Vinkill. Lausnir. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk

Transcript

1 Vinkill 7. ágúst 008 Ítarefni í stærðfræði frir 0. bekk

2 Um efnið Efnisfirlit Þetta efni er ætlað sem ítarefni í stærðfræði frir unglingastig. Efnið getur hentað til einstaklings- eða paravinnu í skólanum en einnig má nýta það sem heimavinnuverkefni. Sum verkefnin geta nemendur lest á blöðunum en önnur þarf að skrá í vinnubók. Pýþagoras Regla Pýþagórasar Rétthrndir þríhrningar Flatarmndir Í daglegu lífi 6 Í daglegu lífi 7 Sannanir á reglu Pýþagórasar 8 Rúmmál 9 Pýramídar rúmmál 9 Pýramídar firborðsflatarmál 0 Keilur rúmmál Keilur firborðsflatarmál Pýramídar og keilur Samsett form Líkindi Teningakast Hópverkefni Endurteknar tilraunir 6 Líkindatré 7 Líkindatré 8 Líkindatré 9 Líkur 0 Líkur Tölfræði Úrvinnsla úr könnun Svefntímakönnun Skutlukeppni Lýsandi tölfræði Almenn brot og veldi 6 Almenn brot ýmis dæmi 6 Brotabrot 7 Veldi og veldareglur 8 Stæður 9 Gildi stæðna 9 Stæður einfaldaðar 0 Margföldun liðastærða Stæður þáttaðar Brot á algebruformi Jöfnur Að lesa jöfnur Að lesa jöfnur Að lesa jöfnur 6 Jöfnur Pýþagórasar 7 Beinar línur 8 Beinar línur 9 Beinar línur 0 Lengd milli punkta á línu Lengd milli punkta á línu Skurðpunktar Jöfnur með tvær óþekktar stærðir Jöfnur með tvær óþekktar stærðir Jöfnur með tvær óþekktar stærðir 6 Annars stigs jöfnur 7 Horn 8 Horn 8 Hornastærðir 9 Hornastærðir algebra 0 Einslögun Prósentur Prósentur og vetir Prósentur og vetir Launaútreikningur Launaútreikningur Vinkill 008 Guðrún Angantýsdóttir, Katrín Halldórsdóttir og Þuríður Ástvaldsdóttir 008 teikningar: Böðvar Leós Ritstjóri: Hafdís Finnbogadóttir Öll réttindi áskilin. útgáfa 008 Námsgagnastofnun Umbrot og útlit: Námsgagnastofnun Vinkill Pýþagoras Námsgagnastofnun 008

3 Regla Pýþagórasar Pýþagoras. Samkvæmt reglu Pýþagórasar, a + b = c, á summa ferningstalna skammhliða á rétthrndum þríhrningi að vera jöfn ferningstölu langhliðarinnar. Kannaðu þetta með því að skoða ferningstölur skammhliðanna á eftirfarandi rétthrndum þríhrningum og athugaðu hvort summa þeirra sé jöfn ferningstölu langhliðarinnar. a. b = = 00. Skoðaðu til samanburðar tvo þríhrninga sem eru ekki rétthrndir og kannaðu hvort sama regla gildi um þá. a. b Reglan gildir því ekki frir þríhrninga sem eru ekki rétthrndir. Hvað kemur í ljós? Gildir regla Pýþagórasar líka um þessa þríhrninga?. Notaðu niðurstöður þínar úr dæmunum hér að ofan til þess að kanna hvort þríhrningarnir hér frir neðan eru rétthrndir eða ekki. Mældu þá, teiknaðu ferninga út frá hverri hlið og reiknaðu flatarmál ferninganna = Frri þríhrningurinn =, er rétthrndur. Seinni þríhrningurinn + 9 6, er ekki rétthrndur. Vinkill Pýþagoras Námsgagnastofnun 008

4 Rétthrndir þríhrningar. Notaðu reglu Pýþagórasar til þess að finna lengd langhliðarinnar á þessum rétthrndu þríhrningum. 8,7 cm cm = cm 0 cm cm = 7 cm cm 8,7 cm =, cm. Kannaðu hvort þú getir notað reglu Pýþagórasar til að finna lengd skammhliðar í rétthrndum þríhrningum. 0 cm = 6 cm cm 0 cm 6 cm = 8,8 cm 7 cm cm = cm. Finndu lengd óþekktu hliðanna. 8 cm 6,8 cm, cm,6 cm 7 cm 8 cm 0 cm,8 cm,67 cm,8 m,0 m 97, mm, m 0,96 m,6 m,9 m mm 78, mm Vinkill Pýþagoras Námsgagnastofnun 008

5 Flatarmndir Notaðu reglu Pýþagórasar til að lesa eftirfarandi verkefni.. Finndu flatarmál ferninganna þriggja á mndunum og lengd striksins. a. c. = + 9 = 9 cm cm 9 cm b. d. cm = 9 + = 0 = 7 + = 8 cm 6 cm = = 0 7 cm 8 cm. Finndu flatarmál skggðu svæðanna á mndunum. Athugaðu að allir ferhrningar á mndunum eru ferningar. a. c. 9 cm Frst þarf að finna hlið í ferningnum með reglu Pýþagórasar. = = 0 6 cm Flatarmálið litaða svæðisins = = 76 flatareiningar. 8 cm Frst þarf að finna hæð þríhningsins með reglu Pýþagórasar. = 9 --, = 7,79 Flatarmál þríhrnings = 9,9 =,07 flatareiningar. Flatarmál litaða svæðisins = 9,07 =,96 flatareiningar. b. Frst þarf að finna lang- d. hlið þríhninginsins með reglu Pýþagórasar. = + = cm cm Flatarmál fernings er = og flatarmál litaða svæðisins er =, flatareiningar. Flatarmál litaða svæðisins má skrá sem a + b sem er það sama og c = = 96 cm Vinkill Pýþagoras Námsgagnastofnun 008

6 Í daglegu lífi. Teiknaðu þríhrningana og kannaðu hvort þeir séu rétthrndir þegar hliðar þeirra eru: a. cm, 8 cm og 0 cm + 8 = 0 b. cm, 6 cm og 8 cm c. cm, cm og cm + = d. 9 cm, cm og cm 9 + = e. cm, 8 cm og 9 cm Einar stendur uppi í stiga og tínir epli af tré í garði sínum. Stiginn er,6 m að hæð og er staðsettur,8 m frá trénu. Hve hátt er tréð ef stiginn nær upp í af hæð þess? Frst þarf að finna hæð stigans. h stiga =,6 --,8 =, h trés =,68 m.. Einar og Bára kveðjast við krossgötur. Bára heldur í norður en Einar í vestur. Eftir 0 mínútur hefur Bára gengið 80 m en Einar 90 m. Hver er fjarlægðin milli þeirra? = 7,7 m. Bára ætlar að mála gaflinn á húsinu sínu. Þakskegg hússins er, m hátt. Hvað þarf hún langan stiga til að ná upp í hæð sem er 0, m undir þakskegginu ef hún gerir ráð frir að neðri endi stigans sé, m frá veggnum? Þarf að ná hæð sem er, 0, =,7 m.,7 +, =, m.. Einar mælir stærð tjarnar sem er á sumarbústaðarlóð hans. Hann mælir fjarlægðir frá sumarbústaðnum að hvorum enda tjarnarinnar. Hve löng er tjörnin? Lengd = 0 + = 9 m. Hér ætti að vera hægt að nota reglu Pýþagorasar. 0 Vinkill 6 Pýþagoras Námsgagnastofnun 008

7 Í daglegu lífi. Stiga er stillt upp þannig að hann rétt nær upp í glugga sem er í 0 m hæð frá jörðu. Stiginn stendur, m frá húsveggnum. Ef stiganum er velt fir að húsi sem stendur á móti nær hann upp í glugga sem er 9 m frá jörðu. Hve breið er gatan milli húsanna? Frst þarf að finna hæð stigans sem er 0 +, = 0, m. Fjarlægð stiga frá húsi á móti er 0, -- 9 =,0 m. Fjarlægð milli húsa er,0 +, = 7, m.. Frikki er að fljúga nýja flugdrekanum sínum. Flugdrekinn er kominn í u.þ.b. 8 m fjarlægð frá honum upp í loftið og er u.þ.b., m til hliðar við hann. Hvað má áætla að hann sé kominn marga metra upp í loft? Ef miðað er við að Frikki sé 6 cm á hæð, hve hátt er flugdrekinn þá frá jörðu? Fjarlægð frá Frikka er = 8 --, = 7, m. Hæð frá jörðu er 7,8 +,6 = 9,8 m.. Fánastöngin hennar Fjólu brotnaði í óveðri. Hún þurfti því að kaupa sér nýja en mundi ekki hvað gamla stöngin hafði verið há. Hjálpaðu henni að finna út hve löng hún var. Svaraðu með heilli tölu. Stöngin var 8 m löng., m, m Vinkill 7 Pýþagoras Námsgagnastofnun 008

8 Sannanir á reglu Pýþagórasar Margar sannanir eru til á reglu Pýþagórasar. Hér færð þú tækifæri til að spreta þig á tveimur sönnunum á reglunni.. Á. öld kom indverski stærðfræðingurinn Bhaskara með sönnun sem bggist á fjórum eins rétthrndum þríhrningum og einum ferningi. Þríhrningunum fjórum og ferningnum er hægt að raða saman í einn stærri ferning. a. Skráðu hliðarlengd stóra ferningsins. b b. Skráðu hliðarlengd minni ferningsins. c. Finndu flatarmál minni ferningsins. c b d. Finndu flatarmáll eins þríhrnings. a e. Finndu heildarflatarmáll allra þríhrninganna. c f. Settu fram jöfnu sem sýnir sambandið á milli flatarmáls þríhrninganna fjögurra og minni ferningsins annars vegar og flatarmál stóra ferningsins hins vegar. g. Einfaldaðu jöfnuna og athugaðu hvað kemur í ljós. h. Skráðu niðurstöður þínar. a c a. C b. b -- a c. (b -- a) = b ab + b a b d. e. (a b) = ab f. ab + a -- ab + b = c g. a + b. Þessi sönnun á reglu Pýþagórasar er sundum kennd við herforingjann James Garfield sem var, í stuttan tíma (áður en hann varð frir voðaskoti), forseti Bandaríkjanna (88). Sönnunin bggist á tveimur eins rétthrndum þríhrningum og öðrum rétthrndum þríhrningi sem saman mnda trapisuna ABDE. a. Finndu flatarmál þríhrninganna þriggja. b. Finndu flatarmál trapisunnar ABDE. c. Settu fram jöfnu sem sýnir sambandið á milli flatarmáls þríhrninganna þriggja annarsvegar og flatarmál trapisunnar ABDE. d. Einfaldaðu jöfnuna og athugaðu hvað kemur í ljós. e. Skráðu niðurstöður þínar. D b C a c E a c B b A Vinkill 8 Pýþagoras Námsgagnastofnun 008

9 Pýramídar rúmmál. Notaðu formúlu frir rúmmáli pýramída til þess að reikna rúmmál þessara pýramída. Rúmmál Rúmmál pýramída R = a b h m 70,8 cm 7 m 8 m 8, cm 9 cm 6 m cm. Hvert er rúmmál pýramída sem hefur grunnflöt 7 m og er m á hæð? 88 m. Pýramídi er með þrjár hliðar og þríhrningslaga botn. Hver hlið grunnflatarins er m á lengd og hæð hans er 7 m. Finndu flatarmál botnsins? Getur þú notað sömu formúlu til að reikna út rúmmál pýramída með fjórar hliðar? Kannaðu hvernig þú reiknar rúmmál þessa pýramída? Gott getur verið að teikna mnd til hjálpar. F = 7,9 m R =,7 m. Frir utan Louvre-safnið í París er stór glerpýramídi sem hefur ferningslaga botn og fjórar jafnstórar hliðar. Hliðarlengdir hans eru m og hæð hans er 0,6 m. Hve marga rúmmetra af lofti rúmar pýramídinn? Ef pýramídinn væri flltur með vatni hve marga lítra mndi hann taka? R = 8,67 m 8666,67 lítra. Ef pýramídinn við Louvre hefði haft hliðarlengdirnar 0 m en sama rúmmál, hver hefði hæð hans þá verið? 8,0 m hár Vinkill 9 Rúmmál Námsgagnastofnun 008

10 Pýramídar firborðsflatarmál. Hvað þarft þú að vita og finna til þess að geta reiknað firborðsflatarmál pýramída? Prófaðu að finna firborðsflatarmálið á þessum pýramídum. Það þarf að finna flatarmál allra hliða og leggja það síðan saman. 000 cm cm 9, m,8 m 0 cm 8 m 0 cm. Ef finna á firborðsflatarmál pýramída þar sem hæð hverrar hliðar er ekki gefin heldur aðeins hæð pýramídans sjálfs, hvaða leið getur þú notað? Skoðaðu mndirnar hér frir neðan og reiknaðu firborðsflatarmál pýramídanna. 8 m Það þarf að nota reglu Pýþagórasar til að finna hæð hliðanna. 6 m 7 m 7, m 960, cm 8, cm 9 cm 8 m cm. Frir utan Louvre-safnið í París er stór glerpýramídi sem hefur fjórar jafnstórar hliðar. Hliðarlengdir hans eru m við botninn og hæð hans í miðjunni er 0,6 m. Hversu marga fermetra af gleri þarf til þess að þekja pýramídann? Þarf að gera ráð frir gleri í botninn? Það þarf 89,0 m af gleri. Nei, það þarf ekki gler í botninn.. Hliðarnar í pýramídanum við Louvre eru settar saman úr tígullaga glerjum. Sumir halda því fram að glerin séu 666 talsins. Ef svo er, hve stór er þá hver glerplata í fersentímetrum? Hver plata er 80 cm.. Pýramídi hefur þrjár hliðar og þríhrningslaga botn. Allar hliðar hans eru jafnstórar. Grunnlína hvers þríhrnings er 9 cm og hæð hans er 7,8 cm. Hvert er firborðsflatarmál pýramídans? 0, cm. Það getur hjálpað að teikna mnd. Vinkill 0 Rúmmál Námsgagnastofnun 008

11 Keilur rúmmál. Finndu rúmmál keilnanna. Rúmmál keilu: R = r π h 60,88 cm 0, cm 76, cm 7 cm 9, cm, cm 6 cm 98 cm cm. Hæð cm Geisli, cm R = 6, cm R = 8, cm h,8 cm 6 cm. Rúmmál keilu er 6 cm og flatarmál grunnflatar hennar er 9 cm. a. Hver er hæð keilunnar? cm b. Hver er radíus grunnflatarins?, cm. Keila hefur rúmmálið 8 cm og hæðina 9, cm. Hvert er þvermál grunnflatarins?, cm. Vörubíll sturtaði, m af sandi í hrúgu. Hæð hrúgunnar var,7 m. a. Hvert er grunnflatarmál hrúgunnar?, m b. Hvert er þvermál hrúgunnar neðst við jörðina?,7 m 6. Keilulaga glas tekur, dl. a. Hvað eru það margir rúmsentímetrar? 0 cm b. Ef glasið er cm í þvermál hver er þá dýpt þess?,98 cm Vinkill Rúmmál Námsgagnastofnun 008

12 Keilur firborðsflatarmál. Reiknaðu flatarmál möttulsins á þessum keilum. Möttull keilu er M = π r l r l 0,06 cm 7,9 m 79,77 cm 6 cm 7, m 7, cm cm, m 8,7 cm. Þegar firborðsflatarmál keilna er fundið þarf bæði að finna flatarmál möttulsins og flatarmál grunnflatarins. Finndu flatarmál heildarfirborðs keilnanna í dæmi., cm, m 7086 cm. Hvaða leið mndir þú fara til að finna firborðsflatarmál keilu ef hæð hennar er gefin en ekki hliðarlengdin? Reiknaðu firborðsflatarmál þessara keilna. Þarf að nota reglu Pýþagórasar til að finna hliðarlengdina.,96 cm 9,7 cm 7,96 cm 7 cm 9, cm, cm 6 cm 98 cm cm. Villi er að baka vöffluform frir ísbúð og veltir frir sér hve margir fersentímetrar fara í hvert form. Vöffluformið er, cm að þvermáli og er cm á hæð. Hve margir fersentímetrar af deigi fara í vöffluformið? Villi fletur út deig sem er um það bil 60 cm á breidd og 7 cm á hæð. Hve mörg vöffluform getur hann fengið úr deiginu? 79,8 cm fara í hvert form. Hann getur fengið um 6 vöffluform.. Ljósið frá ljósastaur mndar keilulaga birtu. Fjarlægðin frá toppi staursins að jaðri birtunnar er 9, m og út frá því hefur verið reiknað að flatarmál möttulsins er um 0 m. Finndu hvað staurinn lýsir upp stórt svæði á jörðu niðri., m. Vinkill Rúmmál Námsgagnastofnun 008

13 Pýramídar og keilur Rúmmál keilu r π h Rúmmál pýramída a b h. Ef skoðaðar eru formúlur frir rúmmáli pýramída og keilna er í báðum tilfellum deilt með þremur. Hvers vegna telur þú að það sé? Það mætti draga þá álktun að verið sé að finna þriðjung af einhverju en af hverju ætli það gæti verið? Rúmmál pýramída er þriðjungur af rúmmáli ferstrendings með sama grunnflöt og sömu hæð. Rúmmál keilu er þriðjungur af rúmmáli sívalnings með sama grunnflöt og sömu hæð.. Skoðaðu ferstrending sem hefur hliðarlengdirnar cm, cm og cm og pýramída sem hefur hliðarlengdir grunnflatar cm og cm og sömu hæð og ferstrendingurinn. Ferstrendingur 60 cm, pýramídi 70 cm. 70 = 60 cm cm cm Reiknaðu rúmmál ferstrendingsins og pýramídans og kannaðu hvort rúmmál pýramídans sé af rúmmáli ferstrendingsins.. Skoðaðu nú sívalning og keilu sem bæði hafa sama geisla í grunnfleti og sömu hæð. Sívalningur 76, cm, keila 8, cm. 8, = 76, cm cm cm cm cm cm cm Reiknaðu rúmmál sívalningsins og keilunnar og kannaðu hvort rúmmál keilunnar sé af rúmmáli sívalningsins.. Notfærðu þér þessa vitneskju til þess að finna rúmmál loftrýmisins sem mndast á milli pýramída í ferstrendingi og keilu í sívalningi. Rendu að finna þetta út aðeins með því að finna annaðhvort rúmmál pýramídans eða rúmmál ferstrendingsins.,87 = 7,9 m 6,7 = 708,7 cm m cm,7 m,7 m cm Vinkill Rúmmál Námsgagnastofnun 008

14 Samsett form. Notaðu þá þekkingu sem þú hefur á rúmmáli forma til þess að finna rúmmál eftirfarandi samsettra hluta.,9 cm 69,6 m 9 cm 8 cm 6 m 6 cm m. Finndu firborðsflatarmál hlutanna í dæmi. Athugaðu að þú þarft ef til vill að notfæra þér reglu Pýþagórasar til að finna óþekktar lengdir. Gott er að hafa formúlublað við höndina.,8 cm 60, cm. Hér má sjá hluta af keilu. Upphaflega var hún 7 cm á hæð en hér er búið að sneiða ofan af henni bút sem var cm á hæð. Reiknaðu rúmmál hlutarins og firborðsflatarmál hans. R = 987, cm Y = 7,7 cm cm 9 cm. Í verksmiðju einni er verið að hefja framleiðslu á glærum plasttrektum. Framleiðslustjórinn þarf að vita hve margir fersentímetrar af plasti fara í hverja trekt. Hver trekt er cm í þvermál,0 cm há og stúturinn er, cm í þvermál og er 8 cm langur. Trektin sjálf er keilulaga og neðan af henni var tekinn bútur þar sem stúturinn var festur. Búturinn var, cm á hæð og var, cm í þvermál. Plastið í trektinni er að jafnaði mm þkkt. a. Hvert er firborðsflatarmál trektarinnar? Yfirborðsflatarmálið er 76,0 cm. b. Ef trektin rði sléttfllt af vatni, hvað mndi hún rúma mikið vatn? Trektin rúmar,0 cm eða um ml. Vinkill Rúmmál Námsgagnastofnun 008

15 Teningakast Hópverkefni Líkindi Vinnið saman tvö og tvö. Skráið hjá kkur fræðilegu líkurnarnar á að fá þegar teningi er kastað.. Búið til töflu eins og er hér frir neðan. Kastið teningnum sinnum og skráið í töfluna hve oft koma upp. Kastið svo teningnum aftur sinnum og skráið í töfluna. Bætið við það sem á undan er komið. Reiknið út hlutfallstíðni eins og staðan er eftir hverja færslu. Haldið áfram þangað til þið hafið kastað teningnum 0 sinnum. Eftir því sem tilraunin er endurtekin oftar þá nálgast líkurnar sem bggðar eru á tilrauninni hinar fræðilegu líkur. Dæmi: Í frstu fimm köstunum komu upp einu sinni. Í næstu fimm köstunum kom aldrei upp. Í næstu fimm þar á eftir kom upp sinnum. Eftir þessi skipti leit taflan svona út: Fjöldi kasta Tíðni kom upp Hlutfallstíðni 0 = 0, = 0% 0 = 0, = 0% = 0,6 = 6%. Gerið línurit þar sem -ás sýnir fjölda kasta og -ás sýnir hlutfallstíðni í prósentum.. Nú taka tveir og tveir hópar sig saman og sameina niðurstöður sínar. Reiknið hlutfallstíðni frir hverja færslu. Bætið niðurstöðunum við frra línurit.. Sameinið aftur niðurstöður og haldið áfram með línuritið.. Skoðið línuritið. Eru líkurnar (hlutfallstíðnin) sem þið fáið úr tilraununum þær sömu og fræðilegu líkurnar? Verða einhverjar bretingar á líkunum eftir því sem köstin verða fleiri? Ræðið og skráið niðurstöður. 6. Skráið niður hugmndir að líkindatilraunum sem þið gætuð gert á svipaðan hátt. Vinkill Líkindi Námsgagnastofnun 008

16 Endurteknar tilraunir. Hverjar eru líkurnar á að fá upp skjaldarmerkið þegar krónu er kastað upp?. Hverjar eru líkurnar á að fá skjaldarmerkið tvisvar í röð? En þrisvar í röð? og 8. Gunnhildur telur að það séu helmingslíkur á að fá skjaldarmerkið í kasti. Ef hún kastar peningi fjórum sinnum í röð telur hún að líkurnar séu 6 á að fá skjaldarmerkið upp í öll skiptin. Er þetta rétt hjá henni? Rökstddu svar þitt? Rétt. a. Hverjar eru líkurnar á því að fá slétta tölu þegar teningi er kastað? b. Teningi er kastað tvisvar sinnum, hverjar eru líkurnar á að fá slétta tölu í bæði skiptin? c. Teningi er kastað þrisvar sinnum, hverjar eru líkurnar á að fá slétta tölu í öll skiptin? og 8 8. a. Skífunni er snúið einu sinni. Hverjar eru líkurnar á að örin lendi á hvítu svæði? b. Skífunni er snúið tvisvar. Hverjar eru líkurnar á að örin lendi á hvíta svæðinu tvisvar í röð? 9 c. Skífunni er snúið þrisvar. Hverjar eru líkurnar á að örin lendi á hvíta svæðinu þrisvar í röð? 7 6. a. Í poka eru tvær hvítar kúlur og ein svört. Ef dregin er kúla úr pokanum hverjar eru líkurnar á því að hún verði hvít? b. Ef dregið er tvisvar og kúlan sett aftur í pokann, hverjar eru líkurnar á því að kúlurnar verði báðar hvítar? En að frri kúlan verði hvít og sú seinni svört? 9 og 9 7. a. Skiptir það máli í dæminu hér á undan að kúlan var sett ofan í pokann aftur? Rökstddu svar þitt. Það skiptir máli. Eiginn rökstuðningur. b. Ef kúlan sem dregin er frst er ekki sett aftur í pokann, hverjar verða þá líkurnar á því að fá tvær hvítar kúlur? En að frri kúlan verði hvít og sú seinni svört? En tvær svartar?,, ekki er mögulegt að fá tvær svartar! Vinkill 6 Líkindi Námsgagnastofnun 008

17 Líkindatré Gunnhildi finnst oft gott að teikna mndir þegar hún lesir stærðfræðiverkefni. Hún veltir frir sér hvort hægt sé að teikna mnd sem sýni líkindin á að fá skjaldarmerki eða fisk þegar krónu er kastað upp. Frst teiknar hún mnd sem sýnir hvað getur gerst þegar kastað er einu sinni. Síðan heldur hún áfram og teiknar það sem getur gerst þegar kastað er tvisvar. Fiskur Skjaldarmerki F F S F S S. Skoðaðu mndirnar og finndu út hvernig þær eru gerðar og hvernig þær eru notaðar. Hverjar eru t.d. líkurnar á því að upp komi fiskur tvisvar í röð? En skjaldarmerkið? Hvað með að upp komi frst fiskur og síðan skjaldarmerki? Líkur á fá fisk tvisvar í röð:. Líkur á að fá skjaldarmerki tvisvar í röð er og einnig líkurnar á að fá frst fisk og síðan skjaldarmerki.. Mndin hér á eftir á að sýna hvað getur gerst þegar kúla er dregin tvisvar í röð úr poka með tveimur hvítum og einni svartri kúlu. Kúlan er sett aftur í pokann. Ljúktu við að skrá líkur við greinarnar á líkindatrénu.. Notaðu líkindatréð til að svara eftirfarandi: a. Hverjar eru líkurnar á að draga tvær svartar kúlur í röð? b. Hverjar eru líkurnar á að draga frst svarta kúlu en síðan hvíta? c. En frst hvíta og svo svarta? a. b. c. = Hverjar verða líkurnar ef kúlan er ekki sett ofan í pokann aftur? Ljúktu við að skrá líkur á greinarnar. S. Berðu saman líkindatrén í dæmi og. Skráðu niður samanburð og útskýrðu hvers vegna mndirnar eru ekki eins. Eiginn samanburður, en lkilatriði er að í frra tilvikinu er kúlan sett aftur í pokann en það er ekki gert í því seinna. S H S H H S H H S H Vinkill 7 Líkindi Námsgagnastofnun 008

18 Líkindatré. Spil er dregið úr spilastokki og sett aftur í bunkann. Þetta er gert tvisvar. Teiknaðu líkindatré til að sýna líkurnar á að fá annaðhvort rautt spil eða svart. Skráðu líkurnar á greinarnar.. Spil er dregið tvisvar úr spilastokki og ekki sett aftur í bunkann. Athuga á líkur á að fá mannspil eða spil sem er ekki mannspil. a. Teiknaðu líkindatré og skráðu líkindin inn á greinarnar. b. Hverjar eru líkurnar á að fá tvö mannspil í röð? % 0 c. Hverjar eru líkurnar á að fá frst mannspil E en síðan ekki mannspil? 8% M d. En ef þessu væri snúið við? 0 8% M e. Hverjar eru líkurnar á að fá ekki mannspil? 9%. Mndin lýsir líkindum á því að draga rauðar eða bláar kúlur úr poka. Ljúktu við mndina og skráðu það sem mndin lýsir. a. Er hægt að sjá hvað kúlurnar voru margar af hvorum lit í pokanum? b. Voru þær settar aftur ofan í pokann? Nei. c. Hvað var dregið oft? Tvisvar.. Mndin lýsir líkindum á því að draga rauðar eða bláar kúlur úr poka. Ljúktu við að skrá líkindin á greinarnar. Hve margar kúlur voru af hvorum lit? R R 0, B R _ B. Í poka eru 9 kúlur, gular, bláar og rauðar. Teiknaðu líkindatré sem lýsir því þegar dregið er tvisvar úr pokanum og kúlurnar eru ekki settar aftur ofan í pokann. Bættu við tréð þannig að það sýni líkindin ef dregið væri þrisvar. S R B S R R _ B S M R R B R Líkurnar má allt eins skrá sem fullsttt brot, tugabrot eða prósentur. E B 9 Já, þær eru fimm, rauðar og bláar. Líkindin á því að draga frst rauða kúlu eru 0, eða 0%. Önnur vísbending er teljarinn. Kúlurnar gætu því verið rauðar og 6 bláar eða margfeldi af fjöldanum. Ekkert í vísbendingunum gefur til knna hvort kúlan er sett aftur í pokann. nar geta verið nokkrar. E G G B B R 8 G R B G R 8 B 8 R Vinkill 8 Líkindi Námsgagnastofnun 008

19 Líkindatré. a. Hannes og félagar spila Ludo og þurfa að fá se í teningakasti til að geta farið af brjunarreit. Hverjar eru líkurnar á að fá seu? 6 b. Þeim gengur seint að brja spilið og breta reglunum þannig að til að fara af brjunarreit þarf annaðhvort að fá 6 eða. Hverjar eru líkurnar núna?. Mndin sýnir líkindi á möguleikum þegar kúla er dregin tvisvar í röð úr poka sem inniheldur tvær rauðar kúlur og þrjár bláar. a. Hverjar eru líkurnar á að draga tvær rauðar kúlur? 0 b. Hverjar eru líkurnar á að draga tvær bláar kúlur? 0 c. Hverjar eru líkurnar á að draga tvær kúlur sem eru eins á litinn? d. Hverjar eru líkurnar á að draga tvær kúlur sem ekki eru eins á litinn? R _ R _ B R B B. Í poka eru boltar í þremur litum, fjórir eru rauðir, se bláir og fimm gulir. Dreginn er bolti af handahófi tvisvar í röð úr pokanum. Boltinn er ekki settur aftur í pokann. Ljúktu við mndina og skráðu líkindin á greinarnar. R 6 B R G R 6 B B G R G 6 B G a. Hverjar eru líkurnar á að fá tvo bolta af sama lit? 9,% b. Hverjar eru líkurnar á að fá rauðan og grænan bolta? 9% c. Hverjar eru líkurnar á að fá frst gulan og síðan bláan bolta?,% d. Ef dregið rði þrisvar, hverjar rðu líkurnar á að fá þrjá gula bolta? En þrjá bolta alla mismunandi á litinn?,% og 6,% (6 möguleikar á að draga bolta alla að mismunandi lit). Vinkill 9 Líkindi Námsgagnastofnun 008

20 Líkur. Skífunni er snúið tvisvar og tölurnar margfaldaðar saman. a. Hverjar eru líkurnar á að margfeldið verði? 8 b. Hverjar eru líkurnar á að margfeldið verði? 9 6. Ef skífunni væri snúið þrisvar sinnum og tölurnar margfaldaðar saman hverjar væru líkurnar á því að margfeldið rði? 7. Skífunni er snúið tvisvar og tölurnar lagðar saman. Hverjar eru líkurnar á því að summan verði slétt tala?. Skífu hefur verið snúið ótal sinnum og niðurstöður eru þessar: Grænn í % skiptanna. Rauður kom í % skiptanna. Blár kom í,% skiptanna Gulur 7,% 8 8 Hvernig var skífan? Teiknaðu hana. skífunnar er grænn, er rauður, 8 blár og 8 er gulur.. Í poka eru 0 kúlur. Búið er að draga ótal sinnum og kúlan er alltaf sett aftur í pokann. Rauð kúla hefur hefur verið dregin sinnum, svört sinnum, gul 9 sinnum og blá sinnum. Hve margar kúlur eru af hverjum lit? rauðar, svartar, gular og blá. Vinkill 0 Líkindi Námsgagnastofnun 008

21 Líkur. Líkur á að Þórður hitti í körfuna af vítapunkti í körfubolta eru 0,6. a. Hverjar eru líkurnar á því að hann hitti tvisvar í röð? En að hann hitti í hvorugt skiptið? 0,6 og 0,6 b. Hverjar eru líkurnar á því að hann hitti aðeins í öðru kastinu? c. Á æfingu hefur Þórður hitt sinnum í körfuna af vítapunkti. Hve oft hefur hann skotið að körfunni miðað við að líkurnar á að hann hitti séu 0,6? 0 sinnum. 0,8. Þór þjálfari skráir reglulega niður hjá sér skorhlutfall liðsmanna körfuboltaliðsins. Hann þarf að velja á milli Hrannars, Birgis og Baldurs til að spila í næsta leik. Hann ætlar að velja þann sem er með bestu líkur á að skora úr vítaköstum. Hvern mndir þú velja? Rökstddu svarið. Birgi. Hrannar 7 Birgir Baldur Anna líffræðingur rannsakar silunga í Litlavatni. Hún ætlar að áætla stofnstærð í vatninu. Hún veiðir 6 silunga, merkir þá og sleppir þeim aftur. Nokkrum dögum seinna veiðir hún 0 silunga og eru af þeim merktir. Hvað getur hún áætlað að silungarnir séu margir í vatninu? 80 silungar. (Til að niðurstaðan verði öruggari þrfti að endurtaka veiðarnar og reikna meðaltal.). Anna var fengin til að telja laa í eldiskví. Hún veit að 7 merktir laar eru í kvínni. Hún veiðir nokkrum sinnum og skráir niðurstöður. Í frstu tilraun veiddi hún 0 laa og þrír af þeim voru merktir. Í annarri tilraun veiddi hún laa og fjórir af þeim rendust merktir. Að síðustu veiddi hún 9 laa og þrír af þeim voru merktir. Hver verður niðurstaða Önnu? Um það bil 80 laar í kvínni. Vinkill Líkindi Námsgagnastofnun 008

22 Úrvinnsla úr könnun Tölfræði. Sigurfinnur og Júlíanna vinna saman að verkefni í félagsfræði. Þau ákveða að gera könnun á hve margir búa í hverri íbúð í fjölbýlishúsum. Hér má sjá niðurstöðurnar:,,,,,,,,,,, 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6,, 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Fjöldi í íbúð Tíðni Margfeldi 0 0 = 0 Setjið gögnin í tíðnitöflu og búið til súlurit. Finnið meðaltal, miðgildi, tíðasta gildi og dreifingu. Meðaltal:,97. Miðgildi:. Tíðasta gildi:. Dreifing:.. Sigurfinnur og Júlíanna bera niðurstöðurnar saman við eldri gögn. Þau eru með súlurit af gögnunum. Finnið meðaltal, miðgildi, tíðasta gildi og dreifingu út frá því. Meðaltal:,07. Miðgildi:. Tíðasta gildi:. Dreifing: 7. 0 Íbúafjöldi í íbúð Íbúafjöldi í íbúð 8 Tíðni tíðni fjöldi í íbúð. Skráið skýrslu um niðurstöðurnar. Lýsið hvorri athugun frir sig og berið þær saman. Vinkill Tölfræði Námsgagnastofnun 008

23 Svefntímakönnun Nemendur í 0. bekk gerðu könnun á svefntíma sínum. Hver nemandi skráði daglega hvað hann hafði sofið í margar klukkustundir. Eftir ákveðinn tíma skilaði hver nemandi niðurstöðum sínum í súluriti. Hér eru súluritin frá Jóhanni, Hannesi og Sólrúnu. Tíðni Svefntímar Jóhanns Svefntímar Jóhanns Klukkustundir Tíðni Tíðni Svefntímar Hannesar Svefntímar Hannesar Klukkustundir Svefntímar Sólrúnar Svefntímar Sólrúnar 0 8 Tíðni Tíðni Klukkustundir Jóhannes í dag, Hannes í 8 daga og Sólrún í 7 daga. a. Í hve marga daga skráðu þau niður svefntímann? b. Finnið meðaltal, miðgildi, tíðasta gildi og dreifingu frir hvert súlurit og notið til að bera saman svefnvenjur þeirra. c. Túlkið niðurstöðurnar. Jóhannes: Meðaltal 7, klst., miðgildi 7 klst., tíðasta gildi 7 klst. og dreifing 7 klst. Hannes: Meðaltal,8 klst., miðgildi 6 klst., tíðasta gildi 6 klst. og dreifing 0 klst. Sólrún: Meðaltal 8, klst., miðgildi 7 klst., tíðasta gildi 9 klst. og dreifing 6 klst. Vinkill Tölfræði Námsgagnastofnun 008

24 Skutlukeppni 0. bekkur skipulagði skutlukeppni í skólanum. Allir þátttakendur bjuggu til sínar eigin skutlur og keppnin fór fram í sal skólans. Krakkarnir mældu nákvæmlega hve langt skutlurnar flugu og skráðu niðurstöðurnar. Tölurnar eru í metrum.,,0, 8, 8,0,, 6,8,6 6,7 6,9,,,67 7,8 6,9 0,9 9,6 7,0 7,60 9, 9,78 8, 7,0 8,,,6,78 6,76 9,78 0,,6,6,0,7,6 9,7 0,0 0,,0 0, 8, 6,70,7,00 0,9 0,. Flokkið gögnin og setjið í tíðnitöflu eins og brjað er á hér að neðan. Flokkar Tíðni Miðjan Margfeldi,99,9 m,9 =,98,99. Finnið meðaltal fluglengdar skutlanna með hjálp tíðnitöflunnar. 6,9 metrar.. Á netsíðu skólans fundu þau stuðlarit sem sýndi niðurstöður úr frstu skutlukeppni skólans. Notið stuðlaritið til að finna meðaltal og miðgildi fluglengdar í keppninni. Meðaltal: 6,7 metrar. Miðgildi er ekki hægt að finna nákvæmlega þar sem einu gögnin sem þið hafið er stuðlaritið. Miðgildið er í flokknum ,99 metrar. Tíðni Niðurstöður úr skutlukeppni Niðurstöður úr skutlukeppni ,99,99 -,99,99 -,99,99 -,99,99 -,99,99 6-6,99 6 6,99 7-7,99 7 7,99 8-8,99 Fluglengd í metrum Fluglengd í metrum 8 8,99 9-9,99 9 9,99 0-0,99 0 0,99 -,99,99. Skrifaðu frétt um skutlukeppnina og berið niðurstöður hennar saman við niðurstöður úr frstu keppninni. Notið sem flestar tölur í samanburði á keppnunum, t.d. dreifingu, lægsta gildi, hæsta gildi, meðaltal og tíðasta gildi. Vinkill Tölfræði Námsgagnastofnun 008

25 Lýsandi tölfræði. Þú átt að gera skýrslu um íbúafjölda sveitarfélaga á Norðurlandi. desember árið 997 og aflar eftirfarandi upplýsinga um íbúafjölda frá Hagstofu Íslands: Akureri 08, Norðurbggð 9, Ólafsfjarðarbær 098, Dalvík 0, Svarfaðardalshreppur 9, Hrísejarhreppur, Árskógshreppur, Arnarneshreppur 09, Skriðuhreppur 0, Önadalshreppur, Glæsibæjarhreppur, Ejafjarðarsveit 98, Svalbarðsstrandarhreppur, Grýtubakkahreppur 7, Hálshreppur 8. a. Finndu meðaltal, dreifingu, miðgildi og tíðasta gildi frir íbúafjöldann. Meðaltal: 9,9, dreifing: 00, miðgildi:. Ekkert tíðasta gildi. (Ef gögnin væru flokkuð þá kæmi fram tíðasta gildi). b. Mikill munur er á íbúafjölda Akurerar og hinna sveitarfélaganna á listanum. Endurtaktu útreikningana en hafðu Akureri ekki með í þetta sinn. Meðaltal: 96,, dreifing: 8, miðgildi: 9. Ekkert tíðasta gildi. c. Berðu niðurstöðurnar saman. Hvort telur þú miðgildið eða meðaltalið betra til að lýsa íbúafjölda í sveitarfélögunum? Skráðu rökstuðning. Eigin rökstuðningur.. Aldur þátttakenda á skákmóti í Fjallaskóla.,,,, 6,,,, 0,,,,,, a. b. a. Finndu meðaltal, dreifingu, miðgildi og tíðasta gildi frir aldur þátttakendanna, bæði með elsta þátttakandanum og án hans. Frri talan sýnir útreikninga með útlaga og sú síðari er án útlagans. Meðaltal:, og,. Dreifing: 9 og. Miðgildi: og. Tíðasta gildi: og. b. Í tölfræði er tala sem er langt frá öðrum tölum kölluð útlagi. Hvaða áhrif hafði útlaginn á dreifingu, meðaltal, tíðasta gildi og miðgildi skákhópsins? Eigin rökstuðningur.. Laufritin sýna niðurstöður úr tveimur tölfræðiprófum. Merktu einkunnirnar inn á talnalínurnar og teiknaðu rammarit á línurnar., 6, 8,,, 6,,, 6, 8 6,, 7, 8, 7, 7 8 9,, 6, 8 6 7, 8 7,,, 7, 8 8,, 6 9,,, Skráðu samanburð á niðurstöðum úr prófunum og notaðu tölfræðihugtökin dreifingu, miðgildi, tíðasta gildi og meðaltal í tetanum. Eigin samanburður. Vinkill Tölfræði Námsgagnastofnun 008

26 Almenn brot og veldi Almenn brot ýmis dæmi. Leggðu saman brotin og fullstttu svörin. Sýndu alla útreikninga. Mundu að þegar leggja á saman brot eða finna mismun þeirra þá þarf frst að finna þeim samnefnara. a = b. + 9 = 9 c. + = 9 6 d = 0 7. Finndu mismun brotanna. Fullstttu svörin og sýndu alla útreikninga. a. 8 8 = b. 8 = 0 c = 9 d = 7. Margfaldaðu saman brotin og fullstttu svörin. Sýndu alla útreikninga. a. 9 8 = b = 8 c. 6 = d. 7 9 = 8 6. Deildu brotunum og fullstttu. Sýndu alla útreikninga. Mundu að gott er að notfæra sér margföldunarandhverfur brota til að einfalda útreikninga. a. 8 0 : 6 = 6 b. : = c. 6 : = d : 7 = 8 9. Reiknaðu dæmin, fullstttu og sýndu hvernig þú ferð að. a = 9 d = g = 7 b = e. 7 0 : = h. 7 0 = c = 78 f = i. 9 8 : = 6 Vinkill 6 Almenn brot og veldi Námsgagnastofnun 008

27 Brotabrot. Reiknaðu dæmin og fullstttu. Sýndu útreikninga þína. a. 6 9 = 6 b. 8 = 6 c = d = 9. Reiknaðu dæmin, fullstttu og sýndu hvernig þú ferð að. a. + 6 = b = 89 c = 9 0 d =. Reiknaðu dæmin, fullstttu og sýndu hvernig þú ferð að. a. 6 b. c. + d. + 6 = + = = 7 8 =. Í dæmunum hér frir neðan koma bæði tölustafir og bókstafir frir. Á sama hátt og áður þarf að finna samnefnara þegar brot eru lögð saman eða mismunur þeirra fundinn. Reiknaðu og einfaldaðu brotin eins og hægt er. Sýndu hvernig þú ferð að. a. + + c. 7 = 8 + = e = 7 b. + + = 7 0 d. 6 = f = + 8 Vinkill 7 Almenn brot og veldi Námsgagnastofnun 008

28 Veldi og veldareglur. Reiknaðu. a. = 6 b. = 8 c. = 6. Reiknaðu. a. = 6 b. = 8 c. = 6. Reiknaðu. a. = b. = c. =. Reiknaðu. a., =,78 c.,, = e. 0,8 =,9 b., = d. 0,8 = 0, f. 0,8 0,8,78 = Notaður veldareglurnar til að reikna dæmin. a a = a + b a : a = a (a) = a a 0 =. a. = 8 b. = 7 c. 6 = 6. a. : = b. = = 9 c. 7 : = 7. a. 8 b. = = c. = 8 8. a. ( ) = 6 b. ( ) = 7 6 c. z a b c 8 a b c 8 ( ) ( ) 9. a. 0 0 = b. ( + ) 0 = c. b a 0 = b a = 6 8z = = 0. Gefið er fallið = a. Búðu til gildistöflu frir = = = = 0 = = = b. Teiknaðu fallið í hnitakerfi. 0, 0, 0, Vinkill 8 Almenn brot og veldi Námsgagnastofnun 008

29 Gildi stæðna Stæður. Finndu gildi stæðunnar Finndu gildi Finndu stæðuna Það kostar 0 kr. í sund frir börn og 60 kr. frir fullorðna. Hópur með fullorðnum og börnum kemur í sundlaugar. Hvað þýðir eftirfarandi? a. + b. 0 c d. Skráðu spurninguna sem leiðir til eftirfarandi reiknings og sýndu niðurstöðuna: a. Fjöldi fullorðinna + fjöldi barna. b. Kostnaður í sund frir fjölda barna. c. Kostnaður í sund frir fjölda fullorðinna og fjölda barna. d. Hve mikið þarf að borga í sund frir börn og fullorðna.. Orri er með tíukrónu peninga og fimmtíukrónu peninga. a. Skrifaðu stæðu frir heildarfjölda mnta. a. + b. Skráðu heildarsummu í krónum. b Vinkill 9 Stæður Námsgagnastofnun 008

30 Stæður einfaldaðar. Gunna, Kata og Þura eiga að einfalda stæðuna ( 6). Gunna fær: ( 6) = 6 Kata reiknar rétt. Gunna og Þuríður Kata fær: ( 6) = 0 reikna ekki rétt upp úr sviganum. Þura fær: ( 6) = Hver reiknar rétt? Hvaða villur gera hinar?. Einfaldaðu stæðurnar. a b. + ( + ) c. + ( + ) Einfaldaðu stæðurnar og reiknaðu gildi þeirra þegar =. a c. 9 ( ) e. ( + ) b. 6 + ( +) d. 7 ( ) f. 8 ( ) Einfaldaðu stæðurnar og reiknaðu gildi þeirra þegar =. a. = b. 8 6 = c. 6 9 = d. = + +. Þáttaðu og einfaldaðu stæðurnar. a + 9b a + b 7a 7(a -- ) 6z a. 6a + = a + b. a + 6 = (a + ) c. + z -- z = + z 6. Hvers vegna er útkoman úr dæminu ekki rétt? z z + 0 = Rökstddu svar þitt. -- (z -- ) z -- = = z + 0 (z + ) = z + 7. Skoðaðu eftirfarandi mndir 6 a. Skráðu stæðu frir ummálið b. Reiknaðu ummálið ef = c. Finndu ef ummálið er a. urétthrnings = 8 og uþríhrings = + 6 b. urétthrnings = og uþríhrnings = c. rétthrnings =, og þríhrnings = Vinkill 0 Stæður Námsgagnastofnun 008

31 Margföldun liðastærða. a. Hvert er flatarmál rétthrningsins? 8 A B b. Hvert er flatarmál svæðis A? 0 c. Hvert er flatarmál svæðis B? 6 d. Hvert er flatarmál svæðis C? 0 e. Hvert er flatarmál svæðis D? C D f. Hvert er samanlagt flatarmál svæðis A, B, C og D? 8 g. Berðu saman niðurstöður úr lið a) og f). Hvers vegna færðu sömu niðurstöðu? Rökstddu svarið.. a. Hvert er flatarmál rétthrningsins? (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd b. Hvert er flatarmál svæðis A? c. Hvert er flatarmál svæðis B? d. Hvert er flatarmál svæðis C? e. Hvert er flatarmál svæðis D? ac bc ad bd f. Hvert er samanlagt flatarmál svæðis A, B, C og D? ac + bc + ad + bd g. Berðu saman niðurstöður úr lið a) og f). Hvers vegna færðu sömu niðurstöðu? Rökstddu svarið. a A C b B D c d. Margfaldaðu liðastærðirnar og sýndu hvernig þú ferð að. a. (0 + )(0 + 9) = 6 c. (0 + 6)(0 + ) = 8 e. (0 + 7)(0 8) = 7 b. (0 + )(0 + 6) = 690 d. (0 + )(0 9) = f. (0 7)(0 9) = Mundu eftir reglunni um margföldun tveggja sviga (a+b)(c+d) = ac +ad + bc + bd. Margfaldaðu liðastærðirnar. a. (a + )(a + 9) c. ( + 6)( + ) e. ( + 7)( ) a + a b. ( + )( + 6) d. (a + )(a 9) f. ( 8)( ) a -- a Margfaldaðu liðastærðirnar. a. (a + )(a + ) c. ( )( + ) e. ( + )( ) a + a b. ( + )( ) d. ( + )( ) f. ( + 8)( ) Vinkill Stæður Námsgagnastofnun 008

32 Stæður þáttaðar. Gunna, Kata og Þura eiga að þátta stæðuna 6. Gunna fær: ( ) Þuríður er með réttasta svarið. Gunna á eftir að Kata fær: ( ) taka út frir sviga og þátta það sem er þá í Þura fær: ( + )( ) sviganum. Þuríður á eftir að þátta svigann. Hver er með réttasta svarið? Hvaða þurfa hinar að gera til að fá rétt svar?. Skráðu rétta tölu í eðurnar. a. = ( + )( ) b. 9 = ( + 7)( 7 ). Þáttaðu eftirfarandi stæður. a = ( + ) b. 0 + = ( -- ) c = ( + 8 ) c. 00 = ( + 0)( -- 0) d = ( ) d. 6 = ( + 6)( -- 6). Skráðu rétta tölu í eðuna þannig að hægt sé að þátta með ferningsreglu. Þáttaðu síðan stæðurnar. a = ( + 9 ) b. + + = ( + ) c = ( -- 8 ) d. + = ( -- ). Skráðu rétta tölu í eðuna. Þáttaðu síðan stæðurnar. a. 8 = ( + 9)( -- 9 ) b. = ( + )( -- ) c. = ( + )( ) d. 69 = ( + )( ) 6. Finndu flatarmál ferningsins A og rétthrningsins B ef: a. = 7 A = 9 b. = 9 A = 8 c. = B = 6 B = 8 A = B = 66 A B Vinkill Stæður Námsgagnastofnun 008

33 Brot á algebruformi Þegar reikna á brot í algebruformi þarf að finna samnefnara við samlagningu og frádrátt alveg eins og um venjuleg brot væri að ræða. Munurinn er sá að við erum ekki aðeins með tölustafi heldur bókstafi líka. Gott getur verið að frumþátta nefnara til að auðvelda fund samnefnara og við stttingu brotanna er oft gott að þátta stæðurnar.. Reiknaðu dæmin og stttu þau eins og hægt er. a. + = c. + = e. 8 a a = g = b. + 6 = 8 d. 6 ab + b 8 + a = f. ab -- h. = =. Reiknaðu og fullstttu brotin þar sem hægt er. a. = c. a ab b = a e. 6 : = g. 7 : = 0 7 b. 8 = d. 0 = 6 f. ab : 6b = a h. : =. Reiknaðu og einfaldaðu brotin eins og hægt er. a = d. + + g. + = = b = 7 e = -- h. : 7 + = -- c = f. 7 6 i. = : 6 = Vinkill Stæður Námsgagnastofnun 008

34 Að lesa jöfnur Jöfnur. Körfuboltalið fær stig frir sigur, stig frir jafntefli og ekkert stig frir tap. Eitt keppnistímabil lék lið heimaleiki og jafnmarga útileiki. Hve mörg stig fékk liðið ef: a. Það vann alla heimaleikina? b. Gerði jafntefli í þremur útileikjum? c. Vann 8 heimaleiki, tapaði 8 útileikjum og gerði jafntefli í öðrum leikjum? a. 9 b. c =. Skráðu regluna og sýndu hvernig þú lesir jöfnurnar. a. Hvaða tölu hugsaði Orri sér ef hann fékk 6? b. Hvaða tölu hugsaði Tess sér ef hún fékk 6? a. ( + ) = 6 og = b. + 0 = 6 og = Reglan er; Hugsaðu þér tölu. Bættu við töluna. Margfaldaðu með.. a. Prófaðu nokkrar mismunandi tölur. Færðu alltaf sama svarið? b. Útskýrðu niðurstöðu þína með því að skrá regluna sem jöfnu. Já, ( + ) -- = 8 Reglan er; Hugsaðu þér tölu. Bættu við töluna. Margfaldaðu með. Dragðu frá sinnum þá tölu sem þú hugsaðir þér. Hvaða tölu færðu?. Prófaðu nokkrar mismunandi tölur. Færðu alltaf sama svarið? Útskýrðu niðurstöðu þína með því að skrá regluna sem jöfnu. Nei, ( + ) -- = 0. Ég fæ 0 sinnum stærri tölu. Reglan er; Hugsaðu þér tölu. Tvöfaldaðu töluna. Bættu við. Margfaldaðu með. Dragðu frá. Hvaða tölu færðu? Vinkill Jöfnur Námsgagnastofnun 008

35 Að lesa jöfnur. Tengdu saman jafngildar jöfnur? = + = 0 = + = = 6 = = = 6 = 6 + = 7 = + = = + = = 0 + = = 7 = 8. Lestu jöfnurnar og sýndu hvernig þú ferð að. a. ( + ) + ( + ) = 6 c. + ( ) = 6 + ( ) = = b. ( ) + ( ) = d. ( ) = + ( ) = =. Lestu jöfnurnar. Kannaðu frst hvaða tölu þarf að margfalda báðar hliðar með til að einangra. a. = = c. 6 = = b. + = 0 = d = = 6. Ef tala er margfölduð með 8 kemur út talan 96. Hver er talan? = Vinkill Jöfnur Námsgagnastofnun 008

36 Að lesa jöfnur. Mismunur tveggja talna er 0. Hærri talan er þreföld lægri talan. Hverjar eru tölurnar? og. Kannaðu hvort gangi alltaf upp í summu fimm samliggjandi heilla talna. Já, +. Summa þriggja samliggjandi sléttra talna er. Finndu tölurnar. Tölurnar eru, og.. Gunna, Kata og Þura lesa allar sömu jöfnuna en fá mismunandi svör. Gunna fær: ( + ) = 6 Kata fær: ( + ) = 6 Þura fær: = = 6 8 = 6 = 6 = = ( + ) = = 6 8 = = Hver reiknar rétt? Hvaða villur gera hinar? Gunna fær rétt svar. Kata margfaldar ekki með og Þuríður glemir að margfalda saman og.. Kilja bókar er 700 kr. ódýrari en innbundin. Samanlagt kosta fjórar kiljur jafnmikið og þrjár innbundnar. Hvað kostar innbundin bók? Kiljan kostar 00 kr. og innbundin bók 800 kr. Vinkill 6 Jöfnur Námsgagnastofnun 008

37 Jöfnur Pýþagórasar. Þegar þarf að finna hliðarlengdir rétthrndra þríhrninga með reglu Pýþagórasar er ekki víst að stærðir tveggja hliða séu þekktar. Stundum er aðeins lengd einnar hliðar þekkt og lengdir hinna hliðanna settar fram sem stæður. Kannaðu hvort þú getir fundið hliðarlengdir þessara þríhrninga með því að notfæra þér reglu Pýþagórasar og algebrukunnáttu þína. a. Skráðu lengd óþekktra hliða með tveimur aukastöfum. 7 A 6 cm B + cm C 8 cm b. Finndu ummál þríhrninganna. c. Finndu flatarmál þeirra. a. A = 8,8 cm B = 6,67 cm og C =,6 cm b. u A = 6,76 cm u B = 9, cm og u C = 06,9 cm c. F A = 68,9 cm F B = 7,8 cm og F C =,68 cm. Finndu óþekktu hliðarlengdir rétthrndu þríhrninganna. = 6,7 cm = 7,6 cm =,6 cm 6 A cm cm B 0 cm C 7. Jafnarma þríhrningur er cm á hæð. Finndu lengd grunnlínunnar og reiknaðu flatarmál þríhrningsins. =,67 og F = 0,7 cm cm 6. Hvert er ummál þessa rétthrnda þríhrnings? Svaraðu með tveimur aukastöfum = 9,9 og u = 6,6 cm 6 cm Vinkill 7 Jöfnur Námsgagnastofnun 008

38 Beinar línur Allar línur má rita sem = a + b Gerðu gildistöflu og teiknaðu eftirfarandi línur í hnitakerfi. = 6 = = = -/ + = + Gildistafla -9,67-6 -, 0,67 6, a. Hallatala =, = 0 og = b. (,) c. Skurðpunktur við -ás : (0, 6), : (0,) og : (0,) d. Skurðpunktur við -ás : (,0), : ekki til og : ( 6,0) a. Finndu hallatölu línanna. b. Hver er skurðpunktur línanna þegar =? c. Hver er skurðpunktur línanna við -ás? d. Hver er skurðpunktur línanna við -ás? (0,) (,) ( 6,0) b) 0. Skráðu jöfnu línanna. a. = -- b. = -- + c. = c) d) d. = + a) 0. Gerðu gildistöflu og teiknaðu línur á forminu = a + b þegar: a. a = og b = = + c. a = og b = = -- + b. a = og b = = d. a = og b = + = Vinkill 8 Jöfnur Námsgagnastofnun 008

39 Beinar línur 0. Teiknaðu graf jöfnunnar = a. Hver er hallatala línunnar? Sýndu hvernig þú getur reiknað hallatöluna með því að velja tvo punkta á grafinu og skrá hnit þeirra í regluna. -- (-- ) (0, -- ) og (,) hallatala = = a = þar sem a er hallatala og og hnit punktanna b. Hver er skurðpunktur línunnar við -ás? (0,-- ) 0. Teiknaðu graf jöfnunnar = + 6 a. Hver er hallatala línunnar? Sýndu hvernig þú getur reiknað hallatöluna með því að velja tvo punkta á línunni. b. Hver er skurðpunktur línunnar við -ás? -- 6 a. (0,6) og (,) hallatala = = b. (0,6). a. Reiknaðu hallatölu línu sem hefur punktana A(,) og B(,8). b. Finndu skurðunkt línunnar við -ás? (0,) c. Skráðu jöfnu línunnar. = + d. Gerðu gildistöflu og teiknaðu línuna í hnitakerfi = 0 Gildistafla Vinkill 9 Jöfnur Námsgagnastofnun 008

40 Beinar línur 0. a. Reiknaðu hallatölu línu sem hefur punktana A(,) og B(,). b. Finndu skurðunkt línunnar við -ás? c. Skráðu jöfnu línunnar. d. Gerðu gildistöflu og teiknaðu línuna í hnitakerfi. a = b. (0,) c. +. a. Reiknaðu hallatölu línu sem hefur punktana A(,) og B(, ). b. Finndu skurðpunkt línunnar við -ás? c. Skráðu jöfnu línunnar. d. Teiknaðu línuna í hnitakerfi. a = b. (0,) c Gildistafla 0 Gildistafla Lína hefur punktinn A(,) og hallatöluna a =. Finndu jöfnu línunnar og teiknaðu hana í hnitakerfi. = Lína hefur punktinn A(,0) og hallatöluna a =. Finndu jöfnu línunnar og teiknaðu hana í hnitakerfi. = Vinkill 0 Jöfnur Námsgagnastofnun 008

41 Lengd milli punkta á línu. Teiknaðu graf jöfnunnar = + a. Finndu hnit punktanna A og B á línunni þegar A = og B = 0. A: (,) og B: (0,9) b. Finndu lengd á milli punktanna með því að nota fjarlægðarregluna d (lengd) = ( B A ) + ( B A ) (0 -- ) + (9 -- ) = Teiknaðu graf jöfnunnar = + 8 a. Finndu hnit punktanna A og B á línunni þegar A = og B =. A: (--,0) og B: (,) b. Finndu fjarlægð á milli punktanna. ( -- (-- )) + ( -- 0) = + = c. Finndu einnig fjarlægð á milli punktanna B og C þegar C =. ( -- ) + (8 -- ) = + = d. Ætli sama fjarlægð sé á milli punktanna C og D þegar D = 7? Já (7 -- ) + ( -- ) = + = Vinkill Jöfnur Námsgagnastofnun 008

42 Lengd milli punkta á línu. Teiknaðu punktana A(, ), B(,) og C(,) í hnitakerfi. Dragðu línu milli punktanna. Er þríhrningurinn rétthrndur? a. Finndu lengd línunnar AC með reglu Pýþagórasar. + 6 = = 7, b. Finndu lengd línunnar AC með fjarlægðarreglunni. (-- -- ) + ( -- (-- )) = = 7, Þríhrningurinn er rétthrndur. 0 C B 0 0 A 0. Teiknaðu punktana A(,), B(8,) og C(0,7) í hnitakerfi. Dragðu línu milli punktanna. Er þríhrningurinn rétthrndur og jafnarma? a. Reiknaðu lengd hliða þríhrningsins til að kanna hvort hann sé jafnarma. b. Notaðu reglu Pýþagórasar til að kanna hvort þríhrningurinn sé rétthrndur. a. lengd AB (8 -- ) + ( -- ) = 0 lengd AC (0 -- ) + (7 -- ) = 80 lengd BC (0 8) + (7 -- ) = 0 Þríhrningurinn er jafnarma. b. ( 0) + ( 0) = ( 80) eða hallatala AB er -- og hallatala BC er. (-- ) = --. Þríhrningurinn er rétthrndur B A C 0 Vinkill Jöfnur Námsgagnastofnun 008

43 Skurðpunktar. Teiknaðu eftirfarandi línur í hnitakerfi og finndu hvar þær skerast. a. = + og = + Skerast í (0,) b. = og = + Skerast í (,0) c. = og = 6 = + og = +, þær skerast í (0,) a c b Tvær línur sem ekki eru samsíða skerast í ákveðnum punkti, skurðpunkti. Þegar finna á skurðpunkt línanna þá er verið að lesa jöfnuhneppi. Það er hægt að finna skurðpunkt línanna með teiknilausn eins og dæmi er um hér að ofan Þessi aðferð er ekki alltaf heppileg og oft betra að lesa saman tvær jöfnur með tveimur óþekktum stærðum með nákvæmari aðferðum. Vinkill Jöfnur Námsgagnastofnun 008

44 Jöfnur með tvær óþekktar stærðir + = = = 7 Með því að leggja saman jöfnurnar er hægt að láta annan lið jöfnunnar hverfa og þannig hægt að finna skurðpunktinn. Þessi aðferð er stundum nefnd samlagningaraðferðin.. Leggðu saman eftirfarandi dæmi og finndu og gildi þar sem það á við: a. 8 + = c. + = 7 e. + = = + = = + = 6 = og = = 6 og = -- b. 6 + = d. + = 8 f. + = 8 = 7 + = 6 = -- = 8 = og = = og = 7 Með því að setja aðra jöfnuna inn í hina er verið að nota svokallaða innsetningu. Þá þarf að umskrá aðra hvora jöfnuna með því að einangra aðra óþekktu stærðina og setja hana inn í hina jöfnuna.. Finndu lausn á og með því að sketa annarri jöfnuna inn í hina. a. = 8 b. + = c. = = = + = = = og = 6 = 9. Lestu jöfnupörin í dæmi. með samlagningaraðferðinni og innsetningu. Hvaða aðferð finnst þér best? Vinkill Jöfnur Námsgagnastofnun 008

45 Jöfnur með tvær óþekktar stærðir. Teiknaðu eftirfarandi jöfnur og finndu sameiginlega lausn þeirra. a. = og = = 6 og = Skurðpunktur (6,) b. = + og + = = og = Skurðpunktur (,) c. + = 7 og = = og = Skurðpunktur (,) Finndu tvær jöfnur sem hafa skurðpunktinn (,7) og teiknaðu þær í hnitakerfi. Mismunandi svör, t.d. = + og = Teiknaðu jöfnuna = + í hnitakerfi. Finndu aðrar jöfnur og teiknaðu í hnitakerfi sem hafa skurðpunktana: a. (0,) b. (,0) c. ( 7, ) Mismunandi svör a. t.d. = -- + b. t.d. = + c. t.d. = Vinkill Jöfnur Námsgagnastofnun 008

46 Jöfnur með tvær óþekktar stærðir. Hvenær hafa tvær jöfnur enga sameiginlega lausn? Teiknaðu dæmi. 0 Þegar jöfnur skerast ekki hafa þær enga sameiningleg lausn. Því hafa jöfnur með sameiginlega hallatölu enga lausn, t.d. = + og = Lestu saman tvær jöfnur með því að nota samlagningaraðferð og lengingu annarrar jöfnunnar ef þess þarf. Finndu hnit skurðpunktanna. a. + = c. + = = 6 + = (,6) (--,) b. = d. = + = 7 = 7 (,) (,). Notaðu innsetningu til að lesa saman jöfnurnar. Finndu hnit skurðpunktanna. a. = c. = + = = (,) (,) b. = + d. = + = + = (,) (,) Vinkill 6 Jöfnur Námsgagnastofnun 008

47 Annars stigs jöfnur. Teiknaðu jöfnuna = í hnitakerfi. Gerðu gildistöflu og skráðu skurðpunkta við -ás og -ás. Gildistafla Teiknaðu jöfnuna = í sama hnitakerfi og skráðu hvað er sameiginlegt og hvað ólíkt með gröfunum. Hvað heitir flutningurinn? = hefur eina núllstöð en = -- hefur tvær. Hliðrun niður um einn.. Teiknaðu jöfnuna = + í sama hnitakerfi og skráðu eins og áður hvað er sameiginlegt og hvað ólíkt með gröfunum. Hvað heitir flutningurinn? = -- + hefur eina núllstöð, (,0). = ( -- ). Hliðrun um einn til hægri.. Hvernig bretist grafið ef sett er frir framan jöfnurnar hér að ofan. Hvað heitir slíkur flutningur? Graf jöfnunnar snýr niður. Speglast um -ásinn.. Teiknaðu jöfnuna = +. Hvernig er hún ólík hinum jöfnunum? Þessi jafna hefur enga núllstöð og sker því ekki -ásinn. 6. Búðu til annars stigs jöfnu og berðu hana saman við jöfnuna = Mismunandi svör. 7. Hvað geta annars stigs jöfnur átt margar núllstöðvar? Enga, eina eða tvær núllstöðvar. 8. Teiknaðu jöfnuna = + + í sama hnitakerfi og áður og berðu grafið saman við graf úr dæmi. = + + hefur eina núllstöð, (--,0). = ( + ). Hliðrun um til vinstri. 9. Hvað hefur jafnan = + + margar núllstöðvar? Eina, því rita má jöfnuna sem ( + ). Núllstöðin er (--,0). 0.En jöfnurnar = (a + b) og = (a b)? Eina. Vinkill 7 Jöfnur Námsgagnastofnun 008

48 Horn Horn Þegar finna á stærðir óþekktra horna á mndum eins og koma frir í eftirfarandi dæmum er nauðsnlegt að þekkja til nokkurra staðrenda. Þær eru t.d. að hornasumma þríhrninga er alltaf 80, bein lína er 80, topphorn eru jafnstór og einslæg horn við samsíða línur eru jafnstór. Fleiri reglur eru til og gott getur verið að fletta þeim upp.. Finndu stærðir allra óþekktu hornanna á mndunum Hornasumma þríhrninga er alltaf z z 7 Bein lína er 80.. Finndu stærðir óþekktu hornanna á mndunum og notfærðu þér reglurnar sem nefndar voru efst á síðunni. z 8 8 z Topphorn eru jafnstór og einslæg horn við samsíða línur eru jafnstór. z z Vinkill 8 Horn Námsgagnastofnun 008

49 Hornastærðir. Á mndinni sérðu jafnarma þríhrning. Finndu stærð óþekktu hornanna á mndinni. Notaðu hinar ýmsu reglur um hornastærðir við lausnina. 70 Hornasumma þríhrnings er 80. z w 6 z 6. Hvað eru hornin,, z og w stór á mndinni? 7 9. Finndu óþekktu hornin á mndunum. Bein lína er z w z 7 Einslæg horn við samsíða línur eru jafnstór.. Á mndinni er jafnhliða fimmhrningur í miðjunni, hver er stærð hornanna a e á mndinni? 6 b 6 d 6 e 7 08 a c 7 Topphorn eru jafnstór.. Hver er stærð merktu hornanna á mndunum? w 6 6 z a 8 b 8 e c g6 f d h Vinkill 9 Horn Námsgagnastofnun 008

50 Hornastærðir algebra Í dæmunum hér frir neðan þarf að finna hornastærðir í þríhrningum eða í öðrum flatarmndum. Hornin eru mörg hver gefin upp sem stæður og renir nú á að þekkja reglur hornafræðinnar og geta sett upp jöfnur til þess að lesa dæmin.. Finndu gildi og óþekktu hornastærðirnar. = 7 og hornið er 6 + = 0 og hornin eru og 6 + = 7 og hornin eru 9 og Hvert er gildi og hverjar eru stærðir óþekktu hornanna? = 7 = Finndu gildi og stærðir óþekktu hornanna við samsíða línur. = = 7 = Hver er stærð óþekktu hornanna? , , = =, Vinkill 0 Horn Námsgagnastofnun 008