ΛΑΖΑΡΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΟΠΟΥΛΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΑΖΑΡΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΟΠΟΥΛΟΣ"

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΑΠΟ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΗΝ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΛΑΖΑΡΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2007

2 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΑΠΟ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΗΝ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΛΑΖΑΡΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΟΠΟΥΛΟΣ Αγρονόµος Τοπογράφος Μηχανικός ΕΜΠ Τριµελής Συµβουλευτική Επιτροπή Γιώργος Καρράς (επιβλέπων) Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Ανδρέας Γεωργόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ Έλλη Πέτσα Καθηγήτρια ΤΕΙ Αθήνας ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2007 The project is co-funded by the European Social Fund (75%) and National Resources (25%) EPEAEK II HERAKLEITOS. Η εκπόνηση της διατριβής συγχρηµατοδοτήθηκε από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο (75%) και Εθνικούς Πόρους (25%) στo πλαίσιo του ΕΠΕΑΕΚ II, πρόγραµµα ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ Υποτροφίες έρευνας µε κατεύθυνση την βασική έρευνα.

3 Πρόλογος Το θέμα της διατριβής και η Τριμελής Συμβουλευτική Επίτροπή ορίστηκαν το Η διατριβή χρηματοδοτήθηκε στο πλαίσιο του ΕΠΕΑΕΚ II (πρόγραμμα ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ: Υ- ποτροφίες Έρευνας με Κατεύθυνση την Βασική Έρευνα). Το 2005 επισκέφθηκα την ερευνητική ομάδα MOVI (Modeling for Computer Vision) του γαλλικού ερευνητικού κέντρου INRIA (Rhône-Alpes), όπου συνεργάστηκα με τον Dr. P. Sturm για θέματα της διατριβής μου, ενώ έκανα και παρουσίαση για την μέχρι τότε εξέλιξή της στους καθηγητές, ερευνητές και υποψήφιους διδάκτορες της ομάδας. Κατά την διάρκεια εκπόνησης της διατριβής έχουν πραγματοποιηθεί οι ακόλουθες ε- πιστημονικές δημοσιεύσεις, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν πρόδρομες δημοσιεύσεις της διατριβής (σε αυτές υπάρχουν 12 αναφορές στην διεθνή βιβλιογραφία): Grammatikopoulos L., Karras G., Petsa E., Geometric information from single uncalibrated images of roads. International Archives of Photogrammetry & Remote Sensing, 34(B5), pp Grammatikopoulos L., Karras G., Petsa E., Camera calibration approaches using single images of man-made objects. Proc. XIX CIPA International Symposium, Antalya, Turkey, pp Grammatikopoulos L., Karras G., Petsa E., Camera calibration combining images with two vanishing points. International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing & Spatial Information Sciences, 35(5), pp Grammatikopoulos L., Karras G., Petsa E., Automatic estimation of vehicle speed from uncalibrated video sequences. Proc. FIG-ISPRS-ICA International Symposium Modern Technologies, Education & Professional Practice in Geodesy & Related Fields, Sofia, pp Grammatikopoulos L., Karras G., Petsa E., Kalisperakis I., A unified approach for automatic camera calibration from vanishing points. International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing & Spatial Information Sciences, Vol. XXXVI, Part 5 (in CD). Grammatikopoulos L., Karras G., Petsa E., An automatic approach for camera calibration from vanishing points. ISPRS Journal of Photogrammetry & Remote Sensing, vol. 62, pp

4 Ευχαριστίες Κατ' αρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω την γυναίκα μου έσποινα, για την βοήθεια και την υποστήριξή της όλα αυτά τα χρόνια. Τους γονείς μου και την υπόλοιπη οικογένειά μου για την ενίσχυση και την συμπαράστασή τους. Το μέλος της τριμελούς επιτροπής καθηγητή Ανδρέα Γεωργόπουλο και τον ερευνητή του ιδρύματος INRIA Peter Sturm για τις συμβουλές και τις παρατηρήσεις τους. Τον φίλο μου Ηλία, επίσης υποψήφιο διδάκτορα στην Φωτογραμμετρία, που μοιράστηκε μαζί μου όλες τις φωτογραμμετρικές ανησυχίες και προβληματισμούς. Την φίλη μου Αλεξάνδρα για την βοήθειά της στην συγγραφή της διατριβής. Τέλος, ένα μεγάλο ευχαριστώ σε δύο μου φίλους κι ας με συγχωρέσουν που δεν τους αποκαλώ καθηγητές αφού η προσφορά τους ξεπερνάει κατά πολύ τις υποχρεώσεις αυτού του όρου τον Γιώργο και την Έλλη που με την καταλυτική τους παρουσία μου έμαθαν το πραγματικό νόημα των λέξεων μελετώ, ερευνώ, βοηθάω. 2

5 Περίληψη ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΑΠΟ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΗΝ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λάζαρος Γραμματικόπουλος ιδακτορική ιατριβή εκέμβριος 2007 Αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η διερεύνηση της γεωμετρίας της μεμονωμένης προοπτικής εικόνας, με έναν τριπλό στόχο. Κατ αρχάς, να κατανοηθεί περαιτέρω η γεωμετρία αυτή με την διατύπωση εναλλακτικών προσεγγίσεων γιά ορισμένα σημαντικά προβλήματα, ιδιαίτερα όσον αφορά την γεωμετρία των σημείων φυγής της εικόνας και την σχέση τους αφενός με το πρόβλημα της βαθμονόμησης μηχανής και αφετέρου με ζητήματα ανακατασκευής του χώρου. Ο δεύτερος σημαντικός στόχος ή- ταν η έρευνα αυτή να πραγματοποιηθεί μεν στο τυπικά ευκλείδειο εννοιολογικό πλαίσιο της Φωτογραμμετρίας, αλλά παράλληλα να εξηγηθεί με σαφήνεια η σχέση όσων αλγορίθμων διατυπώνονται εδώ με ανάλογες προσεγγίσεις από τον χώρο της γεωμετρικής (ή υπολογιστικής) Όρασης Υπολογιστών, όπου και κυρίως μελετάται η γεωμετρία της μεμονωμένης εικόνας. Με την έννοια αυτή, η διατριβή διατυπώνει ταυτόχρονα ευκλείδειες ερμηνείες, χρήσιμες για την Φωτογραμμετρία, μεθόδων της Όρασης Υ- πολογιστών, οι οποίες κατά κανόνα στηρίζονται στην προβολική γεωμετρία. Κύριος στόχος της διατριβής, τέλος, ήταν βέβαια και να υλοποιηθεί η θεωρητική διερεύνηση σε συγκεκριμένους αυτόματους αλγορίθμους, ώστε με αυτόν τόν τρόπο να φανεί και η άμεση πρακτική χρησιμότητά της. Έτσι, στην διατριβή υπάρχουν αρχικά ορισμένες εισαγωγικές παρατηρήσεις για τις ο- μοιότητες και διαφορές Φωτογραμμετρίας Όρασης Υπολογιστών και την θεωρητική αλλά και πρακτική σημασία της προβολικής γεωμετρίας, ενώ ακόμα παρουσιάζονται ορισμένες θεμελιώδεις ιδιότητες της τελευταίας που είναι αναγκαίες για την συνέχεια της διατριβής. Κατόπιν μελετάται η γεωμετρία εικόνας με σημεία φυγής που αντιστοιχούν σε τρεις ορθογώνιες διευθύνσεις του χώρου, η σχέση της με την γεωμτρία της μηχανής και την ομογραφία, ενώ αξιολογούνται (συγκρινόμενοι με δεδομένα από πολυεικονική συνόρθωση δέσμης με αυτοβαθμονόμηση) διαφορετικοί αλγόριθμοι για την βαθμονόμηση μηχανής μέσω σημείων φυγής, ένας από τους οποίους επιτρέπει να εκτιμάται και η ακτινική διαστροφή του φακού σε ενιαία συνόρθωση. Στην συνέχεια διατυπώνονται οι γεωμετρικές ιδιότητες και οι εξισώσεις που συνδέουν τον εσωτερικό προσανατολισμό εικόνας με τα σημεία φυγής δύο ορθογώνιων διευθύνσεων του χώρου. Ως έκφραση αυτής της σχέσης εισάγεται ο γεωμετρικός τόπος του σημείου λήψης ( σφαίρας βαθμονόμησης ) και συγκρίνεται με αντίστοιχες προβολικές εκφράσεις από την Όραση Υπολογιστών. Βάσει αυτού διατυπώνεται και αξιολογείται πειραματικά αλγόριθμος βαθμονόμησης που επιτρέπει να συνδυάζονται διαφορετικές εικόνες με δύο σημεία φυγής από την ίδια μηχανή. Εν συνεχεία, ο αλγόριθμος γενικεύεται για την αυτόματη βαθμονόμηση μηχανής από μία εικόνα με τρία σημεία φυγής ορθογωνικών διευθύνσεων ή από περισσότερες ανεξάρτητες εικόνες με τουλάχιστον ένα ζεύγος σημείων φυγής. Η μέθοδος αυτοματοποιείται πλήρως με τον αυτόματο εντοπισμό σημείων φυγής σε μία ή και περισσότερες εικόνες μέσω μιας νέας 3

