σ x K = E l = E σ causa dove effetto quindi Valore del modulo elastico di alcuni materiali GPa Acciaio

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1 Vaore de moduo eastico di acui materiai effetto cciaio cciaio iossidabie Ghisa sferoidae Ghisa maeabie Titaio Ottoe - Broo Ghisa grigia umiio Magesio F causa F K quidi dove F K GPa

2 F cotraioe aterae (effetto Poisso) F e caso più geerae di stato di tesioe triassiae a deformaioe è data da: causa effetto dove quidi K F K F ν ν ν + F cotraioe aterae (effetto Poisso) F I modo aaogo si possoo otteere ed : causa effetto dove quidi K F F ν ν ν + ν + K

3 stato di tesioe triassiae reaioe costitutiva i campo eastico tra deformaioe e a tesioe : e sistema di riferimeto [ ν( )] + ν + ν + [ ( )] [ ( )] e sistema di riferimeto pricipae + ν + ν + [ ( )] ν [ ( )] [ ( )] M Torsioe M τ (6 M) / (π d ) τ Ne caso di torsioe pura, co a disposiioe degi assi sceta, si ha: τ τ 0 τ 0 L equaioe cubica deo stato di tesioe assume quidi a seguete forma: - τ 0 τ τ da cui si ottiee: τ - τ 0 -τ

4 τ τ β π /4- γ / b b o o tg(π /4- γ /) o a o b β γ / oa (+ ) ob (+ ) tg(π /4- γ /) a a o a o b oa ob (+ ) (+ ) tg(α- β) tgα - tgβ (+ tgα tgβ) tg π /4 - tg γ tg(π /4- γ /) / (+ tg π /4 tg γ /) γ / tg π /4 - tg γ tg(π /4- γ /) / - γ / (+ tg π /4 tg γ /) + γ / (+ ) (+ ) γ / + γ / (- ) (+ ) essedo: / [ -ν ( + ) ] si ottiee: γ / [ -ν ( + ) ] γ e caso dea torsioe pura τ e -τ e quidi: γ ( +ν) / ( +ν) τ / τ / G G /[(+ ν )] 4

5 Soecitaioe di tagio: γ τ G γ τ G γ - G γ - γ τ G γ τ G γ - G γ - γ τ G γ τ G γ - G γ - vaida i campo eastico (per i materiai isotropi) γ γ γ / -ν / -ν / -ν / / -ν / -ν / -ν / / /G /G /G τ τ τ Le sottomatrici ue idicao che o c è accoppiameto tra compoeti ormai dea tesioe e distorsioe 5

6 Come si comporta i materiae otre i imite eastico? comportameto easto-pastico α α scarico α p p p p Limite eastico Rimuovedo a fora appicata rimae u augameto residuo permaete Come si comporta i materiae otre i imite eastico? comportameto eastico o ieare α α scarico α termie de cico di carico o rimae acua deformaioe permaete 6

7 La curva de materiae Limite eastico comportameto eastico o ieare comportameto easto-pastico r % imite eastico coveioae ma s p T e La curva Modei sempificati 7

8 La curva Modeo biieare: rigido-pastico s s La curva Modeo biieare: easto-pastico perfetto domiio eastico 8

9 La curva Modeo biieare: easto-pastico co icrudimeto T domiio eastico La curva Modeo mutiieare: easto-pastico co icrudimeto domiio eastico 9

10 La curva ma s ergia di deformaioe V FdL L F L L ergia di deformaioe eastica R ½ ma e ma / F L s p T e ergia di deformaioe pastica T d - ma / a aumetare dea deformaioe questo termie diveta trascurabie ffetto beefico de comportameto pastico: ridistribuioe deo stato tesioae ee oe di forte gradiete La curva adameto teorico dea tesioe i campo totamete eastico effetto dea pasticiaioe su adameto dea tesioe Zoa co forte gradiete tesioae 0

11 La curva L L f - L 0 L L 0 deformaioe igegeristica δ L 0 L f dl L L f L 0 + δ (+ ) e δ - IPOTSI: i campo pastico a deformaioe avviee a voume costate L 0 L f 0 L 0 L f L f / L 0 0 / 0 F 0 / (+ ) 0 /(+ ) L f L 0 deformaioe ogaritmica detta ache deformaioe vera (true strai) δ ( 0 /) 0 / e δ S 0 F/ 0 tesioe igegeristica S F/ F 0 0 e δ (+ ) tesioe vera (true stress) La curva S Ua reaioe spesso utiiata: Rottura 0 /(+ ) P S P P S δ 0 / e δ P S 0 / e δ δ u Caratteristiche de materiae δ Codiioe di coasso pastico dp dδ 0 0 dp dδ 0 e δ ds dδ - S 0 ds u dδ S u S u δ u δ u - δ u δ u P P

