Tensori controvarianti di rango 2

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Ἰωνᾶς Φραγκούδης
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1 Tensori controvarianti di rango 2 Marcello Colozzo Siano E n e F m due spazi vettoriali sul medesimo campo K. Denotando con E n e F m i rispettivi spazi duali, consideriamo un applicazione bilineare: T : En Fm K (1) T : (φ,ω) E n F m T (φ,ω) K La bilinearità implica che T è un applicazione additiva ed omogenea rispetto a φ,ω. Cioè T (λφ + µφ,ω) = λt (φ,ω) + µt (φ,ω), λ,µ K e T (φ,λω + µω ) = λt (φ,ω) + µt (φ,ω ), λ,µ K Definizione 1 La forma bilineare T : E n F m K, (2) si dice tensore controvariante di rango 2 relativo agli spazi vettoriali E n, F m. Siano {θ j } e { χ h} le basi duali sono associate alle basi {e i } e {f k } di E n e F m rispettivamente. Cioè: { θ j } E n e i,θ j = δ j i { χ h } F m f k,χ h = δ h k Segue φ En = φ = φ i θ i ω Fm = ω = ω k χ k Quindi in virtù della bilinearità di T: T (φ,ω) = T ( φ i θ i,ω k χ k) = φ i ω k T ( θ i,χ k) (3) Poniamo cosicché che è analoga alla (??). ik def T = T ( θ i,χ k), T (φ,ω) = T ik φ i ω k, (4) È conveniente saturare prima un indice e poi l altro: T (φ,ω) = T i1 φ i ω 1 + T i2 φ i ω T im φ i ω m (5) = T 11 φ 1 ω 1 + T 21 φ 2 ω T n1 φ n ω 1 + T 12 φ 1 ω 2 + T 22 φ 2 ω T n2 φ n ω T n1 φ n ω 1 + T n2 φ n ω T nn φ n ω n 1

2 Nel caso particolare n = m = 2: T (φ,ω) = T 11 φ 1 ω 1 + T 21 φ 2 ω 1 + T 12 φ 1 ω 2 + T 22 φ 2 ω 2 (6) Inoltre, i coefficienti T ik della forma quadratica T (φ,ω) = T ik φ i ω k sono gli elementi di matrice dell applicazione bilineare T : En Fm K, rispetto alle basi {θ i } e { χ k} di E n T. = ( T ik), e F m rispettivamente: i = 1, 2,...,n, k = 1, 2,...,m ovvero la matrice n m: T. = T 11 T T 1m T 21 T T 2m T n1 T n2... T nm (7) Gli elementi di matrice T ik = T ( θ i,χ k) sono le componenti del tensore T in una base di un appropriato spazio vettoriale. Definiamo dunque: En Fm def = {T T : En Fm K, T è bilineare} (8) In altri termini, denotiamo con En Fm la totalità delle forme bilineari definite in En Fm. A meno di un isomorfismo naturale, lo spazio biduale En si identifica con E n. Quindi ridefiniamo E n F m def = {T T : E n F m K, T è bilineare} (9) Definizione 2 L insieme E n F m si dice prodotto tensoriale di E n per F m. Introduciamo in E n F m una legge di composizione interna: così definita: + : (E n F m ) (E n F m ) E n F m (10) + : (T,T ) E n F m (T + T ) E n F m, T,T E n F m, (T + T ) (φ,ω) = T (φ,ω) + T (φ,ω), (φ,ω) E n F m (11) La (10) si chiama addizione di tensori, e verifica le seguenti proprietà: 1. Proprietà commutativa 2. Proprietà associativa T + T = T + T, T,T E n F m (12) T + (T + T ) = (T + T ) + T, T,T,T E n F m (13) 2

3 3. Esistenza dell elemento neutro Sia 0 En F m la forma bilineare nulla: Segue 0 En F m (φ,ω) = 0 K, (φ,ω) E n F m (14) (T + 0 En F m ) (φ,ω) = T (φ,ω) + 0 En F m (φ,ω) }{{} =0 K = T (φ,ω), (φ,ω) E n F m Quindi 0 En F m E n F m T + 0 En F m = 0 En F m + T = T, T E n F m, (15) onde 0 En F m è l elemento neutro di E n F m. 4. Esistenza dell opposto T 0 En F m, ( T) E n F m T + T = 0 En F m (16) L elemento T si dice opposto di T ed è così definito: ( T) (φ,ω) = T (φ,ω), (φ,ω) E n F m (17) Introduciamo quest altra legge di composizione: : K (E n F m) E n F m (18) : (λ,t) K (E n F m) (λt) E n F m, Introduciamo quest altra legge di composizione: così definita : K (E n F m ) E n F m (19) : (λ,t) K (E n F m ) (λt) E n F m, λ K, T E n F m, (λt) (φ,ω) = λt (φ,ω), (φ,ω) E n F m (20) Tale legge di composizione di chiama moltiplicazione di uno scalare per un tensore e verifica le seguenti proprietà: 1. Proprietà distributiva rispetto all addizione di tensori λ K, T,T E n F m, λ (T + T ) = λt + λt (21) 2. Proprietà distributiva rispetto all addizione di scalari 3. Proprietà associativa λ,µ K, T E n F m, (λ + µ)t = λt + µt (22) λ,µ K, T E n F m, (λµ)t = λ (µt) (23) 3

4 4. Esistenza dell elemento neutro 1 K 1T = T, T E n F m (24) L insieme E n F m munito delle leggi di composizione (10)-(18) e relativi assiomi, assume la struttura di spazio vettoriale su K. Definizione 3 Lo spazio vettoriale E n F m si dice spazio prodotto tensoriale degli spazi vettoriali E n e F m. Per quanto precede, ci aspettiamo che gli elementi di matrice T ik siano le componenti del tensore T in una base dello spazio vettoriale E n F m. Più precisamente, dello spazio En Fm giacché siamo passati al precedente per mezzo di un isomorfismo naturale. Ciò premesso, consideriamo le forme lineari: σ E n = τ F m = σ : E n K φ σ(φ), φ τ : F n K ω τ(ω), ω (25) È chiaro che si tratta di vettori controvarianti e per il predetto isomorfismo, si riconducono ad elementi appartenenti a E n e F m rispettivamente. In ogni caso, la prima delle (25) implica: φ = (φ 1,φ 2,...,φ n ) E n, σ (φ 1,φ 2,...,φ n ) = σ 1 φ 1 + σ 2 φ σ n φ n, (26) ove σ i sono le componenti di σ in una base assegnata di E n. Denotando con {η i } tale base, si ha: σ = σ i η i (27) D altra parte, σ i sono anche gli elementi di matrice della forma lineare σ nella base duale {θ i } associata a {e i }, per cui σ i = θ i,σ (28) Allo stesso modo la seconda delle (25) implica: ω = (ω 1,ω 2,...,ω m ) F m, τ (ω 1,ω 2,...,ω m ) = τ 1 ω 1 + τ 2 ω τ m ω m, (29) dove τ i sono le componenti di τ in una base assegnata di F m che indichiamo con {ρ i }: τ = τ i ρ i (30) Dal momento che τ i sono anche gli elementi di matrice della forma lineare τ nella base duale { χ k } associata a {f k }, per cui τ i = χ i,τ (31) Definiamo la seguente applicazione: (σ τ) (φ,ω) def = σ (φ)τ (ω) = φ,σ ω,τ, (φ,ω) E n F m (32) Espandendo i vettori φ e ω nelle rispettive basi {θ i } e { χ k} : φ = φ i θ i, ω = ω k χ k 4

5 si ha: onde (σ τ) (φ,ω) = φ i θ i,σ ω k χ k,τ = φ i ω k θ i,σ χ k,τ }{{}}{{} Vediamo dunque che σ τ è una forma bilineare: (σ τ) (φ,ω) = φ i ω k σ i τ k (33) σ τ E n F m Definizione 4 σ τ si dice prodotto tensoriale della forma σ per la forma τ. Ciò premesso, il seguente teorema risolve il problema che ci eravamo posti: Teorema 5 Se {η i } è la base biduale di En associata alla base {e i } di E n, e {ρ k } è la base biduale di Fm associata alla base {f k } di F m, il sistema {η i ρ k } è una base di En Fm e, quindi, di E n F m a meno di un inessenziale isomorfismo naturale. Dimostrazione. Se {θ j } è la base duale associata a {e i }, segue che {η i } è la base duale associata a {θ j }: θ j,η i = δ j i Allo stesso modo se { χ h} è la base duale associata a {f k }, si ha: χ h,ρ k = δ h k σ i τ k Da ciò segue (η i ρ k ) (φ,ω) = (η i ρ k ) ( φ j θ j,ω h χ h) = φ j ω h (η i ρ k ) ( θ j,χ h) = φ j ω h (η i ρ k ) ( θ j,χ h) Cioè = φ j ω h δ j i δh k (η i ρ k ) (φ,ω) = φ i ω k (34) Ciò premesso, dimostriamo che Σ = {η i ρ k } è un sistema linearmente indipendente di ordine massimo. Iniziamo con il dimostrare la prima parte studiando l equazione λ ik (η i ρ k ) = 0 En F m, λ ik K (35) Abbiamo Per la (34) λ ik (η i ρ k ) (φ,ω) = 0 K, λ ik φ i ω k = 0 K (φ,ω) E n F m Prendendo φ = θ j = φ i = δ j i e ω = χ h = ω k = δ h k λ ik δ j i δh k = 0 K = λ jh = 0 K, (j = 1, 2,...,n, h = 1, 2,...,m), cioè Σ è linearmente indipendente. Ora consideriamo il sistema di vettori: Σ = Σ {T }, T En Fm E n F m (36) isomorf. 5

6 Riesce Dalla (34) per cui la precedente può scriversi: per cui T (φ,ω) = T ik φ i ω k, (φ,ω) E n F m φ i ω k = (η i ρ k ) (φ,ω), T (φ,ω) = T ik (η i ρ k ) (φ,ω), (φ,ω) E n F m, T = T ik η i ρ k, T En Fm E n F m isomorf. Quindi T si eprime come combinazione lineare dei vettori η i ρ k = Σ {T } è linearmente dipendente T E n F m. Ne concludiamo che Σ è un sistema linearmente indipendente di ordine massimo, onde l asserto. Dal teorema appena dimostrato segue che la dimensione dello spazio vettoriale E n F m è dim E n F m = nm, giacchè tale è la cardinalità dell insieme dei vettori di base Σ = {η i ρ k }. 6

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