismi er búinn að gelda svo margt fallegt er
Διαβάστε περισσότεραStærðfræði. Lausnir. Lausnir. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 20. apríl 2009
4 1 2 3 5 6 Lausnir Lausnir 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN 20. apríl 2009 Átta Lausnir 2007 Björgvin Sigurðsson, Guðbjörg Pálsdóttir og Guðný Helga Gunnarsdóttir Ritstjóri: Hafdís Finnbogadóttir Öll réttindi áskilin
Διαβάστε περισσότεραFYLGISEÐILL FYRIR. PHENOLEPTIL 100 mg töflur fyrir hunda
FYLGISEÐILL FYRIR PHENOLEPTIL 100 mg töflur fyrir hunda 1. HEITI OG HEIMILISFANG MARKAÐSLEYFISHAFA OG ÞESS FRAMLEIÐANDA SEM BER ÁBYRGÐ Á LOKASAMÞYKKT, EF ANNAR Markaðsleyfishafi: Nafn: Le Vet B.V. Heimilisfang:
Διαβάστε περισσότεραSkilaverkefni 1. Skil á þriðjudaginn
Nafn: Skilaverkefni 1 Skil á þriðjudaginn 1. Bíll ekur frá Reykjavík á Selfoss. Ferðin tekur 45 mínútur og vegalendin sem bíllinn fer er 50 Km. Hver er meðalhraði bílsins á leiðinni í m/s og Km/klst? 2.
Διαβάστε περισσότεραTölfræði II Samantekt vor 2010
Tölfræði II Samatekt vor 00 Ályktuartölfræði Hvað er ályktuartölfræði (iferetial statistics)? Öryggisbil (cofidece iterval) Marktektarpróf Ályktuartölfræði: Hverig er öryggisbil reikað? Gerum ráð áðfyrir
Διαβάστε περισσότεραKafli 1: Tímastuðull RC liður. Dæmi 1.1 A: 3,3ms B: 7,56V Dæmi 1.2 A: 425µF B: 1s Dæmi 1.3 A: 34,38V B: 48,1V Dæmi 1.4 A: 59,38s
Kafli 1: Tímastuðull RC liður Dæmi 1.1 A: 3,3ms B: 7,56V Dæmi 1.2 A: 425µF B: 1s Dæmi 1.3 A: 34,38V B: 48,1V Dæmi 1.4 A: 59,38s Kafli 2: NTC, PTC, LDR, VDR viðnám Dæmi 2.1 A: Frá vinstri: NTC viðnám, VDR
Διαβάστε περισσότεραLauf_P :26 Page 1 Laufblaðið Gefið út af Landssamtökum áhugafólks um flogaveiki 2. tölublað 9. árg. 2001
Laufblaðið Gefið út af Landssamtökum áhugafólks um flogaveiki 2. tölublað 9. árg. 2001 Laufblaðið Gefið út af: Landssamtökum áhugafólks um flogaveiki LAUF Hátúni 10b 105 Reykjavík Sími: 551-4570 Bréfsími:
Διαβάστε περισσότεραFYLGISEÐILL. Dorbene Vet 1 mg/ml stungulyf, lausn fyrir hunda og ketti.
FYLGISEÐILL Dorbene Vet 1 mg/ml stungulyf, lausn fyrir hunda og ketti 1. HEITI OG HEIMILISFANG HANDHAFA MARKAÐSLEYFIS OG ÞESS FRAMLEIÐANDA SEM BER ÁBYRGÐ Á LOKASAMÞYKKT, EF ANNAR Laboratorios SYVA S.A.U.,
Διαβάστε περισσότεραHagrannsóknir II fyrirlestraglósur
Hagrannsóknir II fyrirlestraglósur hluti I Björn Arnar Hauksson bah@hi.is Vor 2003 Útdráttur Efni þessa glósurits er ritað í fyrirlestrum í Hagrannsóknum II, vorið 2003. Kennt af Helga Tómassyni. Engin
Διαβάστε περισσότεραVinkill. Lausnir. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk
Vinkill 7. ágúst 008 Ítarefni í stærðfræði frir 0. bekk Um efnið Efnisfirlit Þetta efni er ætlað sem ítarefni í stærðfræði frir unglingastig. Efnið getur hentað til einstaklings- eða paravinnu í skólanum
Διαβάστε περισσότεραÞjófavarnarkerfi fyrir bílstöðvar
Stjórn Í.R.A. 1982-1983: Kristján Benediktsson, TF3KB, formaður. Guðjón Einarsson. TF3AC, varaformaður. Jónas Bjarnason, TF3JB, ritari. Óskar Sverrisson, TF3DC, gjaldkeri Ólafur P Guðjónsson. TF3MXN, varastjórn.
