COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI

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Άλκηστις Ἀπολλωνία Καλλιγάς
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1 5/A COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI 9/ COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI Un punto dello spazio può essee inviduato, olte che dalle usuali coodinate catesiane x = {x i, i =, 2, 3} = {x, y, z}, da alte te vaiabili q = {q, =, 2, 3} tali che x i = x i q, i =, 2, 3, q = q x, =, 2, 3. Detta linea coodinata la cuva che si ottiene vaiando q e mantenendo fisse le imanenti due componenti di q, consideeemo solo vaiabili q, tali che le te linee coodinate si intesechino otogonalmente in ogni punto dello spazio. Le vaiabili q sono dette alloa coodinate cuvilinee otogonali. Definita la matice a i = x i q nota : q β a i = a q iβ. e consideato il punto di coodinate catesiane x i q, il punto che si ottiene incementando q di dq ha coodinate catesiane Il vettoe di coodinate catesiane x i q, dq = x i q + x i q dq = x i q + a i dq. d x i = x i q, dq x i q = a i dq è tangente alla linea coodinata e ha lunghezza λ dq, dove 2 λ = i a2 i. Il coispondente vesoe e ha coodinate catesiane dove e i = t i, 3 t i = a i λ L otogonalità delle linee coodinate si taduce nella condizione e e β = i t it iβ = δ β. La matice t i è quindi otogonale, cioè i t it iβ = δ β, t it j = δ ij.

2 5/A COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI 9/ 2 Componenti lungo le linee coodinate Dato un vettoe v di componenti catesiane v i, la sua componente v secondo la linea coodinata è 4 v = e v = e iv i = t iv i, i i e la elazione invesa è 5 v i = t iv. Fattoi di lunghezza, di supeficie e di volume Come abbiamo già notato, il fattoe di lunghezza λ è tale che λ dq è la lunghezza dell elemento infinitesimo di linea coispondente all incemento dq lungo la linea. Possiamo anche definie il fattoe di supeficie 6 σ = λ β λ γ = λ λ 2 λ 3 /λ β γ, β, γ tale che σ dq β dq γ = σ dq dq 2 dq 3 /dq è la supeficie del ettangolo infinitesimo coispondente agli incementi dq β, dq γ lungo le linee coodinate β, γ. Ancoa, il fattoe di volume 7 = λ λ 2 λ 3 è tale che dq dq 2 dq 3 è il volume del paallelepipedo ettangolo infinitesimo coispondente agli incementi dq, dq 2, dq 3 lungo le linee coodinate, 2, 3. Dall otogonalità di t i segue e quindi = det t i = λ λ 2 λ 3 det a i J = det a i = λ λ 2 λ 3 = è lo jacobiano da usae pe tasfomae un integale in dx dx 2 dx 3 in un integale in dq dq 2 dq 3. Podotto scalae Il podotto scalae ta due vettoi v e w si può scivee vw = v iw i = t iv t iβ w β = v t it iβ w β = v w, i i β β i puché sia t i v = v t i può non essee veo se v è un vettoe opeatoiale. Podotto vettoiale Le componenti lungo le linee coodinate del podotto vettoiale u = v w, di componenti catesiane si possono scivee puché sia v β t kγ = t kγ v β. u = i t i = βγ u i = jk ε ijkv j w k, jk ε ijkv j w k = ijk βγ t iε ijk t jβ v β t kγ w γ ijk t it jβ t kγ ε ijk v β w γ = βγ ε βγv β w γ,

3 5/A COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI 9/ 3 Gadiente Si ottiene subito o simbolicamente f = fe = i f x i t i = λ i 8 = λ q f x i a i = λ i f x i x i q = λ f q, Le componenti catesiane di in temini delle coodinate cuvilinee e delle deivate ispetto a queste sono date da 9 i = t i = t i λ q Divegenza L integale esteso a un volume V della divegenza di un vettoe v è uguale al flusso di v uscente dalla supeficie Σ che delimita V, cioè dv v = dσ nv, V dove n è il vesoe otogonale all elemento di supeficie dσ oientato nel veso uscente. Applicando il teoema al paallelepipedo ettangolo infinitesimo coispondente agli incementi dq, dq 2, dq 3 lungo le linee coodinate, 2, 3, il pimo membo è dato da V dv v = v dq dq 2 dq 3, mente il secondo membo isulta dσ nv = [ ] vq + dq e q + dq σ q + dq dq 2 dq 3 vqe q σ q dq 2 dq 3 Σ + [ ] + [ ], avendo indicato sinteticamente con q + dq il punto di coodinate cuvilinee q + dq, q 2, q 3. Al pimo odine in dq si ha vq + dq e q + dq σ q + dq = vqe q σ q + Σ q vqe q σ q dq e quindi dσ nv = [ vqe q σ q q ] [ ] [ ] dq dq 2 dq Σ = vqe q σ q q dq dq 2 dq 3. Concludendo, con notazione abbeviata, v = σ q v.

4 5/A COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI 9/ 4 Laplaciano Dalla definizione del laplaciano e dalle espessioni ottenute pe il gadiente 9 e la divegenza isulta f = f = σ q f = σ f. q q λ Opeatoe momento angolae In meccanica quantistica l opeatoe momento angolae obitale è definito da ˆl = ˆx ˆk. Nella appesemtazione di Schödinge le sue componenti catesiane sono ˆli = i jk ε ijk x j k. Se si vogliono espimee le componenti catesiane ˆl i in temini delle coodinate cuvilinee e delle deivate ispetto a queste, è conveniente calcolae peliminamente le componenti ˆl di ˆl secondo le linee coodinate. Risulta ˆl = i t i i jk ε ijkx j k = i t iε ijk ijk β t jβx β t kγ γ = poiché x β t kγ = t kγ x β γ = i 2 ε ijkt i t jβ t kγ x β γ = i ε βγ x β γ. βγ ijk βγ Successivamente si ottengono le componenti catesiane con la tasfomazione ˆli = t iˆl e da queste, se occoe, il modulo quadato ˆl 2 = iˆl 2 i Attenzione Notiamo che ˆl 2 = iˆl 2 i = i t iˆl t iβˆlβ 2 ˆl, poiché t iˆl ˆl t i. β

5 5/A COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI 9/ 5 Coodinate polai sfeiche Le coodinate polai sfeiche q = aggio, q 2 = ϑ colatitudine, q 3 = ϕ longitudine sono legate alle cooinate catesiane x = x, x 2 = y, x 3 = z dalle elazioni 3 x cos ϕ y = sin ϕ z cos ϑ La matice a i è data da a i = x y z x ϑ y ϑ z ϑ x ϕ y ϕ z ϕ = sin ϑ cos ϕ cos ϑ cos ϕ sin ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϕ cos ϑ I fattoi di lunghezza, supeficie e volume e i appoti σ /λ isultano 4 λ λ ϑ λ ϕ =, σ σ ϑ σ ϕ = 2 sin ϑ, = 2 sin ϑ, σ /λ σ ϑ /λ ϑ σ ϕ /λ ϕ = 2 sin ϑ sin ϑ / sin ϑ La matice unitaia t i = a i /λ è sin ϑ cos ϕ cos ϑ cos ϕ sin ϕ 5 t i = sin ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϕ cos ϑ sin ϑ Facendo uso dei valoi 4 e 5, nonché delle fomule geneali 8, 9,, e 2, si ottengono subito le espessioni seguenti.

6 5/A COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI 9/ 6 Gadiente Le componenti del gadiente lungo le linee coodinate polai sfeiche sono 6 = λ q = ϑ mente le sue componenti catesiane in temini della coodinate polai sfeiche sono sin ϑ cos ϕ 7 i = t i = sin ϑ sin ϕ ϕ + cos ϑ cos ϕ + cos ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϑ, ϑ sin ϕ ϑ + cos ϕ ϑ ϕ ϕ Divegenza La divegenza di un vettoe vq in temini delle sue componenti v q è data da 8 v = σ q v = 2 sin ϑ 2 sin ϑ v + ϑ v ϑ + ϕ v ϕ = 2 2 v + ϑ sin ϑ v ϑ + ϕ v ϕ. Laplaciano Il laplaciano di una funzione fq è dato da 9 f = σ f = q q λ 2 sin ϑ = 2 2 sin ϑ + ϑ sin ϑ ϑ + ϕ 2 + [ = sin ϑ sin ϑ ϑ sin ϑ ϑ + ϑ sin ϑ ϑ + sin 2 ϑ sin ϑ 2 ϕ 2 sin 2 ϑ ϕ 2 ] f. 2 ϕ 2 f f

7 5/A COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI 9/ 7 Opeatoe momento angolae Nella appesentazione di Schödinge si ottiene 2 ˆx = x = i t ix i = Poiché, secondo la 2, x β= = è l unica componente x β divesa da, la 2 diventa ˆl = i βγ ε βγ x β γ = i γ ε γ x β= γ = i γ ε γ γ e pe ogni la somma su γ contiene al più un temine, e pecisamente 2 ˆl ˆlϑ = i ε 23 γ=3 = i ϕ = i ˆlϕ ε 32 γ=2 ϑ sin ϑ Da questa, applicando la matice t i, si ottengono le componenti catesiane 22 Infine ˆlx ˆly = i ˆlz 23 ˆl 2 = iˆl2 i = sin ϕ cot ϑ cos ϕ ϑ ϕ cos ϕ cot ϑ sin ϕ ϑ ϕ ϕ sinϑ ϑ sinϑ ϑ + sin 2 ϑ 2 ϕ 2. ϑ ϕ Nota Dal confonto della 23 con l espessione 9 del laplaciano pecedentemente ottenuta si ottiene 24 f = 2 2 ˆl 2 2 f.

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