DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO

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1 DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO Il triangolo ABC ha n angolo retto in C e lati di lnghezza a, b, c (vedi fig. ()). Le fnzioni trigonometriche dell angolo α sono definite nel modo segente: seno di α = sin α = a c coseno di α = cos α = b c tangente di α = tg α = a b cotangente di α = cot α = b a secante di α = sec α = c b cosecante di α = csc α = c a B c a A α b C Figra : Il triangolo ABC Si consideri, ora, n sistema di coordinate Oy (vedi figg. ()). Sia P n pnto del piano Oy di coordinate, y: P = P (, y). La distanza di P dall origine O è positiva e si indica con r = y. L angolo α descritto in senso antiorario, a partire da OX, si considera positivo. Se esso è descritto in senso orario, a partire da OX, è considerato negativo. Chiamiamo X OX e Y OY gli assi delle e delle y, rispettivamente. Indichiamo con I, II, III, IV i vari qadranti (primo, secondo, terzo, qarto qadrante, rispettivamente). In figra (), ad esempio, l angolo α è nel secondo qadrante, mentre in figra () è nel terzo qadrante. Per n angolo α in n qalsiasi qadrante le fnzioni trigonometriche sono definite così: sin α = y/r cos α = /r tg α = y/ cot α = /y sec α = r/ csc α = r/y

2 Y Y II I II I P(,y) X y r α O X X P(,y) y r α O X III Y IV III Y IV Figra : Qadranti del cerchio trigonometrico. RELAZIONE TRA GRADI E RADIANTI Un radiante è qell angolo (θ) al centro di na circonferenza di centro O e raggio r, sotteso da n arco MN di lnghezza gale a qella del raggio r (vedi fig. ()). Tenendo conto che π radianti eqivalgono a 60 si ha: radiante =80 /π = = π 80 radianti = radianti Per passare dalla misra in gradi (θ ) alla misra in radianti (θ rad ) si sa la proporzione θ : 80 = θ rad : π. N MN=r O r θ r r M Figra : Radiante.

3 PRINCIPALI RELAZIONI TRA LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE sin α = csc α cos α = sec α tg α = cot α = sin α cos α cot α = tg α = cos α sin α sin α = ± cos α (il segno davanti alla radice dipende dal qadrante in ci cade α) cos α = ± sin α tg α = ± sec α sec α = ± tg α cot α = ± csc α csc α = ± cot α sin α cos α = SEGNI E VARIAZIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Qadrante sin α cos α tg α cot α sec α csc α I II III IV

4 VALORI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI ANGOLI SPECIALI Angolo α sin α cos α tg α cot α sec α csc α 0 = 0 (rad.) = π ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = π 6 / / / / 5 = π / / 60 = π / / / / 75 = 5π ( ) ( ) ( ) ( ) 90 = π 0 ± 0 ± 05 = 7π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = π / / / / 5 = π / / 50 = 5π 6 / / / / 65 = π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 80 = π 0 0 ± 0 = 7π 6 5 = 5π 0 = π 70 = π 00 = 5π 0 = π 6 / 0 ± 0 60 = π 0 0

5 FUNZIONI DI ANGOLI NEGATIVI sin(α) = sin α cos(α) = cos α tg (α) = tg α csc(α) = csc α sec(α) = sec α cot(α) = cot α sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β tg (α ± β) = cot(α ± β) = tg α ± tg β tg α tg β cot α cot β cot β ± cot α FORMULE DI ADDIZIONE sin(α β) sin(α β) = sin α sin β = cos β cos α cos(α β) cos(α β) = cos α sin β = cos β sin α sin α = sin α cos α = FORMULE DI DUPLICAZIONE tg α tg α cos α = cos α sin α = sin α = cos α = tg α tg α tgα = tg α tg α cot α = cot α cot α sin α = ± cos α cos α = ± cos α FORMULE DI BISEZIONE tg α cos α = ± cos α = sin α cos α = cos α sin α cot α cos α = ± cos α = cos α = sin α sin α cos α

6 sin α = ( cos α) POTENZE DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE cos α = ( cos α) tg α = cot α = cos α cos α cos α cos α sin α = ( sin α sin α) cos α = ( cos α cos α) sin α = ( cos α cos α) 8 cos α = ( cos α cos α) 8 SOMMA, DIFFERENZA E PRODOTTO DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE sin α sin β = sin (α β) cos (α β) sin α sin β = cos (α β) sin (α β) cos α cos β = cos (α β) cos (α β) cos α cos β = sin (α β) sin (β α) sin α sin β = {cos(α β) cos(α β)} cos α cos β = {cos(α β) cos(α β)} sin α cos β = {sin(α β) sin(α β)} cos α sin β = {sin(α β) sin(α β)} tg α tg β = tg α tg β = cot α cot β = cot α cot β = sin(α β) cos α cos β sin(α β) cos α cos β sin(α β) sin α sin β sin(β α) sin α sin β

