Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
|
|
- Σίλας Ζάππας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
2 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 Μέθοδος της Επίλυσης στην Προτασιακή Λογική ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
3 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Στιγμιότυπα Αξιωματικών Σχημάτων π (π π) π (τ π) π (σ π) τ (π τ) τ (τ τ) τ (σ τ) σ (π σ) σ (τ σ) σ (σ σ) π (π π π) π (π τ π) π (π σ π)... Page 3 Γεώργιος Βούρος
4 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Οι αποδείξεις μπορεί να είναι σύντομες αλλα απαιτούν την εξέταση πολλών εναλλακτικών Page 4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
5 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτασιακή Επίλυση Page 5 Η προτασιακή επίλυση βασίζεται σε ένα και μόνο κανόνα συμπερασμού Με τη χρήση του κανόνα της επίλυσης (δίχως άλλους κανόνες συμπερασμού και αξιώματα) είναι δυνατό να φτιάξουμε ένα ορθό και πλήρη μηχανισμό απόδειξης (αποδεικτικό σύστημα) για την προτασιακή λογική. Ο χώρος αναζήτησης με τη χρήση του κανόνα της επίλυσης είναι πολύ μικρότερος από τη χρήση του Modens Ponens και των Πρότυπων Σχημάτων Αξιωμάτων. Γεώργιος Βούρος
6 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Προτασιακή Μορφή Page 6 Ατομικός τύπος είναι είτε μια ατομική πρόταση (προτασιακή σταθερά) ή η άρνηση μιας ατομικής πρότασης π π Ένας προτασιακός τύπος είναι είτε ένας ατομικός τύπος ή η διάζευξη ατομικών τύπων π π π τ Προτασιακή μορφή (πρόταση) είναι ένα σύνολο ατομικών τύπων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
7 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Κενά Σύνολα Page 7 Η κενή πρόταση () είναι μη ικανοποιήσιμη Είναι ισοδύναμη με την κενή διάζευξη Το κενό σύνολο προτάσεων είναι ικανοποιήσιμο Είναι ισοδύναμο με την κενή σύζευξη Τι συμβαίνει με με ένα σύνολο προτάσεων που περιέχει μόνο την κενή πρόταση; Γεώργιος Βούρος
8 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Μετατροπή σε Προτασιακή Μορφή (Μέθοδος ΣΑΕΤ) Page 8 (Σ) Απαλοιφή των συνεπαγωγών (Α) Εφαρμογή των Αρνήσεων φ τ φ τ φ τ ( φ τ) (φ τ) φ φ (φ τ) φ τ (φ τ) φ τ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
9 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Μετατροπή σε Προτασιακή Μορφή (Μέθοδος ΣΑΕΤ) Page 9 (Ε) Επιμερισμός φ (τ σ) (φ τ) (φ σ) (τ σ) φ (φ τ) (φ σ) (τ σ) φ τ (σ φ) (τ σ) φ τ (σ φ) (Τ) Τελεστές φ1... φν { φ1,..,φν } φ1... φν { φ1 },.., {φν } Γεώργιος Βούρος
10 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα π (σ τ) Σ π ( σ τ) Α π ( σ τ) Ε π ( σ τ) Τ {π} { σ,τ} Page 10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
11 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα (π (σ χ)) Σ (π ( σ χ)) Α ( π ( σ χ)) ( π ( σ χ)) π (σ χ) Ε ( π σ) ( π χ) Τ { π, σ } { π, χ} Page 11 Γεώργιος Βούρος
12 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Κανόνας της Επίλυσης Page 12 Γενικός Παράδειγμα {φ1,..., χ,..., φν} {ψ1,... χ,..., ψμ} {φ1,..χ., φν, ψ1,. χ.., ψμ} {π,σ} { π, τ} - { π, σ, π, τ} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
13 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ζητήματα Page 13 Σύνθεση { π, τ} {π, τ} {τ} Μονοσύνολα { π,τ} {π} {π} { π} - {τ} {} Γεώργιος Βούρος
14 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ζητήματα Page 14 Πολλαπλά Συμπεράσματα {π,σ} { π, σ} - {π, π} {σ, σ} Απλή Εφαρμογή (ΛΑΘΟΣ) {π,σ} { π, σ} {} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
15 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ειδικές Περιπτώσεις Page 15 Modus Ponens Modus Tolens Chaining π σ π σ π σ π σ π σ σ τ π τ { π, σ } {π } {σ} { π, σ } { σ } -- { π } { π, σ } { σ, τ} -- { π, τ} Γεώργιος Βούρος
