Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα. Πρόλογος 3"

Transcript

1

2 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία της. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το μάθημα αυτό καλείται να βοηθήσει πολλούς κλάδους επιστημών, ώστε να γίνουν περισσότερο κατανοητοί, και ευκολότερα διαχειρίσιμοι. Σε σχετικά σύντομο χρονικό διάστημα η Γραμμική Άλγεβρα έγινε όχι μόνον απαραίτητη, αλλά και χρήσιμη, και πάνω από όλα εφαρμόσιμη. Όλο και περισσότεροι, από διάφορες επιστήμες όπως Φυσική, Μηχανική, Στατιστική, Πληροφορική, Οικονομικά, αλλά και Βιολογία, χρησιμοποιούν τεχνικές και μεθόδους από τη Γραμμική Άλγεβρα για να επιλύσουν προβλήματα που τους απασχολούν. Οι ανάγκες όμως της κάθε επιστήμης δεν είναι ίδιες. Άλλες φορές, όπως για παράδειγμα σε ένα Τμήμα Μαθηματικών, είναι απαραίτητη μια αυστηρά μαθηματική προσέγγιση, και άλλες φορές χρειάζεται μια περισσότερο απλή προσέγγιση, χωρίς όμως να χάνεται ο στόχος της Γραμμικής Άλγεβρας. Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κυρίως στους φοιτητές του Τμήματος Πληροφορικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, και περιέχει τη διδακτέα ύλη του εξαμηνιαίου μαθήματος «Γραμμική Άλγεβρα». Έγινε προσπάθεια ώστε η παρουσίαση να είναι απλή και κατανοητή, κυρίως μέσα από παραδείγματα, και λιγότερο μέσα από αποδείξεις θεωρημάτων. Αυτό δεν σημαίνει ότι οι αποδείξεις απουσιάζουν. Υπάρχουν για όλα τα θεωρήματα και καλούν τον κάθε ενδιαφερόμενο για μια περισσότερο αυστηρή μελέτη. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να αναφέρουμε ότι οι πολλές αποδείξεις εισάγουν ταυτόχρονα και μια μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων, γεγονός που τις κάνει απαραίτητες. Έτσι, η παρουσίασή τους είναι κατά το δυνατόν απλή, ώστε να γίνεται ευκολότερα κατανοητή. Το βιβλίο «Γραμμική Άλγεβρα» περιέχει επτά κεφάλαια. Στο πρώτο εισάγεται η

3 4 Πρόλογος έννοια του πίνακα, μια θεμελιώδης έννοια για πολλούς κλάδους, μέσα από την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζεται η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα, και ολοκληρώνεται η μελέτη των γραμμικών συστημάτων. Παράλληλα, ορίζεται ο αντιστρέψιμος πίνακας, και αναπτύσσονται μέθοδοι εύρεσης του αντίστροφου ενός τέτοιου πίνακα. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνεται για πρώτη φορά η έννοια του διανυσματικού χώρου, και μελετώνται απλές ιδιότητες που τους αφορούν. Οι διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο εισάγονται στο επόμενο κεφάλαιο, ενώ στο πέμπτο κεφάλαιο αντιμετωπίζεται το πρόβλημα της αλλαγής βάσης σε ένα διανυσματικό χώρο. Στα δύο τελευταία κεφάλαια, όπου χρησιμοποιούνται όλα όσα προαναφέρονται, μελετώνται οι γραμμικοί μετασχηματισμοί, σε συνδυασμό με τους πίνακες. Έτσι, αντιμετωπίζεται εύκολα, και σχεδόν με φυσικό τρόπο, το πρόβλημα της διαγωνιοποίησης ενός πίνακα. H θεωρία εμπλουτίζεται με πολλά παραδείγματα, τα οποία αποσκοπούν στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας. Κάθε παράγραφος συνοδεύεται από ασκήσεις, πολλές από τις οποίες είναι απλή εφαρμογή της θεωρίας, ενώ άλλες την επεκτείνουν. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων, οι οποίες στηρίζονται σε όλα τα θέματα που αναπτύσσονται στη θεωρία. Για κάθε μια από αυτές δίνεται αναλυτική υπόδειξη. Θεσσαλονίκη Δεκέμβριος 2003 Ευάγγελος Ψωμόπουλος

4 Περιεχόμενα Πρόλογος 3 1 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Ασκήσεις Μέθοδος απαλοιφής Gauss Ασκήσεις Πράξεις πινάκων Ασκήσεις Ο αντίστροφος πίνακας Ασκήσεις Ορίζουσες Ορισμός ορίζουσας Ιδιότητες οριζουσών Ασκήσεις Ο αντίστροφος πίνακας Συστήματα Cramer Ασκήσεις Διανυσματικοί χώροι Ορισμοί και απλές ιδιότητες Ασκήσεις Διανυσματικοί υποχώροι Ασκήσεις Διανυσματικοί χώροι παραγόμενοι από σύνολα