6 τεχνικής και την ελαχιστοτετραγωνική συνόρθωση σε ένα βήμα των παρατηρήσεων από όλες τις εικόνες μέσω εξισώσεων παρεμβολής ευθείας και σφαιρών βαθμονόμησης. Αποτελέσματα της αυτόματης βαθμονόμησης από πραγματικά δεδομένα θεωρήθηκαν ικανοποιητικά, από άποψη βαθμονόμησης αλλά και 3D ανακατασκευής, συγκρινόμενα με εκείνα από συνόρθωση δέσμης. Κατόπιν, η διατριβή πραγματεύεται την αφινική ανακατασκευή επιπέδου. Εξηγείται η γεωμετρία και οι εξισώσεις που επιτρέπουν να επανασυσταθούν αφινικά μέσω ενός μοναδικού σημείου φυγής μη βαθμονομημένες εικόνες, μετωπικές και πλάγιες με διαφορετική γεωμετρία. Ο αλγόριθμος (με μοναδική εξωτερική πληροφορία ένα γνωστό μήκος στην διεύθυνση του άξονα του δρόμου) αξιολογείται με μετρήσεις ταχύτητας ο- χημάτων από διαδοχικές εικόνες ψηφιακών λήψεων βίντεο. Στον αλγόριθμο αυτόν τα κινούμενα οχήματα εντοπίζονται και παρακολουθούνται εντελώς αυτόματα σε αφινικά ανηγμένες εικόνες, ενώ ενσωματώνεται και τεχνική για να ανιχνεύεται η σκιά κινούμενων αντικειμένων. Έτσι, δείχνεται ότι αμιγώς προβολικές προσεγγίσεις έχουν επίσης άμεσο πρακτικό ενδιαφέρον για την Φωτογραμμετρία. Η εργασία ολοκληρώνεται με τα συμπεράσματα της διατριβής σχετικά με την θεωρητική σημασία όσο και την πρακτική χρησιμότητα μονοεικονικών μεθόδων σε διαφορετικά φωτογραμμετρικά προβλήματα. Τέλος, επισημαίνονται ορισμένα ενδιαφέροντα ε- ρωτήματα για περαιτέρω μελέτη, ιδίως όσον αφορά την διερεύνηση θεμάτων σχετικών με την ακρίβεια των μεθόδων. 4

7 GEOMETRIC INFORMATION FROM SINGLE IMAGES IN PHOTOGRAMMETRY AND COMPUTER VISION Lazaros Grammatikopoulos Ph.D. Dissertation Department of Surveying, School of Rural and Agricultural Surveying, National Technical University, Athens, Greece December 2007 Abstract Motivation of this thesis is to investigate the geometry of single perspective images in three main aspects. First, the aim is to further understand this geometry by formulating alternative approaches for certain significant problems, regarding particularly the geometry of the image vanishing points and their relation with the question of camera calibration, on the one hand, and with issues of object reconstruction, on the other. A second important aspect was to carry out this research in the typically Euclidean conceptual framework of Photogrammetry, but at the same time to clearly interpret the relation of the algorithms developed here with corresponding approaches from the field of geometric (computational) Computer Vision, where single images are mainly studied. In this sense, the thesis at the same time presents Euclidean interpretations, useful to Photogrammetry, of methods Computer Vision which, as a rule, rely on projective geometry. Finally, of course, an important goal of this thesis was to implement the theoretical investigation in the form of specific automatic algorithms, in order to thereby demonstrate its direct practical usefulness. Thus, the thesis starts with certain introductory comments regarding similarities and differences between Photogrammetry and Computer Vision, as well as the theoretical and practical significance of projective geometry, while certain fundamental properties of projective geometry, necessary for the following, are also presented. Next, the geometry of an image with three vanishing points of orthogonal space directions and its relation to intrinsic camera geometry as well as to homography are studied, while different algorithms for camera calibration via vanishing points one of which allows simultaneous estimation of radial-symmetric lens distortion are evaluated against self-calibrating multi-image bundle adjustment. After this, the geometric properties and the equations which relate camera interior orientation with the vanishing points of two orthogonal directions are formulated. This relation is expressed by the introduction of a geometric locus for the projection centre ( calibration sphere ), which is compared to corresponding projective representations from Computer Vision. On this basis a camera calibration algorithm is formulated and evaluated experimentally, which allows combining different single images with two vanishing points from the same camera. Then the algorithm is generalized for automatic camera calibration using one image with three vanishing points of orthogonal directions or more independent images with at least one pair of vanishing points. The approach is fully automated with the automatic localization of vanishing points on one or more images via a novel technique and a unified least-squares adjustment of ob- 5

8 servations on all participating images through the line-fitting and calibration sphere equations. Results from such automatic calibrations using real data were regarded as satisfactory compared to those from multi-images self-calibration as regards both calibration as well as 3D object reconstruction. The thesis addresses next the question of affine reconstruction of planar objects. The geometry and equations are explained which allow affine reconstruction of uncalibrated images, both frontal and oblique with different orientation, through one single vanishing point. The algorithm (with exclusive metric information a dimension in the direction of the road) is applied and evaluated in cases of vehicle speed measurement from video sequences. In this algorithm moving vehicles are detected and tracked automatically on affine image rectifications, while a shadow detection technique is also incorporated. In this way, it is demonstrated that purely projective approaches have also a direct practical relevance for Photogrammetry. The thesis closes with the conclusions from this research regarding the theoretical and practical significance of single images in different photogrammetric tasks. Finally, certain interesting questions for further investigation are indicated, particularly regarding accuracy issues of the approaches. 6

9 Περιεχόμενα Πρόλογος... Ευχαριστίες... Περίληψη... Abastract... Εισαγωγή Το πλαίσιο της διατριβής... Φωτογραμμετρία και Όραση Υπολογιστών... Η σημασία της προβολικής γεωμετρίας... Φωτογραμμετρία και προβολική γεωμετρία... Αντικείμενο και στόχος της διατριβής... ιάρθρωση της διατριβής... Κεφάλαιο 1 Στοιχεία προβολικής γεωμετρίας Εισαγωγικά Το δισδιάστατο προβολικό επίπεδο Ομογενείς συντεταγμένες σημείων και ευθειών Ιδεατά σημεία και ευθεία του απείρου Κωνικές τομές Προβολικοί μετασχηματισμοί Η ιεραρχία των μετασχηματισμών Ισομετρικός μετασχηματισμός Μετασχηματισμός ομοιότητας Αφινικός μετασχηματισμός Προβολικός μετασχηματισμός Προβολική γεωμετρία μίας διάστασης και διπλός λόγος Σημεία φυγής και ευθεία φυγής Κυκλικά σημεία Προβολική γεωμετρία του τρισδιάστατου χώρου Κεντρική προβολή βάσει ομογενών συντεταγμένων Η εικόνα ω της απόλυτης κωνικής... Κεφάλαιο 2 Βαθμονόμηση από τρία σημεία φυγής 2.1 Μέθοδοι βαθμονόμησης μηχανής από τρία σημεία φυγής Βαθμονόμηση κατά Gracie Σημεία φυγής και αναγωγή επίπεδων αντικειμένων Σημεία φυγής και γωνίες στροφής της μηχανής Εναλλακτικές μέθοδοι βαθμονόμησης Αλγόριθμος βαθμονόμησης βάσει σημείων φυγής (Α) Αλγόριθμος βαθμονόμησης βάσει των παραμέτρων των ευθειών (Β) Αλγόριθμος βαθμονόμησης βάσει των εικονοσημείων (C) Πειραματική αξιολόγηση

