ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΠΡΟΦΙΛ: Ε-mail: Τηλ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για να βοηθήσουν αποτελεσματικά τους μαθητές της Γ Λυκείου στο δύσκολο έργο τους. Οι σημειώσεις περιέχουν βασικές λυμένες ασκήσεις που καλύπτουν όλες τις κατηγορίες ασκήσεων των μιγαδικών αριθμών, καθώς και άλυτες προτεινόμενες ασκήσεις (με τις απαντήσεις) όλων των επιπέδων, με αυξανόμενο βαθμό δυσκολίας. Από τη θέση αυτή ευχαριστώ τους φίλους και συναδέλφους μου για την πολύτιμη βοήθειά τους στη συγγραφή των σημειώσεων αυτών. Κάθε πρόταση-παρατήρηση που σκοπό έχει τη βελτίωση των σημειώσεων αυτών με χαρά θα γίνει δεκτή. ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

3 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Να λυθεί στο η εξίσωση: 6 Λύση: Θέτουμε x yi με xy, πραγματικούς και αντικαθιστούμε στην εξίσωση: x yi ( x yi) 6 3x yi 6 3 x ( y) i 6 0i 3x 6 και y 0 x και y 0 Άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι ο.. Να λυθεί στο η εξίσωση Λύση: Αρχικά υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου: Δ=...=-4<0. 4 i ( 4) Άρα οι λύσεις δίνονται από τη θεωρία:, i. 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

4 3. Να λυθεί στο η εξίσωση 3 0. Λύση: Στην εξίσωση θέτουμε x yi οπότε έχουμε: ( x yi) ( x yi) 3 0 x xyi y x yi 3 0 x y x 3 (xy y) i 0 0i 3 0 () και yx ( ) 0 () x y x Από την () προκύπτει ότι: y 0 ή x Για y 0 έχουμε () x x x ή x 3 Άρα προκύπτουν δύο λύσεις: και 3. Για x έχουμε () y 0 y 0 Άρα προκύπτει Να λυθεί στο η εξίσωση 4 ( ). Λύση: ( ) ( ) ( ) 6 Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση και έχουμε: ( ) 4 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

5 5. Να λυθεί στο η εξίσωση i ( i) 0. Λύση: Α τρόπος Έχουμε ότι: i i i i i ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( i )( ) 0 ή i i Β τρόπος Θέτουμε x yi οπότε έχουμε: i( x yi) ( i)( x yi) 0 i( x xyi y ) x yi xi y 0 ( xy x y ) ( x y)( x y ) i 0 ( xy x y ) (x y y x) i 0 xy x y 0 () και ( x y)( x y ) 0 () Από την () προκύπτει ότι: y x ή yx Για y x έχουμε () x x 0 (αδύνατη) Για yx έχουμε ()... xx ( ) 0 x 0 ή x Άρα οι λύσεις είναι οι μιγαδικοί i και. 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

6 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6. Αν είναι γνωστό ότι 0 τότε να δείξετε ότι 003 την τιμή της παράστασης και να υπολογίσετε Λύση: Έχουμε ότι: ( )( ) 0 ( ( )( ) ) Για να υπολογίσουμε την τιμή της δοθείσας παράστασης θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση που δείξαμε: Έχουμε ότι: 3. ( ) ( ) Επομένως: ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

7 7. Αν τα σημεία Α( ), Β( ), Γ( 3 ) ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ= και επιπλέον ισχύει ότι 3 0, τότε να δείξετε ότι: Α.,, 3 3 B Γ. Δ Λύση: Α. Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι: 3 Επομένως έχουμε: Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν ότι: Β. Από τη δοθείσα σχέση έχουμε: και Γ. Θεωρούμε την ταυτότητα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

8 Δ. Έχουμε ότι: 0 ( ) 0 ( 3 0, επειδή 3 ) ( ) ( ) Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν ότι: και ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

9 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΙ Βασικές Προτάσεις: & i * 8. Αν w με και i, τότε να δείξετε ότι ο w είναι φανταστικός i αριθμός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός. Λύση: Έχουμε διαδοχικά: i i w w w i i i i ( i)( i ) ( i )( i) i i i i i i ( 0 ) 9. Να δειχθεί ότι για κάθε και για κάθε ( i) ( i) είναι πραγματικός. * ο αριθμός Λύση: ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) Επομένως. 9 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

