Stati tensionali e deformativi nelle terre

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1 Stati tensionali e deformativi nelle terre Approccio Rigoroso Meccanica mei discontinui Solido particellare Fluido continuo Approccio Ingegneristico Meccanica continuo Solido & Fluido continui sovrapposti Grandee: Fore interparticellari Spostamenti Pressioni Statiche Cinematiche Idrauliche Tensioni Deformaioni Pressioni

2 Tensione e deformaione nel meo continuo Meo continuo alla Cauch Vettore ( tensore) tensione t lim δ A 0 δ F δ A Vettore ( tensore) deformaione δ s lim δ l δl 0 I vettori t e d sono legati tra loro dal legame costitutivo del meo Se il meo è indeformabile (d 0) il legame costitutivo è di tipo rigido d

3 Componenti normali e tangeniali Componenti Normali Compressione Contraione Componenti Tangeniali Taglio Distorsione δ w δ N δ l v w u δt δ u δ l lim δ A 0 lim δ l 0 δ N δ A δ w δ l Tensione Deformaione γ lim δ A 0 lim δ l 0 δt δ A δ u δ l In mecc. delle terre prevalgono i fenomeni di compressione ad essi si attribuisce segno positivo. Per applicare le stesse convenioni della Sciena delle Costruioni occorre orientare la normale verso l interno dell elemento

4 4 Componenti cartesiane [ ] Riferimento: sistema cartesiano (,, ) ( pedice direione normale, pedice direione componente) Tensori γ γ γ γ γ γ [ ] N. B.: le componenti sono dipendenti dal sistema di riferimento! Equilibrio statico alla traslaione Equaioni indefinite di equilibrio (Cauch) d W d d W W W (W, W, W componenti fore di massa lungo,, )

5 5 Proprietà di simmetria e reciprocità Equilibrio statico alla rotaione reciprocità tensioni tangeniali Definiione reciprocità deformaioni tangeniali γ γ γ γ γ γ Simmetria dei tensori rispetto alla diagonale esiste un sistema di riferimento ( principale ) in cui il tensore è diagonale Sistema principale delle tensioni 0

6 6 Rappresentaione sul piano di Mohr Il cerchio di Mohr descrive la variaione di componenti normali e tangeniali con la direione della normale all elemento di volume in un piano. m mn (, ) T n nm nm n t (, ) S m mn P Se si orienta la normale uscente secondo l asse : estremo posteriore del vettore polo P del cerchio punto T rappresentativo di ( n, nm ) simmetrico di P rispetto all asse punto S rappresentativo di ( m, mn ) simmetrico di T rispetto al centro Ciò corrisponde a: > 0 se di compressione, >0 se antioraria.

7 7 Stati tensionali tipici e cerchi di Mohr Compressione isotropa h v P 4 5 Compressione anisotropa h v 4 Compressione e taglio h H P V v Taglio puro 5 H P V P H v V V h P H

8 8 Componenti principali di tensione e deformaione Riferimento: sistema principale (,, ) [pedice // tensione (deformaione) principale massima/media/minima] Tensori diagonali Valori e coseni direttori (n, n, n ) di tensioni principali si ottengono imponendo soluione non banale al sistema {n}[]{n}, il che richiede: det 0

9 9 Invarianti di tensione e deformaione L annullamento del determinante corrisponde alla soluione dell equaione di III grado: I I I I (I, I, I invarianti * di tensione del,, ordine) I I 0 Analogamente per le deformaioni: E E E 0 (E, E, E invarianti * di deformaione del,, ordine) E E E 4 4 ( γ γ γ ) ( ) γ γ γ γ γ γ 4 * invarianti non dipendono dal sistema,,

10 0 Componenti ottaedrali e invarianti di tensione Piano ottaedrale piano ortogonale alla trisettrice del quadrante,, (coseni direttori n n n /) Proiettando le,, ( considerando l equilibrio del tetraedro): oct oct I ( ) ( ) ( ) I I p tensione media p oct q oct q tensione deviatorica ( ) ( ) ( ) p q I I I p, q invarianti di tensione - descrivono efficacemente lo stato di tensione in un elemento; - identificano la componente isotropa ( compressione ) e quella deviatorica (di taglio) dello stato tensionale.

11 Componenti ottaedrali e invarianti di deformaione Nel riferimento principale per le deformaioni, proiettando,, : oct E γ oct ( ) ( ) ( ) E E v deformaione volumetrica v oct s deformaione distorsionale s γ oct ( ) ( ) ( ) v s E E E v, s invarianti di deformaione - descrivono efficacemente lo stato di deformaione in un elemento; - identificano la componente isotropa (variaioni di volume) e quella deviatorica (variaioni di forma) dello stato di deformaione dell elemento.

12 Problema tensio-deformativo piano Ipotesi tipica: ogni piano verticale (, ) è di simmetria stato di deformaione piano γ γ 0 in ipotesi di meo elastico 0 tensione principale (indipendente da ) Problemi tipo prove di taglio muri di sostegno travi di fondaione

13 Problema tensio deformativo piano Cerchi di Mohr condiioni piane tensioni deformaioni t γ γ s s ( ascissa del centro) tensione media nel piano v t ( raggio del cerchio) tensione deviatorica nel piano dl lavoro di deformaione per unità di volume d d d d 0 δ L δ δ... s δ v t δγ

14 4 Problema tensio deformativo assialsimmetrico Ipotesi: l asse verticale () è di simmetria radiale ovunque e in asse 0 direioni principali oriontale e verticale (questo non è verificato in generale altrove) Problemi tipo prove di compressione fondaioni circolari pali

15 5 Problema tensio deformativo assialsimmetrico Cerchi di Mohr in condiioni assialsimmetriche tensioni deformaioni γ dl lavoro di deformaione per unità di volume d d d δ L δ δ... p δ v q δ s, d d