5 6 Περιεχόμενα 3.6 Βαθμίδα διανυσμάτων και πίνακα Ασκήσεις Διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Ασκήσεις Αλλαγή βάσης Ο πίνακας μετάβασης Ασκήσεις Ορθογώνιοι πίνακες Ασκήσεις Γραμμικές συναρτήσεις Οι πρώτοι ορισμοί Ασκήσεις Πίνακας μετασχηματισμού Ασκήσεις Χαρακτηριστικά στοιχεία πίνακα Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πίνακα Ασκήσεις Συμμετρικοί πίνακες Ασκήσεις Γενικές Ασκήσεις 265 Βιβλιογραφία 333

6 Κεφάλαιο 1 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες Οι πίνακες είναι μια χρήσιμη μαθηματική οντότητα, η οποία εμφανίζεται πολύ συχνά, και όχι μόνο σε μαθήματα Γραμμικής Άλγεβρας. Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια πρώτη επαφή με την έννοια αυτή, χρησιμοποιώντας τα γραμμικά συστήματα. 1.1 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Είναι γνωστό ότι μια ευθεία του επιπέδου μπορεί να παρασταθεί αλγεβρικά με τη μορφή a 1 x + a 2 y = b. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται γραμμική ως προς τις μεταβλητές x και y. Γενικότερα, μια εξίσωση λέγεται γραμμική ως προς τις μεταβλητές x 1, x 2,, x n, όταν είναι της μορφής a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, 1.1 όπου a 1, a 2,, a n είναι οι συντελεστές, και b ο σταθερός όρος της εξίσωσης. Συνήθως οι a 1, a 2,, a n, b είναι πραγματικοί αριθμοί, χωρίς να απαγορεύται να είναι ακέραιοι, ρητοί, μιγαδικοί, ή κάτι άλλο. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις x = 4y + 7, x 3y + 6z = 9, και x 1 + x x 3 + x 4 = 10, είναι γραμμικές, ενώ οι εξισώσεις x 2 = 4y + 7, x 3 y + 6z = 9, και x 1 + x 2 x x 3 + x 4 = 10, δεν είναι γραμμικές.

7 8 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες Λύση της γραμμικής εξίσωσης 1.1 λέγεται μια ακολουθία n αριθμών t 1, t 2,..., t n, έτσι ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση, δηλαδή να ισχύει a 1 t 1 + a 2 t a n t n = b. Ένας πεπερασμένος αριθμός γραμμικών εξισώσεων λέγεται σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή γραμμικό σύστημα. Για παράδειγμα, ένα γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n μεταβλητές θα έχει τη μορφή a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Λύση του συστήματος 1.2 λέγεται μια ακολουθία n αριθμών t 1, t 2,..., t n, η οποία ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις του συστήματος. Δεν είναι βέβαιο ότι ένα γραμμικό σύστημα έχει λύση. Για παράδειγμα, το σύστημα x 3y = 6 2x 6y = 8 δεν έχει λύση, διότι η δεύτερη εξίσωση μπορεί να γραφεί στη μορφή x 3y = 4, και προφανώς έρχεται σε αντίθεση με την πρώτη εξίσωση του συστήματος. Μπορούμε να έχουμε μια εποπτική εικόνα της λύσης ενός γραμμικού συστήματος, αν χρησιμοποιήσουμε σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Όπως γνωρίζουμε μια εξίσωση της μορφής ax + by = c παριστά μια ευθεία στο επίπεδο. Έτσι, το σύστημα a 1 x + a 2 y = a 3 b 1 x + b 2 y = b 3 είναι ουσιαστικά δύο ευθείες στο επίπεδο. Οι ευθείες αυτές μπορεί να τέμνονται, οπότε το σημείο τομής είναι η μοναδική λύση του συστήματος, μπορεί να είναι παράλληλες, οπότε το σύστημα δεν έχει λύση, ή μπορεί να ταυτίζονται, οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

8 1.1 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 9 y 1 0 y 1 0 y x x x Γεωμετρική ερμηνεία επίλυσης γραμμικού συστήματος. Όπως αναφέραμε ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να μην έχει λύση, οπότε το λέμε ασύμβατο. Ένα συμβατό γραμμικό σύστημα μπορεί να έχει περισσότερες από μία λύσεις, όπως στην περίπτωση δύο ευθειών που ταυτίζονται. Αν στο σύστημα 1.2 θεωρήσουμε μόνον τους συντελεστές, και αγνοήσουμε τους αγνώστους, θα πάρουμε τον πίνακα a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n..., a m1 a m2 a mn ο οποίος λέγεται πίνακας του συστήματος. Παρατηρούμε ότι ο πίνακας αυτός έχει m γραμμές, όσες και οι εξισώσεις του συστήματος, και n στήλες, όσοι και οι άγνωστοι του συστήματος. Αν συμπεριλάβουμε και τους σταθερούς όρους του συστήματος, τότε θα έχουμε τον πίνακα a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2...., a m1 a m2 a mn b m ο οποίος λέγεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος 1.2. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε το σύστημα x 1 + 2x 2 x 4 = 0 2x 2 3x 3 x 4 = 12 2x 1 x 2 + 3x 3 + x 4 = 2