7 RIDUZIONE AL PRIMO QUADRANTE α 90 ± α 80 ± α 70 ± α k(60 ) ± α π ± α π ± α π ± α kπ ± α (k intero) sin sin α cos α sin α cos α ± sin α cos cos α sin α cos α ± sin α cos α tg tg α cot α ±tg α cot α ±tgα cot cot α tg α ± cot α tg α ± cot α sec sec α csc α sec α ± csc α sec α csc csc α sec α csc α sec α ± csc α ULTERIORI FORMULE DI RIDUZIONE sin α = cos(α 90 ) = sin(α 80 ) = cos(α 70 ) cos α = sin(α 90 ) = cos(α 80 ) = sin(α 70 ) tg α = cot(α 90 ) = tg (α 80 ) = cot(α 70 ) cot α = tg (α 90 ) = cot(α 80 ) = tg (α 70 ) sec α = csc(α 90 ) = sec(α 80 ) = csc(α 70 ) csc α = sec(α 90 ) = csc(α 80 ) = sec(α 70 ) RELAZIONE FRA FUNZIONI DI ANGOLI Fnzione sin α = cos α = tg α = cot α = sec α = csc α = sin α ± ± ± ± cos α ± ± ± ± tg α ± ± ± ± cot α ± ± ± ± sec α ± ± ± ± csc α ± ± ± ±

8 RELAZIONE FRA LATI ED ANGOLI DI UN TRIANGOLO PIANO Per ogni triangolo piano ABC di lati a, b, c ed angoli α, β, γ (vedi figra segente) valgono i segenti risltati: c A α b B β a γ C Teorema dei seni: a sin α = b sin β = c sin γ Teorema del coseno: a = b c bc cos α ; cos α = b c a bc b = c a ac cos β ; cos β = c a b ac c = a b ab cos γ ; cos γ = a b c Teorema delle tangenti: a b a b = tg (α β) (α β) tg b c b c = tg (β γ) (β γ) tg c a c a = tg (γ α) (γ α) tg RELAZIONI ESPONENZIALI (α in radianti), EQUAZIONE DI EULERO e iα = cos α i sin α, (i = ) sin α = eiα e iα i cos α = eiα e iα ( e iα e iα ) tg α = i e iα e iα ab

9 Se allora FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE = sin y () y = sin () è l angolo il ci seno è. La () è la fnzione inversa della () e si chiama arcoseno di (si indica con arcsin o sin ) Si tratta di na fnzione polidroma di ed è n insieme di fnzioni nivoche dette rami. La stessa cosa vale per le altre fnzioni trigonometriche inverse arccos (cos ), arctg (tg ), arccot (cot ), arcsec (sec ), arccsc (csc ). Usalmente, per evitare le difficoltà connesse alla polidromia della fnzione, se ne tilizza n ramo particolare detto ramo principale e i valori relativi a tale ramo sono detti valori principali. VALORI PRINCIPALI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE π (sin ) π 0 (cos ) π π < (tg ) < π < < 0 < (cot ) < π < < 0 (sec ) < π π (sec ) < π 0 < (csc ) π π < (csc ) π N.B. Non vi accordo generale slle definizioni di cot, sec e csc per valori negativi di. ALCUNE RELAZIONI TRA LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE (per i valori principali) arcsin arccos = π arctg arccot = π arcsin() = arcsin arccos() = π arccos arctg () = arctg arccot () = π arccot

10 Mentre le precedenti relazioni valgono sia per < 0 che per > 0, le segenti valgono solo per 0: arcsin = arccsc arccos = arcsec arctg = π arctg arccot = π arccot arcsec = π arcsec () arccsc = π arccsc () Le segenti relazioni sono, invece, valide solo per < 0: arcsin = π arccsc arccos = arcsec arctg = arccot π = π arctg arccot = π arctg = π arccot arcsec = arccos = π arccsc = arcsec () π = π arccsc () arccsc = π arcsec = π arcsin = arccsc () π = π arcsec () Se α = arcsin, allora: sin α =, cos α =, tg α =, csc α =, sec α =, cot α =. Se α = arccos, allora: sin α =, cos α =, tg α = csc α =, sec α =, cot α =,. Se α = arctg, allora: sin α =, cos α =, tg α =, csc α =, sec α =, cot α =.