12 La curva Vaori di ed misurati sperimetamete (prova di traioe) ( MPa PSI / 44.5 ) La curva Curve sperimetai i campo pastico (prova di traioe) presetate i scaa ogaritmica S 40 boificato S 40 ormaiato e temprato ISI 40 cciaio egato (basso carboio), e cciai a carboio co diversi trattameti termici umiio 4-S umiio R-0

13 Soecitaioe triassiae i campo pastico IPOTSI: ) Storia di carico mootoa ) Voume costate V0 ) Paraeismo tra tesioi e deformaioi pricipai δ δ δ ( Tesioe vera) 4) I rapporto tra deformaioe e tesioe tageiae è uguae per tutte e compoeti e si matiee costate durate a deformaioe δ - δ - δ - δ δ - δ - - C i 5) La compoete eastica dea deformaioe è trascurabie rispetto a quea pastica daa dee ipotesi precedeti si ha: Soecitaioe triassiae i campo pastico V 0 abc V 0 V s daa 4 dee ipotesi precedeti si ha: δ - δ C i ( - ) δ - δ C i ( - ) Queste reaioi soo simii a quee di Hooe, vaide i campo eastico, co u vaore di ν pari ad ½ V s abc (+ ) (+ ) (+ ) V 0 V s (+ ) (+ ) (+ ) δ (+ ) δ + δ + δ 0 δ C i / [ - ½( + )] δ C i / [ - ½( + )] δ C i / [ - ½( + )]

14 Soecitaioe triassiae i campo pastico C i è ua caratteristica de materiae che può essere vautata co ua prova sperimetae (prova di traioe) 0 caso mooassiae (prova di traioe) IPOTSI I due stati di tesioe soo equivaeti se a tesioe τ 0 cacoata ei due casi è a stessa τ 0 / ( - ) +( - ) +( - ),, caso triassiae aa quae è associata a deformaioe tageiae γ 0 γ 0 / (δ - δ ) +(δ - δ ) +(δ - δ ) Soecitaioe triassiae i campo pastico a tesioe τ 0 cacoata e caso mooassiae ( 0) vae: τ 0 / ( - ) +( - ) +( - ) / ( ) +(- ) a deformaioe γ 0 cacoata e caso mooassiae (δ δ - δ /) vae: γ 0 / (δ - δ ) +(δ - δ ) +(δ - δ ) γ 0 / (δ - δ /) +((-δ /) - (-δ /)) +(-δ / - δ ) δ quidi i vaori di τ 0 e γ 0 e caso mooassiae soo i segueti: τ 0 γ 0 δ τ 0 δ γ 0 4

15 Soecitaioe triassiae i campo pastico a deformaioe pricipae e caso mooassiae si può cacoare come segue δ C i / [ - ½( + )] δ C i / ( ) τ 0 δ γ 0 δ C i γ 0 C i τ 0 γ 0 τ 0 e ipotesi che sia vaida a reaioe costitutiva δ si ha: τ 0 γ 0 γ 0 τ 0 Soecitaioe triassiae i campo pastico dae reaioi otteute si può ricavare i vaore di C i i fuioe dea soa τ 0 γ 0 C i γ 0 τ 0 τ 0 C i τ 0 τ 0 è stata otteuta utiiado a τ 0 cacoata e caso mooassiae Ne caso triassiae a τ 0 dovrà essere cacoata utiiado tutte e compoeti dea tesioe τ 0 / ( - ) +( - ) +( - ) ed itrodotta e espressioe di C i 5

16 Soecitaioe triassiae i campo pastico Itroducedo quidi a τ 0 cacoata e caso triassiae e espressioe di C i si ottiee: C i () (--)/ (/ ) [( - ) +( - ) +( - ) ] (-)/ Posto: α β si ottiee: δ δ δ α + β + -α β -α -β α + β + -α β -α -β α + β + -α β -α -β (-)/ (-)/ - α - β (-)/ α - β - β - α - ppicaioe: P IPOTSI: spessore sottie De Di Dm 0 s D P P P π D 4 π D s P D 4 s F P D P D s s ma -P s D 0 6