10 Αποτελέσματα από τις μονοεικονικές μεθόδους Σύγκριση μονοεικονικών πολυεικονικών μεθόδων βαθμονόμησης Εισαγωγή ακτινικής διαστροφής στη συνόρθωση Σχολιασμός... Κεφάλαιο 3 Η Σφαίρα Βαθμονόμησης 3.1 Σφαίρα Βαθμονόμησης και Εσωτερικός Προσανατολισμός Εισαγωγή διαφορετικής κλίμακας κατά x και y Σφαίρα βαθμονόμησης και η εικόνα της απόλυτης κωνικής Σφαίρα βαθμονόμησης και βαθμονόμηση βάσει επιπέδων Αλγόριθμος βαθμονόμησης Πρακτική αξιολόγηση Προσομοιωμένα δεδομένα Πραγματικά δεδομένα Η σημασία της γεωμετρίας των λήψεων Σχολιασμός... Κεφάλαιο 4 Αυτόματη Βαθμονόμηση Μηχανής από Σημεία Φυγής 4.1 Αλγόριθμος αυτόματης βαθμονόμησης από σημεία φυγής Μέθοδοι αυτόματης ανίχνευσης σημείων φυγής Η μέθοδος του Rother Βελτιστοποίηση της μεθόδου του Rother Αναλυτική περιγραφή της μεθόδου Αυτόματη εξαγωγή ακμών Αυτόματος αρχικός εντοπισμός σημείων φυγής Ταυτόχρονη συνόρθωση παρατηρήσεων Παρεμβολή ευθείας Σημεία φυγής και εσωτερικός προσανατολισμός Συνόρθωση σε ένα βήμα Πειραματικά αποτελέσματα Λήψη εικόνων Εξαγωγή και ομαδοποίηση ακμών Αποτελέσματα βαθμονόμησης και αξιολόγησή τους Σταθερά μηχανής και ακτινική διαστροφή φακού Πρωτεύον σημείο της εικόνας Αξιολόγηση μεθόδου βαθμονόμησης μέσω 3D ανακατασκευής Σχολιασμός Κεφάλαιο 5 Αφινική ανακατασκευή επιπέδων από ένα σημείο φυγής Εισαγωγικά Αναγωγή επίπεδου αντικειμένου από δύο σημεία φυγής Αναγωγή επίπεδου αντικειμένου από ένα σημείο φυγής

11 5.2.1 Μετωπικές εικόνες Πλάγιες εικόνες με οριζόντια ευθεία φυγής Πλάγιες εικόνες με τυχαία γεωμετρία λήψης Μέτρηση της ταχύτητας οχημάτων από μεμονωμένες εικόνες Βιβλιογραφική επισκόπηση Το πλαίσιο της εφαρμογής Αξιολόγηση εκτιμήσεων ταχύτητας από χειρωνακτικές μετρήσεις Μέθοδος αυτόματου υπολογισμού ταχύτητας οχημάτων Αυτόματη αναγωγή εικόνων με ένα σημείο φυγής Αυτόματος εντοπισμός οχημάτων Ανίχνευση οχημάτων σε διαδοχικές εικόνες Πρακτική αξιολόγηση αυτόματης μεθόδου Αλγόριθμος εντοπισμού σκιάς οχημάτων Σχολιασμός Συμπεράσματα και Προοπτικές... Βιβλιογραφία

12 Εισαγωγή Το πλαίσιο της διατριβής Φωτογραμμετρία και Όραση Υπολογιστών Την τελευταία δεκαετία, η Φωτογραμμετρία αρχίζει να αναγνωρίζει ότι η ώσμωση με την επιστημονική περιοχή της Όρασης Υπολογιστών (computer vision) είναι πλέον μάλλον αναπόφευκτη αν όχι και ευκταία. Πιο ευαίσθητη σε τέτοια θέματα, η Επιτροπή ΙΙΙ της ιεθνούς Εταιρείας Φωτογραμμετρίας και Τηλεπισκόπησης (ISPRS) έχει ή- δη από το 2000 αλλάξει το όνομά της από Θεωρία και Αλγόριθμοι σε Φωτογραμμετρική Όραση Υπολογιστών. Η προσέγγιση αυτή δεν εξελίσσεται χωρίς σοβαρές δυσκολίες, οι οποίες κυρίως οφείλονται σε αντιστάσεις, κάποτε ίσως και με σοβινιστική χροιά, των επιστημόνων και από τις δύο κοινότητες ιδίως όμως από την μεριά της Φωτογραμμετρίας που είναι ο παλαιότερος χώρος, με πλήθος εμπεδωμένες τεχνικές. Γιά παράδειγμα, ο F. Leberl, πρόεδρος της Επιτροπής ΙΙΙ της ISPRS κατά την περίοδο , εκτιμά ότι οι νέες εξελίξεις που προέρχονται από την Όραση Υπολογιστών και συγκεντρώνονται στα δύο πρόσφατα εγχειρίδια των Hartley and Zisserman (2000) και Faugeras et al. (2001) αντιπροσωπεύουν εν πολλοίς μιά νέα Φωτογραμμετρία. Αυτό, συνεχίζει, δεν αντιμετωπίστηκε με μεγάλο ενθουσιασμό από όσους α- σκούν την Φωτογραμμετρία, παρά τα πολλά πλεονεκτήματα που υπάρχουν στις νέες προσεγγίσεις (Leberl, 2001). Από μία άποψη, αυτή η επιφυλακτικότητα είναι κατανοητή. Όπως έχουν διαμορφωθεί η θεωρία, οι τεχνικές και οι εφαρμογές στους δύο χώρους, υπάρχουν όντως σημαντικές διαφορές. Τις διαφορές αυτές επισημαίνουν άλλωστε και οι ίδιοι οι θιασώτες της προσέγγισης, τόσο από την Όραση Υπολογιστών (Hartley and Mundy, 1993) όσο και από την Φωτογραμμετρία (Förstner, 2002). Για παράδειγμα, και πέραν των προφανών ζητημάτων ασύμβατης ορολογίας: οι μεν δίνουν, γενικά, περισσότερο βάρος στις εφαρμογές πραγματικού χρόνου και ίσως λιγότερο σε ζητήματα ακρίβειας, τα οποία συνήθως συγκεντρώνουν το κύριο ενδιαφέρον των δε, οι πρώτοι αντιμετωπίζουν τα θέματα προσανατολισμών και 3D ανακατασκευής του χώρου (σε πρώτη φάση τουλάχιστον) κατά κύριο λόγο μέσω της προβολικής γεωμετρίας και των συναφών γραμμικών αλγορίθμων, ενώ οι δεύτεροι κατά κανόνα λειτουργούν, απευθείας και αποκλειστικά, στο πλαίσιο της ευκλείδειας λογικής, οι μεν εξ ανάγκης προϋποθέτουν, γενικά, μηχανές άγνωστης γεωμετρίας, ε- κεί που οι άλλοι χρησιμοποιούν κατά βάση μετρικές, και εν πάση περιπτώσει βαθμονομημένες, μηχανές λήψης, οι πρώτοι θεωρούν γενικά ότι υπάρχει διαθέσιμος επαρκής εξωτερικός έλεγχος (φωτοσταθερά σημεία), ενώ οι δεύτεροι πάλι εξ ανάγκης επιδιώκουν να εξαντλήσουν τις υπάρχουσες δυνατότητες σε περιπτώσεις μερικής, ή ακόμα και πλήρους, απουσίας εξωτερικού ελέγχου, τελικά, το τυπικό αντικείμενο των δεύτερων είναι η χαρτογράφηση (συλλογή 3D μοντέλων επιφάνειας, ορθή προβολή), ενώ οι πρώτοι έχουν διαφορετικές προτεραιότητες, με απώτερο στόχο να επιτευχθεί ανθρώπινου επιπέδου ικανότητα για αυτόματη εξαγωγή πληροφορίας από εικόνες (πχ. αυτόματη μοντελοποίηση και αναγνώριση αντικειμένων, αυτονόμη πλοήγηση). 10

13 Αυτά από μία άποψη. Γιατί από μία άλλη γενικότερη σκοπιά, η Φωτογραμμετρία και η Όραση Υπολογιστών έχουν σε τελική ανάλυση έναν κοινό στόχο: την (με τρόπο κατά το δυνατόν αξιόπιστο και αυτόματο υπό ποικιλία συνθηκών) εξαγωγή γεωμετρικής και σημασιολογικής πληροφορίας από εικόνες. Και εδώ διαισθάνεται κανείς ότι απέναντι στις προκλήσεις που προέρχονται από την Όραση Υπολογιστών, αρκετοί από τον χώρο της Φωτογραμμετρίας, εκλαμβάνοντας αυτό ως ένα είδος απειλής, αντιπαραθέτουν από την πλευρά τους μια αδράνεια ή και μια αμυντική άρνηση. Χαρακτηριστικός για την ανατροπή κατεστημένων πεποιθήσεων είναι ο ακόλουθος αυθεντικός διάλογος ενός ερευνητή από την Όραση Υπολογιστών και ενός έμπειρου φωτογραμμέτρη, όπως τον παραθέτουν οι Hartley and Mundy (1993): Η συζήτηση έφθασε στον αριθμό των δυνατών λύσεων που έχει το πρόβλημα του ε- ξωτερικού προσανατολισμού μιας προοπτικής απεικόνισης με τρία γνωστά σημεία του χώρου. Αυτό το παράδειγμα έχει σημαντικό θεωρητικό ενδιαφέρον γιά την κοινότητα της Όρασης Υπολογιστών, όμως πρακτικά δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον γιά τους φωτογραμμέτρες. Είναι γνωστό ότι, γενικά, υπάρχουν πολλαπλές λύσεις γιά τους έξι βαθμούς ελευθερίας του εξωτερικού προσανατολισμού μιάς λήψης στο σύστημα αναφοράς που ορίζει το τρίγωνο των γνωστών σημείων. Μολαταύτα, ο φωτογραμμέτρης αρνήθηκε να δεχτεί ακόμα και την δυνατότητα ότι θα μπορούσαν να υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις. Και τα δύο μέρη εγκατέλειψαν τον διάλογο εκνευρισμένα και δίχως κανένα αμοιβαίο όφελος. Παρεμένοντας στο παράδειγμα, θα επεσήμανε κανείς ότι το πρόβλημα του εξωτερικού προσανατολισμού μιάς λήψης (pose estimation στην ορολογία της Όρασης Υπολογιστών) είναι όντως το θεμελιώδες μονοεικονικό πρόβλημα της Φωτογραμμετρίας. Όμως στην φωτογραμμετρική πρακτική ιδίως δε στην τυποποιημένη γεωμετρία των από αέρα λήψεων οι αυτονόητες προεγγιστικές τιμές των παραμέτρων είναι τόσο κοντά στις αληθείς ώστε η επίλυση συγκλίνει πάντοτε στην αναμενόμενη λύση. Με την έννοια αυτή, όλα τα εγχειρίδια Φωτογραμμετρίας (ενδεικτικά: Hallert, 1960, Wolf and DeWitt, 2000, Mikhail et al., 2001) διαβεβαιώνουν ότι το πρόβλημα απαιτεί τουλάχιστον τρία φωτοσταθερά σημεία μη κείμενα επ ευθείας (ή επί συγκεκριμένων επικίνδυνων γεωμετρικών τόπων). Αλλά στην Όραση Υπολογιστών, όπου η συνθετότητα πολλών αλγορίθμων υπαγορεύει την ανάγκη για ελάχιστες λύσεις, δηλαδή με τον ελάχιστο αριθμό δεσμεύσεων (Förstner, 2002), και επιπλέον η θέση και ο προσανατολισμός μιάς κινούμενης μηχανής είναι κατ αρχήν τυχαίοι (αδυναμία για αξιόπιστες αρχικές τιμές), το ερώτημα είναι όντως σημαντικό. Έτσι, στην Όραση Υπολογιστών αποδίδεται γενικά στους Fischler and Bolles (1981) ότι, πρώτοι αυτοί, απέδειξαν πως το πρόβλημα της ένταξης μιας δέσμης ακτίνων στο σύστημα του χώρου βάσει τριών γνωστών σημείων έχει, στην γενική περίπτωση, τέσσερις λύσεις. Στην πραγματικότητα, ωστόσο, αυτή η πολλαπλότητα λύσεων είχε γίνει γνωστή στην Φωτογραμμετρία ήδη προ 100 περίπου ετών, έχοντας όμως εν τω μεταξύ επισκιαστεί από πολλές δεκαετίες χαρτογραφικών εφαρμογών ρουτίνας, για τις οποίες αυτή η γνώση φαινόταν ουσιαστικά άχρηστη. Έτσι, νέα ερωτήματα οδήγησαν στην εκ νέου ανακάλυψη ε- κείνου που ο Sebastian Finsterwalder, καταλήγοντας σε μια εξίσωση 4 ου βαθμού, είχε πράγματι αποδείξει πολύ παλαιότερα (Finsterwalder, 1899). Αυτό το παράδειγμα είναι πολλαπλά χρήσιμο. Κατ αρχάς, αναφέρεται σε ένα τυπικά μονοεικονικό αλλά θεμελιώδες πρόβλημα, υποδηλώνοντας ότι ακόμα και η φαινομε- 11

14 νικά απλή περίπτωση της μεμονωμένης εικόνας (single image) που συνιστά το αντικείμενο της παρούσας διατριβής παραμένει πεδίο θεωρητικού, όσο και πρακτικού, ενδιαφέροντος. Παράλληλα, αναδεικνύει μια διπλή πρόκληση που η Όραση Υπολογιστών εκ των πραγμάτων απευθύνει στην Φωτογραμμετρία. Αφενός, να διευρύνει τα δυνατά πεδία εφαρμογής, άρα και την γενικότερη οπτική της. Αυτό λοιπόν αφορά την θεματολογία των εφαρμογών, η οποία όντως υπήρξε πολύ ευρύτερη κατά το πρώτο ήμισυ του 20 ου αιώνα αλλά στην συνέχεια επικεντρώθηκε σε χαρτογραφικές εφαρμογές, αφήνοντας έτσι από την δεκαετία του 70 και έπειτα το πεδίο ελεύθερο στην Ό- ραση Υπολογιστών (Leberl, 2001). Αφετέρου δε, να ανακτήσει προσεγγίσεις και εργαλεία από το θεωρητικό της οπλοστάσιο οι οποίες αναπτύχθηκαν στα αρχικά χρόνια της εξέλιξής της και έκτοτε έχουν απωθηθεί αλλά, τελικά, και από εννοιολογικά πλαίσια που προηγούνται ακόμα και της ίδιας της εμφάνισης της φωτογραφίας. Η α- ναφορά είναι εδώ ειδικότερα στο εννοιολογικό πλαίσιο της προβολικής γεωμετρίας. Η σημασία της προβολικής γεωμετρίας Πράγματι, η εκτεταμένη χρήση της προβολικής γεωμετρίας στην (γεωμετρική) Όραση Υπολογιστών συνιστά ένα από τα βασικά σημεία απόκλισης, ή και ασυνεννοησίας, μεταξύ των δύο επιστημονικών κοινοτήτων (όπως πχ. προκύπτει από τον εκτεταμένο φανταστικό διάλογο που παραθέτει ο Förstner, 2002). Πρέπει πάντως να πει κανείς εξαρχής ότι και από τον ίδιο τον χώρο της Όρασης Υπολογιστών ακούγονται κριτικές φωνές απέναντι σε μια ορισμένη τάση να απολυτοποιείται η χρήση της προβολικής γεωμετρίας. Έτσι, ο Horn (1999) υπογραμμίζει πως οι προβολικές μέθοδοι (παρά την κομψότητα του φορμαλισμού και τους γραμμικούς αλγορίθμους που επιτρέπουν) παρουσιάζουν και σημαντικά μειονεκτήματα συγκρινόμενες με τις προοπτικές μεθόδους: δεν μοντελοποιούν σωστά την φυσική διαδικασία σχηματισμού της εικόνας, απαιτούν περισσότερες αντιστοιχίες σημείων, είναι ευαίσθητες στον θόρυβο των μετρήσεων. Πρέπει όμως να αναγνωριστεί ότι η χρήση προβολικών μεθόδων δεν είναι απαραίτητα μια θεωρητική επιλογή (ούτε η Όραση Υπολογιστών εξαντλείται σε αυτές), όσο κυρίως ένας μονόδρομος υπαγορευόμενος από νέες εφαρμογές που εισήγαγε η Όραση Υπολογιστών, οι οποίες σε μεγάλο βαθμό εξακολουθούν να παραμένουν ξένες προς την συμβατική Φωτογραμμετρία. Με τα λόγια του φωτογραμμέτρη Förstner (2000): Οι διαδικασίες προσανατολισμού θεωρούνται κεντρικό αντικείμενο της Φωτογραμμετρίας. Κατά την τελευταία δεκαετία το πρόβλημα προσδιορισμού του εσωτερικού και ε- ξωτερικού προσανατολισμού μίας ή περισσότερων μηχανών έχει προσελκύσει μεγάλο ενδιαφέρον στην Όραση Υπολογιστών. Το πρόβλημα διατυπώθηκε πρόσφατα σε ένα προβολικό πλαίσιο για διάφορους λόγους: (1) συχνά η γεωμετρία των χρησιμοποιούμενων μηχανών δεν ήταν γνωστή ούτε μπορούσε να προσδιοριστεί (2) συχνά δεν ή- ταν διαθέσιμες προσεγγιστικές τιμές για τις παραμέτρους βαθμονόμησης και προσανατολισμού (3) συχνά η αυτοβαθμονόμηση αποδεικνυόταν ασταθής, ειδικά στις περιπτώσεις σειράς εικόνων (image sequences) ή μεταβαλλόμενης εστιακής απόστασης (4) ειδικές δεσμεύσεις, πχ. επίπεδα αντικείμενα ή η συνεπιπεδότητα των προβολικών κέντρων, επέτρεπαν προσανανατολισμό και βαθμονόμηση με λιγότερες ομολογίες σημείων (5) η δημιουργία νέων εικόνων από υπάρχουσες αποδείχθηκε δυνατή χωρίς βαθμονόμηση (6) η χρήση περισσότερων από δύο μηχανές με ίδιο εσωτερικό προσανατολισμό αποδείχθηκε ότι επιτρέπει την αυτοβαθμονόμηση, μετά από προβολική ανακατασκευή (projective reconstruction) (7) η επιπολική δέσμευση για στερεοζεύγη 12

