Reikniverkefni VII. Sævar Öfjörð Magnússon. 22. nóvember Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir

Transcript

1 Reikniverkefni VII Sævar Öfjörð Magnússon 22. nóvember Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir

2

3 KAFLI 9.2 Pólar 2. stigs kerfa Í þessum kaa vinnum við með 2. stigs ker á forminu H(s) = ω 2 n. () s 2 + 2ζω n s + ωn 2 Nánar tiltekið ætlum við að rannsaka hvernig staðsetningar póla breytast eftir því sem dempunarstuðullinn ζ og ódempaða náttúrulega tíðnin ω n breytast. Við skoðum einnig hvernig tíðnisvörun kersins breytist eftir staðsetningu pólanna. Basic Problems Í þessum dæmum munum við rannsaka staðsetningu póla og tíðnisvörun kers fyrir fjögur mismunandi gildi á ζ á meðan gildi ω n er haldið föstu í. Liður (a) Dæmi Eigum að skilgreina H (s) upp í H 4 (s) til þess að vera ker sem við fáum þegar við festum ω n = í jöfnu á meðan ζ er, /4,, og 2. Skilgreinum stuðlavigra a til a4 fyrir nefnara H (s) til H 4 (s). Finna svo og teikna póla hvers kers. Lausn Á mynd () sjáum við staðsetningu póla fyrir kern fjögur:.5 Polar fyrir H (s).5 Polar fyrir H 2 (s).5.5 \Im\,m \Re\,e Polar fyrir H 3 (s) Polar fyrir H 4 (s) Mynd : Pólar kerfanna H (s) til H 4 (s). 3 Merki og ker

4 KAFLI 9.2 Liður (b) Liður (b) Dæmi Hér eigum við að skilgreina vigurinn omega=[-5:.:5] sem þær tíðnir sem við viljum reikna tíðnisvörun fyrir. Notum freqs til þess að reikna og teikna H(jω) fyrir öll fjögur kern úr (a)-lið. Hvernig eru tíðnisvaranirnar fyrir ζ < frábrugðnar þeim sem eru fyrir ζ? Getum við útskýrt hvernig staðsetningar pólanna valda þessum mun á tíðnisvörunum? Einnig, hvers vegna er H(jω) ω= eins fyrir öll kern? Lausn Mynd 2: Stærðir tíðnisvarana fyrir kern fjögur. Sjáum þegar við berum mynd () saman við mynd (??) að þegar ζ < höfum við tvo tvinntalnapóla. Þá fáum við tvo toppa hvorn sínu megin við núllið á raunásnum. Þegar ζ stefnir hæð toppanna á. Fyrir ζ höfum við eingöngu raungilda póla og fáum bara einn topp við núllið. Þegar ζ stækkar mjókkar toppurinn. Við sjáum líka að grön skera öll lóðrétta ásinn í gildinu. Það er einfalt að sjá að þegar við stingum gildunum s = jω = og ω n = inn í jöfnu () fáum við H(jω) =. Intermediate Problems Í þessum dæmum skoðum við ferlana sem pólarnir myndast þegar við breytum gildunum á ζ og ω n, og skoðum hvernig tíðnisvörun kersins breytist þegar við breytum þessum gildum. 4 Merki og ker

5 KAFLI 9.2 Liður (c) Liður (c) Dæmi Fyrst látum við ζ hlaupa yr bilið ζ á meðan við höldum ω n föstu í gildinu. Teiknum á eitt graf raunhluta og þverhluta pólanna sem myndast þegar við breytum ζ. Merkjum inn punktana ζ =, /4, og 2. Reynum að lýsa því hvernig við höldum að tíðnisvörunin breytist þegar ζ fer frá upp í og svo frá upp í. Lausn 2.5 ζ=/4 ζ=.5 ζ=2 ζ= ζ=2.5 ζ=/4 ζ= Mynd 3: Pólar fyrir ζ og ω n =. Á mynd (??) sjáum við grað með pólunum. Þegar < ζ < fáum við alltaf tvo samoka tvinntölupóla sem raða sér á einingahringinn. Þegar ζ eykst fjarlægðin milli pólanna, sennilega vegna þess að gildin á ζ aukast logaritmískt. Þegar < ζ < fáum við tvo raungilda póla. Bilið milli þeirra er minnst við ζ = og eykst þegar ζ stækkar. Í ζ = höfum við svo tvöfaldan raungildan pól, nákvæmlega á einingahringnum. Sjá viðaukann Matlab kóðar fyrir nánari lausn. Liður (d) Dæmi Nú festum við ζ í gildinu /4 og athugum hvað gerist þegar við aukum ω n frá upp í. Teiknum á eitt graf raunhluta og þverhluta pólanna sem myndast þegar við breyta ω n. Hvernig væntum við þess að breytingar á ω n breyti tíðnisvörun H(jω)? Notum freqs til þess að meta tíðnisvörunina þegar ω n = 2 og ζ = /4 og teiknum upp stærð hennar. Berum þetta saman við grað úr (b)-lið fyrir ω n = og ζ = /4. Hver er munurinn á 5 Merki og ker

6 KAFLI 9.2 Liður (d) þeim? Passar þetta við það sem við væntum úr granu fyrir ferlana sem mynduðust þegar ω n hljóp frá upp í? Lausn Mynd 4: Pólar fyrir ω n og ζ = /4. Sjáum á mynd (??) að eftir því sem ω n stækkar stækka þverhlutar pólanna einnig. Sjá viðaukann Matlab kóðar fyrir nánari lausn. 6 Merki og ker

7 MATLAB KÓÐAR MATLAB kóðar Kai 9.2 % r e i k n i v e r k e f n i 7 2 % 2. november % Saevar Ofjord Magnusson 4 5 c l e a r a l l 6 c l o s e a l l 7 8 % a l i d u r 9 a = [ ] ; a2 = [. 5 ] ; a3 = [ 2 ] ; 2 a4 = [ 4 ] ; 3 4 ps = roots ( a ) ; 5 ps2 = roots ( a2 ) ; 6 ps3 = roots ( a3 ) ; 7 ps4 = roots ( a4 ) ; 8 9 f i g u r e () 2 subplot (2,2,) 2 plot ( r e a l ( ps ), imag ( ps ), ' x ' ) 22 axis ( [ ] ) 23 t i t l e ( ' Polar f y r i r H_( s ) ' ) 24 x l a b e l ( ' \Re\, e ' ) 25 y l a b e l ( ' \Im\,m' ) 26 grid 27 subplot (2,2,2) 28 plot ( r e a l ( ps2 ), imag ( ps2 ), ' x ' ) 29 axis ([.5.5]) 3 t i t l e ( ' Polar f y r i r H_2( s ) ' ) 3 grid 32 subplot (2,2,3) 33 plot ( r e a l ( ps3 ), imag ( ps3 ), ' x ' ) 34 axis ([ ]) 35 t i t l e ( ' Polar f y r i r H_3( s ) ' ) 36 grid 37 subplot (2,2,4) 38 plot ( r e a l ( ps4 ), imag ( ps4 ), ' x ' ) 39 axis ([ 4 ]) 4 t i t l e ( ' Polar f y r i r H_4( s ) ' ) 4 grid print depsc rv7_ % b l i d u r 46 7 Merki og ker

8 MATLAB KÓÐAR Kai omega = [ 5 :. : 5 ] ; 48 H = abs ( f r e q s (, a, omega ) ) ; 49 H2 = abs ( f r e q s (, a2, omega ) ) ; 5 H3 = abs ( f r e q s (, a3, omega ) ) ; 5 H4 = abs ( f r e q s (, a4, omega ) ) ; f i g u r e (2) 54 subplot (2,2,) 55 plot (omega, H) 56 subplot (2,2,2) 57 plot (omega, H2) 58 subplot (2,2,3) 59 plot (omega, H3) 6 subplot (2,2,4) 6 plot (omega, H4) print depsc rv7_ % c l i d u r 66 zetarange =[ logspace (,,99)]; 67 azeta = [ ones (, ) ; 2 zetarange ; ones (, ) ] ; 68 z e t a p o l e s = zeros ( 2, ) ; 69 f o r j =: 7 z e t a p o l e s ( :, j ) = roots ( azeta ( :, j ) ) ; 7 end f i g u r e (3) 74 hold on 75 f o r j =: 76 plot ( r e a l ( z e t a p o l e s ( :, j ) ), imag ( z e t a p o l e s ( :, j ) ), '. ' ) 77 end 78 plot ( r e a l ( ps ), imag ( ps ), ' o ' ) 79 plot ( r e a l ( ps2 ), imag ( ps2 ), ' o ' ) 8 plot ( r e a l ( ps3 ), imag ( ps3 ), ' o ' ) 8 plot ( r e a l ( ps4 ), imag ( ps4 ), ' o ' ) text ( r e a l ( ps )+., imag ( ps )+.5, ' \ zeta= ' ) 84 text ( r e a l ( ps2 ).2, imag ( ps2 ).5, ' \ zeta =/4 ' ) 85 text ( r e a l ( ps3 )., imag ( ps3 )+., ' \ zeta= ' ) 86 text ( r e a l ( ps4 )., imag ( ps4 )+., ' \ zeta=2 ' ) axis ( ' equal ' ) 89 axis ([ 4 2 2]) 9 9 print depsc rv7_ % d l i d u r 94 omegarange =[ logspace (,,99)]; 95 aomega = [ ones (, ) ; omegarange ; omegarange. ^ 2 ] ; 96 omegapoles = zeros ( 2, ) ; 8 Merki og ker

9 MATLAB KÓÐAR Kai f o r j =: 98 omegapoles ( :, j ) = roots ( aomega ( :, j ) ) ; 99 end f i g u r e (4) 2 hold on 3 f o r j =: 4 plot ( r e a l ( omegapoles ( :, j ) ), imag ( omegapoles ( :, j ) ), '. ' ) 5 end 6 axis ( ' equal ' ) 7 axis ([ 4 2 2]) 8 9 print depsc rv7_4 % finna tidnisvorun 2 Hw = abs ( f r e q s ( 4, [ ], omega ) ) ; 3 f i g u r e (5) 4 subplot (,2,) 5 plot (omega,hw) 6 subplot (,2,2) 7 plot (omega, H2) 8 9 print depsc rv7_5 2 2 % e l i d u r zetarange2=[ logspace (,,99) ]; 24 azeta2 = [ ones (, ) ; 2 zetarange2 ; ones (, ) ] ; 25 z e t a p o l e s 2 = zeros ( 2, ) ; 26 f o r j =: 27 z e t a p o l e s 2 ( :, j ) = roots ( azeta2 ( :, j ) ) ; 28 end 29 3 f i g u r e (6) 3 hold on 32 f o r j =: 33 plot ( r e a l ( z e t a p o l e s 2 ( :, j ) ), imag ( z e t a p o l e s 2 ( :, j ) ), '. ' ) 34 end axis ( ' equal ' ) 37 axis ( [ ] ) print depsc rv7_6 4 4 % finna tidnisvorun 42 Hw2 = abs ( f r e q s (, [ 2 (. 2 5 ) ], omega ) ) ; 43 f i g u r e (7) 44 subplot (,2,) 45 plot (omega,hw2) 46 subplot (,2,2) 9 Merki og ker

10 MATLAB KÓÐAR Kai plot (omega, H2) print depsc rv7_7 Merki og ker