16 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πληρότητα Page 16 Η μέθοδος της επίλυσης όπως τη γνωρίζουμε μέχρι τώρα για την προτασιακή λογική δεν είναι πλήρης. Δεν μπορούμε να δημιουργήσουμε την ταυτολογία π (σ π) με τη χρήση της μεθόδου αυτής. Δεν υπάρχουν υποθέσεις, συνεπώς δεν υπάρχουν συμπεράσματα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
17 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απάντηση Το παραπάνω πρόβλημα δεν υφίσταται αν πάρουμε την προτασιακή μορφή των υποθέσεων (αν υπάρχουν τέτοιες) μαζί με την άρνηση του συμπεράσματος και προσπαθήσουμε να βγάλουμε ως συμπέρασμα την κενή πρόταση. Page 17 Γενική Μέθοδος Για να αποφασίσουμε αν από ένα σύνολο υποθέσων Δ (πιθανώς κενό) συνεπάγεται λογικά η πρόταση φ, δημιουργούμε το Δ { φ}, και μετατρέπουμε όλες τις υποθέσεις σε προτασιακή μορφή. Στη συνέχεια προσπαθούμε να εξάγουμε ως συμπέρασμα την κενή πρόταση {} με τη χρήση του κανόνα της επίλυσης. Γεώργιος Βούρος
18 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Page 18 (π (σ τ)) Σ ( π σ τ) Α ( π σ τ) π σ τ Ε π σ τ Τ {π} {σ} { τ} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
19 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Page 19 Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο,τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο. Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο. Αποδείξτε ότι αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει τον Τάσο. 1. { γ, τ} Υπόθεση 2. { δ, γ,τ} Υπόθεση 3. {δ} Άρνηση του συμπεράσματος 4. { τ} Άρνηση του συμπεράσματος 5. {γ,τ} 3,2 6. {τ} 5,1 7. {} 6,4 Γεώργιος Βούρος
20 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Page 20 Κεφαλή κερδίζεις. Γράμματα χάνω. Δείξε ότι πάντοτε κερδίζεις. 1. { κ, εσυ} Υπόθεση 2. { γ, εγώ} Υπόθεση 3. {κ,γ} Υπόθεση 4. { κ, γ} Υπόθεση 5. {εγώ, εσύ} Υπόθεση 6. { εγω, εσύ} Υπόθεση 7. { εσυ} Άρνηση συμπεράσματος 8. {γ, εσυ} 3,1 9. { εγω, εσυ} 8,2 10. {εσυ} 9,5 11. {} 10,7 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
21 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ορθότητα και Πληρότητα Page 21 Μια πρόταση είναι αποδείξιμη από ένα σύνολο προτάσεων με βάση τη μέθοδο της επίλυσης αν και μόνο αν υπάρχει τρόπος εξαγωγής της κενής πρότασης {} από τις προτάσεις του συνόλου Δ { φ}. Θεώρημα Η μέθοδος της επίλυσης για την προτασιακή λογική είναι ορθή και πλήρης. Δηλαδή Δ = φ αν και μόνο αν Δ - φ Γεώργιος Βούρος
22 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αποφασισιμότητα Page 22 Μια κατηγορία ερωτήσεων είναι αποφασίσιμη αν και μόνο αν υπάρχει διαδικασία τέτοια ώστε όταν, δεδομένης μιας ερώτησηςαπό την κλάσση αυτή, η διαδικασία τερματίζει με «ναι» αν η απάντηση είναι θετική ή «οχι» αν η απάντηση είναι αρνητική. Παράδειγμα: Για κάθε φυσικό αριθμό Ν, αποφασίστε αν είναι πρώτος. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
23 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ημι- Αποφασισιμότητα Page 23 Μια κατηγορία ερωτήσεων είναι ημι-αποφασίσιμη αν και μόνο αν υπάρχει διαδικασία τέτοια ώστε όταν, δεδομένης μιας ερώτησης από την κλάσση αυτή, η διαδικασία τερματίζει με «ναι» αν η απάντηση είναι θετική. Αν μια κλάση είναι αποφασίσιμη, τότε προφανώς είναι ημιαποφασίσιμη. Γεώργιος Βούρος
24 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αποφασισιμότητα της Λογικής Συνεπαγωγής στην Προτασιακή Λογική Page 24 Η μέθοδος της επίλυσης είναι μια διαδικασία απόφασης για την προτασιακή λογική. Η λογική συνεπαγωγή για την προτασιακή λογική είναι αποφασίσιμη (η μέθοδος της επίλυσης πάντοτε επιστρέφει την απάντηση «ΝΑΙ» ή την απάντηση «ΟΧΙ») Δυστυχώς, το πρόβλημα στη γενική του περίπτωση είναι NP-hard ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
