Prima Esercitazione. Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Prima Esercitazione. Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli 1"

Δημήτηρ Γούναρης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Prima Esercitazione Cordeschi, Patriarca, Polli 1

2 Formula della Convoluzione + y() t = x( ) h( t ) d τ = τ τ τ x(t) Ingresso h(t) Filtro Uscita y(t) Cordeschi, Patriarca, Polli 2

3 Primo esercizio Si calcoli la convoluzione del segnale x() t Arect () t con ht () Arect () t Cordeschi, Patriarca, Polli 3

4 Metodo Grafico (1/5) Ribaltando h(τ) si ottiene: A h(-τ ) h(τ ) - /2 Fig.1 /2 τ Cordeschi, Patriarca, Polli 4

5 Metodo Grafico (2/5) x(τ ) A h(t-τ ) - /2 /2 τ t - /2 t + /2 Dalla Figura si vede che per 0 t yt = xτ ht τ dτ = t A dτ = A ( t) /2 () t ( ) ( ) /2 /2 /2 2 2 Cordeschi, Patriarca, Polli 5

6 Metodo Grafico (3/5) h(t-τ ) x(τ ) A - /2 /2 t - /2 t + /2 τ Dalla Figura si vede che per t y(t) è nullo perché x(τ) h(t-τ)=0 per ogni τ. Cordeschi, Patriarca, Polli 6

7 Metodo Grafico (4/5) h(t-τ ) x(τ ) A t - /2 /2 t + /2 - /2 Dalla Figura si vede che per t 0 τ t+/2 y(t) = = /2 x( τ ) h( t τ) dτ t+/2 /2 2 A dτ =A 2 (t+) Cordeschi, Patriarca, Polli 7

8 Metodo Grafico (5/5) h(t-τ ) x(τ ) A t - /2 t + /2 - /2 /2 τ Dalla Figura si vede che per t - y(t) è nullo perché x(τ)h(t-τ)=0 per ogni τ. Cordeschi, Patriarca, Polli 8

9 Espressione analitica di y(t) yt () 0, = A 0, 2 A t 2 ( + ), ( t), t t 0 0 t t Cordeschi, Patriarca, Polli 9

10 Andamento di y(t) y(t) 2 y(t) = A tri(t) 2 A - - t Cordeschi, Patriarca, Polli 10

11 Secondo esercizio Si calcoli la convoluzione di con xt Arect t 1 () ( ) h t Brect t Si assuma () ( ) Cordeschi, Patriarca, Polli 11

12 Metodo Grafico (1/6) Segnali in funzione di τ : x(τ ) A B h(τ ) 1 Segnale ribaltato h(-τ) : τ 2 h(-τ ) B τ -2 Cordeschi, Patriarca, Polli 12 τ

13 Metodo Grafico (2/6) Caso A: t 0 h( t-τ ) B A x( τ ) t-2 t 1 τ Dalla Figura si vede che l integrale di convoluzione y(t) è nullo per ogni t 0. Cordeschi, Patriarca, Polli 13

14 Metodo Grafico (3/6) h( t-τ ) B A Caso B.1: x( τ ) 0 t 2 t-2 t 1 τ Dalla Figura si vede che per 0 t 2 t x ( ) h ( t ) d τ τ τ 0 0 y(t) = = t ABdτ =AB t Cordeschi, Patriarca, Polli 14

15 Metodo Grafico (4/6) Caso B.2: 2 t 1 h( t-τ ) B A x( τ ) t-2 t 1 τ Dalla Figura si vede che per 2 t 1 y(t) è costante e pari a AB2 Cordeschi, Patriarca, Polli 15

16 Metodo Grafico (5/6) Caso B.3: 1 t 1+ 2 B x( τ ) A h( t-τ ) t-2 1 t τ Dalla Figura si vede che per 1 t y(t) = = = t 2 x( τ ) h( t τ) dτ =AB( t) 1 t 2 ABdτ Cordeschi, Patriarca, Polli 16

17 Metodo Grafico (6/6) x( τ ) h( t-τ ) Caso B.4: t 1+2 B A τ Dalla Figura si vede che per 1 t t-2 t 1+2. y(t) è nullo perché il prodotto x(τ)h(t-τ)=0 per ogni τ Cordeschi, Patriarca, Polli 17

