2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ"

Transcript

1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του μέτρου ή φέρνουμε πρώτα το μιγαδικό στη μορφή α+β.

2 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΡΙΤΗΡΙΑ Ισχύουν οι ισοδυναμίες : I ή Αν C 5 I και ο μιγαδικός είναι φανταστικός, να βρείτε το Άσκηση σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Έστω ο μιγαδικός με 0. Να αποδείξετε ότι : ο μόνο αν ο είναι πραγματικός ή. είναι πραγματικός, αν και ή ή ή ή 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

3 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕ ΜΕΤΡΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΙΣΟΤΗΤΩΝ ΑΝΙΣΩΤΗΤΩΝ Α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να αποδείξω ισότητες ή ανισότητες οι οποίες περιέχουν μέτρα, τότε υψώνω και τα δυο μέλη στο τετράγωνο και με ισοδυναμίες και χρήση της ιδιότητας στο ζητούμενο. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Αν ισχύει, να βρείτε το Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,. Να αποδειχθεί ότι αν Ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα τότε : Re 0 0 Re Re 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,. Να αποδειχθεί ότι αν Re 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 5 τότε : Re 0 Re 0 7 Άσκηση σελ. 0 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Για δυο μιγαδικούς αριθμούς,, να αποδείξετε ότι. «Κανόνας παραλληλογράμμου» Ξεκινώ από το ο μέλος και θα καταλήξω στο ο. Γενικά : όταν διαπιστώσουμε ότι σε μια ισότητα έχουμε ή μπορεί να έχουμε άθροισμα τετραγώνων των μέτρων του αθροίσματος και της διαφοράς δυο μιγαδικών τότε εφαρμόζουμε τον «κανόνα του παραλληλογράμμου», καταλήγω αλλά

4 και αντίστροφα όταν έχουμε το άθροισμα των διπλασίων τετραγώνων των μέτρων δυο μιγαδικών. Ο παραπάνω τύπος όταν χρησιμοποιείται σε άσκηση πρέπει να αποδεικνύεται όπως δείξαμε παραπάνω. Γεωμετρικά ο «κανόνας του παραλληλογράμμου» σημαίνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του.,,, Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Αν μας δίνεται ισότητα της μορφής f g και ζητείται το h, τότε : ος Τρόπος θέτουμε h, λύνουμε ως προς και αντικαθιστούμε στην. Στη συνέχεια υψώνουμε και τα μέλη της στο τετράγωνο και καταλήγουμε στο h. ος Τρόπος υψώνουμε και τα μέλη της στο τετράγωνο, κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε σε μια ισότητα. Έπειτα υψώνουμε και την σχέση h στο τετράγωνο και καταλήγουμε στην ίδια ισότητα με παραπάνω. 8 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει 7. Να βρείτε το. ος Τρόπος Θέτω τότε : ος Τρόπος Επίσης επειδή δεν μπορώ να βρω απευθείας το, θα υπολογίσω το Έχω : 5 άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

5 Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει : 5 να αποδείξετε ότι. ος Τρόπος Θέτω τότε : αδύνατο ή ος Τρόπος Έχω : που ισχύει λόγω της. a Γ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Χρήση της ιδιότητας : και a Έστω C με, όπου α>0. Τότε : a a Η σχέση αυτή μας επιτρέπει να εκφράζουμε τον συζυγή ενός μιγαδικού ως συνάρτηση του. Η σχέση σε συνδυασμό με την, δίνει συχνά λύση σε ενδιαφέροντα θέματα. Πιο συγκεκριμένα αν μας δίνεται ότι 0 και ζητείται να δείξουμε ότι f,, g,,, τότε Όπου ν=,,. Ξεκινώ από το ο μέλος της ισότητας, εκμεταλλεύομαι ότι, κάνω αντικατάσταση και πράξεις και με διαδοχικές ισότητες καταλήγω στο ζητούμενο. Δηλ. oέ : f,, f,,... oέ 0 Άσκηση 0 σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ. Αν, να δείξετε ότι. Αν για τους μιγαδικούς,,..., ισχύει ότι... να αποδείξετε ότι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 5

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 6.. ομοίως και Έχω Αν C,, και, να αποδειχθεί ότι :. Ο αριθμός είναι πραγματικός,. ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 005. Θέλουμε να δείξουμε ότι ο είναι πραγματικός. Οπότε θα ξεκινήσουμε από το συζυγή του και με διαδοχικές ισότητες θα καταλήξουμε πάλι στον. Θα εμφανιστούν όμως,, ενώ εγώ στο τελικό αποτέλεσμα θέλω να έχω, οπότε θα πρέπει να εκφράζουμε τους συζυγείς, ως συνάρτηση των, Έχω ομοίως και Άρα άρα. Έχω 7

7 Δ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Χρήση της ιδιότητας :. Προσοχή το αντίστροφο δεν ισχύει Έστω οι μιγαδικοί που ικανοποιούν την ισότητα Να αποδείξετε ότι Αν, * N και, δυο μιγαδικοί, να αποδείξετε ότι I. 0 I, 0 Ε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : «ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ν - ΔΥΝΑΜΕΙΣ» * Να βρείτε το αν : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 7

8 ΣΤ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ α. απόδειξη ανισοτήτων με χρήση τριγωνικής ανισότητας β. παρεμβολή μέτρου μεταξύ δυο θετικών αριθμών 5 Να αποδειχθούν στο σύνολο των μιγαδικών οι παρακάτω συνεπαγωγές :.αν και 8, ν.δ.ο Στο εφαρμόζω τριγωνική ανισότητα και έχω : Το μέτρο γράφεται με προσθαφαίρεση όρων. Έτσι είναι 5 5 Λόγω της σχέσης η γίνεται ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΤΡΑ f,, 0 Για να λύσουμε εξισώσεις που περιέχουν όρους της μορφής γράφω 6 Να λυθεί η εξίσωση : ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 00 Η λόγω της γίνεται : 0 ή. Άρα και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 8,,, θέτω,, εκτελούμε τις πράξεις και καταλήγουμε σε ισότητα μιγαδικών. Τέλος λύνουμε το σύστημα των δυο εξισώσεων με, που προκύπτουν.

9 7 Να λυθεί η εξίσωση : και Η λόγω της γίνεται 6 6 πρέπει 0. Υψώνω και τα δυο μέλη της στο τετράγωνο και έχω : 6 6 απορρίπτεται ή δεκτή. Άρα 6 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 5Α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν μας δίνεται μια σχέση για ένα μιγαδικό και ζητείται να βρούμε το γεωμετρικό τόπο στον οποίο ανήκει η εικόνα του τότε θέτουμε =+ και καταλήγουμε σε εξίσωση γραμμής ευθεία, κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή 8 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του C, για τον οποίο ισχύει :. [ ] [ ] άρα η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ-, και ακτίνα ρ=. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

10 5Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΥΚΛΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α Η εξίσωση 0 με ρ>0 και 0 γνωστό μιγαδικό, παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα, 0 0 του 0, ακτίνα ρ και εξίσωση ή πιο απλά αν τότε η εξίσωση , 0 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα του 0, ακτίνα ρ αν 0 ο κινείται στο εσωτερικό του παραπάνω κύκλου, ενώ, αν τότε ο κινείται στο εξωτερικό του παραπάνω κύκλου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού αριθμού στις παρακάτω περιπτώσεις : η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο,, ακτίνα ρ= και εξίσωση η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 5,, ακτίνα ρ= και εξίσωση η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο,0, ακτίνα ρ=6 και εξίσωση 6. 0 η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 0,, ακτίνα ρ= και εξίσωση η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 0,0, ακτίνα ρ=5 και εξίσωση 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 0

11 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β Αν με α,β πραγματικοί αριθμοί τότε, άρα ο γεωμετρικός τόπος του είναι κύκλος με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ=. 0 Άσκηση 6 σελ. 0 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Αν, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ=. Έχω άρα δηλ. η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 0,0, ακτίνα ρ= μοναδιαίος κύκλος και εξίσωση ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ Η εξίσωση όπου, γνωστοί μιγαδικοί με και εικόνες Α, Β παριστάνει τη μεσοκάθετο του ΑΒ. Για να βρω την εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας είτε θέτω =+ στη δοσμένη σχέση, είτε βρίσκω τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ και στη συνέχεια τον συντελεστή διεύθυνσης της μεσοκαθέτου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού αριθμού για τον οποίο ισχύει : άρα η εικόνα του ανήκει στη μεσοκαθετο ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ όπου Α, και Β-,-. Για να βρω την εξίσωση της ε θέτω =+ και έχω : άρα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

12 ΕΛΛΕΙΨΗ Κάθε εξίσωση της μορφής, όπου α>0 και, σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί, με, παριστάνει έλλειψη με εστίες Ε, Ε τις εικόνες των, και μεγάλο άξονα α αφού αν,, τότε με. Αν τότε ο γ.τ. είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΕΕ Θυμήσου!!! Έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων, α, από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες Πρέπει: ΕΕ = γ<α. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Εγ,0, Ε -γ,0 τότε:, β =α -γ. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Ε0,γ, Ε 0,-γ τότε:, β =α -γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει : 8 και στη συνέχεια να γράψετε και την εξίσωση του. Έστω, η εικόνα του μιγαδικού και,0,,0 τότε η εξίσωση 8 γίνεται 8 και 8 άρα η εικόνα του ανήκει σε έλλειψη με εστίες,0,,0 και μεγάλο άξονα α=8. Για να βρω την εξίσωση της : γ= από την εστία, α= από το μεγάλο άξονα 6 άρα : 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

13 ΥΠΕΡΒΟΛΗ Κάθε εξίσωση της μορφής, όπου α>0 και, σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί, με, παριστάνει υπερβολή με εστίες τις εικόνες των, και απόσταση κορυφών α, αφού αν,, τότε με. Θυμήσου!!! Υπερβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τα οποία έχουν σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων, α, από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες, Πρέπει: ΕΕ = γ>α Αν Μ, αυτά τα σημεία και Εγ,0, Ε -γ,0 τότε:, β =γ -α. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Ε0,γ, Ε 0,-γ τότε:, β =γ -α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει : και στη συνέχεια να γράψετε και την εξίσωση του. Έστω, η εικόνα του μιγαδικού και 0,5, 0, 5 τότε η εξίσωση γίνεται 8 και άρα η εικόνα του ανήκει σε υπερβολή με εστίες 0,5, 0, 5 και απόσταση κορυφών α=8. Για να βρω την εξίσωση της : γ=5 από την εστία, α= από την απόσταση κορυφών 5 6 άρα : 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

14 5Γ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ =f ΓΝΩΡΙΖΩ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ Η ΕΙΚΟΝΑ ΤΟΥ ΚΑΙ ΨΑΧΝΩ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ Η ΕΙΚΟΝΑ ΤΟΥ Έστω ότι δίνονται οι μιγαδικοί, τέτοιοι ώστε =f. Αν μας δίνεται ότι η εικόνα του κινείται στη γραμμή C και μας ζητείται γραμμή C στην οποία κινείται η εικόνα του τότε Α Μετατρέπω τον σε σχέση με μέτρα, λύνω ως προς τη δοσμένη σχέση και αντικαθιστώ τη σχέση που έλυσα ως προς, στη σχέση με μέτρα που αφορά τον. Β Αν δεν είναι εύκολο να λύσω ως προς, τότε παίρνω μέτρα και στα μέλη και μετά θέτω =+ και εκτελώ τις πράξεις. Σ αυτή την περίπτωση θα είναι της μορφής, και η εικόνα του θα κινείται σε κύκλο με κέντρο Ο0,0 και θα ζητεί να δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του. Πάντως αυτού του είδους οι ασκήσεις λύνονται και με τη μέθοδο Α, αλλά με περισσότερες πράξεις Γ Αν δεν μπορώ να λύσω ως προς, ούτε αν πάρω μέτρα και στα μελή βγαίνει κάτι τότε : θέτουμε =α+β και =+, εκτελούμε τις πράξεις και βρίσκουμε : f, f a, g a, Σ g, Με τη βοήθεια της γραμμής C Απαλείφουμε από τις εξισώσεις Σ τα α,β και βρίσκουμε μια εξίσωση με μεταβλητές χ και. Αυτή είναι η εξίσωση της ζητούμενης γραμμής C. Επίσης αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν η εικόνα του που μου δίνεται, κινείται σε ευθεία οπότε και δεν με βοηθούν καθόλου οι μέθοδοι Α και Β Αν η εικόνα του κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ-,0 και ακτίνα ρ=5, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, όπου C. Είμαστε στην μέθοδο Α Αφού η εικόνα του κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ-,0 και ακτίνα ρ=5, τότε 5, έχω. Η λόγο της γίνεται : άρα η εικόνα του κινείται σε κύκλο με κέντρο Λ-,0 και ακτίνα 5. 5 Άσκηση 5 σελ.0 σχολικού βιβλίου Β ομάδας Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας ρ=, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού. Εδώ μπορούμε να δουλέψουμε όπως στην μέθοδο Α αλλά πολύ πιο εύκολα με τη μέθοδο Β Αφού η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας ρ= τότε ή αν θέσω =+ ισχύει: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 5 Έχω : άρα, άρα η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας ρ=. 6 Άσκηση σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Αν και είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως και, να αποδείξετε ότι : όταν το κινείται σε κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας, τότε το κινείται σε έλλειψη. Παρατηρώ ότι εδώ δεν μπορώ να εφαρμόσω τις μεθόδους Α ή Β οπότε ακολουθω τη μέθοδο Γ Έστω και θέτω αυτόν που ξέρω με και αυτόν που ψάχνω και έχω : κινείται σε κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας άρα ισχύει 6 επίσης : 6 : Όμως λόγο της : , άρα η εικόνα του κινείται σε έλλειψη με : α=5, β= και 5 Μεγάλος άξονας α=0 και εστίες Ε,0, Ε -,0.

16 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΜΕΓΙΣΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΥΚΛΟΣ ΕΥΘΕΙΑ Αν η εικόνα του μιγαδικού κινείται στην ευθεία : 0 τότε : Α Για να βρω το ελάχιστο μέτρο του : mn d, ma δεν υπάρχει Σχήμα 7 Άσκηση σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Λίγο πιο εμπλουτισμένη Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών.. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του Β Για να βρω το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο : Για να βρω το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, αρκεί να βρω τις συντεταγμένες του σημείου Μ σχήμα. Πιο συγκεκριμένα βρίσκω την εξίσωση της ευθείας ΟΜ και λύνω σύστημα με την εξίσωση της ευθείας ε. Η διαδικασία είναι η εξής : ον, άρα και η ΟΜ διέρχεται από το Ο0,0 άρα έχει εξίσωση : :. ον Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : :, αν η λύση του είναι το 0 ζεύγος, τότε ο ζητούμενος μιγαδικός είναι :.. Να βρείτε ποιο από τα σημεία Μ απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή Ο0,0.. Η εικόνα του ανήκει στη μεσοκαθετο ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ όπου Α-,0 και Β0,-. Για να βρω την εξίσωση της ε θέτω =+ και έχω : mn ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 6

17 άρα : Για να βρω το ελάχιστο μέτρο του : mn d, Για να βρω το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο :, άρα και η ΟΜ διέρχεται 8 από το Ο0,0 άρα έχει εξίσωση : :. 5 Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : : Άρα :, δηλ. mn. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 7

18 ΚΥΚΛΟΣ Αν η εικόνα του μιγαδικού κινείται σε κύκλο με κέντρο 0, και ακτίνα ρ με εξίσωση : C : 0 0 τότε : Α Για να βρω το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο του : 0 mn Σχήμα ma 0 0 ή 0 0 Β Για να βρω τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο : Για να βρω τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο, αρκεί να βρω τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β σχήμα. Πιο συγκεκριμένα βρίσκω την εξίσωση της ευθείας ΟΚ και λύνω σύστημα με την εξίσωση του κύκλου C. Η διαδικασία είναι η εξής : ον 0 0 0, η OK διέρχεται από την αρχή των αξόνων άρα : :. 0 0 ον Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : : ον Από το Σ και το σχήμα προκύπτουν οι mn και ma 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους Ισχύει :. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος C των εικόνων των μιγαδικών αριθμών καθώς και η καρτεσιανή εξίσωση του.. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να βρεθούν αυτοί που έχουν το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο.. Έχω η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 0,, ακτίνα ρ= και. εξίσωση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 8

19 Για να βρω το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο του : mn ma 5 ή 5. Για να βρω τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο : 0.., άρα η OK είναι κατακόρυφη δηλ. της μορφής και επειδή η ΟΚ διέρχεται από την αρχή των αξόνων άρα : : Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : : ή 5 Από το Σ και το σχήμα προκύπτει Α0,- άρα mn και Β0,-5 άρα ma 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

20 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΜΕΓΙΣΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΣΗΜΕΙΟ Αν η εικόνα του ανήκει στην ευθεία ε και ο είναι σταθερό σημείο τότε : mn d, ma Δεν υπάρχει ΚΥΚΛΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Αν η εικόνα του ανήκει σε κύκλο C και ο είναι σταθερό σημείο τότε : mn ma ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 0

21 ΕΥΘΕΙΑ ΚΥΚΛΟΣ Αν η εικόνα του ανήκει στην ευθεία ε και ο κινείται σε κύκλο C τότε : mn d, ma Δεν υπάρχει Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και ισχύουν 6 και τότε να βρείτε :. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. την ελάχιστη τιμή του. την ελάχιστη τιμή του ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 008. ος τρόπος: Έχω : άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι κύκλος με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ=. ος τρόπος: τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι κύκλος κέντρου 0,0, άρα ο γεωμετρικός O και ακτίνας. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. Έχω : άρα ο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι η μεσοκαθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ όπου Α,- και Β,-. Για να βρω την εξίσωση της ε θέτω =+ και έχω : άρα 0 :.. 0 0, mn O d δες σχήμα παρακάτω., mn d ΔΥΟ ΚΥΚΛΟΙ Aν ο ανήκει σε κύκλο C και ο σε κύκλο C mn ma

23 ΣΤΟΝ ΙΔΙΟ ΚΥΚΛΟ Αν η εικόνα του και η εικόνα του ανήκουν στον ίδιο κύκλο τότε: ma δηλ. η εικόνες των, είναι αντιδιαμετρικά σημεία mn 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8: ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ όπου Α η εικόνα του και Β η εικόνα του Το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές, και είναι. Ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ, αν και μόνο αν. Ισόπλευρο με ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ, αν και μόνο αν. Ορθογώνιο με ˆ 0, αν και μόνο αν 0 Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Για να δείξω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές αρκεί να δείξω ότι ΑΒ=ΑΓ ή ΑΒ=ΒΓ ή ΑΓ=ΒΓ. Έχω : Άρα ΑΓ=ΒΓ οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Επίσης για να δείξω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο θα δείξω ότι ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

24 που ισχύει. Άρα ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα και άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Τελικά το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Άσκηση 7 σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Αν για το μιγαδικό ισχύει, να βρείτε την τιμή της παράστασης Έχω : Άρα. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα.. Έστω Α, B-,0 και Γ,0 τότε παρατηρώ ότι 0 0 άρα οπότε :. Δηλ. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α αφού ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αυτό ήταν αναμενόμενο αφού το Α είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου, και τα Β,Γ είναι αντιδιαμετρικα σημεία του, άρα η γωνία Α βαίνει σε ημικύκλιο άρα είναι ορθή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

25 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. β. γ. δ. ε. _ στ. Αν ένας μιγαδικός αριθμός και ο συζυγής του, τότε ισχύει. ζ. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δυο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. η. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους. θ. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών άξονα. ι. Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει., είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον κ. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: λ. Όταν η διακινούσα Δ της εξίσωσης α +β+γ=0 με α,β,γ IR και α 0 είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών. μ. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+β=0 α=0 ή β=0 ν. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει:. ξ. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει ΘΕΜΑ 00 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί =α+β, όπου α,βir και = _ +, όπου _ είναι ο συζυγής του. α. Να αποδείξετε ότι Re=α β+ και Ιm=β α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση =, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση =. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση =, έχει το ελάχιστο μέτρο. ΘΕΜΑ 005 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ α. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει + =+ και - = 5+5, να βρείτε τους,. β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, ισχύουν και : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 5

26 . να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί, έτσι, ώστε = και. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. ΘΕΜΑ 005 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α. Να αποδείξετε ότι και. και β. Να αποδείξετε ότι 0 γ. Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό Im=- ΘΕΜΑ 006 k k Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 0 α. Να αποδείξετε ότι:.., k,. και Re, με.να αποδείξετε ότι και β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,, στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. ΘΕΜΑ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α ε IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ =. b. Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο για α = 0 και α = αντίστοιχα.. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και.. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: για κάθε φυσικό αριθμό ν. ΘΕΜΑ Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και ισχύουν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 6

27 6 και τότε να βρείτε: α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. γ. την ελάχιστη τιμή του δ. την ελάχιστη τιμή του ΘΕΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης +β+γ=0, όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί. α. Να αποδείξετε ότι β= και γ=. β. Να αποδείξετε ότι γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού, για τον οποίο ισχύει: ΘΕΜΑ 8 00 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =λ++λ, λr Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λ R β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός 0 =- έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση όπου 0 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα. 0 ΘΕΜΑ Για κάθε, u, C και α>0 να δειχθεί ότι ισχύουν :. a u u a. u u u ΘΕΜΑ 0 Για κάθε C να δειχθεί ότι ισχύει : 5 ΘΕΜΑ Δίνεται ο μιγαδικός και έστω f f,. α Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού β Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 00 γ Να αποδείξετε ότι f. f f είναι πραγματικός. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 7

28 δ Αν και Μ είναι η εικόνα του f στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΘΕΜΑ Θεωρούμε τους μιγαδικούς, και, για τους οποίους ισχύουν : και * * a όπου a. Να αποδείξετε ότι αν το α μεταβάλετε στο και ισχύει :, a τότε η εικόνα του ανήκει σε υπερβολή. ΘΕΜΑ 7 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός με Re 0 και η συνάρτηση : f. Να αποδείξετε ότι : f f.. Έστω =α+β με,,, και 0<α<β. Αν ο f είναι φανταστικός τότε : a. Να γράψετε τον f στη μορφή κ+λ με, b. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ, ανήκει σε έλλειψη. ΘΕΜΑ 5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =+, με,, για τους οποίους υπάρχει ώστε να ισχύει : a a. Να αποδείξετε ότι :. Αν Im=0, τότε α=,. Αν α=0, τότε 0,. Για το πραγματικό αριθμό α ισχύει 0 a,. Οι εικόνες Μ των μιγαδικών αυτών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίο να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ΘΕΜΑ 5 Δίνονται οι μιγαδικοί, και. Με εικόνες τα σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Ορθογώνιο και Ισοσκελές.. Να αποδείξετε ότι η σχέση είναι η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓ. ΘΕΜΑ 6 Δίνεται η συνάρτηση f με.. Αν f, να βρείτε τη γραμμή στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών.. Αν f, να αποδείξετε ότι Im και αντίστροφα. ΘΕΜΑ 7 Έστω μιγαδικός και η εικόνα του κινείται στο μοναδιαίο κύκλο. Αν. Να αποδείξετε ότι ο ανήκει στον ίδιο κύκλο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 8

29 . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. ΘΕΜΑ 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει : και. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος C των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και καθώς και οι καρτεσιανές εξισώσεις τους.. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του και του. Να βρείτε τους μιγαδικούς για τους οποίους το και ελάχιστο. γίνεται μέγιστο ΘΕΜΑ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : 0 και 6. Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών τους. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο του καθώς και τους αντιστοίχους μιγαδικούς.. Αν, δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν την να βρείτε τη μέγιστη τιμή. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς W που έχουν το ελάχιστο μέτρο.. Έστω, δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν την. Να βρεθεί το mn. ΘΕΜΑ 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : ρίζα. δεν έχει πραγματική ΘΕΜΑ Αν, με, C και, 0, να αποδειχθεί ότι αν ισχύει : τότε: 0. ΘΕΜΑ Αν, δυο μιγαδικοί οι οποίοι ανήκουν στον ίδιο κύκλο με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 00 είναι πραγματικός. ΘΕΜΑ Αν, * N και, δυο μιγαδικοί, να αποδείξετε ότι I ΘΕΜΑ Αν, N, ν>, να δείξετε ότι ο είναι φανταστός.. ΘΕΜΑ 5 5 Να αποδείξετε ότι αν τότε Re 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

30 ΘΕΜΑ 6 00 Να αποδείξετε ότι αν τότε Re ΘΕΜΑ 7 00 Αν μιγαδικός με και Im 0. να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των.. Αν ο κινείτε στον παραπάνω γ.τ. ν.δ.ο ο τμήμα στον. κινείται σε ευθύγραμμο ΘΕΜΑ 8 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και ισχύουν και τότε να βρείτε: α. να αποδείξετε ότι : β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. γ. την ελάχιστη τιμή του δ. την ελάχιστη τιμή του ΘΕΜΑ 00 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός. Να δείξετε ότι :,,. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.. Να δείξετε ότι : ΘΕΜΑ 0 00 Δίνεται η εξίσωση, όπου C με 0.. Να βρείτε τις ρίζες, της εξίσωσης Να αποδείξετε ότι : 0.. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει : τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο.. Για τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος να δείξετε ότι : 7. ΘΕΜΑ 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ Έστω ο μιγαδικός αριθμός με, R.. Αν ισχύει ότι, τότε να βρείτε τον μιγαδικό.. Αν =+, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει ότι :.. Αν =+ και 00 u, τότε να αποδείξετε ότι : u. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 0

31 ΘΕΜΑ 00 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν : και 5. Να βρείτε τους μιγαδικούς,. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει η σχέση : να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με εξίσωση. Από τους μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος, να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει : Re Im 0. Αν, είναι δυο από τους μιγαδικούς του ερωτήματος με την ιδιότητα, να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 00 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει :. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση.. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο.. Έστω και οι μιγαδικοί που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να αποδείξετε ότι : 8. ΘΕΜΑ 0 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, με, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις : και. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι. Να αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός και ότι. Να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 5 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,, οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις : Im και. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η παραβολή:. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλος κέντρου Κ0, και ακτίνας. Να βρείτε τα σημεία Α,Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, με =.. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, και στη συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Α,Λ,Β να είναι τετράγωνο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

32 ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει, καθώς και ο.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. Να εξετάσετε αν υπάρχουν μιγαδικοί για τους οποίους να ισχύει =. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ,0 και ακτίνα ρ=. ΘΕΜΑ 7 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση. Να βρείτε το f 7 f Re.. Αν η εικόνα του f βρίσκεται στη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι 0. Αν ισχύει Re f Re, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών.. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του, να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. ΘΕΜΑ 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : 8 και 5. Να βρείτε :. Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του και του. Τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του. Τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του ΘΕΜΑ 007 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και, όπου, με 0. Δίνεται επίσης ότι.. Να αποδείξετε ότι.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο.. Αν ο αριθμός είναι φανταστικός και 0, να υπολογίσετε τον και να 0 0 αποδείξετε ότι : 0. ΘΕΜΑ 0 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : και 5.. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ=.. Αν, είναι δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει, να βρείτε το. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

33 . Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του.. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να αποδείξετε ότι. ΘΕΜΑ 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, με, για τους οποίους ο αριθμός είναι φανταστικός. Να αποδείξετε ότι :.. Ο αριθμός είναι πραγματικός.., όπου, δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς.. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει : u u, 0, ανήκουν στην υπερβολή. ΘΕΜΑ 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει ότι :.. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών, είναι κύκλος με κέντρο Κ,0 και ακτίνα ρ=. Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι.. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης 0, με μιγαδικό αριθμό,,, και Im Im τότε να αποδείξετε ότι και 5.. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς 0,, οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β. Αν ο μιγαδικός αριθμός ν ικανοποιεί τη σχέση 0 τότε να αποδείξετε ότι : 0. Για τους μιγαδικούς αριθμούς, και εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών Εσπερινά 0 0 u να βρεθεί το, u, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

34 ΣΥΝΟΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ Φανταστική μονάδα, Πραγματικό και φανταστικό μέρος του μιγαδικού Ισότητα δύο μιγαδικών, Re Re, Im, Im - και Πράξεις μεταξύ μιγαδικών Συζυγής μιγαδικού,,, Ιδιότητες συζυγούς, Δυνάμεις του όπου, N αν 0 αν αν - αν, ακέραιοι και 0, 0 Μέτρο μιγαδικού αριθμού Ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού,, 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, αποτελείται από αριθμούς της μορφής =α+βi,όπου α,βr Το στοιχείο i είναι τέτοιο ώστε : i = - Το σύνολο C είναι υπερσύνολο του R Οι πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ - - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς

Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θ ω μ ά ς Μιγαδικοί αριθμοί Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Προαπαιτούμενες γνώσεις Θ ω μ ά ς Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Προαπαιτούμενες γνώσεις Βασικές TAYTOΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα