Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

2 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

3 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Τμήματα Πληροφορίας Page 3 Ο κόκκινος κύβος είναι πάνω στον πράσινο κύβο Ο πράσινος κύβος είναι κάπου πάνω από τον μπλέ κύβο Ο πράσινος κύβος δεν είναι πάνω από τον μπλέ κύβο Ο κίτρινος κύβο είναι πάνω από τον πράσινο κύβο ή από τον μπλέ κύβο Υπάρχει κάποιος κύβος πάνω από τον μπλέ κύβο Γεώργιος Βούρος

4 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Συμπεράσματα Page 4 Ο κόκκινος κύβος βρίσκεται πάνω από τον πράσινο κύβο Ο πράσινος κύβος βρίσκεται πάνω από τον κίτρινο κύβο Ο κίτρινος κύβος βρίσκεται πάνω από τον μπλέ κύβο Ο μπλέ κύβος βρίσκεταιπάνω από τον μαύρο κύβο. Ο μαύρος κύβος βρίσκεται πάνω στο τραπέζι ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

5 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απόδειξη Μας έχουν πει ότι ο κίτρινος κύβος βρίσκεται πάνω στον πράσινο κύβο ή πάνω από τον μπλέ κύβο. Επίσης μας έχουν πει ότι ο κόκκινος κύβος βρίσκεται πάνω στον πράσινο κύβο. Δεδομένης της υπόθεσης ότι πάνω από ένα κύβο μπορεί να υπάρχει το πολύ ένας κύβος και ότι ένας κύβος δεν μπορεί να έχει δύο χρώματα την ίδια χρονική στιγμή μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο κίτρινος κύβος δεν βρίσκεται πάνω στον πράσινο κύβο. Άρα ο κίτρινος κύβος θα πρέπει να βρίσκεται πάνω από τον μπλέ κύβο. Page 5 Γεώργιος Βούρος

6 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πρότυπα Συλλογιστικής Όλα τα ThinkPad είναι IBM Όλα τα ΙΒΜ είναι Αμερικάνικα Επομένως, όλα τα ThinkPad είναι Αμερικάνικα. Page 6 Όλα τα μπόθρα είναι καρέταλ μόρτα Όλα τα καρέταλ μόρτα είναι κάστα Επομένως, όλα τα μπόρθα είναι κάστα Όλα τα Χ είναι Υ Όλα τα Υ είναι Ζ Επομένως όλα τα Χ είναι Ζ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

7 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ερωτήσεις Ποιά πρότυπα είναι ορθά (ότι και αν σημαίνει αυτό)? Page 7 Πόσα πρότυπα είναι αρκετά? Γεώργιος Βούρος

8 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πρότυπο Μη ορθά πρότυπα Page 8 Όλα τα Χ είναι Υ Κάποια Υ είναι Ζ Επομένως, κάποια Χ είναι Ζ. Καλό στιγμιότυπο του προτύπου. Όλα τα ThinkPad είναι ΙΒΜ Κάποια ΙΒΜ κατασκευάζονται στην Ιαπωνία Επομένως, κάποια ThinkPad κατασκευάζονται στην Ιαπωνία. Κακό στιγμιότυπο του προτύπου. Όλα τα ThinkPad είναι Η/Υ Κάποιου Η/Υ είναι Compaq Επομένως, κάποια ThinkPad είναι Compaq. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

9 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Επαγωγή Μη Ορθή Έχω δει 1000 μαύρα κοράκια Ποτέ δεν έχω δεί ένα κοράκι που να μην είναι μαύρο. Επομένω, κανένα κοράκι δεν είναι μαύρο. Page 9 Τώρα προσπαθήστε με «άσπρη αρκούδα». Γεώργιος Βούρος

10 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Απαγωγή Μη Ορθή Αν δε υπάρχει κάυσιμο, το αυτοκίνητο δεν θα ξεκινήσει. Αν δεν υπάρχει σπινθήρας, το αυτοκίνητο δεν θα ξεκινήσει. Page 10 Δεν υπάρχει σπινθήρας. Το αυτοκίνητο δεν θα ξεκινήσει. Συνεπώς, δεν υπάρχει καύσιμο. Ισχύει αν το αυτοκίνητο βρίσκεται σε κενό αέρος; ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

11 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παραγωγή Page 11 Λογική Συνεπαγωγή/Παραγωγή: Δεν λέει ότι το συμπέρασμα είναι αληθές πάντοτε, αλλά ότι Το Συμπέρασμα είναι αλληθές οποτεδήποτε οι υποθέσεις/συνθήκες είναι αληθείς. Γεώργιος Βούρος

12 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Τυπική Λογική Page 12 Άλγεβρα 1. Τυπική γλώσσα για την κωδικοποίηση της πληροφορίας 2. Νόμιμοι μετασχηματισμοί Λογική 3. Τυπική γλώσσα για την κωδικοποίηση της πληροφορίας 4. Νόμιμοι μετασχηματισμοί ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

13 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Πρόβλημα Αλγεβρας Page 13 Ο Γιώργος είναι τρεις φορές γηραιότερος από τη Μαρία. Η ηλικία του Γιώργου και η ηλικία της Μαρίας αθροίζουν σε δώδεκα. Πόσων χρονών είναι ο Γιώργος και πόσων η Μαρία; Χ-3Υ = 0 Χ + Υ =12-4Υ = -12 Χ=9 Υ=3 Γεώργιος Βούρος

14 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πρόβλημα Λογικής Page 14 Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο, τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο. Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο, Η Μαρία αγαπάει ένα πρόσωπο τη φορά. Αν είναι Δευτέρα η Μαρία αγαπάει τον Τάσο; Αν είναι Δευτέρα η Μαρία αγαπάει το Γιώργο; ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

15 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Τυποποίηση Απλές προτάσεις Η Μαρία αγαπάει το Γιώργο: γ Η Μαρία αγαπάει τον Τάσο: τ Είναι Δευτέρα: δ Page 15 Υποθέσεις Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο, τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο γ τ Αν είναι Δευτέρα, η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή το Τάσο δ γ τ Η Μαρία αγαπάει ένα πρόσωπο τη φορά γ τ Ερωτήσεις Αγαπάει η Μαρία το Γιώργο; γ Αγαπάει η Μαρία το Τάσο τ Γεώργιος Βούρος

16 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Κανόνες συμπερασμού Προτασιακή Επίλυση Page 16 Π1... Πκ Ρ1... Ρλ Τ1... Τμ Σ1... Σν Π1... Πκ Ρ1... Ρλ Τ1... Τμ Σ1... Σν Αν ένα Πi στο αριστερό μέρος της πρώτης πρότασης είναι το ίδιο με κάποιο Σj στο δεξιό μέρος της άλλης πρότασης, τότε μπορούμε να απαλοίψουμε τα δύο σύμβολα, εφόσον βέβαια πάντοτε απαφοίφουμε μόνο ένα τέτοιο ζεύγος συμβόλων. Στην περίπτωση που ένα σύμβολο εμφανίζεται περισσότερες από μια φορά, τότε απαλοίφουμε μόνο μια εμφάνισή του. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

17 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Page 17 Παραδείγματα Π Σ Π Σ Π Σ Π Σ Σ Τ Σ Π Π Τ Γεώργιος Βούρος

18 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πρόβλημα Λογικής: 2 η Προσπάθεια Page 18 Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο, τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο. Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο, Αν είναι Δευτέρα η Μαρία αγαπάει τον Τάσο; γ τ δ γ τ δ τ τ δ τ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

19 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Πρόβλημα Λογικής 3 η Προσπάθεια (και Τελευταία) Page Η Μαρία αγαπάει ένα πρόσωπο τη φορά. Αν είναι Δευτέρα η Μαρία αγαπάει το Γιώργο; δ τ γ τ δ γ Γεώργιος Βούρος

20 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Υπολογιστική Λογική Page 20 Αυτόματη Συλλογιστική Στόχος Βάση Γνώσης Κανόνες Συµπερασµού Απόδειξη <- Βάση Γνώσης Έχει αποδειχθεί ο στόχος; Επιτυχία Επέλεξε Κανόνες Κ Επέλεξε Πρόταση Α Επέλεξε Πρόταση Β Γ <- Εφάρµοσε (Κ,Α,Β) Προτάσεις <- Προτάσεις Γ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

21 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σύγκριση με τη Μαθηματική Λογική Μαθηματική Λογική Συντακτικό, σημασιολογία, ορθότητα και πληρότητα Έμφαση στο ελάχιστο σύνολο κανόνων για την απλοποίηση της ανάλυσης Αυτοί οι κανόνες δεν είναι πάντα εύκολο ή αποτελεσματικό να υλοποιηθούν Page 21 Υπολογιστική Λογική Συντακτικό, σημασιολογία, ορθότητα και πληρότητα Ιδιαίτερη μέριμνα για την υπολογιστική αποτελεσματικότητα Έμφαση σε διάφορες γλώσσες με διαφορετικά σύνολα κανόνων συμπερασμού Ιδιαίτερη προσοχή στους κανόνες που μπορούν να αυτοματοποιήσουν τις διαδικασίες συμπερασμού Γεώργιος Βούρος

22 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Εφαρμογές Συστήματα Βάσεων Δεδομένων Βάση Δεδομένων σε Μορφή Πίνακα Σχέση: Γονέας Νίκος Μαρία Τάσος Νίκος Μπία Γιάννης ΓιώργοςΠέγκυ Βάση Δεδομένων σε Μορφή Προτάσεων Γονέας (Νίκος, Μαρία) Γονέας(Τάσος, Νίκος) Γονέας(Μπία, Γιάννης) Γονέας(Γιώργος, Πέγκυ) Page 22 Περιορισμοί Γονέας(Χ,Χ) Γονέας(Χ,Υ) Γονέας(Υ,Χ) Ορισμοί Γονέας(Χ,Υ) Γονέας(Υ,Ζ) εγγόνι(ζ,χ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

23 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Επαλήθευση Προγραμμάτων Πρόγραμμα Page 23 L Ταξινοµητής ταξινομημένη(l) Καθορισμός i. j. (i<j ταξινόμηση(l)i < ταξινόμηση(l)j) Χρήσιμο για: Επιμέρους αποτίμηση Επαλήθευση Απόδειξη Τερματισμού Ανάλυση Πολυπλοκότητας Γεώργιος Βούρος

24 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Τεχνολογία Υλικού Κύκλωμα: Συμπεριφορά: Page 24 Εφαρμογές: Προσομοίωση Διάγνωση Διαμόρφωση Δημιουργία ελέγχων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

25 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ολοκλήρωση Πληροφορίας Οι Καταναλωτές Προσπελαύνουν και Ενημερώνουν Με βάση το δικό τους Σχήμα Ανταλλαγές Κύριο Σχήμα Κανόνες Συντονισμού Ολοκληρωμένα δεδομένα Σχήµα Σχήµα Σχήµα Κανόνες Κανόνες Κανόνες Κύριο Σχήµα Page 25 Οι Προμηθευτές Κατανεμημένη Διαχείριση Με χρήση των δικών τους Σχημάτων Κανόνες Κανόνες Κανόνες Σχήµα Σχήµα Σχήµα Γεώργιος Βούρος

26 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Τεχνολογία Υπολογιστικής Λογικής Page 26 Αρθρώματα Επεξεργαστές Συστήματα Αυτόματης Συλλογιστικής (Prolog) Βάσεις Γνώσεις (Oρισμοί, περιορισμοί, νόμοι κλπ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

27 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Οδηγός μελέτης Page 27 Προτασιακή Λογική Αν βρέχει, τότε το έδαφος είναι υγρό Σχεσιακή (Κατηγορηματική) Λογική Αν ο Χ είναι γονέας του Υ τότε ο Υ είναι παιδί του Χ Λογική μεταεπιπέδου Ο Γιάννης πιστεύει οτιδήποτε του λέει η Μαρία Γεώργιος Βούρος

28 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Κύρια Θέματα Συντακτικό εκφράσεις που επιτρέπονται σε μια γλώσσα Page 28 Σημασιολογία νόημα των εκφράσεων Λογική Συνεπαγωγή υποθέσεις και συμπεράσματα Αποδεικτικές μέθοδοι Ζητήματα Εκφραστικότητα τελεστές, μεταβλητές, εκφράσεις... Υπολογιστική ιεράρχιση γραμμική, πολυωνυμική, αποφασισιμότητα,... Εκφραστικότητα εναντίον υπολογισιμότητας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

29 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Μετα-επίπεδο Page 29 Συχνά γράφουμε προτάσεις που αναφέρονται σε προτάσεις Πρόταση: Όταν βρέχει, είναι υγρά Μετα-πρόταση: Αυτή η πρόταση περιέχει μια αναφορική πρόταση Συνήθως αποδεικνύουμε πράγματα σχετικά με αποδείξεις Γεώργιος Βούρος