25 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτάσεις Horn Μια πρόταση Horn αντιστοιχεί σε προτασιακή μορφή με το πολύ ένα καταφατικό ατομικό τύπο Page 25 Παραδείγματα {r, p, q} { p, q, r} {p} Κάθε πρόταση Horn μπορεί να γραφεί ως κανόνας: { p, q, r} p q r Γεώργιος Βούρος
26 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Όταν ένα σύνολο προτάσεων είναι Horn, τότε η ικανοποιησιμότητα κα συνεπώς η λογική συνεπαγωγή μπορεί να αποφασισθεί σε χρόνο που είναι γραμμικά ανάλογος στο μέγεθος του συνόλου προτάσεων. Page 26 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
27 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 H μέθοδος των δύο δακτύλων (Two Fingers Method - TFM) Page 27 Function tfm(δ) {var fast :=Δ; var slow := Δ; do ( if slow = [] then return failure; Δ := concat (Δ, αποτέλεσμα επίλυσης (fast, slow)); If {} Δ then return Δ; If fast=slow then {fast :=Δ, slow := next(slow)} else fast:= next(fast))} Γεώργιος Βούρος
28 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα εφαρμογής της TFM Page {p,q} Υπόθεση 11. {r} 2,6 2. { p,r} Υπόθεση 12. {p} 4,6 3. { q,r} Υπόθεση 13. {q} 1,7 4. { r} Υπόθεση 14. {r} 6,7 5. {q,r} 1,2 15. {p} 1,8 6. {p,r} 1,3 16. {r} 5,8 7. { p} 2,4 17. {} 4,9 8. { q} 3,4 9. {r} 3,5 10.{q} 4,5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
29 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα εφαρμογής της TFM με απαλοιφή προτασιακών μορφών (έλεγχο ύπαρξης) Page {p,q} Υπόθεση 2. { p,r} Υπόθεση 3. { q,r} Υπόθεση 4. { r} Υπόθεση 5. {q,r} 1,2 6. {p,r} 1,3 7. { p} 2,4 8. { q} 3,4 9. {r} 3,5 10. {q} 4,5 11. {p} 4,6 12. {} 4,9 Γεώργιος Βούρος
30 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα εφαρμογής της TFM με έλεγχο συμπληρωματικής 1. {p,q} Υπόθεση 2. { p,r} Υπόθεση 3. { q,r} Υπόθεση 4. { r} Υπόθεση 5. {q,r} 1,2 6. {p,r} 1,3 7. { p} 2,4 8. { q} 3,4 9. {r} 3,5 10. {} 4,9 Page 30 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
31 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Τερματισμός Θεώρημα: Είναι δυνατή η απόδειξη μια πρότασης (συμεράσματος) από ένα σύνολο υποθέσεων με τη μέθοδο της επίλυσης, μόνο και μόνο αν η πρόταση μπορεί να συναχθεί με τη μέθοδο των δύο δακτύλων. Page 31 Θεώρημα: Η Προτασιακή Επίλυση με την εφαρμογή της μεθόδου των δύο δακτύλων τερματίζει πάντοτε. Απόδειξη: Από πεπερασμένο αριθμό προτασιακών σταθερών μπορούν να κατασκευαστεί και να συναχθεί πεπερασμένος στον αριθμό προστασιακών μορφών. Γεώργιος Βούρος
32 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Διαδικασία Davis Putnam function dp (Δ) {for φ in vocabulary(δ) do {var Δ :={}; for Φ1 in Δ for Φ2 in Δ such that φ Φ1, φ Φ2 do {var Φ := Φ1-{φ} Φ2-{ φ}; if not tautology(φ ) then Δ :=Δ {Φ }}; Δ :=Δ-{Φ Δ φ Φ or φ Φ } Δ }; Return (if {} Δ then unsatisfiable else unsatisfiable ) Page 32 function tautology (Φ) {φ Φ and φ Φ } ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
33 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα εφαρμογής DP 1. {p, q} 2. {p, q} 3. { p, q} 4. { p, q} 5. {p} 1,2 6. {q} 1,3 7. { q} 2,4 8. { p} 3,4 9. {} 6,7 10. {} 5,8 Page 33 Γεώργιος Βούρος
34 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα εφαρμογής DP Page 34 {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} { q, r} {p, q, r} { q, r} { p, q, r} { p, q, r} {r} { p, q, r} { r} { p, q, r} {} Προσπαθήστε δίχως την εφαρμογή της DP ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