15 αποδείχθηκε πως δεν ήταν επαρκής για τριάδες εικόνων σε περιπτώσεις με πρακτική σημασία και τελευταίο αλλ όχι έσχατο: (8) οι διαδικασίες προσανατολισμού δεν είχαν τεκμηριωθεί για μη φωτογραμμέτρες στην φωτογραμμετρική βιβλιογραφία. Ή με τα λόγια ερευνητών από την Όραση Υπολογιστών (Hartley and Mundy, 1993): Μια ακόμα διαφορά μεταξύ Όρασης Υπολογιστών και Φωτογραμμετρίας έγκειται στην έμφαση που δίνεται στις εφαρμογές της πρώτης σε ταχείες, κατά προτίμηση γραμμικές, μεθόδους. Παρόμοιες τεχνικές θυσιάζουν ενίοτε κάποια ακρίβεια χάριν της ταχύτητας. Αντίθετα, η Φωτογραμμετρία δίνει έμφαση στις δοκιμασμένες ελαχιστοτετραγωνικές τεχνικές που, μολονότι αργές, συνήθως αποδίδουν βέλτιστα αποτελέσματα. Η α- νάγκη γιά ταχύτητα στις εφαρμογές της Όρασης Υπολογιστών πηγάζει από την ανάγκη να ελέγχονται μεγάλο πλήθος υποθέσεων συχνά σε πραγματικό χρόνο. Στην πλοήγηση ρομπότ, γιά παράδειγμα, η θέση του πρέπει συνεχώς να υπολογίζεται από την εικόνα της περιβάλλουσας σκηνής που αυτό παίρνει. Συνήθως δεν απαιτείται υψηλότατη ακρίβεια. Επιπλέον, σε αυτές τις εφαρμογές είναι συχνά αδύνατον να υποτεθούν a priori πληροφορίες για της παραμέτρους της μηχανής, ιδίως του εξωτερικού προσανατολισμού της. Για τον λόγο αυτό, η Όραση Υπολογιστών έχει δώσει έμφαση στην α- νάπτυξη αλγορίθμων που δεν αποιτούν γνώση για την θέση της μηχανής. Πράγματι, λοιπόν, δεν είναι τόσο θέμα θεωρητικής επιλογής όσο κυρίως ανελαστικών αναγκών που προέρχονται από την διεύρυνση του πεδίου εφαρμογών. Γιά αντίστοιχους όμως λόγους, η χρήση της προβολικής γεωμετρίας δεν περιορίζεται στα θέματα προσανατολισμών που προαναφέρθηκαν, αλλά αφορά και τα θέματα της 3D και 2D ανακατασκευής. Στην συμβατική Φωτογραμμετρία το ζητούμενο είναι σαφές: η μετρική (ευκλείδεια) ανακατασκευή του αντικειμένου. εν συμβαίνει όμως κατ ανάγκην το ίδιο στην Όραση Υπολογιστών, όπου ο Faugeras (1995) έχει διατυπώσει την σημαντική έννοια της επαλληλίας (stratification) ή επάλληλης ανακατασκευής (stratified reconstruction). Η έννοια αυτή της επάλληλης ανακατασκευής (βλ. ενδεικτικά και Criminisi et al., 2000, Liebowitz, 2001) αναφέρεται σε μια διαδοχή ιεραρχημένων ανακατασκευών του 3D χώρου: αρχικά προβολική (αποκατάσταση διπλού λόγου), κατόπιν αφινική (αποκατάσταση σχετικών αποστάσεων ανά διεύθυνση, παραλληλίας), εν συνεχεία μετρική (αποκατάσταση γωνιών, σχετικών αποστάσεων) και τελικά ευκλείδεια (αποκατάσταση κλίμακας). Ο Faugeras (1995) επισημαίνει επ αυτού: Συνήθως σκεπτόμαστε τον φυσικό χώρο ως ενταγμένο σε έναν 3D ευκλείδειο χώρο, όπου η μέτρηση αποστάσεων και γωνιών πράγματι έχει νόημα. Προκύπτει όμως ότι για τα τεχνητά συστήματα, όπως τα ρομπότ, αυτή δεν είναι υποχρεωτική αντιμετώπιση και ότι ορισμένες φορές αρκεί να σκεφτόμαστε τον φυσικό χώρο ως ενταγμένο σε έναν αφινικό ή ακόμα και προβολικό χώρο. Η οπτική αυτή μοιάζει μάλλον αδιανόητη στο πλαίσιο της τρέχουσας φωτογραμμετρικής αντίληψης. Πρέπει όμως να λάβει κανείς υπόψη του δύο πράγματα. Πρώτον, ότι και αυτή η λογική (όπως έδειξαν οι Kalisperakis et al., 2006) κάθε άλλο παρά νέα είναι στην θεωρητική κληρονομιά της Φωτογραμμετρίας τουλάχιστον από την εποχή και πάλι του Finsterwalder (1899), ο οποίος είχε τεκμηριώσει την έννοια της προβολικής ανακατασκευής από μη βαθμονομημένες λήψεις. Και δεύτερον, ότι όντως υπάρχουν ενδιαφέρουσες πρακτικές εφαρμογές που είναι εφικτό να αντιμετωπιστούν στον χώρο της λιγότερο δομημένης και άρα απλούστερης προβολικής γεωμετρίας (Pollefeys, 2002), ανάλογα με τις γεωμετρικές ιδιότητες του εκάστοτε στρώματος της ανα- 13

16 κατασκευής. Μια προβολική ανακατασκευή, για παράδειγμα, επιτρέπει να διαπιστωθεί εάν κάποια επίπεδα του χώρου είναι παράλληλα (συντρέχουν στην ευθεία φυγής της διεύθυνσης), εάν ένα αντικείμενο βρίσκεται μπροστά από κάποιο άλλο κ.λπ. Από την άλλη μεριά, εάν σε μιά 3D προβολική ανακατασκευή είναι γνωστό το επ άπειρον επίπεδο (ή σε μιά 2D απεικόνιση είναι γνωστή η επ άπειρον ευθεία), η προβολική α- νακατασκευή αναβαθμίζεται σε αφινική. Το 5 ο Κεφάλαιο της παρούσας διατριβής είναι ακριβώς αφιερωμένο στην αφινική ανακατασκευή επιπέδου και την αντιμετώπιση, βάσει της ελάχιστης δυνατής εξωτερικής πληροφορίας, ενός αμιγώς μετρητικού προβλήματος με πραγματοποίηση (ευκλείδειων) 1D μετρήσεων σε μεμονωμένες εικόνες. Φωτογραμμετρία και προβολική γεωμετρία Από τα προηγηθέντα προκύπτει κατ αρχάς ότι υπάρχει ανάγκη για μια πιο συστηματική προσέγγιση Φωτογραμμετρίας και Όρασης Υπολογιστών, έστω και αν προς το παρόν τουλάχιστον κάθε χώρος διατηρεί κατά βάση τα αποκλειστικά χαρακτηριστικά του. Αυτό ισχύει κατ αρχάς για την Όραση Υπολογιστών. Οι ερευνητές του χώρου οφείλουν να λάβουν υπόψη επισημάνσεις όπως η προαναφερθείσα του Horn (1999), αλλά και την παρατήρηση των Hartley and Mundy (1993) ότι έχει σημασία να κατανοήσουν και να υιοθετήσουν τους υπάρχοντες φωτογραμμετρικούς αλγορίθμους. Γιατί όντως, όπως σημειώνει ο Förstner (2002), στην βιβλιογραφία της (γεωμετρικής) Όρασης Υπολογιστών κατά κανόνα εμφανίζονται μάλλον τυπικές αναφορές στην Φωτογραμμετρία, και κυρίως στο Manual of Photogrammetry του 1980 (δηλαδή σε κείμενο προ ψηφιακής εποχής). Ακόμη, έχει ήδη επισημανθεί στα προηγούμενα ότι παρουσιάζεται κάποια άγνοια σχετικά με την ιστορικά τουλάχιστον κατακτημένη γνώση της φωτογραμμετρικής θεωρίας, συνεπώς και την γενικότερη σημασία που έχει η φωτογραμμετρική προσέγγιση και πρακτική για την Όραση Υπολογιστών. Πιο σημαντικό όμως, στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής, είναι να υπογραμμιστεί η ανάγκη να εμπλουτιστεί η προβληματική της ίδιας της Φωτογραμμετρίας. Αυτό έχει δύο, κατά βάση αλληλένδετες, όψεις: αφορά τόσο το πεδίο των εφαρμογών όσο και την θεωρητική έρευνα. Όμως αυτά δεν συμβαδίζουν απόλυτα. Γιατί εκείνο που φαίνεται να έχει κατακτηθεί στον χώρο της Όρασης των Υπολογιστών, όμως όχι ακόμα και στην Φωτογραμμετρία, είναι ότι μια θεωρητική διερεύνηση έχει αξία από μόνη της: Γιατί χρησιμοποιείτε μη βαθμονομημένες μηχανές; Αρχίζουμε με την γενικότερη περίπτωση: ας υποθέσουμε ότι παίρνουμε μια ή δύο εικόνες, τι μπορούμε να πούμε για τον χώρο του αντικειμένου; Ωστόσο αυτή η απάντηση (Förstner, 2002) δεν νοείται ως απλή πνευματική άσκηση αλλά, τελικά, ως μια προετοιμασία για νέες εφαρμογές. Γιατί η πείρα έχει δείξει ότι, στην σημερινή ψηφιακή εποχή των ραγδαίων εξελίξεων, δεν είναι μόνο οι υπαρκτές εφαρμογές που καλούν για νέες θεωρητικές προσεγγίσεις αλλά και αντίστροφα: η θεωρητική εμβάθυνση αναδεικνύει δυνατότητες για νέες εφαρμογές. Ποιός φωτογραμμέτρης, για παράδειγμα, θα πίστευε πριν από λίγα χρόνια πως είναι πράγματι κατ αρχήν δυνατό να κινείται απλώς κανείς με μια βιντεοκάμερα στο χέρι και, χωρίς κανένα απολύτως άλλο δεδομένο πέρα από τις ίδιες τις εικόνες, να ανακατασκευάζει αυτόματα το μοντέλο του 3D χώρου (πχ. Pollefeys and van Gool, 2002, Pollefeys et al., 2004); Και με αυτή την έννοια η επιστροφή σε φωτογραμμέτρες (και σε μαθηματικούς) του παρελθόντος, που επισημάνθηκε στα προηγούμενα, είναι κάτι πολύ περισ- 14

17 σότερο από απλή θεωρητική περιέργεια. Θα πρέπει πάντως να αναγνωριστεί ότι ήδη από ορισμένες πλευρές υιοθετείται στην Φωτογραμμετρία μια διαφοροποιημένη σκοπιά. Έτσι, η πρόσφατη 5 η έκδοση του Manual of Photogrammetry (McGlone, 2004) επανεισάγει σε μεγάλη έκταση έννοιες της προβολικής γεωμετρίας, φθάνοντας μάλιστα στο σημείο να ορίζει κάποια θεμελιώδη φωτογραμμετρικά προβλήματα σε αυτό το εννοιολογικό πλαίσιο. Κάτι τέτοιο είναι μεν ευπρόσδεκτο, ενέχει όμως και κινδύνους σοβαρών παρεξηγήσεων. Τα βασικά φωτογραμμετρικά εγχειρίδια (πχ. Wolf & DeWitt, 2000, Mikhail et al., 2001), για παράδειγμα, ορίζουν τυπικά το πρόβλημα του σχετικού προσανατολισμού στερεοζεύγους ως την εύρεση των 5 παραμέτρων που ορίζουν την σχετική θέση δύο ήδη σχηματισμένων δεσμών ακτίνων, η οποία αποτελεί προϋπόθεση για τον προσδιορισμό των ε- πιπολικών γραμμών και επιτρέπει την 3D ανακατασκευή του μοντέλου. Προφανώς, ο εσωτερικός προσανατολισμός των εικόνων αποτελεί, σε αυτό το πλαίσιο, αναγκαία a priori πληροφορία. Αντίθετα, η προαναφερθείσα νέα έκδοση αξιοποιώντας τις προ 150 ετών θεωρητικές επεξεργασίες του M. Chasles ορίζει ότι ο σχετικός προσανατολισμός δύο μη βαθμονομημένων μηχανών που διατηρούν τις ευθείες (straight-linepreserving cameras) χαρακτηρίζεται από 7 ανεξάρτητες παραμέτρους. Μέσω αυτών, το αντικείμενο είναι δυνατόν να ανακατασκευαστεί προβολικά (McGlone, 2004). Σαφώς, ο όρος σχετικός προσανατολισμός έχει εδώ μια έννοια (γνωστή στον Finsterwalder, 1899) πολύ γενικότερη της συμβατικής αφού δεν ορίζεται μονοσήμαντα ούτε η θέση των δεσμών στον χώρο αλλά ούτε καν οι ίδιες οι δέσμες: στην ουσία σημαίνει εύρεση των επιπολικών γραμμών, δηλαδή αποκατάσταση της 2D επιπολικής γεωμετρίας μέσω του επιπολικού πίνακα (fundamental matrix). Η Φωτογραμμετρία έχει λοιπόν ανάγκη να γεφυρώσει τις δύο διαφορετικές προσεγγίσεις, εν προκειμένω της 2D επιπολικής γεωμετρίας (προβολική γεωμετρία) και της 3D επιπολικής γεωμετρίας (ευκλείδεια). Ας σημειωθεί ότι το συγκεκριμένο ζήτημα το αντιμετωπίζει ο Η. Καλησπεράκης στην υπό εκπόνηση διδακτορική διατριβή του, όπου μεταξύ άλλων δίδεται μια ευκλείδεια ερμηνεία της 2D επιπολικής γεωμετρίας (Kalisperakis et al., 2006). Αντικείμενο και στόχος της διατριβής Στο πλαίσιο που σκιαγραφήθηκε στα προηγούμενα, αντικείμενο της διατριβής είναι η γεωμετρία της μεμονωμένης εικόνας (single image geometry). Στην συμβατική φωτογραμμετρική πρακτική, η μεμονωμένη εικόνα έχει δύο κυρίως χρήσεις: την βαθμονόμηση μηχανής βάσει πεδίου ελέγχου και την αναγωγή επίπεδων αντικειμένων βάσει φωτοσταθερών σημείων, ή γενικότερα την απόδοση εφόσον η γεωμετρία του αντικειμένου είναι γνωστή, για παράδειγμα από ένα ψηφιακό μοντέλο αναγλύφου (βλ. ενδεικτικά, Γραμματικόπουλος, 1999). Όμως η πλούσια πρόσφατη βιβλιογραφία της Όρασης Υπολογιστών της οποίας αναγκαστικά μέρος μόνο περιλαμβάνει η Βιβλιογραφία της διατριβής έχει αναδείξει και άλλες δυνατότητες για την αξιοποίηση της γεωμετρικής πληροφορίας που είναι εγγεγραμμένη σε μια εικόνα. Στόχος της διατριβής ήταν, έτσι, να διερευνήσει περαιτέρω τέτοιες δυνατότητες που αν και πολύ χρήσιμες παραμένουν εν πολλοίς ανεκμετάλλευτες αν όχι και άγνωστες στην Φωτογραμμετρία. Βασικό στοιχείο της προσέγγισης είναι ότι δεν προϋποτίθεται χρήση εξωτερικού (γεωδαιτικού) ελέγχου. Είναι βέβαια σαφές ότι η μεμονωμένη εικόνα δεν είναι σε 15

18 θέση να παρέχει γεωμετρική πληροφορία εάν απεικονίζει αντικείμενα τυχαίας μορφολογίας. Προϋπόθεση, λοιπόν, για την παρούσα διατριβή είναι πως οι απεικονιζόμενες σκηνές μπορούν να θεωρηθούν δομημένες, όπως εκείνες που συναντώνται σε ανθρωπογενή περιβάλλοντα, και συνεπώς είναι δυνατόν να γίνουν βάσιμες υποθέσεις σχετικά με την γεωμετρική δομή τους. Η έρευνα δεν αποσκοπούσε εδώ, κατ αρχήν, στην αντιμετώπιση κάποιου συγκεκριμένου προβλήματος όσο σε μια βαθύτερη διερεύνηση της εσωτερικής λογικής της βασικής οντότητας που αξιοποιεί η Φωτογραμμετρία (της μεμονωμένης εικόνας). Φυσικά, η σχετική θεωρητική γνώση αφορά πλήθος εφαρμογές σε μετρητικά προβλήματα, τα οποία καλύπτουν ένα ευρύτατο φάσμα από αμιγώς φωτογραμμετρικά, όπως είναι η βαθμονόμηση της μηχανής, έως συγκεκριμένες πρακτικές εφαρμογές (λόγου χάρη στην τεκμηρίωση της πολιτιστικής κληρονομιάς, την μελέτη της κυκλοφορίας, την εγκληματολογία ή την αυτόματη πλοήγηση και την ρομποτική). Βέβαια, η διατριβή προφανώς περιλαμβάνει και πρακτικές εφαρμογές. Ειδικότερα, στόχος της διατριβής ήταν η εξαγωγή γεωμετρικής πληροφορίας από μεμονωμένες εικόνες, κυρίως εσωτερικής (γεωμετρία της μηχανής) αλλά και εξωτερικής (ανακατασκευή). Όσον αφορά το πρώτο, η βαθμονόμηση μηχανής συνιστά κεντρικό πρόβλημα της Φωτογραμμετρίας όσο και της Όρασης Υπολογιστών, πολύ δε περισσότερο που η ευρύτατη πλέον χρήση κοινών ψηφιακών μηχανών χαμηλού κόστους, με δυνατότητες μάλιστα αυτόματης εστίασης και zoom, φέρνει εκ νέου σήμερα στο προσκήνιο την ανάγκη για αυτόνομες μεθόδους βαθμονόμησης και για φρέσκια ματιά στα σχετικά θέματα (Grün and Huang, 2001, Remondino and Fraser, 2006). Αξιοποιώντας σημεία φυγής κάθετων διευθύνσεων του χώρου, η διατριβή αναπτύσσει και ελέγχει αλγορίθμους για τον προσδιορισμό της γεωμετρίας μηχανών. Αυτοί βασίζονται, μεταξύ άλλων, στην διατύπωση ενός γεωμετρικού τόπου για το σημείο λήψης και ενσωμάτωσή του σε έναν αμιγή αλγόριθμο βαθμονόμησης, ο οποίος δηλαδή δεν εμπλέκει καθόλου τα στοιχεία του εξωτερικού προσανατολισμού της εικόνας. Ταυτόχρονα, στόχος ήταν η όλη διαδικασία βαθμονόμησης να είναι πλήρως αυτόματη. Με τον αλγόριθμο αυτό είναι επίσης δυνατή η βαθμονόμηση μηχανής με τον συνδυασμό εικόνων με ελλιπή πληροφορία (μόνο δύο σημεία φυγής). Επιλογή, ακόμα, της διατριβής ήταν να μελετήσει από φωτογραμμετρική σκοπιά (η εικόνα ως προοπτική απεικόνιση κεντρική προβολή) ένα θέμα που ερευνάται κυρίως στο πνεύμα της γεωμετρικής Όρασης Υπολογιστών (η εικόνα ως 3D 2D ή και 2D 2D προβολική απεικόνιση) και άρα η σχετική βιβλιογραφία προέρχεται κατά βάση από ε- κείνο τον χώρο. Στο πνεύμα όσων έχουν αναφερθεί σε προηγούμενες ενότητες, ένας παράλληλος στόχος της διατριβής ήταν, έτσι, αφενός μεν να εκτίθεται και η αντίστοιχη προβολική θεωρία, αφετέρου δε να αποδεικνύεται η ισοδυναμία των γεωμετρικών ερμηνειών και των σχετικών αλγορίθμων της διατριβής με αντίστοιχες μεθόδους από την Όραση Υπολογιστών, όπως είναι η βαθμονόμηση μέσω της εικόνας της απόλυτης κωνικής (image of the absolute conic) ή η βαθμονόμηση μέσω επιπέδων (planebased calibration). Αντίστροφα, αυτό μπορεί να ειδωθεί και ως μια ευκλείδεια ερμηνεία προβολικών μεθόδων. Το τελευταίο Κεφάλαιο της διατριβής, αντίθετα, υιοθετεί πλήρως την προβολική λογική σε ένα πρόβλημα που δεν είναι, κατ αρχήν, αντιμετωπίσιμο στον ευκλείδειο χώ- 16

19 ρο, εκείνο της 2D αφινικής ανακατασκευής. είχνεται έτσι ότι, υπό προϋποθέσεις και για συγκεκριμένα προβλήματα, είναι πράγματι δυνατόν να πραγματοποιηθούν ακριβείς μετρήσεις και εκτός πλαισίου κεντρικής προβολής. Ένας τελευταίος, λοιπόν, στόχος της διατριβής ήταν να δείξει με αυτό το παράδειγμα ότι όσο προβληματική μπορεί να είναι η προκατάληψη υπέρ της χρήσης της προβολικής γεωμετρίας, άλλο τόσο επιζήμια μπορεί να αποβεί η παραγνώριση του ότι οι δύο γεωμετρικές προσεγγίσεις τελικά δεν είναι απολύτως ισοδύναμες, και ότι συνεπώς η προβολική γεωμετρία έχει να συνεισφέρει όχι μόνο θεωρητικές προσεγγίσεις αλλά και συγκεκριμένες πρακτικές λύσεις στην Φωτογραμμετρία. Διάρθρωση της διατριβής Το εισαγωγικό Κεφάλαιο 1 παρουσιάζει ορισμένες ιδιότητες του προβολικού χώρου (κυρίως του δισδιάστατου), οι οποίες αξιοποιούνται κατά βάση στην γεωμετρική Όραση Υπολογιστών αλλά αφορούν άμεσα και την Φωτογραμμετρία, και αποτελούν απαραίτητο υπόβαθρο γιά τα επόμενα κεφάλαια της διατριβής. Το Κεφάλαιο 2 μελετά την βασική γεωμετρία εικόνων με τρία σημεία φυγής ορθογώνιων διευθύνσεων του χώρου. Μετά από μια εκτενή αναφορά σε μεθόδους βαθμονόμησης μηχανής βάσει τριών σημείων φυγής που έχουν διατυπωθεί στην Φωτογραμμετρία όσο και την Όραση Υπολογιστών, περιγράφεται η μέθοδος βαθμονόμησης κατά Gracie, η οποία αποτελεί την πρώτη προσπάθεια να μοντελοποιηθεί μαθηματικά η γεωμετρική σχέση ανάμεσα στα τρία σημεία φυγής ορθογώνιων διευθύνσεων και τις παραμέτρους εσωτερικού προσανατολισμού της μηχανής. Στην συνέχεια, αναλύεται και αναπαριστάται ο γεωμετρικός τόπος του προβολικού κέντρου της εικόνας, όπως αυτό δεσμεύεται από δεδομένο πίνακα ομογραφίας (αναγωγής) μεταξύ επιπέδου του χώρου και απεικόνισής του, καθώς και η σχέση που συνδέει την ομογραφία με την θέση των σημείων φυγής. Τέλος, διατυπώνονται και συγκρίνονται πειραματικά (με την μέθοδο της δέσμης) τρείς εναλλακτικοί αλγόριθμοι βαθμονόμησης μηχανής από σημεία φυγής, ενώ μελετάται και η περίπτωση να προσδιορίζονται οι συντελεστές της ακτινικής διαστροφής του φακού ταυτόχρονα με την εκτίμηση των βασικών εσωτερικών παραμέτρων της μηχανής. Το επόμενο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζει τις βασικές γεωμετρικές ιδιότητες και διατυπώνει τις εξισώσεις που συνδέουν τις παραμέτρους εσωτερικού προσανατολισμού μιας εικόνας με τα σημεία φυγής δύο μεταξύ τους κάθετων διευθύνσεων του χώρου. Εδώ εισάγεται η έννοια της σφαίρας βαθμονόμησης, η οποία αποτελεί την βασική (γεωμετρική και αναλυτική) έκφραση αυτής της σχέσης, και συγκρίνεται με αντίστοιχες εκφράσεις της προβολικής γεωμετρίας που εφαρμόζονται τα τελευταία χρόνια στον χώρο της Όρασης Υπολογιστών. Τέλος, αναπτύσσεται και αξιολογείται πειραματικά αλγόριθμος βαθμονόμησης, ο οποίος επιτρέπει να συνδυάζει κανείς διαφορετικές εικόνες από την ίδια μηχανή που απεικονίζουν δύο ορθογώνιες διευθύνσεις του χώρου. Στο Κεφάλαιο 4 αναπτύσσεται αλγόριθμος για την αυτόματη βαθμονόμηση μηχανής από μία εικόνα με τουλάχιστον τρία σημεία φυγής αμοιβαίως κάθετων διευθύνσεων ή και από περισσότερες ανεξάρτητες εικόνες με τουλάχιστον ένα ζεύγος σημείων φυγής κάθετων διευθύνσεων. Η μέθοδος στηρίζεται στον πλήρως αυτόματο εντοπισμό 17

20 σημείων φυγής σε μία ή και περισσότερες εικόνες μέσω ενός νέου αλγόριθμου, και την ταυτόχρονη ελαχιστοτετραγωνική συνόρθωση των παρατηρήσεων από όλες τις εικόνες μέσω εξισώσεων παρεμβολής ευθείας και σφαιρών βαθμονόμησης. Αναλύονται, τέλος, τα αποτελέσματα της αυτόματης βαθμονόμησης από πραγματικά δεδομένα και συγκρίνονται με εκείνα από την μέθοδο της συνόρθωσης δέσμης. Τέλος, το Κεφάλαιο 5 αρχίζει με αναφορά στην μέθοδο προβολικής αναγωγής της εικόνας επίπεδου αντικειμένου από δύο σημεία φυγής κάθετων διευθύνσεων του χώρου. Στην συνέχεια αναπτύσσεται η γεωμετρία και οι εξισώσεις που επιτρέπουν αφινική επανασύσταση της εικόνας μέσω ενός μοναδικού σημείου φυγής, υπό την παραδοχή συγκεκριμένων γεωμετριών λήψης οι οποίες περιλαμβάνουν τις περιπτώσεις εικόνων μετωπικών, πλάγιων με οριζόντια ευθεία φυγής και πλάγιων με τυχαία γεωμετρία λήψης. Η μέθοδος εφαρμόζεται εδώ και αξιολογείται στην μέτρηση της ταχύτητας οχημάτων από διαδοχικές εικόνες ψηφιακών λήψεων βίντεο. Μοναδική εξωτερική πληροφορία είναι ένα γνωστό μήκος στην διεύθυνση του άξονα του δρόμου. Παράλληλα, περιγράφεται ένας αλγόριθμος για τον πλήρως αυτόματο εντοπισμό και παρακολούθηση κινούμενων οχημάτων σε αφινικά ανηγμένες εικόνες με στόχο τον υπολογισμό της ταχύτητάς τους. Τα αποτελέσματα των αυτόματων μετρήσεων αξιολογούνται σε σχέση με τα αντίστοιχα από χειρωνακτικές μετρήσεις σε εικόνες προβολικά α- νηγμένες μέσω φωτοσταθερών. Τέλος, ο αλγόριθμος επεκτείνεται ώστε να συμπεριλάβει αυτόματες τεχνικές για την ανίχνευση της σκιάς κινούμενων αντικειμένων. Το κείμενο της διατριβής ολοκληρώνει το κεφάλαιο Συμπεράσματα και Προοπτικές. Εκεί συγκεντρώνονται τα συμπεράσματα που μπορούν να εξαχθούν από όσα έχουν αναφερθεί στα προηγούμενα κεφάλαια. Ακόμα, επισημαίνονται πλευρές του θέματος που είναι άξιες περαιτέρω μελέτης. Οι επιστημονικές εργασίες που έχουν αναφερθεί στο κείμενο της διατριβής τεκμηριώνονται αναλυτικά στην Βιβλιογραφία. 18

Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Μ Α

Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Μ Α Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Μ Α Οκτώβριος 2010 Λάζαρος Γραµµατικόπουλος ρ. Αγρονόµος Τοπογράφος Μηχανικός ΕΜΠ Καθηγητής Εφαρµογών στο Τµήµα Τοπογραφίας του ΤΕΙ Αθήνας 1. Σπουδές 1999 ιπλωµατούχος Αγρονόµος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος Φωτογραμμετρία Εισαγωγή Ορισμοί Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Εφαρμογές Εισαγωγή Προσδιορισμός θέσεων Με τοπογραφικά όργανα Σχήμα Μέγεθος Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΑΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΑΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικό Βιογραφικό Σημείωμα του Καλησπεράκη Ηλία, ΑΤΜ / ΕΜΠ.

Συνοπτικό Βιογραφικό Σημείωμα του Καλησπεράκη Ηλία, ΑΤΜ / ΕΜΠ. Ρωμανού Μελωδού 7 Αθήνα 11471 Τηλ: 2130029016 6973 069908 email: ilias_k@central.ntua.gr ilias.kalisperakis@gmail.com Συνοπτικό Βιογραφικό Σημείωμα του Καλησπεράκη Ηλία, ΑΤΜ / ΕΜΠ. Προσωπικά Στοιχεία Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ

ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κυριάκος Χ. Γιαννάκογλου Kαθηγητής ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Πέτσα Ελένη Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός ΕΜΠ. Καθηγήτρια Φωτογραμμετρίας στο Τμήμα Τοπογραφίας του ΤΕΙ Αθήνας

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Πέτσα Ελένη Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός ΕΜΠ. Καθηγήτρια Φωτογραμμετρίας στο Τμήμα Τοπογραφίας του ΤΕΙ Αθήνας ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σεπτέμβριος 2010 Πέτσα Ελένη Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός ΕΜΠ Καθηγήτρια Φωτογραμμετρίας στο Τμήμα Τοπογραφίας του ΤΕΙ Αθήνας 2003 2006: Υπεύθυνη Τομέα Τοπογραφίας, Φωτογραμμετρίας,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

1. PHOTOMOD Montage Desktop (βασικό πρόγραμμα)

1. PHOTOMOD Montage Desktop (βασικό πρόγραμμα) PHOTOMOD 4.4 Lite Προσοχή: Πριν από την εκκίνηση του PHOTOMOD πρέπει να ενεργοποιηθεί η λειτουργία PHOTOMOD System Monitor (παρουσιάζεται με το εικονίδιο ) με την εντολή: START Programs PHOTOMOD Utility

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή διατριβή Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΩΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΓΙΑ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΥΤΟΚΤΟΝΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή διατριβή Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΩΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΓΙΑ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΥΤΟΚΤΟΝΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή διατριβή Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΩΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΓΙΑ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΥΤΟΚΤΟΝΙΑΣ Παναγιώτου Νεοφύτα 2008969752 Επιβλέπων καθηγητής Δρ. Νίκος Μίτλεττον,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΤΙΤΛΟΣ Συμπληρώστε τον πρωτότυπο τίτλο της Διδακτορικής διατριβής ΑΡ. ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ

ΑΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΤΙΤΛΟΣ Συμπληρώστε τον πρωτότυπο τίτλο της Διδακτορικής διατριβής ΑΡ. ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΝΑΓΝΩΣΤΗΡΙΟ Πανεπιστημιούπολη, Κτήρια Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών 15784 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 210 727 5190, email: library@di.uoa.gr,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΕΦΗΒΟΥΣ ΜΕ ΣΑΚΧΑΡΩΔΗ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 1

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΕΦΗΒΟΥΣ ΜΕ ΣΑΚΧΑΡΩΔΗ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΕΦΗΒΟΥΣ ΜΕ ΣΑΚΧΑΡΩΔΗ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ ΑΝΔΡΕΟΥ Φ.Τ:2008670839 Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΟ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ. Ενέργεια. 2.2.3.στ ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΑΣ: ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΕΧΡΩΜΩΝ ΕΓΓΡΑΦΩΝ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΟ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ. Ενέργεια. 2.2.3.στ ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΑΣ: ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΕΧΡΩΜΩΝ ΕΓΓΡΑΦΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΣΕΡΡΩΝ Τμήμα ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΟ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ Ενέργεια. 2.2.3.στ ΘΕΜΑ ΕΡΕΥΝΑΣ: ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΛΕΜΕΣΟΣ 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ Ονοματεπώνυμο: Μιχαέλλα Σάββα Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη των μεταβολών των χρήσεων γης στο Ζαγόρι Ιωαννίνων 0

Μελέτη των μεταβολών των χρήσεων γης στο Ζαγόρι Ιωαννίνων 0 Μελέτη των μεταβολών των χρήσεων γης στο Ζαγόρι Ιωαννίνων 0 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ - ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) "ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ" 2 η ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. «Φωτογραμμετρική αποτύπωση μετώπων εκσκαφής μορφής πρανών» ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΛΓΑ Ι.

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. «Φωτογραμμετρική αποτύπωση μετώπων εκσκαφής μορφής πρανών» ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΛΓΑ Ι. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Φωτογραμμετρική αποτύπωση μετώπων εκσκαφής μορφής πρανών» ΟΛΓΑ Ι. ΓΚΙΚΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: Παρτσινέβελος Παναγιώτης (επιβλέπων) Γαλετάκης

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας

Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας του Παντελίδη Παναγιώτη ιδακτορική ιατριβή η οποία υποβλήθηκε στο Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής του Πανεπιστηµίου Μακεδονίας Οικονοµικών

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ. Νίκος Μίτλεττον Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΘΗΛΑΣΜΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΣΑΚΧΑΡΩΔΗ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 2 ΣΤΗΝ ΠΑΙΔΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ Ονοματεπώνυμο: Ιωσηφίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΣΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ-ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Τομέας Περιβαλλοντικής Υδραυλικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής (III) Εργαστήριο Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE SCHOOL of

Διαβάστε περισσότερα

Φωτογραμμετρία & Τοπογραφία

Φωτογραμμετρία & Τοπογραφία Φωτογραμμετρία & Τοπογραφία Επίγειες μετρήσεις ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εναέριες μετρήσεις Δορυφορικές μετρήσεις Ορισμός: Η επιστήμη τεχνική που ασχολείται με την εξαγωγή πληροφορίας από μετρήσεις σε εικόνες Είδος πληροφορίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή εργασία ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΚΗΣ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΣΤΗ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ Έλλη Φωτίου 2010364426 Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα