Principi ed applicazioni del metodo degli elementi finiti

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1 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Argometi trattati el corso: Meccaica del Cotiuo Teoria e dimesioameto delle travi - Pricipio dei Lavori Virtuali - Teoremi eergetici - Carico Critico Euleriao Pricipi ed applicazioi del metodo degli elemeti fiiti BIBLIOGRAFIA Corradi Dell Acqua, Meccaica delle Strutture vol., McGraw-Hill Beer, Russell ohsto, DeWolf, Meccaica dei Solidi, McGraw-Hill

2 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Aalisi Strutturale deve icludere tre aspetti: STATICA: legame tra sforzi iteri i e forze (equilibrio) i CINEMATICA: legame tra deformazioi e spostameti (cogrueza) MATERIALE: legame tra sforzi e deformazioi (legame costitutivo) F F F Sforzo ormale F A Area della sezioe

3 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Aalisi Strutturale deve icludere tre aspetti: STATICA: legame tra sforzi iteri i e forze (equilibrio) i CINEMATICA: legame tra deformazioi e spostameti (cogrueza) MATERIALE: legame tra sforzi e deformazioi (legame costitutivo) F L F ε L L L L ε t D D D

4 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Aalisi Strutturale deve icludere tre aspetti: STATICA: legame tra sforzi iteri i e forze (equilibrio) i CINEMATICA: legame tra deformazioi e spostameti (cogrueza) MATERIALE: legame tra sforzi e deformazioi (legame costitutivo) Legge che lega lo sforzo e la deformazioe (dipede dal materiale)

5 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A STATICA: Stato di sforzo si cosideri u mezzo cotiuo tridimesioale di volume V e superficie S soggetto a forze ageti al suo itero (es. peso proprio ) e/o sulla superficie laterale (es. pressioe del veto) Cotiuo di Cauchy lim ΔV lim ΔR F ΔV ΔM lim ΔS lim Δ V Δ V Δ S Δ ΔR f ΔS ΔM S Augusti Louis Cauchy ( ) F forza di volume [F]/[L ] f forza superficiale i [F]/[L ]

6 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo si cosideri u mezzo cotiuo tridimesioale di volume V e superficie S i equilibrio soggetto a forze di volume F e forze di superficie f ΔR ΔMα ΔS α lim α lim ΔS ΔS ΔS α è detto sforzo o tesioe el puto P su ua giacitura di ormale α [F]/[L ]

7 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo Tetraedro ifiitesimo ell itoro del puto P co tre facce ortogoali agli assi coordiati e la quarta avete versore α ormale uscete - i Equilibrio alla traslazioe (si trascuri la forza di volume FdV, ifiitesimo di orie superiore) α ds ds ds ds ds i ds αi cos( ) αi α i α α α α Il vettore tesioe α su ua giacitura di ormale α è oto se lo soo i tre vettori i su tre giaciture mutuamete ortogoali (i.e. le ove compoeti ij )

8 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo compoeti ormali ii (i i,, ) compoeti tageziali ij ( i j) asse ortogoale al piao della sezioe asse ella direzioe della compoete

9 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo si ottiee dall equilibrio alla rotazioe del tetraedro ij ji ( i j) sim. tesore doppio simmetrico α α α α α α

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12 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Nozioe di tesore U tesore è u sistema di gradezze defiito da più idici che gode di ua particolare legge di trasformazioe al variare del sistema di riferimeto Esempi di tesori molto usati: tesore di ierzia ella meccaica del corpo rigido, tesore degli sforzi ella meccaica dei mezzi cotiui (elastici, fluidi, etc.) tesori che si usao i Relatività Geerale.