18 Espressione analitica di y(t) 0, ABt, yt () = AB2, AB( 1+2 t), 0, t 0 0 t 2 t 2 1 t + t Cordeschi, Patriarca, Polli 18

19 Andamento di y(t) y(t) AB2 Andamento di y(t) t Cordeschi, Patriarca, Polli 19

20 Terzo esercizio Si calcoli la convoluzione di xt () e β t t +, (β > 0) con ht () Arect ( t ) 2 Cordeschi, Patriarca, Polli 20

21 Metodo Grafico (1/4) Segnali in funzione di τ : 1 x(τ ) A h(τ ) Segnale ribaltato h(-τ) : τ h(-τ ) τ A - τ Cordeschi, Patriarca, Polli 21

22 Metodo Grafico (2/4) h(t-τ ) A 1 x(τ ) Caso A: t 0 t- Dalla Figura si vede che = t t βτ Ae dτ t τ y(t) = t βτ Ae dτ = e β t e βt = A/β (1 ) +, per t 0. Cordeschi, Patriarca, Polli 22

23 Metodo Grafico (3/4) h(t-τ ) 1 x(τ ) A Caso B.1: 0 t t t- t τ Dalla Figura si vede che y(t) = t βτ Ae dτ = t = 0 t βτ Ae dτ+ Ae βτ d τ = 0 t βτ Ae dτ Ae βτ + d τ = 0 t 0 e βt ( t ) e + β =A/β [2 ( + ) ] Cordeschi, Patriarca, Polli 23

24 Metodo Grafico (4/4) x(τ ) 1 A Caso B.2: h(t-τ ) t t- Dalla Figura si vede che y(t) = t t Ae βτ dτ t t t = = A/β ( 1 ), e β e βt τ Ae βτ dτ = per t Cordeschi, Patriarca, Polli 24

25 Espressione analitica di y(t) A β βt (1 e ) e, β A yt = e + e β A t ( e β 1) e β, β βt β( t ) ( ) [2 ( )], t 0 0 t t Cordeschi, Patriarca, Polli 25

26 Andamento di y(t) Cordeschi, Patriarca, Polli 26

27 Formule dello Sviluppo in Serie di Fourier + n= Xe n + j2π nft x(t), t (-, + ) F=1/T 1 T T /2 j2π nft Xn x() t e dt T /2 n=0 ± 1 ± 2. Cordeschi, Patriarca, Polli 27

28 Primo esercizio- Sviluppo in serie di Fourier (1/2) Si calcoli lo sviluppo in serie di Fourier del seguente segnale: x(t) +A -3T/2 -T -T/2 T/2 T 3T/2 t -A Cordeschi, Patriarca, Polli 28

29 Primo esercizio-sviluppo in serie di Fourier (2/2) Da osservare che x(t) è reale + xt () X 2M cos(2 π nft ) = + +Φ 0 n n n= 1 M = n X n Φ = n arg X n Cordeschi, Patriarca, Polli 29

30 Calcolo dei coefficienti (1/4) X 0 1 T /2 = x() t dt =[poiché x(t) è dispari] = 0 T T /2 Cordeschi, Patriarca, Polli 30

31 Calcolo dei coefficienti (2/4) Per n 0: 1 T T /2 j2π nft X n xte () dt T /2 = (poiché x(t) è dispari)= 1 T /2 = j x()sin(2 t π nft) dt= (poiché la funzione integranda T T /2 2 T /2 è funzione pari di t )= j xt ()sin(2 π nftdt ) = T 0 Cordeschi, Patriarca, Polli 31

32 Calcolo dei coefficienti (3/4) A = (poiché nell intervallo [0,T/2] x(t)= 2 t A ) = T 2 T /2 A = j ( 2 t A)sin(2 π nft) dt = (risolvendo per parti) T 0 T = ja π n Integrazione per parti: ' ' uxv ( ) ( xdx ) = uxvx ( ) ( ) u( xvxdx ) ( ) Cordeschi, Patriarca, Polli 32

33 Calcolo dei coefficienti (4/4) X n 0, n = 0 = ja, n 0. π n 0, n = 0 Mn Xn = A, n > 0 π n 0, n = 0 Φ n = π /2, n > A 1 2πn π 2A 1 2πn x() t = cos( t+ ) = sin( t) π n T 2 π n T n= 1 n= 1 Cordeschi, Patriarca, Polli 33

34 Applicazione del Teorema di Parseval Px potenza del segnale x(t) = 2 + 2A 1 π n= 1 n n= π = = (poiché = ) = n 6 n= 1 A 3 X n 2 2 = Cordeschi, Patriarca, Polli 34

35 Trasformata di Fourier xt () segnale impulsivo e/o di energia + j2π ft ( ) ( ) Trasformata di Fourier X f x t e dt + + j2π f t ( ) ( ) Antitrasformata di Fourier xt = X f e df Cordeschi, Patriarca, Polli 35

36 Primo esercizio- Trasformata di Fourier Si calcoli la Trasformata di Fourier del seguente γ t segnale: x(t)= e u t con γ>0. { 1 () } + γt γt j2 π f t 1 = 1 ( γ+ j 2 π f ) t X ( f ) FT e u () t e u () t e dt = = + ( γ + j2 π f ) t 0 e dt = e γ t = 0 + j2 π f t = + = = 1 ( f 0) γ + j2 π f < Cordeschi, Patriarca, Polli 36

37 Secondo esercizio- Trasformata di Fourier Si calcoli la Trasformata di Fourier del seguente segnale: x(t)= tri () t. { } j2 π f t X ( f ) FT tri() t = tri() t e dt + = j2 π f t tri () t e dt = = = tri ()cos(2 t π f t) dt 2 tri ( t)cos(2 π f tdt ) 0 = = t 2 ( )cos(2 π f tdt ) 0 = Si risolve per parti. Cordeschi, Patriarca, Polli 37

38 Metodo alternativo 1 tri() t = rect()* t rect() t Utilizzando la proprietà della TdF della convoluzione, si ha che: 1 FT tri () t ( f) = FT rect () t ( f) FT rect () t ( f) = { } { } { } 1 ( FT rect () t ( f )) 2 = { } = 2 sinc ( πf ) Cordeschi, Patriarca, Polli 38

39 Primo esercizio- Funzione di trasferimento Si calcoli la funzione di trasferimento del filtro riportato in figura: x(t) + y(t) x y(t ) Ritardo di B Cordeschi, Patriarca, Polli 39

40 Svolgimento (1/4) E immediato vedere che: 2 y(t)=x(t)+by(t-) Y(f)=X(f)+B j π f e Y(f) Y j2π f [1-B e ]Y(f)=X(f) H(f) ( f ) = X( f) 1 1 Be j 2π f H(f) =+ 1 + π 2 1 B 2Bcos(2 f ) arg H( f) Bsin(2 π f) = arctg 1 Bcos(2 π f) f ε (, + ) Cordeschi, Patriarca, Polli 40

41 Svolgimento (2/4) Il calcolo del modulo si basa sulla seguente proprietà dei numeri complessi: N( f ) = 1 N( f ) = 1 H(f) = N( f ) D( f) D f Be B ft jb ft j2π ft ( ) = 1 = 1 cos(2 π ) sin(2 π ) ( ) 2 2 D( f) = 1 Bcos(2 π ft) + Bsin(2 π ft) = ( ) ( ) Cordeschi, Patriarca, Polli 41

42 Svolgimento (3/4) = 1+ B cos (2 π ft) 2Bcos(2 π ft) + B sin (2 π ft) = = B 2Bcos(2 π ft). Il calcolo della fase si basa sulla seguente proprietà dei numeri complessi: arg( H( f)) = arg( N( f )) arg( D( f )) Cordeschi, Patriarca, Polli 42

43 Svolgimento (4/4) N( f ) = 1 arg( N( f )) = 0 D( f ) = 1 B cos(2 π ft) + jbsin(2 π ft) arg D( f) Bsin(2 π f) = arctg 1 Bcos(2 π f) Cordeschi, Patriarca, Polli 43

Σχετικά έγγραφα

TRIGONOMETRIA: ANGOLI ASSOCIATI

FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 010-011 ESERCIZI DI TRIGONOMETRIA: ANGOLI ASSOCIATI Esercizio 1: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xoy una circonferenza