10 ΔΥΝΑΜΕΙΣ 0. Να υπολογίσετε τo παρακάτω άθροισμα: Λύση: Έχουμε διαδοχικά: i i i i i i i i i i i i 4 3 i i i i i i i i i i i i i i i 0 i i i i. Να υπολογίσετε την παράσταση που ακολουθεί: Λύση: ( i) ( i ) 0 0 Έχουμε: ( ) i i i i i και ( ) i i i i i Επομένως: ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) i i i 006 i i i ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

11 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ( ) του μιγαδικού όταν είναι γνωστό ότι: Λύση: i i. Παρατηρούμε ότι είναι Θέτουμε x yi και έχουμε: i. Άρα το σημείο Μ δεν μπορεί να είναι το (0,-). i x yi i x ( y ) i i x yi i x ( y ) i x ( y) x ( y) 4 x ( y) x ( y) x y x y x y y x y y ( ) 4[ ( ) ] x 3y y 0 x y 4y 0 x y y x ( y ) 4 0 x ( y ) 4 x ( y ) Άρα το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(0,-) και ακτίνα ρ=. Ο κύκλος αυτός δεν περιλαμβάνει το σημείο (0,-). Προσοχή στους περιορισμούς! Αν το (0,-) βρισκόταν πάνω στον κύκλο, τόπος δεν θα ήταν όλος ο κύκλος γιατί θα έπρεπε να εξαιρεθεί το σημείο (0,-). ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ 3. Αν 0 και να δείξετε ότι τα σημεία: O(0), Α( ), Β( ) είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Λύση: Αρκεί να δείξουμε ότι: ΟΑ=ΟΒ=ΑΒ. Άρα πρέπει:. Θέτουμε w, ( 0 ) Τότε θέλουμε να δείξουμε: w w Από τη δοθείσα σχέση έχουμε διαδοχικά: w w w w 0 Οι λύσεις του τριωνύμου είναι: w, i 3 Επομένως εύκολα επαληθεύεται ότι w w που είναι το ζητούμενο. ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

13 Εναλλακτικός τρόπος επίλυσης της άσκησης: Έχουμε ότι: ( ) ( ) () Αντίστοιχα έχουμε: ( ) ( ) () Από τις () και () με διαίρεση κατά μέλη ( 0, 0 ) έχουμε: 3 3 Aπό την () έχουμε: Επομένως αποδείχτηκε το ζητούμενο:. 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

14 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 4. Να δείξετε ότι ( ) ( ) για κάθε 0. Λύση: Αν 0 η ανισότητα είναι προφανής ( ). Έστω 0 τότε θέτουμε ( ) ( ) w και έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) w ( ) w ( ) w ( ) w w w w 0 w ( w w ) 0 () Όμως είναι: w w w ( w)( w) w ww w w w w ( w w) Re( w) Επομένως η () γίνεται: w Re( w) 0 Για να ισχύει η παραπάνω ανίσωση, αρκεί η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι μη θετική. Πράγματι έχουμε με w x yi : 4x 4( x y ) 4y 0 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

15 Εναλλακτικός τρόπος επίλυσης της άσκησης: Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0, που ισχύει. 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

16 ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ 5. Αν 6 i 3 να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης 3 5i καθώς και οι αντίστοιχοι μιγαδικοί. Λύση: Έχουμε ότι: 35i 33 i 4i 3 6 i 4i 3 Από την τριγωνική ανισότητα ( ) έχουμε: 6 i 4i 3 6 i 4i 3 6 i 4i i 4i i 4i i 4i i 8 Για να βρούμε τις συντεταγμένες του που καθιστούν ελάχιστη ή μέγιστη την ζητούμενη παράσταση πρέπει να λύσουμε τα παρακάτω συστήματα: 6 i 3 3 5i και 6 i 3 3 5i 8 6 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

17 6. Αν, ώστε 3i, τότε να δείξετε ότι: 5. Λύση: Α τρόπος 3 i ( 3 i) οπότε με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας έχουμε: 3 i ( 3 i) 3i 3 ( 3 i) () και 3 () Από την () έχουμε, που ισχύει. Από την () έχουμε Β τρόπος Ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση 3i είναι κύκλος κέντρου (0,3) και ακτίνας ρ=, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι ο μιγαδικός που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η εικόνα είναι το Α(0,) δηλαδή ο 0 i. Ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το Β(0,5) δηλαδή ο 0 5i 5. Άρα για κάθε μιγαδικό του κύκλου έχουμε 5. 7 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