Διαβάστε περισσότεραSAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS
SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1. HEITI DÝRALYFS PHENOLEPTIL 25 mg töflur handa hundum 2. INNIHALDSLÝSING Hver tafla inniheldur Virk innihaldsefni mg Fenóbarbital 25 Hjálparefni: Sjá lista yfir öll hjálparefni
Διαβάστε περισσότεραVinkill 3. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk
Vinkill 3 Ítarefni í stærðfræði frir 0. bekk Um efnið Efnisfirlit Þetta efni er ætlað sem ítarefni í stærðfræði frir unglingastig. Efnið getur hentað til einstaklings- eða paravinnu í skólanum en einnig
Διαβάστε περισσότεραSkrifað út ; 18:59 gk. 6. kafli, dæmi og svör með útreikningum
6. kafli, dæmi og svör með útreikningum Skrifað út 30.3.2005; 18:59 6.1 Brennsluspritt hefur eðlismassann 0,8/cm 3. Hversu langa pípu þyrfti að nota í loftvog til að samsvara loftþrýstingi miðað við 76
Διαβάστε περισσότεραRafbók. Riðstraumsmótorar. Kennslubók
Kennslubók Þetta hefti er þýtt úr dönsku með góðfúslegu leyfi EVU í Danmörku. Íslensk þýðing: Sigurður H. Pétursson Mynd á kápu er fengin frá Guðna Þór í Rönning Umbrot: Ísleifur Árni Jakobsson Faglegur
Διαβάστε περισσότεραHætta af rafmagni og varnir
Hætta af rafmagni og varnir Leysir af hólmi bæklinginn "Námsefni úr Reglugerð um raforkuvirki" 1. Rafstraumur um líkamann Rafstraumurinn sem fer um líkamann er skaðvaldurinn og spennan að því marki sem
Διαβάστε περισσότεραLandskeppni í eðlisfræði 2014
Landskeppni í eðlisfræði 2014 Forkeppni 18. febrúar 2014, kl. 10:00-12:00 Leyleg hjálpargögn: Reiknivél sem geymir ekki texta. Verkefnið er í tveimur hlutum og er samtals 100 stig. Gættu þess að lesa leiðbeiningar
Διαβάστε περισσότεραKafli 4 Línulegur kraftur og hreyfing
Kafli 4 Línulegur kraftur og hreyfing Kraftur (force) Ytri og innri kraftar. Við þurfum að beita miklum innri kröftum til mótvægis við ytri krafta og mikið álag á þessa innri krafta getur valdið vefjaskemmdum.
Διαβάστε περισσότεραSAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS
SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1. HEITI LYFS Travoprost Alvogen 40 míkrógrömm/ml, augndropar, lausn. 2. INNIHALDSLÝSING Hver ml af lausn inniheldur 40 míkrógrömm af travóprosti. Meðaltal virks efnis/dropa:
Διαβάστε περισσότεραAnnar kafli Hraði, hröðun, kraftur og massi
Annar kafli Hraði, hröðun, kraftur og massi Markmið kaflans eru að kunna: Hraða, hröðun Stigstærð, vektorstærð Reikna krafta sem verka á hluti með hliðsjón af massa og hröðun hans Geta reiknað lokahraða
Διαβάστε περισσότεραReglur um skoðun neysluveitna
Reglur um skoðun neysluveitna 1 INNGANGUR Mannvirkjastofnun setur reglur um skoðun neysluveitna samkvæmt ákvæðum reglugerðar um raforkuvirki nr. 678/2009. Reglur um skoðun neysluveitna eru settar samkvæmt
Διαβάστε περισσότεραFylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g hlaup. kalsípótríól/betametasón
Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g hlaup kalsípótríól/betametasón Lesið allan fylgiseðilinn vandlega áður en byrjað er að nota lyfið. Í honum eru mikilvægar
Διαβάστε περισσότεραGPS-mælingar á Hengilssvæði í apríl og maí 2003
ORKUSTOFNUN Rannsóknasvið Verknr. 8 730 014 Nesjavallaveita GPS-mælingar á Hengilssvæði í apríl og maí 2003 Gunnar Þorbergsson Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur OS-2003-033 Júní 2003 ORKUSTOFNUN RANNSÓKNASVIÐ
Διαβάστε περισσότεραSKALI STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG KENNARABÓK. Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth
SKALI KENNARABÓK STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth Menntamálastofnun 7377 2B Skali 2B Kennarabók Heiti á frummálinu: Maximum
Διαβάστε περισσότεραGrunnvatnsrannsóknir í Norðurþingi 2010
Grunnvatnsrannsóknir í Norðurþingi 2010 Hrefna Kristmannsdóttir Maí 2011 1 EFNISYFIRLIT AÐFERÐIR... 3 GAGNAÖFLUN OG SÝNATAKA... 4 NIÐURSTÖÐUR MÆLINGA... 5 MÆLING SNEFILEFNA Í VATNSSÝNUM... 18 HLUTFALL
Διαβάστε περισσότεραS t æ r ð f r æ ð i. Kennsluleiðbeiningar. Kennsluleiðbeiningar. 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN. 7. september 2006
2 3 4 5 6 S t æ r ð f r æ ð i Kennsluleiðbeiningar Kennsluleiðbeiningar 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN NÁMSGAGNASTOFNUN 2. útgáfa 2006 7. september 2006 Átta tíu Kennsluleiðbeiningar 2006 Guðbjörg Pálsdóttir og
Διαβάστε περισσότερα11979 H: Lögum um aðildarskilmála og aðlögun að sáttmálunum aðild Lýðveldisins Grikklands (Stjtíð. EB L 291, , bls. 17),
4. FÉLAGARÉTTUR A. FÉLAGARÉTTUR 1. 31968 L 0151: Fyrsta tilskipun ráðsins 68/151/EBE frá 9. mars 1968 um samræmingu verndarráðstafana, sem ætlað er að vera jafngildar í bandalaginu og aðildarríki krefjast
Διαβάστε περισσότεραFylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins
Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Rabeprazol Medical Valley 10 mg magasýruþolnar töflur Rabeprazol Medical Valley 20 mg magasýruþolnar töflur rabeprazolnatríum Lesið allan fylgiseðilinn vandlega
Διαβάστε περισσότεραGrunnvatnsrannsóknir í Norðurþingi
LV-2010/010 Grunnvatnsrannsóknir í Norðurþingi 2007-2010 Undirtitill Ágúst 2010 EFNISYFIRLIT INNGANGUR... 5 AÐFERÐIR... 5 GAGNAÖFLUN OG SÝNATAKA... 5 NIÐURSTÖÐUR MÆLINGA... 6 Mæling aðalefna í vatnssýnum
Διαβάστε περισσότεραRafmagsfræði loftræsikerfa
Rafmagsfræði loftræsikerfa Sigurður Sigurðsson Febrúar 2003 Sigurður Sigurðsson 2 Rafmagnsfræði loftræsikerfa Höfundur: Sigurður Sigurðsson Útgefandi: IÐAN fræðslusetur ehf IÐAN fræðslusetur, Skúlatúni
Διαβάστε περισσότεραSAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS
SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1. HEITI LYFS Fenemal Meda 15 mg töflur. Fenemal Meda 50 mg töflur. Fenemal Meda 100 mg töflur. 2. INNIHALDSLÝSING Hver tafla inniheldur phenobarbital 15 mg, 50 mg eða 100
Διαβάστε περισσότεραVIÐAUKI I SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS
VIÐAUKI I SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1 1. HEITI LYFS Cystadane 1 g duft til inntöku 2. INNIHALDSLÝSING 1 g af dufti inniheldur 1 g af vatnsfríu betaíni. Sjá lista yfir öll hjálparefni í kafla 6.1. 3.
Διαβάστε περισσότεραFylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g smyrsli. kalsípótríól/betametasón
Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g smyrsli kalsípótríól/betametasón Lesið allan fylgiseðilinn vandlega áður en byrjað er að nota lyfið. Í honum eru mikilvægar
Διαβάστε περισσότεραVIÐAUKI I SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS
VIÐAUKI I SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1 1. HEITI LYFS Relistor 12 mg/0,6 ml stungulyf, lausn. 2. INNIHALDSLÝSING Hvert hettuglas með 0,6 ml inniheldur 12 mg af metýlnaltrexónbrómíði. Einn ml af lausn
Διαβάστε περισσότερα