13 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo Sforzi e direzioi pricipali p α α α ( α ( I ) α α α

14 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo Sforzi e direzioi pricipali p Soluzioi o baali del sistema problema agli autovalori: valori di che aullao il determiate della matrice dei coefficieti det( I) simmetrica teorema algebra lieare assicura l esisteza di tre radici autovalori: I, II, III Sforzi pricipali autovettori: I, II, III Direzioi i i pricipali i I II sim. sim. III

15 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo Sforzi e direzioi pricipali p I, II, III SFORZI PRINCIPALI o dipedoo dal sistema di riferimeto origiale assuto Coefficieti dell eq eq. soo idipedeti dal sistema di riferimeto origiale assuto det( ) INVARIANTI DI SFORZO I I I II II II III II III III I III

16 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo ij p δ ij S ij δ ij se se i i j j compoete idrostatica di sforzo compoete deviatorica di sforzo p p p p p p Deviatore di Sforzo Pressioe Idrostatica p ( ) S ( I II III )

17 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo piao sim. sim.

18 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo piao Ivariati di Sforzo I ± II Sforzi Pricipali Pressioe Idrostatica p Deviatore di sforzo S

19 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo piao α cos( cos( α α x cosα ) x ) cos(9 α) cosα siα Compoete di α parallela ad α : α α r cos( rα x cos( rα x α ) cos(9 α) si α ) cosα cosα T cosα α { cosα si α} si α cos α si α si αcosα Compoete di α ortogoale ad α : r T { si α cosα} α ( α cosα si α )si αcosα (cos α si ) α

20 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo piao siα cosα cos α si si α α cosα cos α ( cosα ) si α ( cosα ) cos α si α ( )si αcosα si αcosα (cos α si α) ( ) ( )cos α si α ( )si α cos α

21 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo piao ( ) ( )cosα siα ( )si cos α α Elevado al quadrato le due relazioi e sommadole si ha: ( c ) R ( ) c R 4 Equazioe di ua circofereza el piao,co cetro el puto (c,) e raggio R

22 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo piao Cerchio di Mohr ( c ) R ( 4 c R ) Per u dato stato di sforzo piao i u certo puto P, il cerchio di Mohr forisce le compoeti ormale e tageziale di questo stato di sforzo su ua qualsiasi giacitura el puto.

23 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo piao Cerchio di Mohr A(, ) B, ) ( positiva se oraria positiva se di trazioe Esistoo due giaciture ortogoali su cui la tesioe tageziale è ulla queste giaciture defiiscoo le direzioi pricipali I, II c ± su queste giaciture agiscoo gli sforzi pricipali I e II R tgα *

24 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Stato di sforzo piao Cerchio di Mohr Le tesioi tageziali massime si trovao su giaciture ruotate di 45 rispetto alle giaciture pricipali max I II Gli sforzi pricipali I e II soo il massimo e il miimo tra gli sforzi ormali sulle ifiite giaciture

25 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Esempio Determiare gli sforzi pricipali e le direzioi pricipali del seguete stato t di sforzo Cerchio di Mohr A( MPa, MPa) B ( 5MPa, MPa) c. 5 ( ) R. 5 4 α Sforzi pricipali c R 5MPa I II c R MPa Direzioi pricipali arctg.46 rad 6. 5 * o

26 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Esempio Determiare gli sforzi pricipali e le direzioi pricipali del seguete stato di sforzo Cerchio di Mohr A ( 4MPa, 5MPa) c 7. 5 B( 5MPa, 5MPa) ( ) R. 4 4 α * Sforzi pricipali I c R 4. 9MPa c R 4. MPa II Direzioi pricipali arctg.9rad. 9 o

27 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A dxdx dx) x dx dx Equazioi di Equilibrio ( dx dx dxdx dx dx Equilibrio alla traslazioe i direzioe x ( dx dx dx dxdx ( dx ) dxdx x ( dx dxdx x dxdx ) dxdx x F dx dx dx F x x

28 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A dxdx Equazioi di Equilibrio ( dx dx dxdx dx) x dx dx ( dx dxdx x dxdx ) Equilibrio alla traslazioe i direzioe x dxdx F dx dxdx dxdx ( dx ) dxdx F x x x x

29 POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A Equazioi Idefiite di Equilibrio F x x x sul volume V F x x x F x x x f Equazioi di Equilibrio al cotoro sulla superficie S f f f f