17 ppicaioe: P D s P D 4 s 0 α β 0 δ α + β + -α β -α -β (-)/ - α - β δ (½) (½) - 0 (-)/ - ¼ -0 δ (-)/ /4 /4 δ P D s /4 (+)/ ppicaioe: P D s P D 4 s 0 α β 0 δ α + β + -α β -α -β (-)/ α - β - δ (½) (½) - 0 (-)/ δ 0 7

18 ppicaioe: P D s P D 4 s 0 α β 0 δ α + β + -α β -α -β (-)/ β - α - δ (½) (½) - 0 (-)/ δ (-)/ /4 - /4 δ P D s - /4 (+)/ δ - δ ppicaioe: δ P D s /4 (+)/ δ 0 δ - δ δ L L 0 π D π D e δ δ s s 0 s s 0 e δ s0 e -δ δ P e s 0 e δ -δ 4 (+)/ P s 0 e -δ δ + 4 8

19 P dp dδ s 0 e -δ δ + 4 s ppicaioe: Codiioe di coasso pastico: dp dδ 0 - e -δ δ + δ - e -δ 0 La derivata si aua se: δ u Sostituedo δ co P u s 0 e - 4 ea espressioe di P si ottiee + P u è i vaore critico dea pressioe, che provoca i coasso pastico de serbatoio. ppicaioe: P u s 0 e sempio umerico Dati: 8 i 457. mm s i.75 mm PSI 066 MPa 0.56 S PSI 64 MPa R PSI 676 MPa PSI ( MPa ) P u e MPa ( 00.5 bar ) 9

20 ppicaioe: P u 00.5 bar P D s P D 4 s MPa 6.7MPa sempio umerico Dati: 8 i 457. mm s i.75 mm PSI 066 MPa 0.56 S PSI 64 MPa R PSI 676 MPa τ 0 τ PSI ( MPa ) ( ) + ( ) + ( ) 0 ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ppicaioe: P u 00.5 bar sempio umerico Dati: 8 i 457. mm s i.75 mm PSI 066 MPa 0.56 S PSI 64 MPa R PSI 676 MPa PSI ( MPa ) ( ) + ( 6.7 0) + ( 0 7.4) 66MPa 0

21 ppicaioe: P IPOTSI: spessore sottie De Di Dm 0 s D P P π D 4 π D s P D 4 s ma -P s D 0 ppicaioe: P D 4 s P D 4 s 0 α β 0 δ α + β + -α β -α -β (-)/ - α - β δ () () - 0 (-)/ δ (-)/ / δ P D 4 s /

22 ppicaioe: P D 4 s P D 4 s 0 α β 0 δ α + β + -α β -α -β (-)/ α - β - δ () () - 0 (-)/ δ (-)/ / δ P D 4 s / δ δ ppicaioe: P D 4 s P D 4 s 0 α β 0 δ α + β + -α β -α -β (-)/ β - α - δ () () - 0 (-)/ δ (-)/ - δ P D 4 s - δ P D 4 s δ - δ

23 ppicaioe: δ P D 4 s / δ δ δ - δ δ L L 0 π D π D e δ δ s s 0 s s 0 e δ s0 e -δ δ 4 s 0 e-δ δ P e P 4 s 0 e -δ δ ppicaioe: P 4 s 0 e -δ δ Codiioe di coasso pastico: dp dδ 0 dp dδ 4 s 0 - e -δ δ + δ - e -δ 0 La derivata si aua se: δ u Sostituedo δ co P u 4 s 0 e - ea espressioe di P si ottiee P u è i vaore critico dea pressioe, che provoca i coasso pastico de serbatoio.

24 ppicaioe: sempio umerico Dati: P u 4 s 0 e - cciaio S 40 8 i 457. mm s i.75 mm PSI 066 MPa 0.56 S PSI 64 MPa R PSI 676 MPa 0.56 P u e MPa ppicaioe: sempio umerico Dati: umiio coa 4-S 8 i 457. mm s i.75 mm PSI MPa 0. P u 4 s 0 e - 0. P u e MPa 4

25 ppicaioe: sempio umerico Dati: cciaio 0.05% C 8 i 457. mm s i.75 mm 7700 PSI 50.5 MPa 0.6 P u 4 s 0 e P u e MPa Fiisce qui 5