9 10 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες τότε ο πίνακας του συστήματος θα είναι ενώ ο επαυξημένος πίνακας θα είναι , Φυσικά, το ζητούμενο είναι να βρούμε τη λύση του συστήματος που μας ενδιαφέρει. Η πλέον γνωστή μέθοδος επίλυσης του γραμμικού συστήματος 1.2 είναι η αντικατάστασή του με ένα άλλο γραμμικό σύστημα, το οποίο έχει τις ίδιες λύσεις με το αρχικό, αλλά μπορεί να επιλυθεί ευκολότερα. Το νέο αυτό σύστημα προκύπτει από το αρχικό με κάποιες από τις παρακάτω πράξεις.. 1. Πολλαπλασιασμός μιας εξίσωσης με ένα μη μηδενικό αριθμό. 2. Εναλλαγή δύο εξισώσεων. 3. Πρόσθεση σε μια εξίσωση του πολλαπλασίου μιας άλλης εξίσωσης. Οι πράξεις αυτές είναι γνωστές σαν στοιχειώδεις πράξεις, και είναι προφανές ότι δεν μεταβάλλουν τις λύσεις του γραμμικού συστήματος 1.2. Ανάλογες πράξεις μπορούν να γίνουν στις γραμμές του επαυξημένου πίνακα του συστήματος, εφόσον κάθε γραμμή του πίνακα αυτού παριστά ουσιαστικά μια εξίσωση του συστήματος. Έτσι, οι στοιχειώδεις πράξεις στους πίνακες είναι: 1. Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής του πίνακα με ένα μη μηδενικό αριθμό. 2. Εναλλαγή δύο γραμμών του πίνακα. 3. Πρόσθεση σε μια γραμμή του πίνακα του πολλαπλασίου μιας άλλης γραμμής. Χρησιμοποιώντας τις πράξεις αυτές, μπορούμε να μετασχηματίσουμε ένα γραμμικό σύστημα σε ένα άλλο ισοδύναμο με αυτό. Δηλαδή, σε ένα άλλο γραμμικό σύστημα που έχει τις ίδιες λύσεις με το αρχικό. Στο παράδειγμα που ακολουθεί φαίνεται η όλη διαδικασία μετασχηματισμού του συστήματος, και ταυτόχρονα φαίνεται η αντίστοιχη αλλαγή του επαυξημένου πίνακα του συστήματος.

10 1.1 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 11 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα του οποίου ο επαυξημένος πίνακας είναι x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 x 2 x 3 = Στη συνέχεια εκτελούμε στοιχειώδεις πράξεις. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί 1 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στη δεύτερη εξίσωση x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 2 + 2x 3 = 4 2x 1 x 2 x 3 = 1 Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί 2 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη εξίσωση x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 2 + 2x 3 = 4 5x 2 3x 3 = 7 Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση επί 5 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη εξίσωση x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 2 + 2x 3 = 4 13x 3 = 13. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή του πίνακα επί 1 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή του πίνακα επί 2 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη γραμμή Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή του πίνακα επί 5 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη γραμμή Το σύστημα στο οποίο καταλήξαμε είναι ισοδύμανο με το αρχικό, αλλά είναι ευκολότερο να επιλυθεί. Από την τρίτη εξίσωση προκύπτει x 3 = 1, οπότε με αντι-

11 12 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες κατάσταση της τιμής αυτής στη δεύτερη εξίσωση θα πάρουμε x 2 = 2. Τέλος, από την πρώτη εξίσωση, γνωρίζοντας τις τιμές των x 3 και x 2, μπορούμε να βρούμε την τιμή του x 1, οπότε θα είναι x 1 = 1. Μπορεί εύκολα να επαληθευθεί ότι οι τιμές x 1 = 1, x 2 = 2 και x 3 = 1, αποτελούν τη λύση του αρχικού συστήματος. Η γεωμετρική ερμηνεία της λύσης του συστήματος αυτού είναι ότι τα τρία επίπεδα που παριστούν οι 3 διαφορετικές εξισώσεις του, διέρχονται ή τέμνονται στο σημείο 1, 2, 1. Στο προηγούμενο παράδειγμα, καταλήξαμε στο σύστημα x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 2 + 2x 3 = 4 13x 3 = 13 από το οποίο πήραμε τη λύση του αρχικού συστήματος. Όμως, το σύστημα αυτό μπορεί να γίνει απλούστερο, ακολουθώντας μια ανάλογη διαδικασία. Για παράδειγμα, πολλαπλασιάζουμε την τρίτη εξίσωση επί 1 13, οπότε θα έχουμε x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 2 + 2x 3 = 4 x 3 = 1 Πολλαπλασιάζουμε την τρίτη εξίσωση επί 2 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στη δεύτερη εξίσωση, οπότε προκύπτει x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 2 = 2 x 3 = 1 Πολλαπλασιάζουμε την τρίτη εξίσωση επί 1 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην πρώτη εξίσωση, για να πάρουμε x 1 + 2x 2 = 5 x 2 = 2 x 3 = 1

12 1.2 Ασκήσεις 13 Τέλος, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση επί 2 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην πρώτη, οπότε καταλήγουμε στο σύστημα x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 1 δηλαδή, ουσιαστικά στη λύση του συστήματος. Εκτελώντας τις αντίστοιχες πράξεις στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος , θα δούμε ότι ο τελικός επαυξημένος πίνακας θα γίνει , ή, αν πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη γραμμή επί 1, Ασκήσεις Ά σ κ η σ η Να επιλυθούν τα παρακάτω γραμμικά συστήματα. x 1 2x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 x 3 = 0 i x 1 + x 2 x 3 = 2 ii 2x 1 2x 2 + x 3 = 3 2x 1 x 2 + x 3 = 1 3x 1 4x 2 + 2x 3 = 4 Ά σ κ η σ η Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος x 1 3x 2 + x 3 x 4 = 1 2x 1 9x 2 x 3 + x 4 = 1 x 1 2x 2 3x 3 + 4x 4 = 5 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2

13 14 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες Ά σ κ η σ η Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση του επιπέδου στο χώρο R 3 είναι της μορφής ax + by + cz = d, να βρεθεί το επίπεδο που ορίζουν τα σημεία P 1 1, 1, 0, P 2 1, 2, 1 και P 3 2, 1, 5. Ά σ κ η σ η Να βρεθεί η λύση του συστήματος 1 x + 1 y 1 z = 0 2 x 2 y + 1 z = 3 3 x 4 y + 2 z = 4 Ά σ κ η σ η Σε μια εκλογή υπήρχαν δύο υποψήφιοι που έλαβαν ο πρώτος 52% και ο δεύτερος 48% των ψήφων. Αν ο νικητής των εκλογών έλαβε 1532 ψήφους περισσότερες από τον αντίπαλό του, να βρεθεί ο αριθμός των ψήφων που έλαβε έκαστος. Ά σ κ η σ η Ποια σχέση πρέπει να ικανοποιούν οι παράμετροι a, b, c ώστε το σύστημα να είναι συμβατό; x + y + 2z = a x + z = b 2x + y + 3z = c Ά σ κ η σ η Δείξτε ότι, αν οι εξισώσεις x 1 +kx 2 = a και x 1 +λx 2 = b έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων, τότε πρέπει να ταυτίζονται. 1.3 Μέθοδος απαλοιφής Gauss Η μέθοδος που είδαμε στο Παράδειγμα μπορεί να περιγραφεί με γενικότερο τρόπο. Ξεκινώντας με το γραμμικό σύστημα a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m

14 1.3 Μέθοδος απαλοιφής Gauss 15 κρατάμε την πρώτη εξίσωση, και εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις, απαλοίφουμε τον άγνωστο x 1 από τις υπόλοιπες εξισώσεις. Μετά, κρατάμε τις δύο πρώτες εξισώσεις που θα προκύψουν, και εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις, απαλοίφουμε τον άγνωστο x 2 από τις υπόλοιπες εξισώσεις. Στη συνέχεια, κρατάμε τις τρεις πρώτες εξισώσεις που θα προκύψουν, και εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις, απαλλοίφουμε τον άγνωστο x 3 από τις υπόλοιπες εξισώσεις. Συνεχίζοντας τη διαδικασία αυτή θα καταλήξουμε σε ένα ισοδύναμο με αρχικό σύστημα, το οποίο θα είναι ευκολότερο να επιλυθεί. Είναι προφανές ότι μια ανάλογη διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί και στον επαυξημένο πίνακα του γραμμικού συστήματος. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα του οποίου ο επαυξημένος πίνακας είναι x 1 2x 2 + x 3 = 2 2x 1 + x 2 x 3 = 1 3x 1 + x 2 2x 3 = Στη συνέχεια εκτελούμε στοιχειώδεις πράξεις.. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί 2 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στη δεύτερη εξίσωση x 1 2x 2 + x 3 = 2 5x 2 3x 3 = 3 3x 1 + x 2 2x 3 = 5 Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί 3 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη εξίσωση Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή του πίνακα επί 2 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή του πίνακα επί 3 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη γραμμή

15 16 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες x 1 2x 2 + x 3 = 2 5x 2 3x 3 = 3 5x 2 + x 3 = 1 Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση επί 1 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη εξίσωση x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 2 + 2x 3 = 4 2x 3 = Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή του πίνακα επί 1 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη γραμμή Το σύστημα στο οποίο καταλήξαμε είναι ισοδύμανο με το αρχικό, αλλά είναι ευκολότερο να επιλυθεί. Από την τρίτη εξίσωση προκύπτει x 3 = 1, οπότε με αντικατάσταση της τιμής αυτής στη δεύτερη εξίσωση θα πάρουμε x 2 = 0. Τέλος, από την πρώτη εξίσωση, γνωρίζοντας τις τιμές των x 3 και x 2, μπορούμε να βρούμε την τιμή του x 1, οπότε θα είναι x 1 = 1. Μπορεί εύκολα να επαληθευθεί ότι οι τιμές x 1 = 1, x 2 = 2 και x 3 = 1, αποτελούν τη λύση του αρχικού συστήματος. Φυσικά, μπορούμε να συνεχίσουμε τις πράξεις στον επαυξημένο πίνακα που βρήκαμε , οπότε θα πάρουμε τον πίνακα πολλαπλασιάζοντας την τρίτη γραμμή επί 1 2. Τώρα, πολλαπλασιάζουμε την τρίτη γραμμή επί 3 και προσθέτουμε στην δεύτερη Πολλαπλασιάζουμε την τρίτη γραμμή επί 1 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην,.

16 1.3 Μέθοδος απαλοιφής Gauss 17 πρώτη γραμμή Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή επί Τέλος, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή επί 2, και προσθέτουμε στην πρώτη γραμμή Εφόσον κάθε γραμμή του πίνακα παριστά, όπως γνωρίζουμε, μια εξίσωση, έχουμε ουσιαστικά το σύστημα x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 1 0x 1 + x 2 + 0x 3 = 0 0x 1 + 0x 2 + x 3 = 1 του οποίου η λύση προκύπτει αμέσως. Είναι προφανές ότι το γεγονός αυτό οφείλεται στην ιδιαίτερη μορφή του επαυξημένου πίνακα στην οποία καταλήξαμε. Η μορφή αυτή λέγεται αυστηρά κλιμακωτή μορφή. Ο ρ ι σ μ ό ς Θα λέμε ότι ένας πίνακας είναι σε αυστηρά κλιμακωτή μορφή όταν ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες. i ii iii iv Όλες οι μηδενικές γραμμές βρίσκονται στο τέλος του πίνακα. Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι 1. Το στοιχείο αυτό λέγεται οδηγός γραμμής. Ο οδηγός κάθε γραμμής βρίσκεται δεξιότερα από τον οδηγό κάθε προηγούμενης γραμμής. Τα στοιχεία μιας στήλης που περιέχει οδηγό γραμμής είναι όλα μηδέν, εκτός από τον οδηγό γραμμής.

17 18 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες Για παράδειγμα, οι παρακάτω πίνακες σε αυστηρά κλιμακωτή μορφή , , 0 0, ενώ οι πίνακες , , δεν είναι σε αυστηρά κλιμακωτή μορφή. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στους πίνακες της δεύτερης κατηγορίας κάθε στοιχείο κάτω από τον κάθε οδηγό γραμμής είναι μηδέν. Η μορφή αυτή του πίνακα λέγεται κλιμακωτή μορφή, και η διαφορά με την αυστηρά κλιμακωτή μορφή είναι εμφανής. Από τα παραδείγματα επίλυσης γραμμικών συστημάτων που είδαμε, προκύπτει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος, αντί του ίδιου του γραμμικού συστήματος. Μάλιστα, πολλές φορές προτιμάται ο επαυξημένος πίνακας, γιατί είναι ευκολότερα. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα 2x 1 + x 2 x 3 = 5 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2x 2 2x 3 = 4 και τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος Εκτελούμε στοιχειώδεις πράξεις στις γραμμές του πίνακα αυτού, με στόχο να τον φέρουμε σε αυστηρά κλιμακωτή μορφή. Σαν πρώτο βήμα εναλλάσσουμε την πρώτη και την τρίτη γραμμή ,

18 1.3 Μέθοδος απαλοιφής Gauss 19 Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή επί 1 και μετά επί 2, και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στη δεύτερη και τρίτη γραμμή, αντίστοιχα Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή επί 1 3, οπότε θα πάρουμε τον πίνακα Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή του πίνακα επί 3, και προσθέτουμε στην τρίτη γραμμή Ο πίνακας αυτός είναι σε κλιμακωτή μορφή, αλλά όχι σε αυστηρά κλιμακωτή μορφή. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον πίνακα, μπορούμε να βρούμε τη λύση του συστήματος. Πράγματι, ο πίνακας αυτός αντιπροσωπεύει το σύστημα x 1 + 2x 2 2x 3 = 4 x 2 x 3 = 1 και είναι, όπως γνωρίζουμε, ισοδύναμο με το αρχικό. Για την επίλυσή του θεωρούμε τον άγνωστο x 3 σαν παράμετρο, οπότε θα έχουμε το σύστημα x 1 + 2x 2 = 4 + 2x 3 x 2 = 1 + x 3 Αυτό σημαίνει ότι η λύση του συστήματος είναι x 1 = 2 και x 2 = 1 + x 3. Για να βρούμε την αυστηρά κλιμακωτή μορφή του πίνακα 1.6, εκτελούμε στοιχειώδεις πράξεις αρχίζοντας από κάτω προς τα πάνω. Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή επί 2, και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην πρώτη γραμμή

19 20 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες Ο πίνακας αυτός είναι σε κλιμακωτή μορφή, και αντιστοιχεί στο γραμμικό σύστημα x 1 = 2 x 2 x 3 = 1 Φυσικά, η λύση αυτή δεν διαφέρει από τη λύση που βρήκαμε προηγουμένως. 1.4 Ασκήσεις Ά σ κ η σ η Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 5x x x 6 = 5 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x x 6 = 6 Ά σ κ η σ η Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα. x + y + 2z = 9 4x 8y = 12 i 2x + 4y 3z = 1 ii 3x 6y = 9 3x + 6y 5z = 0 2x + 4y = 6 Ά σ κ η σ η Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα. x y + 2z t = 1 3x + 2y z = 52 i 2x + y 2z 2t = 2 ii 5x + 3y + 2z = 0 x + 2y 4z + t = 1 3x + y + 3z = 11 3x 3t = 3 11x + 7y = 30 Ά σ κ η σ η Αν a, b, και c είναι πραγματικοί αριθμοί, να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα. i 2x + y = a 3x + 6y = b ii x + y + z = a 2x + 2z = b 3y + 3z = c

20 1.5 Πράξεις πινάκων 21 Ά σ κ η σ η Να διερευνυθεί και να επιλυθεί το σύστημα x + 2y 3z = 4 3x y + 5z = 2 4x + y + a 2 14z = a Πράξεις πινάκων Στο τελευταίο παράδειγμα, ενώ θέλαμε την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, ασχοληθήκαμε ουσιαστικά με ένα πίνακα. Αυτό δείχνει ότι οι πίνακες παίζουν ένα σημαντικό ρόλο, για αυτό θα τους μελετήσουμε λίγο περισσότερο. Όπως είδαμε ένας πίνακας A με m γραμμές και n στήλες είναι της μορφής a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Τα στοιχεία a ij λέγονται στοιχεία του πίνακα A, και συνήθως είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί. Μπορεί όμως να είναι και στοιχεία από ένα οποιοδήποτε άλλο σύνολο. Οι δείκτες του στοιχείου a ij δείχνουν, ο πρώτος τη γραμμή στην οποία βρίσκεται το στοιχείο, ενώ ο δεύτερος τη στήλη στην οποία ανήκει το στοιχείο αυτό. Δηλαδή, το στοιχείο a 32 βρίσκεται στη διασταύρωση της τρίτης γραμμής, και της δεύτερης στήλης. Για να δηλώσουμε το μέγεθος ενός πίνακα, δηλαδή το πλήθος των γραμμών και στηλών που έχει, λέμε ότι είναι ένας m n πίνακας, οπότε ξέρουμε ότι έχει m γραμμές και n στήλες. Το σύνολο όλων των m n πινάκων με στοιχεία από το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με M m n R. Γενικότερα, ο συμβολισμός M m n F χρησιμοποιείται για το σύνολο όλων των m n πινάκων με στοιχεία από το σύνολο F. Αν ένας πίνακας έχει τόσες γραμμές όσες και στήλες, δηλαδή είναι τύπου n n, τότε χρησιμοποιούμε το συμβολισμό M n F, για το σύνολο όλων των n n πινάκων με στοιχεία από το σύνολο F. Πολλές φορές, για λόγους συντομίας, αντί του συμβολισμού 1.7 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό A = a ij ή A = a ij m n, αν θέλουμε να τονίσουμε ότι ο πίνακας είναι m n.

21 22 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες Δύο πίνακες A = a ij m n και B = b ij r s, τύπου m n και r s αντίστοιχα, είναι ίσοι όταν m = r, n = s, και a ij = b ij, για κάθε i = 1, 2,..., m, και κάθε j = 1, 2,..., n. Δηλαδή, οι πίνακες A και B είναι ίσοι όταν είναι του αυτού τύπου, και τα αντίστοιχα στοιχεία τους ταυτίζονται. Αν σε ένα m n πίνακα A = a ij συμβεί να ισχύει m = n, τότε ο πίνακας A έχει τόσες γραμμές όσες και στήλες, και λέγεται τετραγωνικός n n πίνακας. Στον τετραγωνικό αυτό πίνακα τα στοιχεία a 11, a 22,, a nn αποτελούν την κύρια διαγώνιο του πίνακα αυτού. Συχνά χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε πίνακες γραμμές a 11 a 12 a 1n, δηλαδή πίνακες τύπου 1 n, ή πίνακες στήλες a 11 a 21. a m1 δηλαδή πίνακες τύπου m 1. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι στις γραμμές ο δείκτης γραμμής των στοιχείων παραμένει σταθερός, ενώ στις στήλες ο δείκτης στήλης των στοιχείων διατηρείται σταθερός., Θεωρούμε, τώρα, τους m n πίνακες A = a ij και B = b ij, όπου a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a A = 21 a 22 a 2n..., και B = b 21 b 22 b 2n.... a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn Το άθροισμα A + B ορίζεται να είναι ο πίνακας a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a A + B = 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n.... a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn

22 1.5 Πράξεις πινάκων 23 Δηλαδή για να προσθέσουμε δύο πίνακες πρέπει να είναι του αυτού τύπου, και τότε προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία τους. Για παράδειγμα, θα έχουμε = , ενώ το άθροισμα των πινάκων και δεν ορίζεται, εφόσον οι πίνακες δεν είναι του αυτού τύπου. Αν λ είναι ένας αριθμός, και A ο πίνακας 1.7, τότε το γινόμενο λa ορίζεται να είναι ο πίνακας λa 11 λa 12 λa 1n λa λa = 21 λa 22 λa 2n..., λa m1 λa m2 λa mn δηλαδή ο πίνακας που προκύπτει από τον A, αν όλα τα στοιχεία του πολλαπλασιαστούν επί λ. Για παράδειγμα, θα έχουμε = Ίσως θα περίμενε κανείς, ο πολλαπλασιασμός πινάκων να ορίζεται όπως και το άθροισμα. Δηλαδή να πολλαπλασιάζουμε τα αντίστοιχα στοιχεία. Όμως, κάτι τέτοιο δεν θα ήταν χρήσιμο στα περισσότερα προβλήματα. Για αυτό, ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίζεται με διαφορετικό τρόπο. Καταρχήν να πούμε ότι για να οριστεί το γινόμενο AB δύο πινάκων A και B, πρέπει ο A να έχει τόσες στήλες, όσες γραμμές έχει ο B. Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι έχουμε τους πίνακες a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a A = 21 a 22 a 2n..., και B = b 21 b 22 b 2k..., a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b nk.

23 24 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες τύπου m n και n k αντίστοιχα. Τότε το γινόμενο AB είναι ένας πίνακας C, ο οποίος θα είναι τύπου m k. Δηλαδή, σχηματικά θα έχουμε A B = C m n n k m k Το ερώτημα βέβαια είναι πως μπορούμε να βρούμε τα στοιχεία του πίνακα C. Υποθέτουμε ότι ο πίνακας αυτός έχει στοιχεία c ij, δηλαδή έχουμε C = c ij. Το στοιχείο c ts, που βρίσκεται στη διασταύρωση της t-γραμμής και s-στήλης του πίνακα C, ορίζεται να είναι το γινόμενο της t-γραμμής του πίνακα A, επί την s-στήλη του πίνακα B. Το γινόμενο γραμμής επί στήλη ορίζεται με τον παρακάτω τρόπο. a t1 a t2 a tn b 1s b 2s. b ns Επομένως το στοιχείο c ts ορίζεται να είναι c ts = a t1 b 1s + a t2 b 2s + + a tn b ns = Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε τους πίνακες A = και B = = a t1b 1s + a t2 b 2s + + a tn b ns. n a tλ b λs. 1.8 λ= Επειδή ο πρώτος είναι ένας 3 2 πίνακας και ο δεύτερος είναι 2 2, το γινόμενο AB ορίζεται και είναι ένας 3 2 πίνακας. Δηλαδή θα έχουμε AB = 2 1 = Το στοιχείο που βρίσκεται στη διασταύρωση της δεύτερης γραμμής και πρώτης στήλης, δηλαδή στη θέση 21, θα βρεθεί από το γινόμενο της δεύτερης γραμμής του A επί την πρώτη στήλη του B. Άρα θα είναι = = 5..

24 1.5 Πράξεις πινάκων 25 Με ανάλογο τρόπο, το στοιχείο 32 θα δίνεται από τη σχέση = = Με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε το γινόμενο AB. AB = = Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι ενώ βρήκαμε το γινόμενο AB, το γινόμενο BA δεν μπορεί να οριστεί, εφόσον ο B δεν έχει τόσες στήλες, όσες γραμμές έχει ο A. Το προηγούμενο παράδειγμα δείχνει ότι δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο γινόμενο πινάκων. Δηλαδή, γενικά έχουμε AB BA. Ακόμη και όταν τα γινόμενα AB και BA ορίζονται, η αντιμετάθεση πινάκων δεν ισχύει γενικά. Για παράδειγμα, αν A = και B =, τότε θα έχουμε AB = , ενώ BA = Αποδεικνύεται ότι οι πίνακες ικανοποιούν τις παρακάτω ιδιότητες. Θ ε ώ ρ η μ α Με την προϋπόθεση ότι το μέγεθος των πινάκων A, B, C είναι κατάλληλο, ώστε να ορίζονται οι πράξεις, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες. i A + B = B + A, ii A + B + C = A + B + C, iii ABC = ABC, iv AB + C = AB + AC, v B + CA = BA + CA, vi AB C = AB AC, vii B CA = BA CA, viii λb + C = λb + λc, ix λb C = λb λc, x λ + µa = λa + µa, xi λ µa = λa µa, xii λµa = λµa, xiii λab = λab = AλB.

25 26 Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες Α π ό δ ε ι ξ η. Κάθε μια από τις ιδιότητες αυτές είναι μια ισότητα μεταξύ πινάκων. Για να αποδειχθεί, θα πρέπει να δείξουμε δύο πράγματα. Πρώτα, ότι ο πίνακας του πρώτου μέλους έχει το ίδιο μέγεθος με τον πίνακα του δευτέρου μέλους. Δεύτερο, κάθε στοιχείο του πίνακα του πρώτου μέλους ταυτίζεται με το αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα του δευτέρου μέλους. Θα δούμε τη διαδιακασία αυτή αποδεικνύοντας την ιδιότητα iv, και θα αφήσουμε τις υπόλοιπες σαν άσκηση. iv. Πρώτα θα θεωρήσουμε το μέγεθος των πινάκων, έτσι ώστε να ορίζονται οι πράξεις. Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι ο πίνακας A = a ij είναι τύπου m n, ο πίνακας B = b ij είναι τύπου n k, και ο πίνακας C = c ij είναι τύπου n k. Με τις προϋποθέσεις αυτές, βλέπουμε ότι ο πίνακας B + C είναι τύπου n k, οπότε το γινόμενο AB + C θα είναι τύπου m k. Όσον αφορά το δεύτερο μέρος, οι πίνακες AB και AC είναι τύπου m k, οπότε και το άθροισμα AB + AC θα είναι τύπου m k. Εφόσον οι πράξεις που περιέχονται στην ισότητα αυτή ορίζονται, μπορούμε να βρούμε τον πίνακα D = d ij, όπου D = B + C. Από τον ορισμό του αθροίσματος προκύπτει ότι d ij = b ij + c ij, για κάθε i = 1, 2,..., n και j = 1, 2,..., k. Θα βρούμε, τώρα, το στοιχείο του AB + C = AD, το οποίο βρίσκεται στη θέση rs. Όπως γνωρίζουμε, θα δίνεται από τη σχέση 1.8, δηλαδή rs = n a rt d ts = t=1 n a rt b ts + c ts = t=1 n a rt b ts + t=1 n a rt c ts. 1.9 Υποθέτουμε, τώρα, ότι είναι P = AB, και έστω ότι P = p ij. Γνωρίζουμε ότι ο πίνακας P είναι τύπου m k, και τα στοιχεία του δίνονται από τη σχέση 1.8, δηλαδή p ij = t=1 n a it b tj, για κάθε i = 1, 2,..., m και j = 1, 2,..., k. t=1 Με ανάλογο τρόπο, υποθέτουμε ότι είναι Q = AC, και έστω ότι Q = q ij, όπου q ij = n a it c tj, για κάθε i = 1, 2,..., m και j = 1, 2,..., k. t=1

26 1.5 Πράξεις πινάκων 27 Θα υπολογίσουμε, τώρα, το στοιχείο του AB +AC, το οποίο βρίσκεται στη θέση rs. Από τον ορισμό του αθροίσματος πινάκων προκύπτει rs = p rs + q rs = n a rt b ts + t=1 n a rt c ts Από τις σχέσεις 1.9 και 1.10 προκύπτει ότι οι πίνακες των δύο μελών της ισότητας iv έχουν τα αντίστοιχα στοιχεία ίσα, άρα θα ισχύει η ιδιότητα αυτή. Ένας πίνακας, οποιουδήποτε τύπου, του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδέν λέγεται μηδενικός πίνακας, και συμβολίζεται με O ή O m n, αν θέλουμε να δείξουμε το μέγεθός του. Στο Θεώρημα είδαμε ότι πολλές από τις ιδιότητες που ισχύουν στους πραγματικούς αριθμούς, ισχύουν και στους πίνακες. Δεν ισχύουν όμως όλες. Για παράδειγμα, αν A, B, C, και D είναι πίνακες κατάλληλου μεγέθους, ώστε να ορίζονται οι πράξεις, τότε γενικά έχουμε t=1 AB = AC και A O B = C, και AD = O A = O ή D = O. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε τους πίνακες A = , B = , C = , και D = Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι ισχύουν AB = = AC και A O, αλλά δεν ισχύει η ισότητα B = C. Επίσης, μπορούμε να βρούμε ότι AD = = , αλλά δεν έχουμε A = O ή D = O.

1 Ασκήσεις. Άσκηση 1.1 Να επιλυθούν τα παρακάτω γραμμικά συστήματα.

1 Ασκήσεις. Άσκηση 1.1 Να επιλυθούν τα παρακάτω γραμμικά συστήματα. 1 Ασκήσεις Άσκηση 1.1 Να επιλυθούν τα παρακάτω γραμμικά συστήματα. x 1 2x 2 + x =1 x 1 + x 2 x =0 (i) x 1 + x 2 x =2 (ii) 2x 1 2x 2 + x = 2x 1 x 2 + x =1 x 1 4x 2 +2x =4 Άσκηση 1.2 Να βρεθεί η γενική λύση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2 Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πίνακες και Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2 Γραμμικά συστήματα Άσκηση. Να βρεθεί η λύση του γραμμικού συστήματος x 2x 2 + x 3 = x + x 2 x 3 = 2 2x x 2 + x 3 = Απόδειξη. Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος 2 2 2 και εκτελούμε στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X

AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X . Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι

Διαβάστε περισσότερα

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0. Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης....

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης.... Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ορίζουσες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορίζουσα H Ορίζουσα είναι ένας αριθμός και ορίζεται μόνον για τετραγωνικούς

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα: 5x 8y = 5x= + y

Διαβάστε περισσότερα