35 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Βασική Ιδέα και Κίνητρο για την Davis Putnam Logemann Loveland (DPLL) Page 35 H DP μπορεί να απαιτήσει εξαιρετικά μεγάλο χρόνο και χώρο για μεγάλα προβλήματα. H DPLL μπορεί να λύσει τέτοιου είδους προβλήματα λύνοντας μικρότερα προβλήματα σε σειρά. Βασική ιδέα: Επέλεξε ένα ατομικό τύπο. Θεώρησε ότι ο τύπος αυτός είναι αληθής. Απλοποίησε το σύνολο των προτασικών μορφών (δες παρακάτω) και δείξε την ικανοποιησιμότητα. Επανέλαβε για την άρνηση του ατομικού τύπου. Γεώργιος Βούρος
36 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Davis Putnam Logemann Loveland (DPLL) Page 36 function dpll(δ) { var φ; If Δ ={} then return yes; If {} Δ then return no; φ := choose vocabulary (Δ); if dpll(simplify(δ,φ)) return yes else return dpll(simplify(δ, φ))} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
37 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Simplification Page 37 function simplify(δ,φ) {var Δ ; For Φ Δ do {if φ Φ then skip else if negation(φ) Φ then Δ :=Δ {Φ-{negation(φ)}} else Δ :=Δ {Φ}}} Παράδειγμα: Simplify ({{p,q},{ p, r},{ r, s}}, p) = {{r},{ r,s}} Γεώργιος Βούρος
Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγητής Γεώργιος Βούρος. Μαθηµατική Λογική και Λογικός Προγραµµατισµός
Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηµατική Λογική και Λογικός Προγραµµατισµός Page 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 2011 Τµήµατα Πληροφορίας Ο κόκκινος κύβος
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΕπανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019
Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Λογικοί Πράκτορες Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Πράκτορες βασισμένοι
Διαβάστε περισσότεραΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012
ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 1
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η
Διαβάστε περισσότεραΠληρότητα της μεθόδου επίλυσης
Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότερα4.3 Ορθότητα και Πληρότητα
4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε
Διαβάστε περισσότεραHY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5
HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 Α) ΘΕΩΡΙΑ Η Μορφολογική Παραγωγή ανήκει στα συστήματα παραγωγής, δηλαδή σε αυτά που παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Η
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΛογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση
Λογικοί πράκτορες Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Βάση γνώσης (knowledge base: Σύνολο προτάσεων (sentences Γλώσσα αναπαράστασης της γνώσης Γνωστικό υπόβαθρο: «Αµετάβλητο» µέρος της ΒΓ Βασικές εργασίες:
Διαβάστε περισσότεραΛογικός Προγραμματισμός
Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
Διαβάστε περισσότεραΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά
ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)
Διαβάστε περισσότεραΛογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης
Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή
Διαβάστε περισσότεραHY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης
HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων
Κεφάλαιο 5 Αξιωματική Σημασιολογία και Απόδειξη Ορθότητας Προγραμμάτων Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή Τα προγράμματα μιας (κλασικής) γλώσσας προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραHY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6
HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο 2015-2016 Φροντιστήριο 6 Α) ΘΕΩΡΙΑ Μέθοδος Επίλυσης (Resolution) Στη μέθοδο της επίλυσης αποδεικνύουμε την ικανοποιησιμότητα ενός συνόλου προτάσεων,
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΥποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης).
Κανόνας Ανάλυσης 1 Μυθικός Αθάνατος 3 Μυθικός Θηλαστικό ------------------------------ 7 Αθάνατος Θηλαστικό 4 Αθάνατος έχεικέρας -------------------------------- 8 Θηλαστικό έχεικέρας 5 Θηλαστικό έχεικέρας
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 4ο μέρος σημειώσεων: Ακολουθίες Επίλυσης, Επίλυση για όρους Horn, Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. α) A B/A Α Β ΑΛΒ Α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
Διαβάστε περισσότεραΛογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και
Διαβάστε περισσότεραΛογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης 1. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 2: Λογική: Εισαγωγή, Προτασιακή Λογική. Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΕυχαριστίες. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους ήταν δίπλα μου όλα αυτά τα χρόνια και με βοήθησαν να πραγματοποιήσω τους στόχους μου.
Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου, Δρ Γιάννη Δημόπουλο, ο οποίος ήταν ο επιβλέπον καθηγητής της διπλωματικής αυτής εργασίας και με βοήθησε ώστε να ολοκληρωθεί με επιτυχία. Επίσης θα
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΣυνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 O πιο κάτω συλλογισμός (αποτελεί μικρή παραλλαγή συλλογισμού που) αποδίδεται στον Samuel Clarke και προέρχεται από την εργασία του Demonstration of the Being and Attributes
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος
Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών
Διαβάστε περισσότεραΛογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 9η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται εν μέρει στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΛογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣυνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Σημειώστε αν είναι
Διαβάστε περισσότεραp p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2017 1 η Σειρά Ασκήσεων Παράδοση: Τρίτη, 28/2/2017 μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες Άσκηση 1.1 [1 μονάδα]
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες Απόδειξης Μερικής
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότερα1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας
Διαβάστε περισσότεραΠλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων.
30 Νοεμβρίου 2016 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Διαβάστε περισσότεραΚανονικές μορφές - Ορισμοί
HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός στο Λογικό Προγραμματισμό. Πώς υπολογίζεται η έξοδος ενός Λογικού Προγράμματος;
Υπολογισμός στο Λογικό Προγραμματισμό Πώς υπολογίζεται η έξοδος ενός Λογικού Προγράμματος; Herbrand Universe H L Είναι τα δεδομένα που μεταχειρίζεται ένα Λογικό Πρόγραμμα, προκειμένου να απαντήσει μια
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2018 Κρεατσούλας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραAsk seic Majhmatik c Logik c 2
Ask seic Majhmatik c Logik c 2 1. Να δειχτεί με πίνακες αλήθειας ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες. (αʹ) (A B) και A B. (βʹ) A (B C) και (A B) (A C). (γʹ) A B και B A. (δʹ) A B και B A.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική
Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων ΚανόνεςΑπόδειξηςΜερικήςΟρθότητας
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική
ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις έννοιες της Προτασιακής Λογικής. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 1
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 p q r p (q r) (p q) p q r ( r p q) T T T T F T T T T F F F F T T F T T T T T T F F T T T T F T T T F T T F T F T F T T F F T T F T F F F F T F T T Ο πιο πάνω πίνακας παρουσιάζει
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΑποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 7η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)
ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 11: Καθολική μηχανή Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραILP-Feasibility conp
Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)
ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα (μ.ο.: 7.09). Πολλά
Διαβάστε περισσότερα