Stato di tensione triassiale Stato di tensione piano Cerchio di Mohr

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Πλειόνη Μεταξάς
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1 Stato di tensione triassiale Stato di tensione iano Cerchio di Mohr Stato di tensione F A = F / A F Traione ura stato di tensione monoassiale F M A M Traione e torsione stato di tensione iano = F / A = M t /W t =16 M t /(π d 3 ) F Nel caso generale lo stato di tensione è triassiale 1

2 Stato di tensione in un unto Dall equilibrio alla rotaione si ha: (d d) d (d d) d = 0 = 6 comonenti = indiendenti = = d d d d 9 comonenti d d B Stato di tensione in un unto D d F A = area di BCD F F n = comonente della tensione normale al iano normale n d C C n = comonente della tensione tangente al iano γ A D A A β n B cos = l cos β = m cos γ = n A = A l A = A m A = A n

3 Direioni e tensioni rinciali D F n Esistono 3 direioni er le quali n =0 e n è arallela ad n B F F C Le tre tensioni corrisondenti 1,, 3 sono dette rinciali. Tra loro vi è la massima e la minima tensione nel unto considerato er il determinato stato di sollecitaione Direioni e tensioni rinciali = Tensore delle tensioni = 0 I I I 3 1, 1, 3 3 = 0 Tensioni rinciali I I I 1 3 = + + = + = + + ( + + ) ( + + ) Invarianti 3

4 Direioni e tensioni rinciali = ; 1 ; 3 ( ) l + m + n = 0 l + ( ) m + n = 0 L + m + ( ) n = 0 l + m + n = 1 Direioni rinciali: ogni direione rinciale è individuata dalla terna dei coseni direttori l,m,n soluione del sistema a sinistra onendo ari alla tensione rinciale corrisondente. Stato di tensione iano Y S n Si consideri il iano RS arallelo all asse e con la normale n inclinata di risetto all asse Iotesi: stato iano di tensione Area = 1 P R X S R n Si immagini ora di sostare il unto di vista sull asse 4

5 Stato di tensione iano X cos Y S cos P sen F F Area = 1 R Dall equilibrio alla traslaione si ha: cos + sen - cos - sen = 0 X Si consideri lo stato tensionale sul iano RS sin + cos - sin + cos = 0 moltilicando la rima er cos e la seconda er sin si ha: cos + sin cos - cos + - sin cos = 0 sin + sin cos - sin + + sin cos = 0 sen sommando le due equaioni si ottiene: cos + sin + sin cos = Stato di tensione iano cos + sin + sin cos = ricordando che: sin = sin cos sin = (1 - cos ) / cos = (1 + cos ) / l equaione recedente uò essere riscritta nella forma seguente: 1/ [ (1+ cos ) + (1- cos)] + sin = che equivale a: = ½ ( + ) + ½ ( - ) cos + sen 5

6 Stato di tensione iano tornando ora alle due equaioni di equilibrio: cos + sen - cos - sen = 0 F sin + cos - sin + cos = 0 F moltilicando questa volta la rima er sin e la seconda er cos si ha: sin cos + sin - sin cos - sin = 0 sin cos + cos - sin cos + cos = 0 sottraendo le due equaioni si ottiene: ( - ) sin cos + ( sin - cos ) - = 0 che equivale a: = ½ ( - ) sen - cos Stato di tensione iano Y S Le comonenti della tensione e sul iano RS e ossono dunque essere esresse in funione delle comonenti e e dell angolo mediente le seguenti relaioni: cos cos P sen sen Area = 1 R X = ½ ( + ) + ½ ( - ) cos + sen = ½ ( - ) sen - cos 6

7 Stato di tensione iano L angolo che individua i iani rinciali uò essere ricavato cercando il massimo della funione (): = ½ ( + ) + ½ ( - ) cos + sen ovvero, uguagliando a 0 la derivata d/d d/d = - ½( - ) sin + cos = 0 ( - ) sin = cos e quindi tg = - Il cerchio di Mohr 1 cos β β S Nel sistema di riferimento orientato secondo le direioni rinciali le equaioni di equilibrio si ossono scrivere come segue: P sen β R Area = 1 Posto: = ½ ( 1 + ) + ½ ( 1 - ) cos β 1 ½ ( 1 + ) = δ = ½ ( 1 - ) sen β ½ ( 1 - ) = ρ ( - δ) + = ρ 7

8 Il cerchio di Mohr ( - δ ) + = ρ δ= ½ ( 1 + ) questa è l equaione di un cerchio nel iano - δ ρ= ½ ( 1 - ) ρ 1 Il cerchio di Mohr Costruione del cerchio di Mohr Dati:

9 = ½ ( + ) + ½ ( - ) cos + sen = ½ ( 1 + ) + ½ ( 1 - ) cos Il cerchio di Mohr = ½ ( - ) sen - cos = ½ ( 1 - ) sen ma + L angolo che individua il iano rinciale risetto alla direione è dato dalla relaione: 1 tg = ( - ) Il cerchio di Mohr Le tensioni rinciali ossono essere ricavate geometricamente dal cerchio di Mohr se sono note le comonenti di tensione nel sistema : 1 = ½ ( + ) + {[( - )/] + } = ½ ( + ) - {[( - )/] + } ma + e il massimo valore del taglio è dato da: ma = {[( - )/] + } 1 ma = ( 1 - )/ 9

10 Il cerchio di Mohr Il cerchio di Mohr 1 10

11 Il cerchio di Mohr 1 Il cerchio di Mohr

12 Il cerchio di Mohr 1 Il cerchio di Mohr 1 1

13 Il cerchio di Mohr Caso della traione ura F A F = F / A ma 45 = 1 Il cerchio di Mohr Caso della torsione ura A M M = (16 M) / (π d 3 ) ma 1 = 45 13

14 Il cerchio di Mohr Stato di tensione triassiale ma = ± ½ ( 1-3 ) = ± ½ ( - 3 ) = ± ½ ( 1-3 ) 3 = ± ½ ( 1 - ) 14

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