18 7. Δίνονται οι μιγαδικοί w, για τους οποίους ισχύουν: 3 4i 5 και w 6 8i 0 Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w., Β. Να βρείτε το μέγιστο μέτρο των w., Γ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Δ. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το w γίνεται μέγιστο και ελάχιστο. Λύση: Α. Έστω ότι: x yi και w i. Έχουμε ότι: 3 4i 5 (3 4 i) 5 Άρα οι εικόνες των είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο Κ(3,4) και ακτίνα ρ=5 και η εξίσωση του κύκλου είναι: Αντίστοιχα έχουμε: w68i 0 w (6 8 i) 0 ( x3) ( y 4) 5 Επομένως οι εικόνες του w είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου κέντρου Λ(6,8) και ακτίνας ρ =0 και η εξίσωση του κύκλου είναι: ( 6) ( 8) 00 8 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

19 4 Β. Η ευθεία ΟΚ έχει εξίσωση y x. Για να βρούμε το μέγιστο φέρνουμε την 3 ΟΚ που τέμνει τον κύκλο κέντρου Κ στο Α ( Το Α συμπίπτει με το Λ). Τότε το μέγιστο μέτρο είναι max =ΟΚ+ΚΑ=ρ=0. Αντίστοιχα το μέγιστο μέτρο w είναι w = ρ =0 max Γ. Το μέγιστο w είναι w =ΟΒ=0 max Το ελάχιστο w είναι w =0 min Δ. Για να βρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το w γίνεται μέγιστο πρέπει να βρούμε τους μιγαδικούς που έχουν εικόνες το Ο και το Β. Ο μιγαδικός που έχει εικόνα το Ο είναι ο 0 0i ενώ για τον μιγαδικό που έχει εικόνα το Β πρέπει να λύσουμε το σύστημα: Κάνουμε τις απαραίτητες πράξεις: 4 y x 3 ( x 6) ( y 8) ( x 6) ( x 8) 00 x x 36 x x x x x x x x x x 9x 08x 6x 9x 0 5x 300x 0 5 x( x ) 0 x 0 ή x Για x 0 είναι y 0, ενώ για x είναι 4 y 6 3 Επομένως ο ένας είναι ο 0 0i και ο άλλος είναι ο 6i. 9 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

20 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Αν 5i και w 3i τότε να υπολογίσετε τις παρακάτω ποσότητες: A. w Β. w Γ. w Δ. w (Απ. Α. i, Β. 8i, Γ. 5 (3 5)i, Δ i ) 0 0. Να βρείτε το μέτρο των παρακάτω μιγαδικών αριθμών: Α. i Β. 3 Γ. 3 3i Δ. 4 i ( i)( 3 i) 5 (Απ. Α. 5, Β. 3, Γ. 3 3, Δ. 4 ) 6 0 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

21 3. Στις περιπτώσεις που ακολουθούν να κάνετε τις απαραίτητες πράξεις και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή x yi. Α. Β. i ( )( ) ( ) i i i i i 3i w 3i 3i (Απ. Α. 3 4i, Β. w i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς xy, για τους οποίους ισχύει: A. 3x y yi 9 7i B. i ( x 3) i 3x x 6 (Απ. Α. ( xy, ) ( 5,7), Β. x ) 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς xy, έτσι ώστε οι w, να είναι συζυγείς μιγαδικοί. (Απ. ( xy, ) (, ) ) x i y ( 3 ) 38 και w ( x y) ( i)( x y) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

22 6. Να γράψετε τον μιγαδικό που ακολουθεί στη μορφή x yi 3i 6 i i i (Απ. 7 7 i 3 3 ) 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: A. I i i i i i i I i i i i Β Γ. Δ. Ε. I3 ( i) i 7 I4 ( i) ( i) 5 I i i i i i (Απ. Α. I 0, Β. I i, Γ. I3 0, Δ. I4 0, Ε. I5 i) 8. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: A. Β. I ( i) ( i) I ( i) ( i) 3 3 (Απ. Α. 53 I, Β. I 4 ) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

23 9. Να βρείτε τον μιγαδικό για τον οποίο ισχύει ότι: (Απ. ) ( i) 3 i 0. Να βρείτε τον μιγαδικό για τον οποίο ισχύει ότι: (Απ. 3 i ή 3 i, ή ). Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: A. iw w 3i Β. w iw i (Απ. Α. 5 w3 i, Β. 4 3 w i). Να λύσετε το παρακάτω σύστημα: i w i w 4 i (Απ. 3 i, 7 w i) 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

24 3. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: Α. Β. 0 0 ( x yi) ( y xi) 0 ( i) ( i) Να αποδείξετε ότι Α. Re( ) Β. Im( ) i 5. Έστω ότι των xy., και x yi. Να εκφράσετε το w 3i w σαν συνάρτηση (Απ w x y x y 6x y 6y 9x 9y ) 6. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι ισχύει η παρακάτω ισότητα: Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών:. 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

25 7. Έστω ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει w5 w 3. Να αποδείξετε ότι θα ισχύει και w 8. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. Α. Β. Γ. Δ. Ε. i Πανελλαδικές Εξετάσεις 00 (Απ. Α. Σωστό, Β. Λάθος, Γ. Λάθος, Δ. Σωστό, Ε. Σωστό) 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

26 9. Αν 3 4i και 3i να κάνετε την αντιστοίχιση στον πίνακα που ακολουθεί. Πανελλαδικές Εξετάσεις 00 (Απ.. ζ,. γ, 3. α, 4. δ, 5. β) 0. Αν ισχύουν τα παρακάτω: i w, i * και i τότε: Α. να αποδειχθεί ότι ο w είναι φανταστικός αριθμός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός. Β. να αποδειχθεί ότι ισχύει w αν και μόνο αν ο είναι πραγματικός αριθμός. Υπόδειξη: Ισχύει από τη θεωρία ότι:. Αν τότε και αντίστροφα. Αν τότε και αντίστροφα 6 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

27 . Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με 3 3 Α. Δείξτε ότι: 9 Β. Δείξτε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός Γ. Δείξτε ότι: Πανελλαδικές Εξετάσεις 005. Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: ( 4) i h () i Αν x i και y h() i τότε Α. Να δείξετε ότι xy 3 4i Β. Να βρείτε το x αν είναι γνωστό ότι x y. Γ. Να λύσετε την εξίσωση h( ) i, όπου μιγαδικός με i (Απ. Β. x y i ή x y i, Γ. 3 i) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

28 3. Έστω ότι ισχύουν τα παρακάτω: x yi, 0 και w Να δείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων. (Απ. Η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=) 4. Nα παραστήσετε γραφικά το σύνολο των τιμών του μιγαδικού για τις οποίες ισχύει ότι: 3 3 (Απ. ( x 5) y 6, κύκλος με κέντρο (-5,0) και ακτίνα 4) 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w για τους οποίους ισχύει ότι: A. Β. Re( w ) 5Re( w) w Im( w ) 3Im( w) w (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο το (0,0) και ακτίνα ρ=, Β. Κύκλος με κέντρο το (0,0) και ακτίνα ρ= ) 8 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

29 6. Έστω ότι w x yi με y 0 και σταθερός πραγματικός αριθμός με 0. Να κάνετε τις αντιστοιχίσεις στον πίνακα που ακολουθεί. Σχέση που ικανοποιεί ο w Im( w) Γεωμετρικός τόπος του w y x Re( w) y x Re( w) Im( w) x Re( w) Im( w) y 7. Θεωρούμε τους μιγαδικούς w, και w τέτοιους ώστε w i και w i, *. Να δείξετε ότι, αν το μεταβάλλεται στο P του στο μιγαδικό επίπεδο, κινείται σε μια υπερβολή. Πανελλαδικές Εξετάσεις 994 * και ισχύει w w, τότε η εικόνα του (Απ. Η εικόνα του κινείται στην υπερβολή με εξίσωση: x y ) 9 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

30 8. Δίνεται ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: w x 3 (y ) i, όπου xy, Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ( xy, ) με w 3i 3 είναι κύκλος. (Απ. Κύκλος με κέντρο ( 7 4, ) και ακτίνα ρ= ) 9. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w, k με k w. Α. Αν ισχύει ότι w w () τότε να δείξετε ότι ο k είναι φανταστικός αριθμός. B. Αν ακόμα ισχύει ότι w i τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. Υπόδειξη: Α. Υψώστε στο τετράγωνο την () και κατόπιν χρησιμοποιήστε την ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών: (Απ. Β. Ευθεία με εξίσωση: y x). Αρκεί να δείξετε ότι: k k 30. Δίνεται η παρακάτω σχέση: ( i ) 5 h( ), i i Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στην περίπτωση που ο h () είναι πραγματικός. (Απ. Κύκλος με κέντρο 5 ( 3, ) και ακτίνα ) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

31 3. Έστω ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: i f ( ), 0 Α. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w f() 00 είναι φανταστικός. Β. Να βρείτε την εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του για την οποία ισχύει ότι f( ) (Απ. Β. Ευθεία με εξίσωση: y ) 3. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: Re( ) Im( ) 33. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: Re( ) Im( ) 34. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: i i Im( ) 0 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

