ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
|
|
- Νύξ Ζερβός
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. : Στην ευθεία ε : y = x + 5, ανήκει το σημείο Α(,9) αφού 9 =. + 5 ενώ το σημείο Β(, 5) δεν ανήκει στην ε αφού Για να βρούμε τα κοινά σημεία δύο γραμμών (αν υπάρχουν) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. α) Αν οι δύο γραμμές είναι ευθείες και το σύστημα των εξισώσεών τους έχει : μοναδική λύση, τότε τέμνονται καμία λύση (αδύνατο), τότε είναι παράλληλες άπειρες λύσεις (αόριστο), τότε ταυτίζονται. β) Αν η μία τουλάχιστον γραμμή είναι καμπύλη (εξίσωση ου βαθμού και άνω) και το σύστημα των εξισώσεών τους έχει : μία μόνο λύση (διπλή), τότε εφάπτονται δύο λύσεις, τότε τέμνονται καμία λύση (αδύνατο), τότε είναι μη τεμνόμενες (δεν έχουν κανένα κοινό σημείο).. Μια γραμμή έχει άξονα συμμετρίας τον y y όταν για κάθε ζεύγος Μ(x,y) της C και το Μ (-x, y) ανήκει στην C x x όταν για κάθε ζεύγος Μ(x,y) της C και το Μ (x, -y) ανήκει στην C και έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων όταν για κάθε ζεύγος Μ(x,y) της C και το Μ (-x, -y) ανήκει στην C 4. Για να βρούμε ένα σημείο μιας γραμμής C θέτουμε μια αυθαίρετη τιμή (π.χ. x = 0) και λύνουμε την εξίσωση ως προς τον άλλο άγνωστο. 5. Για να βρούμε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε εργαζόμαστε ως εξής : α) αν η μορφή της εξίσωσης είναι ε: y = λ x + β ή y = λ x, τότε λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης. Π.χ. η ευθεία ε : y = x + 5 έχει λ =. A β) αν η μορφή της εξίσωσης είναι ε: Αx + By + Γ = 0, τότε λ = -. B γ) αν Α(x,y ), B(x,y ) είναι δύο σημεία της ε τότε λ = y x y x δ) αν η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω τότε λ = εφω.
2 6. Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας χρειάζεται να γνωρίζουμε ένα σημείο Α(x o,y o ) από το οποίο διέρχεται η ευθεία και τον συντελεστή διεύθυνσής της λ. Οπότε τότε : ε : y y o = λ (x x o ) Αν ε // x x τότε ε : y = y o και αν ε // y y τότε ε : x = x o Αν η ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(0,β) τότε ε : y = λx + β Αν η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε ε : y = λ x Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας ε που διέρχεται από γνωστό σημείο Α και είναι παράλληλη σε γνωστή ευθεία ζ βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της λ ε από την σχέση ε // ζ λ ε = λ ζ. Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας ε που διέρχεται από γνωστό σημείο και είναι κάθετη σε. γνωστή ευθεία ζ βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσής της λ ε από την σχέση ε λ ε λ ζ = - Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας ε που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Α(x,y ), y B(x,y ) βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσής της λ ε από την σχέση λ ε = x 7. Η απόσταση του σημείου Α(x o,y o ) από την ευθεία ε : Ax + By + Γ = 0 δίνεται από τον τύπο d(a, ε) = Ax o By A o B 8. Το εμβαδό Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ με Α(x,y ), B(x,y ) και Γ(x,y ) είναι : y x. Ε = det( AB, A ) x x x x y y y y 9. Για να βρούμε την μεσοπαράλληλη ευθεία δύο παράλληλων ευθειών ε και ε εργαζόμαστε ως εξής : α) Βρίσκουμε ένα σημείο Α της ε και ένα σημείο Β της ε. β) Βρίσκουμε το μέσο Μ του ΑΒ. γ) η ζητούμενη ευθεία διέρχεται από το Μ και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης. 0. Για να βρούμε την εξίσωση της διχοτόμου δ δύο τεμνόμενων ευθειών ε και ε εργαζόμαστε ως εξής : Αν Μ(x,y) είναι ένα σημείο της δ τότε d(m,ε ) = d(μ,ε ) που είναι η ζητούμενη εξίσωση.. Για να βρούμε το συμμετρικό Α (x,y ) ενός σημείου Α(x, y) ως προς μια ευθεία ε εργαζόμαστε ως εξής : α) Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην ε. β) Βρίσκουμε το σημείο τομής Μ των δύο ευθειών. γ) Το Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΑ και από τους τύπους των συντεταγμένων του μέσου βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Α.
3 . Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που απέχει από δοσμένο σημείο Κ απόσταση d, κάνουμε τα εξής: α) Αν γνωρίζουμε το σημείο Α(x,y ) από το οποίο διέρχεται η ευθεία, τότε γράφουμε την εξίσωσή της στη μορφή : y y = λ (x-x ) και από τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία d(κ, ε) = d βρίσκουμε τον λ. β) Αν γνωρίζουμε τον συντελεστή διεύθυνσης λ της ευθείας, τότε γράφουμε την εξίσωση της ευθείας στη μορφή y = λx + β και από τον τύπο της απόστασης βρίσκουμε το β.. Για να βρούμε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού Ε κάνουμε ότι και στο () μόνο που τον άγνωστο (το λ ή το β) το βρίσκουμε από τον τύπο του εμβαδού του τριγώνου. 4. Όταν μας δίνεται η εξίσωση μιας ευθείας που περιέχει παράμετρο λ ή μ τότε : α) αν μας ζητάνε να αποδείξουμε ότι πράγματι παριστάνει ευθεία την γράφουμε (αν δεν είναι ήδη) στην μορφή Αx + By + Γ = 0 και απαιτούμε να μην κάνουν μηδέν ταυτόχρονα τα Α και Β. β) αν μας ζητάνε να αποδείξουμε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο Κ τότε την μετασχηματίζουμε σε πολυώνυμο ως προς λ ή μ και μηδενίζουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου αυτού. Η λύση του συστήματος, αν υπάρχει, είναι οι συντεταγμένες του σημείου Κ.
4 Ασκηση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στις παρακάτω περιπτώσεις: α) όταν διέρχεται από το σημείο Α(,) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - 4. β) όταν διέρχεται από το σημείο Α(,) και είναι παράλληλη στην ευθεία 4x + y = 0. γ) όταν διέρχεται από το σημείο Α(,) και είναι κάθετη στην ευθεία x 4y + 5 = 0 δ) όταν διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(0,7). ε) όταν διέρχεται από το σημείο Α(,) και απέχει από το Β(-,) απόσταση ίση με 5. ζ) όταν έχει συντελεστή διεύθυνσης και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 6 τ.μ. α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x o,y o ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: ε : y y o = λ (x x o ). Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση: y = - 4 (x ) y = - 4x x + y 7 = 0. β) Δύο ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Η ευθεία 4x + A y = 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -4 (λ = - ) άρα έχει εξίσωση 4x + y 7 = 0. B γ) Η ευθεία x 4y + 5 = 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =. Αφού οι δύο ευθείες είναι 4 κάθετες θα ισχύει λλ = -. Άρα λ = -4 και η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση 4x + y 7 = 0. δ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα δύο σημεία είναι λ = y x y x 7 = = -4, άρα η εξίσωση της ευθείας είναι 4x + y 7 = 0. 0 ε) Για να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία. Καταρχήν, αφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(,) θα έχει εξίσωση της μορφής : y = λ (x ) λx y λ + = 0. Επομένως, ισοδύναμα έχουμε: d(β, ε) = Ax o By A o B = ( ) ( ) = 5 -λ λ + = 5 -λ = 00 (-λ) = 00 4λ = 00 λ = 5 λ = +5. Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι δύο και έχουν εξισώσεις 5x y = 0 και 5x + y 8 = 0.
5 ζ) Η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση της μορφής y = λ x + β, δηλαδή, αφού λ =, y = x + β. Για να βρούμε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες θέτουμε μια φορά το x = 0, οπότε y = β και μια φορά το y = 0, οπότε x =. Επομένως η ευθεία τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α(, 0) και τον άξονα y y στο σημείο Β(0, β). Το εμβαδόν του σχηματιζόμενου τριγώνου ΟΑΒ δίνεται από τον τύπο Ε = det( A, ) = = = 6 β = 8 β = 8 Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι οι y = x + και y = x. Ασκηση Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ευθειών: (ε ): x + y + 7 = 0 και (ε ): x + y 5 = 0. Αρχικά διαπιστώνουμε ότι οι δοσμένες ευθείες είναι πράγματι παράλληλες, αφού έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης λ =. Αυτός θα είναι ο συντελεστής διεύθυνσης και της μεσοπαράλληλης. Θεωρούμε ένα σημείο Α πάνω στην ε : π.χ.: για y =, x = -5, άρα Α(-5, ). Όμοια βρίσκουμε και ένα σημείο Β πάνω στην ε : π.χ.: για y =, x =, άρα Β(, ). Το μέσο Μ του ΑΒ θα βρίσκεται πάνω στη μεσοπαράλληλο. Είναι Μ(-, ). Επομένως αναζητούμε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ(-, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =. Αυτή είναι η y = (x + ) y = -x 4 x + y + = 0. Ασκηση Να βρεθεί η εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες: (ε ): x + y - 5 = 0 και (ε ): x - y + 8 = 0.
6 Έστω Μ(x, y) ένα σημείο της ζητούμενης διχοτόμου. Το σημείο αυτό θα ισαπέχει από τις δύο ευθείες. Δηλαδή: d(m,ε ) = d(μ,ε ) και ισοδύναμα έχουμε: x y 5 x y 8 ( ) x y 5 x y {x + y 5 = x y + 8} ή {x + y 5 = x + y 8} x + y = 0 ή x y + = 0 Οι τελευταίες είναι οι εξισώσεις των διχοτόμων των δύο γωνιών που σχηματίζουν οι δοσμένες ευθείες. Ασκηση 4 Δίνεται η εξίσωση (Δ μ ): (μ + ) x + (μ ) y 4 μ = 0, μ. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ, η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία. β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από ένα σταθερό σημείο (είναι δηλαδή μια δέσμη ευθειών), το οποίο και να προσδιορίσετε. γ) Να βρείτε την ευθεία της δέσμης που έχει συντελεστή διεύθυνσης. α) Για να παριστάνει ευθεία μια εξίσωση της παραπάνω μορφής πρέπει τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές των x. y να είναι διάφορος του μηδενός. Στην περίπτωσή μας αυτό συμβαίνει αφού μ + = 0 μ = - και μ = 0 μ =. β) Μετατρέπουμε την εξίσωση σε πολυώνυμο της παραμέτρου μ. Έχουμε: (μ + ) x + (μ ) y 4 μ = 0 (x + y 4) μ + (x y) = 0 x y 4 0 Για να ισχύει η τελευταία για κάθε μ, πρέπει (x = y = ). x y 0 Επομένως όλες οι ευθείες διέρχονται από το σταθερό σημείο Α(, ). (β τρόπος) Για μ = η εξίσωση γίνεται x 4 = 0 x =, ενώ για μ = - η εξίσωση γίνεται -y + 4 = 0 y =. Επομένως οι ΔΥΟ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ διέρχονται από το σημείο Α(, ). Για να δείξουμε ότι ΟΛΕΣ οι ευθείες διέρχονται από το σημείο αυτό αντικαθιστούμε στην εξίσωση τις συντεταγμένες του σημείου: (μ + ) + (μ ) 4 μ = 0 μ + + μ 4μ = 0 0 = 0 ΤΩΡΑ ΑΠΟΔΕΙΞΑΜΕ ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο Α(, ). {Ο β τρόπος θέλει πολύ προσοχή όταν χρησιμοποιείται γιατί αν π.χ. δεν κάνουμε το τελευταίο βήμα είναι ΟΛΟΣ ο τρόπος ΛΑΘΟΣ!!!}
7 γ) Ο συντελεστής διεύθυνσης κάθε ευθείας είναι λ =. Όμως = - (μ + ) = (μ ) - μ = μ μ =. Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση ( + ) x + ( )y - 4 = 0 4 x - y - 4 = 0 x y = 0. Άσκηση 5 Να βρεθεί η απόσταση των ευθειών (ε ): x y + = 0 και (ε ): 4x 6y + 7 = 0. Για να βρούμε την απόσταση δύο παράλληλων ευθειών αρκεί να βρούμε την απόσταση ενός σημείου της μιας ευθείας από την άλλη ευθεία. Οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες αφού έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης λ =. Βρίσκουμε ένα οποιοδήποτε σημείο της ε. Π.χ. για x = είναι y = άρα το σημείο Α(, ) ανήκει στην ε. Επομένως: d(ε, ε ) = d(α, ε ) = = 5 5 = Ασκηση 6 Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών (ε ): x y + = 0 και (ε ): x 4y + = 0. Η μεσοπαράλληλη ευθεία θα έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης με τις δύο παράλληλες ευθείες, δηλαδή λ =. Για να βρούμε ένα σημείο Μ από το οποίο θα διέρχεται θεωρούμε δύο τυχαία σημεία, ένα σημείο Α της ε και ένα σημείο Β της ε και βρίσκουμε το μέσο του τμήματος ΑΒ.
8 Το σημείο Α(,) ανήκει προφανώς στην ε, ενώ και το σημείο Β(0, 4 ) ανήκει στην ε. Το 0 μέσο του ΑΒ θα έχει συντεταγμένες Μ(, 4 ) δηλαδή Μ( επομένως εξίσωση: 7 7 y - = (x - ) y - = x y 7 = 4x 4x 8y + 5 = 0., 7 ). Η ζητούμενη ευθεία έχει 8 Ασκηση 7 Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ ώστε οι ευθείες (ε ): x+μy+=0 και (ε ): μx+y+λ=0 να είναι παράλληλες και να απέχουν απόσταση ίση με. Για να είναι παράλληλες οι δύο ευθείες πρέπει να έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης: μ = μ = +. Για μ =, οι δύο ευθείες έχουν εξισώσεις (ε ): x + y + = 0 και (ε ): x + y + λ = 0. Για να βρούμε την απόστασή τους εφαρμόζουμε ότι και στην άσκηση 5. Ένα σημείο της ε είναι το Α(-, 0). Άρα αρκεί να βρούμε την απόσταση του Α από την ε. Έχουμε: ( ) 0 d(a, ε ) = = 8 λ = 8 λ = 0 ή λ = - 6 Για μ = -, οι δύο ευθείες έχουν εξισώσεις (ε ): x - y + = 0 και (ε ): -x - y + λ = 0. Για να βρούμε την απόστασή τους εφαρμόζουμε ότι και στην άσκηση 5. Ένα σημείο της ε είναι το Β(0, ). Άρα αρκεί να βρούμε την απόσταση του Β από την ε. Έχουμε: 0 d(β, ε ) = = 8 λ + = 8 λ = 6 ή λ = - 0 Επομένως υπάρχουν τέσσερα ζεύγη τιμών (λ, μ) με τις ζητούμενες ιδιότητες: (0, ), (-6, ), ( 6, -) και (-0, -).
9 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Γ Ι Α Λ Υ Σ Η. Αν η ευθεία y = x + β διέρχεται από το σημείο A(, 7), να βρείτε την τιμή του β.. Μια ευθεία (ε) διέρχεται από τα σημεία Α(, 4) και Β(-, ). Να βρείτε : α) τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (ε). β) τη γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x. γ) την εξίσωση της ευθείας (ε).. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(, ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα u = (, -5). 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(, -) και είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση x = Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(, 5) και Β(, 7). 6. Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το σημείο Α(-, ) και είναι παράλληλη προς την ευθεία (ζ) : y = x + 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε). 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(5, -) και είναι κάθετη στην ευθεία ΚΛ, όπου Κ(, 5) και Λ(-, 4). 8. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες (ε) : y = ( + λ) x + 7 και (ζ) : y = (λ + λ + )x + 6, να είναι παράλληλες. 9. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες (ε) : y = (λ + ) x + 7 και (ζ) : y = x + 4 να είναι κάθετες. 0. Δύο από τα ύψη του τριγώνου ΑΒΓ έχουν εξισώσεις y = -x + και y = x +. Αν Α(, ) να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών και οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου.. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(, ). Η διάμεσος ΒΜ και το ύψος ΓΔ έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: x y + 4 = 0 και x + y + 4 = 0. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου.. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία x y + = 0 και ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 4 τ.μ.. Να βρεθεί το ύψος ενός τραπεζίου του οποίου δύο πλευρές έχουν εξισώσεις: x + 4y 7 = 0 και x + 4y + = Δίνεται η εξίσωση: (λ + λ ) x + (λ λ + ) y + λ. Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε: α) η εξίσωση αυτή να παριστάνει ευθεία. β) η ευθεία αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 5. Δίνεται η εξίσωση (ε) : (μ ) x + (μ μ 6) y + μ + = 0.
10 α) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση (ε) παριστάνει ευθεία, για κάθε πραγματικό αριθμό μ. β) Να βρεθούν οι τιμές του μ, ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα x x. γ) Να βρεθούν οι τιμές του μ, ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα y y. δ) Να βρεθούν οι τιμές του μ, ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στο διάνυσμα a = (4, ). 6. Δίνονται οι εξισώσεις : μx + (μ + ) y + = 0 και (μ +) x + 4μy + μ = 0. α) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθεία, για κάθε μ. β) Να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε να είναι παράλληλες οι δύο ευθείες. 7. Δίνονται οι ευθείες (ε ) : (μ ) x + (μ + ) y + μ = 0 και (ε ) : (μ + ) x μy + μ = 0. Να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε οι δύο ευθείες να είναι κάθετες. 8. Να βρεθεί η απόσταση : α) του σημείου Α(5, -7) από την ευθεία y + 4 = 0. β) του σημείου Β(-, 6) από την ευθεία x 5 = 0. γ) του σημείου Γ(5, -5) από την ευθεία 6x 8y 5 = Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Α(-, ) ως προς την ευθεία y = -4x Να αποδειχτεί ότι οι ευθείες (λ ) x + (λ ) y + 4 8λ = 0 διέρχονται από σταθερό σημείο, για κάθε πραγματικό αριθμό λ.. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες αx + βy + γ = 0 με α + β + γ = 0 διέρχονται από σταθερό σημείο.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x, y) για τα οποία ισχύει: x xy + y = 0.. Αν α, να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπου Α(α, 0) και Β(0, α + γ), με γ 0, διέρχεται από σταθερό σημείο. 4. Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες με εξισώσεις μx y + = 0 και ( + μ)x + (μ ) y + = Δίνεται η εξίσωση (λ + μ + ) x + (λ + μ + ) y λ 4μ 5 = 0. α) Να βρεθούν οι τιμές των λ και μ ώστε η εξίσωση αυτή να παριστάνει ευθεία. β) Να αποδειχτεί ότι η παραπάνω ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο όταν τα λ και μ μεταβάλλονται. 6. Από το σημείο Ρ(, ) διέρχονται δύο κάθετες ευθείες οι οποίες τέμνουν τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Αν Μ είναι η προβολή του σημείου Ρ στην ευθεία ΑΒ, να αποδειχτεί ότι το Μ κινείται σε μια ευθεία. 7. Οι θέσεις δύο πλοίων στο χάρτη ενός λιμεναρχείου είναι: Α(t +, t + ) και Β(t +, 6t + ), όπου t > 0 είναι ο χρόνος σε ώρες. Να βρεθούν: α) Οι πορείες των πλοίων Α και Β. β) Οι συντεταγμένες του λιμανιού Λ στο οποίο θα φτάσουν και τα δύο πλοία.
11 γ) Σε πόση ώρα μετά την αναχώρησή του το πλοίο Α θα φτάσει στο λιμάνι Λ ; 8. Δίνονται οι ευθείες (ε ) : x 0y 7 = 0 και (ε ) : x 4y = 0 και το σημείο Α(, -). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής Ρ των δύο παραπάνω ευθειών και είναι κάθετη στην ευθεία ΡΑ. β) Να βρείτε ένα σημείο Β στην (ε ) ώστε το μέσο Μ του ΑΒ να ανήκει στην ευθεία (ε ). 9. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x, y) για τα οποία ισχύει: x + y xy x + y + = 0 0. Δίνονται τα σημεία Α(,) και Β(,). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου για τα οποία είναι : ΜΑ ΜΒ = 8.. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy ένα πλοιάριο ξεκινά από το λιμάνι Λ και κατευθύνεται στο λιμάνι Ο. Το ραντάρ θέσης δίνει συντεταγμένες για το πλοιάριο (t 0, t 40), για κάθε χρονική στιγμή t > 0. α) Πού βρίσκεται στο χάρτη το λιμάνι Λ ; β) Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο λιμάνια ; γ) Ποιά είναι η εξίσωση της πορείας του πλοιαρίου ; δ) Να εξετάσετε αν το πλοιάριο πρέπει να αλλάξει πορεία για να φτάσει στο λιμάνι Ο.. Δίνονται οι ευθείες : (λ + ) x + (λ ) y λ = 0 και (λ + ) x + (λ ) y λ = 0. Να αποδείξετε ότι αν οι ευθείες έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο, τότε αυτό κινείται πάνω σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται.. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία είναι x y +x y + = 0 είναι δύο κάθετες ευθείες. 4. Δίνονται τα σημεία Α(-, -) και Β(, ). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία το τρίγωνο ΑΒΜ έχει εμβαδό ίσο με 8 τ.μ. 5. Δίνεται η εξίσωση : x + y + xy x y = 0. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλής τους Να βρείτε τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες x + y 5 = 0 και x + y 7 = 0. Ποιά είναι η εξίσωση της διχοτόμου της οξείας γωνίας; 7. Σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy η εξίσωση (λ ) x + (λ + ) y λ = 0, λ περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος Φ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ. β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(, ), Λ(-, 5) και Μ(, ). Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτινών που διέρχονται από τα σημεία Κ, Λ και Μ.
12 γ) Να προσδιορίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στην φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το Μ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από τον φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. 8. Ένα κινητό Α ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται στην ευθεία ε, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία ε της κίνησης ενός άλλου κινητού Β. Τα δύο κινητά συναντώνται στο σημείο (, 4). Στο ίδιο σημείο φθάνει και ένα τρίτο κινητό Γ, το οποίο κινείται πάνω στην ευθεία ε : x + λy + = 0. α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε, ε, ε. β) Στη συνέχεια τα κινητά αναχωρούν και ακολουθώντας διαφορετικές διαδρομές από αυτές που είχαν μέχρι το σημείο συνάντησής τους, σταματάνε στα σημεία Α(8συνφ, 9ημφ), Β(8ημφ, -9συνφ) και Γ(8, 9) αντίστοιχα ώστε φ (0, ). i) Να προσδιορίσετε την γωνία φ ώστε τα κινητά να βρίσκονται στην ίδια ευθεία. ii) Πόσο απέχει τότε κάθε κινητό από την ευθεία που κινούνταν αρχικά ; 9. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη της ευθείας x-y+=0 και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τμ. 40. Αν το σημείο Α(α, β) κινείται πάνω στην ευθεία x - y + 4 = 0, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(α +, β - ). 4. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ που η απόστασή τους από την ευθεία (ε): x y = 0, είναι τριπλάσια από την απόστασή τους από την ευθεία (ζ): x + y = 0.
Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ
Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y
ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει
2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης
Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)
7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από
Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός
ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή
44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και
Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία
Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE
1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία
ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.
Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ
Σημειώσεις Μαθηματικών 1
Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A
[Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.
ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από
ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο
1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις
ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.....................
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0
2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με
ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.
. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε
Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία
1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας στο επίπεδο της μορφής x y 0, με 0, 0 θα δίνεται από τον τύπο. ( μονάδες) Β. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2
ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος
12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με
ΓΕΝΙΚΟ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΡΙΤΙΟΥ ΕΠΙΜΕΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να
Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12
Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.
π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων
Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο
2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x
ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη
1,y 1) είναι η C : xx yy 0.
ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή
Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /
Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, )
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου
Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /
Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)
. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να
201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η
201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2
Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο
B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν
2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή
Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει
ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,
ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9
ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:
11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε
Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;
2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης
1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135
2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ
ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B
151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β
Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /
Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ
1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..
Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: 01/03/2015. Θέμα Β. Θέμα Α. Α 1. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73.
Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: /3/5 Θέμα Α Α. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73. Α.. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 84. Α 3. i --> Σ, ii --> Σ, iii --> Λ, iv --> Λ, v --> Σ Θέμα
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (4-6-000) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο : Α.1. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο ( x, ) K 0 y 0 και ακτίνα ρ. Μονάδες Α.. Πότε η εξίσωση
Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι
Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την
Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών
wwwaskisopolisgr Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών Διανύσματα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ
ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β
1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες
: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα.
Κεφάλαιο ο : Η ευθεία στο επίπεδο Θέµατα «Ανάπτυξης» Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Α έχει συντεταγµένες (,5) και οι διάµεσοι ΒΕ και ΓΖ έχουν εξισώσεις x 4y + = 0
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 05 06 ΑΝΑΒΡΥΤΑ 4-5-06 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία
Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων
Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...
Ερωτήσεις αντιστοίχισης
Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και
Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ
Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η υπερβολή x y. Να βρείτε Tις ασύµπτωτες και την εκκεντρότητα της υπερβολής. i Tις εφαπτόµενες της υπερβολής που είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) : x + y + 0 ii Tο εµβαδόν
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος
Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων