RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn

Transcript

1 RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn Miðvikudaginn 20. okóber 2010, kl. 08:20-09:50 Leyfileg hjálpargögn: reiknivél og ei A-blað með hverju sem er (innan marka heilbrigðrar skynsemi) á báðum hliðum. Prófíminn er einn klukkuími og uugu mínúur. Vægi spurninga er jafn, íu sig hver. Prófið inniheldur spurningar (gangið úr skugga um að þær séu allar il saðar), samals 0 sig. Ráðis fyrs í þær spurningar sem ykkur virðas auðveldari. Skýrið og röksyðjið svör ykkar vandlega þannig sé ég líka beur hvað er á seyði ef þið hugsið ré en gerið smávægileg misök. Að röksyðja svar þýðir í þessu samhengi að sannfæra mig um að þið skiljið hvers vegna þea er svarið, og séuð ekki bara að giska. Svarið í þea prófhefi og skilið því (skrifið afan á síðurnar ef ykkur vanar pláss). Gangi ykkur vel! Nafn: Spurning 1: Spurning 2: Spurning 3: Spurning : Sig samals: Einkunn:

2 1 Eiginleikar kerfa Skoðum íma-sakræna kerfið sem myndar úmerkið y[n] úr innmerkinu x[n] þannig: y[n] = sin(x[n 1]) Er þea kerfi: (a) minnislaus? (b) andhverfanleg? (c) orsakaeng? (d) BIBO-söðug? (e) ímaóháð? (f) línuleg? (1 sig) (1 sig) (a) Nei. y[n] er reiknað ú frá gildi merkisins x við íma n 1 < n. (b) Nei. Þegar 0 kemur ú úr sin-fallinu er ógerleg að via hvor gildið sem fór inn í það var 0 eða π eða 2π eða 37π. Ferðin í gegnum sin-fallið hendir því upplýsingum um x; það er ekki hæg að finna hver innmerkið var, ú frá gefnu úmerki y[n]. (c) Já. y[n] fer ekki efir neinu gildi innmerkisins öðru en x[n 1], og er þar með ekki háð neinu gildi innmerkisins við íma > n. (d) Já. y[n] = sin(x[n 1]) 1 óháð innmerki. Úmerkið er því akmarkað hvenær sem innmerkið er akmarkað (og reyndar líka þegar innmerkið er ekki akmarkað, en það skipir ekki máli fyrir BIBO-söðugleika). RAF301G Merki og kerfi 2 Miðmisserispróf 2010, lausn

3 (e) Já. Gefum okkur að innmerkið x 1 gefi úmerkið y 1, þ.e.: y 1 [n] = sin(x[n 1]) Skilgreinum x 2 [n] = x 1 [n N] og reiknum úmerkið y 2 [n] = sin(x 2 [n 1]) = sin(x 1 [(n 1) N]) = sin(x 1 [(n N) 1]) = y 1 [n N] Að hliðra innmerkinu veldur sem sag bara samsvarandi hliðrun úmerkis. Með öðrum orðum, kerfið er ímaóháð. (f) Nei. Að vöfalda x skilar sér.d. ekki sem vöföldun þess sem kemur ú úr sin-fallinu. Gefum okkur.d. að x sé fasamerkið x[n] = π. Þá er 2 y[n] = 1. En ef við vöföldum x, búum il x [n] = 2x[n] = π, þá er úmerkið y [n] = 0 2y[n]. Kerfið er því ólínuleg. RAF301G Merki og kerfi 3 Miðmisserispróf 2010, lausn

4 2 Földun Að eikna nákvæmlega felur hér í sér að gefa upp hni helsu punka svo að skýr sé hvaða fall er eiknað. Gefin eru merkin x(), y(), og z() sem sjás á myndinni. x() y() z() (a) Teiknið merkið w 1 () = (x y)() nákvæmlega ( sig) w 1 () RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf 2010, lausn

5 (b) Teiknið merkið w 2 () = (x z)() nákvæmlega ( sig) w 2 () Láum nú x, y, og z vera impúlssvaranir LTI kerfanna T x, T y, og T z. (c) Eru einhver kerfanna orsakaengd? Hver þeirra? Hvernig veisu? (1 sig) : Kerfi T x er orsakaeng, þar sem impúlssvörunin (x()) er 0 fyrir öll < 0. Hin vö kerfin eru óorsakaengd, vegna þess að impúlssvaranir þeirra (y() og z()) ná inn í neikvæðan íma (eru ekki 0 fyrir öll < 0). (d) Eru einhver kerfanna söðug? Hver þeirra? Hvernig veisu? (1 sig) : Öll kerfin eru BIBO-söðug, þar sem allar impúlssvaranirnar eru alegranlegar (egrið = h() d samleiið). RAF301G Merki og kerfi 5 Miðmisserispróf 2010, lausn

6 3 Mismunajafna og LTI kerfi Tímasakrænu LTI kerfi er lýs með mismunajöfnunni y[n]+y[n 1] = x[n] og upphafsskilyrðinu y[ 1] = 0. (a) Er kerfið FIR eða IIR? (b) Reiknið og eiknið impúlssvörun kerfisins, h[n]. (c) Er þea kerfi BIBO-söðug? (1 sig) (5 sig) (d) Er hæg að breya svarinu við (c) með því að skala innmerkið? (a) Kerfið er IIR, impúlssvörunin óendanleg, vegna afurverkunarinnar (y[n] fer efir y[n 1], sem fer efir y[n 2], og þannig koll af kolli, og hver þessara y[n k] fer efir x[n k]; þannig gæir áhrifa hvers gildis innmerkisins óendanlega lengi). (b) Sejum inn x[n] = δ[n]: y[n] = x[n] y[n 1] y[0] = 1 0 = 1 y[1] = 0 1 = 1 y[2] = 0 ( 1) = 1 y[3] = 0 1 = 1. y[n] = ( 1) n u[n] (c) Nei, kerfið er ekki BIBO-söðug. Impúlssvörunin er augljóslega ekki alegranleg. RAF301G Merki og kerfi 6 Miðmisserispróf 2010, lausn

7 (d) Nei. (Nema með því að skala það með núll, en það er vafasamur skilningur á skölunťť.) Það væri hins vegar hæg að breya svarinu með því að skala il afurverkunarliðinn (y[n 1]) en um það var ekki spur. RAF301G Merki og kerfi 7 Miðmisserispróf 2010, lausn

8 Samhverfueiginleikar Fourier-raðar Munið að röksyðja öll svör. Merkið x() hefur Fourier-röð með suðla: a k = j k = 0 ( ) 1 1 k 2 k 2 k 0 Ábending: ummyndunin á milli ímaframseningar merkis og Fourier-raðar þess er línuleg ummyndun og það gildir líka um margföldun með j. (a) Er x() hrein raungil, eða hrein þvergil, eða hvorug? (b) Er x() jafnsæ, eða oddsæ, eða hvorug? (c) Er merkið dx d (d) Er merkið dx d hrein raungil, eða hrein þvergil, eða hvorug? jafnsæ, eða oddsæ, eða hvorug? (e) Hver er orkan í einni lou af merkinu dx d? (a) Það er hrein þvergil. Þessi suðlaruna,a k, er samokasamhverf suðlaruna margfölduð með j. Samokasamhverf Fourier-suðlaruna samsvarar raungildu ímamerki, og margföldun með ölu (il dæmis j) virkar eins hvor sem er í íma eða íðni (Fourier-röð er línuleg aðgerð). Þea ímamerki er því raungil merki margfaldað með j þ.e. þvergil merki. (b) Tímamerkið er þvergil. Ef það væri líka oddsæ, þá væri suðlarunan raungild og oddsæð. Ef það væri líka jafnsæ, þá væri suðlarunan þvergild og jafnsæð. En hún er hvorug, og því er ímamerkið hvorug. (Einföld leið il að hugsa um þessar samhverfureglur: það þarf bara að muna að raungil merki hefur samokasamhverf róf, þar sem jafnsæði hlui merkisins á raunhlua rófsins, og oddsæði hluinn á þverhlua rófsins. Þvergil merki er síðan bara raungil merki sinnum j, og vegna línuleika margfaldas þá rófið líka bara með j, og skipir því á raunhlua og þverhlua.) RAF301G Merki og kerfi 8 Miðmisserispróf 2010, lausn

9 (c) og (d) dx d hefur suðla b k = jkω 0 a k = jω 0 ( k = 0 ) k 2 k 0 Þessi suðlaruna er greinilega þvergild og jafnsæð, þ.e. j sinnum raungild og jafnsæð suðlaruna. Tímamerkið er því þvergild og jafnsæ líka (j sinnum raungil og jafnsæ ímamerki). Reyndar mái líka alveg sjá að merkið hlyi að vera hrein þvergil, þar sem það er afleiðan af öðru merki sem við vium úr lið (a) að er hrein þvergil. (e) Orkan ert 0 k= infy b k 2. Illu heilli gerði ég þau misök að noa suðlarunu sem er ekki auðveldlega summanleg! Full sig fyrir liðinn fengus því fyrir að komas svona lang. Algeng misök voru að margfalda ekki með T 0 (þ.e. gefa meðalafl í sað orku), sleppa ölugildinu, o.fl. RAF301G Merki og kerfi 9 Miðmisserispróf 2010, lausn