32 35. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν τότε να βρείτε: ( i ) 6 και w( i) w (3 3 i) Α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. Γ. την ελάχιστη τιμή του w. Δ. την ελάχιστη τιμή του w. Πανελλαδικές Εξετάσεις 008 Υπόδειξη: Δ. Για να λύσετε το ερώτημα αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσετε την παρακάτω ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών: w w (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ=, Β. Ευθεία με εξίσωση: xy 4, Γ., Δ. ) 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

33 36. Έστω ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η παρακάτω σχέση: ( w i) 8( w i) 4 4 Α. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w βρίσκονται πάνω σε κύκλο. Β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Υπόδειξη: Ισχύει ότι: ( w i) 8( w i) ( w i) 8( w i) ( w i) 3( w i) ( w i) 3( w i)... (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο 5 3 (0, ) και ακτίνα, Β. w 4., w ). 37. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός i, με. i Α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. Β. Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο για 0 και για αντίστοιχα. i i Ι. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. ΙΙ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ( ) ( ) για κάθε φυσικό αριθμό ν. Πανελλαδικές Εξετάσεις 007 (Απ. Β. I. ) 33 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

34 38. Έστω ένας μιγαδικός αριθμός και f ( ) i, *. Να δείξετε ότι f (3) f (8) f (3) f (8) 0. Πανελλαδικές Εξετάσεις Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i και 3 4i Α. Αν x yi,, xy, να αποδείξετε ότι x και y. Β. Αν μια ρίζα της εξίσωσης x x 0, όπου, είναι η, να βρείτε τις τιμές των και. Γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίου ισχύει Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 00 (Απ. Β. 5,, Γ. Κύκλος με κέντρο (,-4) και ακτίνα ρ=5) 34 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

35 40. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i, και 3 i. Α. Να αποδείξετε ότι: Β. Αν για το μιγαδικό ισχύει τότε να αποδείξετε ότι: I. Re( ) Im( ).. 3 II. Για 0 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 007 (Απ. Β. ΙΙ. A 0 ) 4. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς ( ) i, όπου. Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. Β. Αν ισχύει να βρείτε το Re( ). Γ. Αν και Im( ) 0, να βρείτε το. Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 007 (Απ. Α. Ευθεία με εξίσωση: yx 4, B. Re( ) 4, Γ. ) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

36 4. Δίνεται η εξίσωση, όπου, είναι πραγματικοί αριθμοί 3 0 Α. Αν ο αριθμός i είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι 6, 6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης. Β. Να αποδείξετε ότι: Ι. ΙΙ Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 008 (Απ. Α. i) 43. Α. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί ( ) i,. I. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία yx II. Ποιοι από αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς έχουν ; Β. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύει να δείξετε ότι και ( i) ( i) Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 008 (Απ. Α. ΙΙ. i ή ) 36 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

37 44. Έστω μιγαδικός αριθμός, με i και w. Α. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός, τότε ο είναι πραγματικός ή. Β. Να λύσετε, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, την εξίσωση 3 3 Γ. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (Β), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: K ( ) 4 ( ) 3 i Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού (Απ. Β. i ή i, Γ. i K ) 7 37 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

38 45. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς x yi, όπου xy, πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους υπάρχει ώστε να ισχύει: Να αποδείξετε ότι: Α. αν Im( ) 0, τότε, i ( ) i i Β. αν 0, τότε 0, Γ. για τον πραγματικό αριθμό ισχύει: 0, Δ. οι εικόνες Μ των μιγαδικών αυτών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 004 (Απ. Δ. Κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ=) 38 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

39 46. Αν * με, να αποδείξετε ότι ισχύουν τα παρακάτω: Α. Β Υπόδειξη: Για να αποδείξετε το ζητούμενο να χρησιμοποιήσετε τον παρακάτω μετασχηματισμό: 0 ( )( ) Αν Μ και Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα και ισχύει 4 ότι τότε να αποδείξετε ότι: Όταν το Μ κινείται σε ένα κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα 4 τότε το Μ κινείται σε μια έλλειψη. (Απ. Έλλειψη με εξίσωση: x y ) Έστω ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού: w Υπόδειξη: Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα αν λύσετε την παραπάνω σχέση ως προς και χρησιμοποιήσετε το δεδομένο της άσκησης:. (Απ. Κύκλος με κέντρο (,0) και ακτίνα ρ=) 39 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

40 49. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί w, για τους οποίους ισχύει η παρακάτω σχέση: iw 6w i 3 Αν η εικόνα του ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ= τότε: A. να δείξετε ότι η εικόνα του w ανήκει σε ομόκεντρο κύκλο ακτίνας, Β. να υπολογίσετε το w. Υπόδειξη: Β. Ισχύει ότι: w w (Απ. Β. w ) 50. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: I. II (Απ. I. i ή 3i, II. ή ή i 3 ) 4 5. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύουν Να αποδείξετε ότι: ( i 3 ) και 40 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

41 5. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί 0, w τέτοιοι ώστε οι εικόνες των και w σχηματίζουν με την αρχή των αξόνων Ο, ορθογώνιο τρίγωνο στο Ο. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι οι διχοτόμοι των αξόνων χωρίς το σημείο τομής τους. Υπόδειξη: Ισχύει ότι: Υπενθύμιση: Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος έστω ( xy, ) y δίνεται από τον τύπο:. x 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

42 53. Να βρείτε τα,, αν ισχύει η παρακάτω σχέση: 8 8 i i i 5 (Απ., 0 ) 54. Έστω ότι x yi, με xy,. Να αποδείξετε ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: x y 55. Έστω η παρακάτω ισότητα: 3 8 x i y x ( x ) i με, xy, Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του x yi. (Απ. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το διάγραμμα της συνάρτησης: 3 y( x) x x x ) 56. Αρχικά να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης 3, όταν ισχύει ότι 4i και στη συνέχεια να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, όταν το 3 είναι ίσο με το μέγιστό του. Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα: (Απ. 3 6, Κύκλος με κέντρο το (3,0) και ακτίνα 6) 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

43 57. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς Να αποδείξετε ότι: A. ( t) ( t) 4 ( t) ( t) ( t), t it. Β. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών t () είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο (,0) και ακτίνα. 4 4 Γ. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών t () και σημεία του προηγούμενου κύκλου. 4 ( ), t * t είναι αντιδιαμετρικά Δ. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών (), ( 4) και (00) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. Υπόδειξη: Γ. Αρκεί να δείξετε ότι: 4 ( t) ( ) t Δ. Σύμφωνα με το ερώτημα Γ. τα (), ( 4) είναι αντιδιαμετρικά σημεία και επομένως οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών (), ( 4) και (00) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τις εικόνες των (), ( 4). Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

44 58. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης τότε να δείξετε ότι. Υπόδειξη: Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας και απαγωγή σε άτοπο (Αρχική υπόθεση: Έστω ). 59. Έστω ότι, είναι ρίζες της εξίσωσης Να αποδείξετε ότι ο w 4i 8i είναι φανταστικός αριθμός. 60. Έστω ο μιγαδικός ( i) i,. Α. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκει η εικόνα του. Β. Για ποια τιμή του, το γίνεται ελάχιστο; Γ. Υποθέτουμε ότι 0. Αν και I. Να αποδείξετε ότι 3. w 3 i τότε: II. Να βρείτε τις τιμές του θετικού ακέραιου αριθμού ν, ώστε Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 00 (Απ. Α. yx, Β. 0, Γ. ΙΙ. ν άρτιος) w. 44 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

45 6. Έστω ότι ισχύει η σχέση: i 6 0 με Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του για. (Απ. Κύκλος με κέντρο (,) και ακτίνα ρ=4) 6. Δίνεται ο παρακάτω μιγαδικός αριθμός: ln i( ), 0 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. (Απ. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το διάγραμμα της συνάρτησης: ln x y( x) x, x 0 ) x 63. Έστω ο μιγαδικός αριθμός με 0. Α. να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών, ισοπλεύρου τριγώνου. και i 3 είναι κορυφές Β. Στην περίπτωση που το εμβαδόν του ισοπλεύρου είναι ίσο με 3, τότε να υπολογίσετε το μέτρο του. (Απ. Β. ) 45 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

46 64. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 0 και μιγαδικών και w είναι κάθετες. w. Οι διανυσματικές ακτίνες των Α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του κινούνται σε δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Β. Να αποδείξετε ότι 4 0. Γ. Έστω ότι, επιπλέον ισχύει:. Ι. Να αποδείξετε ότι:. ΙΙ. Να αποδείξετε ότι: i 5 m i 0 5. ΙΙΙ. Να βρείτε το μέτρο του u για τον οποίο ισχύει: 3 4. u ( i) Υπόδειξη: Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια του Α. Ερωτήματος και πράξεις ( 4 ( x xi) ). (Απ. Α. Ο γεωμετρικός τόπος είναι οι ευθείες y=x, y=-x (εκτός από την αρχή των αξόνων) που προφανώς είναι κάθετες, Γ. ΙΙΙ. u ) 5 46 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

47 65. Δίνονται οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύουν: 3 3 5(7 ) (3 4 i)( 7) 0 και i 4 w ( ) 5 Α. Να αποδείξετε ότι. Β. Να βρείτε την απόσταση των εικόνων Α, Β των μιγαδικών και 5iw αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο. Υπόδειξη: Β. Πρόταση: Η απόσταση των εικόνων δύο μιγαδικών ισούται με το μέτρο της διαφοράς τους. (Απ. Β. 5iw 4) 66. Δίνεται ο μιγαδικός 5 i, με πραγματικό αριθμό. i Α. Να αποδειχθεί ότι όταν ο είναι φανταστικός, τότε ισχύει ότι 0 i. Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός των σημείων του επιπέδου που είναι οι εικόνες των μιγαδικών. Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί 3 w i. Δ. Για τους μιγαδικούς u, u, u 3 έχουμε u u u3 u με ( u), ( u), ( u3). Έστω ότι 3 w o είναι μια μη φανταστική λύση της εξίσωσης του Γ. ερωτήματος με w o u u u u i. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (Απ. Β. Κύκλος με κέντρο Κ(0,-) και ρ=3, Γ. w i, 3 w i) 47 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

48 67. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, w και w τέτοιους ώστε w i και * w i με. Α. Να δείξετε ότι, αν ο μεταβάλλεται στο εικόνα Ρ του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή. Β. Να βρεθεί το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού. * και ισχύει ότι w w, τότε η Γ. Αν οι μιγαδικοί και κινούνται σε διαφορετικούς κλάδους της υπερβολής τότε να βρεθεί το ελάχιστο του καθώς και οι και. (Απ. Α. y x, Β., Γ. min i, i, ) min 48 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

49 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Πράξεις στο σύνολο των μιγαδικών Πρόσθεση: ( i) ( i) ( ) ( ) i Πολλαπλασιασμός: ( i)( i) ( ) ( ) i Διαίρεση: i i i Δυνάμεις μιγαδικών αριθμών i i... Αν 4 0 τότε i i 0 Αν 4 τότε i i i Αν 4 τότε i i Αν 4 3 τότε 3 i i i 49 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

50 Ιδιότητες συζυγών Αν x yi και x yi τότε ισχύουν τα παρακάτω: x y x Re( ) yi Im( ) i Έστω ότι x yi, τότε:. Αν τότε και αντίστροφα. Αν τότε και αντίστροφα 50 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

51 Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Έστω 0 () στο μιγαδικό επίπεδο με,, και 0 Αρχικά υπολογίζουμε την διακρίνουσα: 4 Αν 0 τότε η () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες:, Αν 0 τότε η () έχει μια διπλή πραγματική ρίζα: i Αν 0 τότε η () έχει δύο ρίζες μιγαδικούς συζυγείς:, 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

52 Μέτρο μιγαδικών αριθμών Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M() η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Μέτρο του x yi ονομάζεται η απόσταση του M() από την αρχή (0,0) των αξόνων. ( ) x y 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

53 Ιδιότητες μέτρου μιγαδικών αριθμών Έστω ότι x yi, τότε:......, με ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

54 Εξίσωση κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο Έστω ο μιγαδικός αριθμός o xo yoi και ένας θετικός πραγματικός αριθμός ρ. Η εξίσωση o και ακτίνα ρ. o είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο την εικόνα ( x, y ) του o o 54 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

55 Εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,. Η εξίσωση είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με άκρα τα ( ) και ( ). 55 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

56 Εξίσωση έλλειψης στο μιγαδικό επίπεδο Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του μιγαδικού επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία (εστίες Ε, Ε) είναι σταθερό και ισούται με. Η αναλυτική εξίσωση της έλλειψης είναι: x y με και εστίες Ε (-,0) και Ε(,0) 56 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

57 Εξίσωση υπερβολής στο μιγαδικό επίπεδο Υπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του μιγαδικού επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία έχουν απολύτως σταθερή διαφορά. Τα σταθερά σημεία Ε και Ε λέγονται εστίες της υπερβολής. Η απόσταση των εστιών Ε και Ε λέγεται εστιακή απόσταση και συμβολίζεται γ, ενώ η σταθερή διαφορά συμβολίζεται α<γ. Ε Ε=γ και ΜΕ - ΜΕ =α Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες Ε (-γ,0) και Ε(γ,0) και σταθερή διαφορά α είναι: x y με Μ(x,y) Ε (-γ,0) Α Ο Α Ε(γ,0) 57 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

58 Απόσταση των εικόνων Α, Β δύο μιγαδικών και w Η απόσταση ( ) των εικόνων Α, Β δύο μιγαδικών και w είναι ίση με Προσοχή: H παράσταση την εικόνα του w, διότι: w ( w). w. w παριστάνει την απόσταση της εικόνας του από 58 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

59 Ισοσκελές και ισόπλευρο τρίγωνο στο μιγαδικό επίπεδο Το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές με κορυφή το A αν ισχύει: 3. Το τρίγωνο ABC θα ήταν ισόπλευρο αν επιπλέον: ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

60 Συνευθειακά σημεία στο μιγαδικό επίπεδο Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τρία διαφορετικά ανά δύο σημεία A, B, C εικόνες των μιγαδικών,, 3 αντιστοίχως να είναι συνευθειακά είναι: 3 Απόδειξη: Αρκεί να υπάρχει τέτοιος ώστε: C ( C) ( 3 ) 3 3 Αν το Β είναι το μέσο του AC με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι: ( ) 3 60 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

61 Καθετότητα διανυσματικών ακτίνων στο μιγαδικό επίπεδο Με προϋπόθεση ότι τα σημεία Ο, Α, Β είναι διαφορετικά ανά δύο ισχύει: w Απόδειξη: w w w ( w)( w) w w w w w w w w w Αντίστοιχα ισχύει ότι: C 3 6 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

62 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Μιγαδικοί Αριθμοί μεθοδολογία: Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γιώργος Α. Καρεκλίδης. Άλγεβρα ης Δέσμης: Κωνικές τομές Μιγαδικοί Πιθανότητες Κ. Γκατζούλης 3. Μιγαδικές Μεταβλητές, McGraw-Hill, New York, ΕΣΠΙ, Αθήνα Murray R. Spiegel 4. Μιγαδικοί αριθμοί + Εφαρμογές στην Γεωμετρία + μετασχηματισμοί Mobius Ρ. Μπόρης 5. Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης R. Churchill & J. Brown 6. Θεωρία Μιγαδικών Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής, Εκδόσεις Συμμετρία Στ. Νεγρεπόντη 7. Μαθηματικά Γ Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης Βασίλης Παπαδάκης 8. Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση, Εκδόσεις Συμμετρία Σ. Κ. Μερκουράκη & Τ. Ε. Χατζηαφράτη 9. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 6 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς Θέμα ο α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: 6 4 β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: i (Ιούλιος 00) Θέμα ο i

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, αποτελείται από αριθμούς της μορφής =α+βi,όπου α,βr Το στοιχείο i είναι τέτοιο ώστε : i = - Το σύνολο C είναι υπερσύνολο του R Οι πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z).

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z). εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις. ν α,β,γ,δ και ο OA, w a βi γ δi OB, των a βi, γ δi. α λυθεί η ανίσωση 0 πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης είναι φανταστικός, να δειχθεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (000-03) ΘΕΜΑ 000 α. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + + = 0, να αποδείξετε ότι 0-0 =0. β. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ - - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 Υλη: Μιγαδικοί Γ Λυκείου Ον/μο:.. 9-0-3 Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 0 Α. Να αποδείξετε ότι : «Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ ΣΥΝΤΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΥ Α( 1, y 1 ΑΠ ΤΗΝ ΑΡΧΗ (0, 0 των αξόνων: (A = + y 1 1 Αν έχουμε τον μιγαδικό αριθμό 1 = 1 + i y 1 με εικόνα στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

(2+ i)z (3 i)u= 5i (1+2i)z+(1+3i)u=7+8i

(2+ i)z (3 i)u= 5i (1+2i)z+(1+3i)u=7+8i Να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: 00 00 005 006 ( ( ( ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ + + + + (Απ:0 5ν+ 5ν+ 5ν+ 5ν+ + + + (Απ:0 Να γίνουν οι πράξεις: + (Απ:0 5 ( 5 ( ( + + + + +

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς

Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θ ω μ ά ς Μιγαδικοί αριθμοί Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Προαπαιτούμενες γνώσεις Θ ω μ ά ς Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Προαπαιτούμενες γνώσεις Βασικές TAYTOΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. Ε ι σ α γ ω γ ή Στο 3 ο θέμα των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις μιγαδικοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 και, μεταξύ άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ 1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα