Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,"

Transcript

1 Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο και χωρίζεται σε 6 ενότητες. Η κάθε ενότητα περιέχει: Πλήρη θεωρία γραμμένη με απλό σύντομο και συστηματικό τρόπο. Σχόλια και επισημάνσεις με τίτλο «Να προσέξουμε» όπου συμπληρώνονται τονίζονται και διευκρινίζονται σημεία της θεωρίας τα οποία κρίνονται απαραίτητα για την καλύτερη αφομοίωσή της. Ασκήσεις λυμένες με υποδειγματικό τρόπο. Ερωτήσεις κατανόησης. Ασκήσεις για λύση ταξινομημένες κατάλληλα. Στις περισσότερες ενότητες περιλαμβάνεται και ένα ενδεικτικό κριτήριο αξιολόγησης με θέματα κλιμακούμενης δυσκολίας. Επιπλέον μετά την ολοκλήρωση της ύλης δίνονται επαναληπτικά κριτήρια προσομοίωσης των εξετάσεων. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις - υποδείξεις των ερωτήσεων των ασκήσεων και των κριτηρίων αξιολόγησης. Γιάννης Κ. Μαραγούσιας Μαθηματικός

2

3 Περιεχόμενα. Γραμμικά συστήματα...9. Μη γραμμικά συστήματα Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Κατακόρυφη - οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων...6. Πολυωνυμικές εξισώσεις - ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Εκθετική συνάρτηση Λογάριθμοι Λογαριθμική συνάρτηση Επαναληπτικά κριτήρια προσομοίωσης εξετάσεων Απαντήσεις των Ερωτήσεων των Ασκήσεων και των Προβλημάτων...383

4

5 Γραµµικά συστήµατα Η εξίσωση: - 4 ( είναι γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους και. Zεύγη όπως τα: ( (0-4 ( (4 0 είναι λύσεις της (. Αν λύσουμε την ( ως προς προκύπτει η εξίσωση - 4 που παριστάνει ευθεία. Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους Κάθε εξίσωση με αγνώστους που έχει τη μορφή α + β γ με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α β διάφορο του μηδενός λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λύση μιας γραμμικής εξίσωσης α + β γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών ( που την επαληθεύει. Η εξίσωση α + β γ με α! 0 ή β! 0 παριστάνει μια ευθεία ε. Απόδειξη Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ( γ β O α+ β γ α! 0 και β! 0 γ (---- α 0 ε Αν α! 0 και β! 0 τότε η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: α + β γ β -α + γ a g - + b b Άρα παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης l a - τέμνει τον ά- b g ξονα στο σημείο c0 m και τον άξο- b g να στο σημείο ` 0j. a 9

6 O ( γ β α+ β γ α 0 και β! 0 ε Αν α 0 και β! 0 τότε η εξίσωση γίνεται: g b g b Άρα παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο 0 b g c m. O α+ β γ α! 0 και β 0 ε Αν β 0 οπότε α! 0 τότε η εξίσωση γίνεται: g a g a Άρα παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο ` 0j. g a Η εξίσωση - 4 έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( - 4! R (είναι οι συντεταγμένες των σημείων της ευθείας - 4 που παριστάνει. Η εξίσωση α + β γ με α! 0 ή β! 0 έχει άπειρες λύσεις τις συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στην ευθεία που παριστάνει. Τα συστήματα: - - ( S : - - ( S : - 0 είναι γραμμικά συστήματα. Καθεμία από τις εξισώσεις των (Σ και (Σ παριστάνει ευθεία. Γραμμικό σύστημα # Δύο ή περισσότερες εξισώσεις τις οποίες εξετάζουμε ως προς το σύνολο των κοινών τους λύσεων λέμε ότι αποτελούν ένα σύστημα. Ειδικότερα αν έχουμε ένα σύστημα της μορφής: a+ b g ( e a' + b' g' ( e' λέμε ότι έχουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή γραμμικό σύστημα #. 0 Γραμμικά συστήματα

7 Λύση του (Σ είναι το ζεύγος ( (- γιατί επαληθεύει συγχρόνως και τις δύο εξισώσεις. Το (Σ δεν έχει λύση. Λύση του συστήματος ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών ( που επαληθεύει τις δύο εξισώσεις του. Επίλυση του συστήματος ονομάζουμε τη διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τα ζεύγη αριθμών που επαληθεύουν συγχρόνως και τις δύο εξισώσεις του. Τα συστήματα: - - ( e ( S: και ( S' : * ( e' είναι ισοδύναμα γιατί έχουν την ίδια ακριβώς λύση ( (-. Το (Σ επίσης είναι ισοδύναμο με καθένα από τα συστήματα: - ( S : ( ( S : ( + 5 -( (Το (Σ προέκυψε από το (Σ με τη λύση της (ε ως προς και την αντικατάστασή του στην (ε. Το (Σ προέκυψε από το (Σ με αντικατάσταση της εξίσωσης (ε από την εξίσωση -(ε + (ε. Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος # Ο ακριβής προσδιορισμός των λύσεων ενός συστήματος γίνεται με αλγεβρικές μεθόδους. Στις αλγεβρικές μεθόδους επίλυσης μετατρέπουμε διαρκώς το σύστημα σε άλλο ισοδύναμο σύστημα δηλαδή σε σύστημα που έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με το αρχικό. Αυτό συνήθως γίνεται με τις παρακάτω μεθόδους: Μέθοδος αντικατάστασης στην οποία λύνουμε τη μια εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. Μέθοδος απαλοιφής (ή των αντίθετων συντελεστών στην οποία αντικαθιστούμε μια από τις εξισώσεις (ε ή (ε του συστήματος για παράδειγμα την (ε με την εξίσωση λ $ (ε + λ $ (ε όπου λ λ κατάλληλοι αριθμοί με λ! 0 που προκύπτει αν στα μέλη της (ε πολλαπλασιασμένα με λ προσθέσουμε τα μέλη της (ε πολλαπλασιασμένα με λ. Η εξίσωση λ $ (ε + λ $ (ε λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε και (ε.

8 Καθεμία από τις εξισώσεις των συστημάτων: - 4 ( S : ( S : ( S 3 : παριστάνει ευθεία. Χαράσσουμε καθένα από τα ζεύγη των ευθειών αυτών στο ίδιο σύστημα αξόνων οπότε έχουμε: Το ζεύγος ( ( 0 είναι λύση του (Σ. Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος # Καθεμία από τις εξισώσεις του γραμμικού συστήματος: a+ b g a' + b' g' παριστάνει ευθεία. Η γραφική επίλυση ενός συστήματος γίνεται με τη χάραξη στο ίδιο σύστημα αξόνων των ευθειών που παριστάνουν οι εξισώσεις του. Οι ευθείες αυτές μπορεί: να τέμνονται να είναι παράλληλες να ταυτίζονται. Έτσι: Αν οι ευθείες τέμνονται οι συντεταγμένες του σημείου τομής αποτελούν τη λύση του συστήματος. Οι ευθείες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση Το (Σ είναι αδύνατο. Αν οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος είναι παράλληλες δηλαδή δεν έχουν κοινό σημείο το σύστημα δεν έχει λύση. Λέμε τότε ότι το σύστημα είναι αδύνατο O Το (Σ 3 έχει άπειρες λύσεις. Αν οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος ταυτίζονται δηλαδή έχουν όλα τα σημεία τους κοινά τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. +3 Γραμμικά συστήματα

9 Έστω το σύστημα: 3 ( S: Είναι: 3 D - ( 3( 5 $ D $ (-5-(- 6 $ Ορίζουσα γραμμικού συστήματος # Θεωρούμε το σύστημα: a+ b g ( S: a' + b' g' Ορίζουσα D του συστήματος (Σ λέγεται η παράσταση αβ - α β. Την παράσταση αυτή a b συμβολίζουμε με. Είναι δηλαδή: a' b' a b D ab' - a'b a' b' Την ορίζουσα που προκύπτει αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους τη συμβολίζουμε με D. Δηλαδή: g b D gb' - g'b g' b' D 3 - (-3( $ Την ορίζουσα που προκύπτει αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους τη συμβολίζουμε με D. Δηλαδή: a g D ag' - a'g a' g' Στο σύστημα (Σ: 3 ( S: βρήκαμε: D 3 D -39 και D 6 Επειδή είναι D 3! 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση τη ( με: Λύση - Διερεύνηση γραμμικού συστήματος # Η λύση του συστήματος: a b g ( S: + a' + b' g' μπορεί να γίνει και με τη μέθοδο των οριζουσών (την απόδειξη της οποίας παραθέτουμε στη στήλη «Να προσέξουμε» σχόλιο. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή: Αν D! 0 τότε το σύστημα (Σ έχει μοναδική λύση τη: 3

10 D 39 3 D και D 6 D Το σύστημα ( S' : έχει: D και αναμένουμε να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Το (Σ γράφεται: (-(- + (- 3 $ 7 3 * και είναι φανερά αδύνατο. ( c m Αν D 0 τότε το (Σ είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Συγκεκριμένα στην περίπτωση που είναι: D 0 το σύστημα (Σ έχει ή παίρνει τη μορφή: a+ b g ka+ kb g' οπότε: αν γ! κγ το (Σ είναι αδύνατο αν γ κγ το (Σ έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Η εξίσωση: z ( είναι μια γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους. Οι τριάδες: (- 0 (- είναι λύσεις της ( αφού την επαληθεύουν. Το σύστημα: - 3+ z - ( ( S: * + 0+ z 7 ( 3+ - z (3 είναι ένα γραμμικό σύστημα 3 # 3. Γραμμικό σύστημα 3 # 3 Γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση που έχει τη μορφή: α + β + γz δ με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α β γ διάφορο του μηδενός. Λύση μιας εξίσωσης: α + β + γz δ ονομάζεται κάθε τριάδα αριθμών ( z που την επαληθεύει. Κάθε σύστημα της μορφής: Za+ b+ gz d ] ( S: [ a+ b+ gz d ] a3+ b3+ g3z d3 \ λέγεται γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή γραμμικό σύστημα 3 # 3. 4 Γραμμικά συστήματα

11 Για την επίλυσή του λύνουμε αρχικά την ( ως προς z και προκύπτει: z (4 Αντικαθιστούμε στη συνέχεια το z στις ( και (3 και προκύπτει το σύστημα: + ( ( που βρίσκουμε ότι έχει λύση ( (. Τέλος αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των και στην (4 και βρίσκουμε z 3. Άρα το (Σ έχει μοναδική λύση ( z ( 3. Λύση του συστήματος (Σ λέγεται κάθε τριάδα ( z που επαληθεύει και τις τρεις ε- ξισώσεις του. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 3 # 3 χρησιμοποιούμε μεθόδους ανάλογες με τις μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος # (αντικατάστασης διαδοχικών απαλοιφών κ.λπ. ή συνδυασμούς αυτών των μεθόδων. Να προσέξουµε. Από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος # ή 3# 3 αναμένουμε μία μόνο από τις περιπτώσεις: το σύστημα να έχει μοναδική λύση το σύστημα να είναι αδύνατο το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Τέτοια συστήματα λοιπόν δεν μπορεί να έχουν μόνο λύσεις ή μόνο 3 λύσεις κ.λπ.. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζουμε συνοπτικά με ισοδυναμίες την αλγεβρική και γεωμετρική ερμηνεία των ισχυρισμών που διατυπώνονται για ένα γραμμικό σύστημα # του οποίου οι εξισώσεις παριστάνονται με τις ευθείες ε και ε. Αλγεβρική ερμηνεία Το σύστημα των εξισώσεων των ε και ε έχει μοναδική λύση. Το σύστημα των εξισώσεων των ε και ε είναι αδύνατο. Το σύστημα των ε και ε έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Το ζεύγος ( 0 0 είναι λύση του συστήματος των ε και ε. Γεωμετρική ερμηνεία Οι ευθείες ε και ε τέμνονται. Οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες. Οι ευθείες ε και ε ταυτίζονται. Το σημείο Μ( 0 0 είναι κοινό σημείο των ευθειών ε και ε. 5

12 3. Γραφικά η ισοδυναμία δύο γραμμικών συστημάτων # που έχουν μοναδική λύση μπορεί να παρουσιαστεί με το ίδιο σημείο τομής των ευθειών που παριστάνουν. Για παράδειγμα τα συστήματα: 5 ( S : + * και ( S : * - που η γραφική επίλυσή τους φαίνεται στα παρακάτω σχήματα είναι ισοδύναμα αφού και τα δύο έχουν μοναδική λύση τη ( (. ξ : 5 ε : + 5 ξ : O ε : - O 4. Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος # έχει το μειονέκτημα ότι δεν προσδιορίζονται πάντοτε με ακρίβεια οι λύσεις του. Παρά την αδυναμία αυτή διευκολύνει σε περιπτώσεις που μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή το πλήθος των λύσεων του συστήματος. 5. Ένα γραμμικό σύστημα # που οι εξισώσεις του παριστάνουν την ίδια ευθεία ε είναι ισοδύναμο με μία από τις δύο εξισώσεις του. Άρα έχει άπειρες λύσεις τις συντεταγμένες των άπειρων σημείων της ευθείας ε ή διαφορετικά τα ζεύγη των αριθμών που είναι λύσεις της εξίσωσής του. Τη μορφή των άπειρων λύσεων παίρνουμε αν λύσουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις του συστήματος ως προς έναν άγνωστο Για παράδειγμα το σύστημα ( S: είναι ισοδύναμο με την εξίσωση: ( Τη μορφή των άπειρων λύσεων τη βρίσκουμε αν λύσουμε την ( ως προς. Τότε έχουμε 4-4 οπότε: ( (4-4! R Δίνοντας στο μια οποιαδήποτε πραγματική τιμή προκύπτει μία από τις άπειρες λύσεις του (Σ. Έτσι: 6 Γραμμικά συστήματα

13 για έχουμε τη λύση ( (0 για έχουμε τη λύση ( (4 κ.λπ. 6. Για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα # με τη μέθοδο των οριζουσών το γράφουμε απαραίτητα στη μορφή: a+ b g a' + b' g' ώστε να βρίσκουμε σωστά τις ορίζουσες D D και D. 7. Μετά την επίλυση ενός συστήματος για να βεβαιωθούμε ότι η λύση που βρήκαμε είναι σωστή κάνουμε επαλήθευση σε όλες τις εξισώσεις του αρχικού συστήματος. 8. Ενδέχεται οι συντελεστές ή οι σταθεροί όροι ενός γραμμικού συστήματος # να μην είναι όλοι συγκεκριμένοι αριθμοί αλλά να εξαρτώνται από κάποια παράμετρο για παράδειγμα λ. Τότε αν θέλουμε να λύσουμε το σύστημα πρέπει για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου να εξετάσουμε πότε προκύπτει σύστημα που έχει μοναδική λύση ή πότε προκύπτει σύστημα αδύνατο ή με άπειρο πλήθος λύσεων. Συστήματα τα οποία έχουν παράμετρο λέγονται παραμετρικά ενώ η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τις λύσεις ενός παραμετρικού συστήματος για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λέγεται διερεύνηση. 9. Για τη λύση ενός παραμετρικού γραμμικού συστήματος # ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D D και D. ο βήμα: Λύνουμε την εξίσωση D 0 οπότε γνωρίζουμε για ποιες τιμές της παραμέτρου είναι D! 0 ή D 0. 3ο βήμα: Κάνουμε διερεύνηση: Για τις τιμές της παραμέτρου που είναι D! 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση ( c m. Κάθε τιμή της παραμέτρου για την οποία είναι D 0 την αντικαθιστούμε στο αρχικό σύστημα οπότε προκύπτει σύστημα με συντελεστές και σταθερούς όρους συγκεκριμένους αριθμούς. Επειδή D 0 το σύστημα αυτό είναι γνωστό από πριν ότι θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις. Αν έχει άπειρες λύσεις δίνουμε τη μορφή τους. 7

14 0. Η μέθοδος των οριζουσών είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τη λύση και διερεύνηση παραμετρικών συστημάτων. Είναι επίσης χρήσιμη για την επίλυση πολύπλοκων αριθμητικών συστημάτων. Στην περίπτωση που κατά την επίλυση προκύψει D 0 δεν διευκολύνει απαραίτητα να υπολογίζουμε τις D και D. Είναι δεδομένο ό- πως είδαμε στη θεωρία ότι το σύστημα παίρνει τη μορφή: a+ b g ka+ kb g' οπότε πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τα μέλη της μιας εξίσωσης με κ ώστε να προκύψουν οι ίδιοι συντελεστές αγνώστων και στις δύο εξισώσεις. Εύκολα τότε συμπεραίνουμε είτε ότι είναι αδύνατο είτε ότι έχει άπειρες λύσεις (εφαρμογή.8. Αναφέρουμε πάντως ότι για ένα γραμμικό σύστημα # με D 0 ισχύουν τα εξής: Αν D! 0 ή D! 0 το σύστημα είναι αδύνατο. Αν D D 0 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.. Κάθε γραμμική εξίσωση με αγνώστους με τον συντελεστή του διαφορετικό από το μηδέν μπορεί να λυθεί ως προς και να πάρει τη μορφή α + β. Για παράδειγμα η εξίσωση γίνεται: ή Έτσι σ ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους μπορούμε αν είναι δυνατόν να επιλύσουμε κάθε εξίσωση ως προς και να βρούμε τη σχετική θέση των δύο ευθειών με τη βοήθεια των συντελεστών διεύθυνσης. 4 Για παράδειγμα στο σύστημα ( S : * - αν λύσουμε τις εξισώσεις του ως προς προκύπτει το σύστημα στο οποίο φανερά πλέον οι + εξισώσεις του παριστάνουν δύο ευθείες παράλληλες άρα το (Σ είναι αδύνατο. 3 Επίσης στο σύστημα ( S : * - αν λύσουμε τις εξισώσεις του ως προς προκύπτει το σύστημα στο οποίο οι εξισώσεις του παριστάνουν δύο τεμνόμενες ευθείες άρα το (Σ έχει μοναδική λύση. Η μοναδική λύση του (Σ προκύπτει εύκολα αν εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη των εξισώσεών του. Έτσι έχουμε 3 - οπότε φανερά και. 8 Γραμμικά συστήματα

15 Τέλος στο σύστημα ( S 3 : * - + αν λύσουμε τις εξισώσεις του ως προς προκύπτει το σύστημα στο οποίο οι εξισώσεις παριστάνουν + την ίδια ευθεία άρα το (Σ 3 έχει άπειρες λύσεις.. Επίλυση γραμμικού συστήματος # στη γενική του μορφή Η προηγούμενη μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος # στη γενική του μορφή. Ας λύσουμε λοιπόν το σύστημα: a b g ( S: + a' + b' g' με τη μέθοδο αυτή αποδεικνύοντας ταυτόχρονα τα συμπεράσματα που προκύπτουν για τη λύση διερεύνηση ενός γραμμικού συστήματος # με ορίζουσες. Λύση Λύνουμε το σύστημα για την περίπτωση που οι συντελεστές του είναι διαφορετικοί από το μηδέν δηλαδή β $ β! 0 οπότε το (Σ γράφεται: Z a g b - a + g ] - + ( e b b [ b' - a' + g' a' g' ] - + ( e b' b' \ Με τη βοήθεια των συντελεστών διεύθυνσης των ευθειών ε και ε που παριστάνουν τις εξισώσεις του συστήματος διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν οι ευθείες ε και ε έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης δηλαδή αν: a a' -!- αβ - α β! 0 D! 0 b b' τότε οι ευθείες ε και ε τέμνονται σε ένα σημείο του οποίου η τετμημένη προσδιορίζεται αν εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων του συστήματος. Έτσι έχουμε: a' g' a g a a' g g' c - m - b' b' b b b b' b b' gb' g'b ( ab' a'b gb' g'b ab' - a'b Αντικαθιστώντας την τιμή του που βρήκαμε στην εξίσωση (ε προκύπτει η τεταγμένη του σημείου τομής: a gb' g'b g agb' abg' gab' ga'b $ b ab' - a'b b bab' ( - a'b 9

16 bag' ( - a'g ag' - a'g bab' ( - a'b ab' - a'b Άρα στην περίπτωση αυτή το σύστημα έχει μοναδική λύση τη: gb' ( - g'b ag' - a'g c m c m ab' - a'b ab' - a'b Αν οι ευθείες ε και ε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης δηλαδή αν: a a' - - αβ - α β 0 b b' D 0 τότε οι ευθείες ε και ε ή είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων αντίστοιχα. Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και όταν είναι β $ β 0. Συγκεκριμένα: Αν β 0 και β! 0 (D! 0 τότε η ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα ενώ η ε τον τέμνει που σημαίνει ότι οι ευθείες ε και ε τέμνονται. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι: ( c m β (----- D D O γ --- α α D D ε γ β ε Αν β! 0 και β 0 (D! 0 τότε έχουμε ανάλογο με το προηγούμενο συμπέρασμα. Αν β β 0 (D 0 τότε οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες στον άξονα οπότε είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. 3. Ομογενές σύστημα Το σύστημα: a+ b 0 a' + b' 0 του οποίου οι σταθεροί όροι είναι μηδέν λέγεται ομογενές. Σε ένα ομογενές σύστημα είναι D D 0. Το ομογενές σύστημα δεν είναι ποτέ αδύνατο αφού έχει πάντα τη μηδενική λύση ( (0 0. Μπορεί όμως να έχει άπειρες λύσεις. Έτσι: αν D! 0 το ομογενές σύστημα έχει μοναδική λύση τη ( (0 0 αν D 0 έχει άπειρες λύσεις μία από τις οποίες είναι η μηδενική. 0 Γραμμικά συστήματα

17 4. Κλιμακωτό σύστημα Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος (Σ με εξισώσεις (ε (ε (ε 3 και αγνώστους z μπορεί να γίνει με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών ως εξής: α Αντικαθιστούμε την εξίσωση (ε με την εξίσωση κ $ (ε + λ $ (ε όπου κ λ είναι κατάλληλοι αριθμοί ώστε να απαλείφεται ο από την (ε. β Αντικαθιστούμε την εξίσωση (ε 3 με την εξίσωση μ $ (ε + ν $ (ε 3 όπου μ ν είναι κατάλληλοι αριθμοί ώστε να απαλείφεται ο από την (ε 3. Προκύπτει ένα νέο σύστημα ισοδύναμο με το (Σ στο οποίο η η και 3η εξίσωση αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα # με αγνώστους τα και z. γ Στη νέα μορφή του συστήματος που προκύπτει αντικαθιστούμε την 3η εξίσωση με κατάλληλο γραμμικό συνδυασμό της ης και 3ης εξίσωσης ώστε να απαλείψουμε το από την 3η εξίσωση. Καταλήγουμε έτσι σε ένα ισοδύναμο με το (Σ σύστημα που έχει τη μορφή: Z a b gz d ] + + ( S' : [ j+ tz z ] z r \ Το τελευταίο σύστημα (Σ επειδή έχει τη μορφή κλίμακας (σκάλας το λέμε κλιμακωτό σύστημα. Ένα κλιμακωτό σύστημα λύνεται εύκολα με διαδοχικές αντικαταστάσεις. Για παράδειγμα ας λύσουμε το σύστημα: + + 3z 5 ( e ( S: * + 3+ z 3 ( e -5-6z -6 ( e3 Έχουμε: α Απαλείφουμε το από την εξίσωση (ε αντικαθιστώντας την με την εξίσωση: -(ε + (ε Έτσι προκύπτει η εξίσωση: -( + + 3z + ( z - $ z -7 (ε β Απαλείφουμε το από την εξίσωση (ε 3 αντικαθιστώντας την με την εξίσωση: (ε - (ε 3 Έτσι προκύπτει η εξίσωση: 7 + 9z (ε 3 Το (Σ παίρνει τη μορφή:

18 * + + 3z z z ( e ( e' ( e' γ Απαλείφουμε το από την εξίσωση (ε 3 αντικαθιστώντας την με την εξίσωση: 7(ε + (ε 3 Έτσι προκύπτει: 7(- - 4z + (7 + 9z 7( z -38 z Καταλήγουμε στο κλιμακωτό σύστημα: + + 3z 5 * -- 4z -7 z Αντικαθιστούμε το z στη η εξίσωση και βρίσκουμε -. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην η εξίσωση τα z και και βρίσκουμε. Άρα η λύση του συστήματος είναι: ( z ( Όταν λέμε ότι ένα γραμμικό σύστημα είναι μ # ν εννοούμε ότι έχει μ εξισώσεις και ν αγνώστους (3 # : 3 εξισώσεις με αγνώστους 4 # 4: 4 εξισώσεις με 4 αγνώστους κ.λπ. Η μέθοδος των διαδοχικών απαλοιφών (ή του Gauss με την οποία ένα σύστημα μετασχηματίζεται διαδοχικά σε ένα ισοδύναμό του κλιμακωτό σύστημα μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα. Οποιοδήποτε επίσης γραμμικό σύστημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο της αντικατάστασης σύμφωνα με την οποία λύνουμε μια εξίσωση ως προς τον έναν ά- γνωστο τον οποίο αντικαθιστούμε στις άλλες. Προκύπτει έτσι ένα σύστημα με λιγότερες εξισώσεις και λιγότερους αγνώστους. 6. Βασικός και μόνιμα επιδιωκόμενος στόχος κατά την επίλυση ενός συστήματος είναι η δημιουργία απλούστερων ισοδύναμων συστημάτων όπου τελικά οι λύσεις είναι προφανείς. Αυτό πολλές φορές (ανάλογα και με τη μορφή του συστήματος γίνεται με την εφαρμογή κάποιων τεχνασμάτων. Για παράδειγμα το 4 # 4 σύστημα: Z ] + v + z - ] + + v -3 ( S: [ + + z - ] + z+ v 0 \ Γραμμικά συστήματα

19 μπορεί να λυθεί ως εξής: Αρχικά προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη οπότε παίρνουμε: 3( + + ω + z ω + z - ( Στη συνέχεια αφαιρούμε από την ( διαδοχικά κάθε εξίσωση του συστήματος: Z Z ] ( + + v+ z -( + v+ z - -(- ] - ]( + + v+ z -( + + v - -(-3 ] z [ [ ( + + v + z -( + + z - -(- v 0 ] ] ( + + v+ z -( + z + v \ \ Άρα η λύση του συστήματος είναι η ( ω z ( Παραδείγµατα-Εφαρµογές. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί λ για τους οποίους ισχύει: λ - 3 ( και λ - ( α Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τα και. β Να γίνει γραφική παράσταση των ζευγών ( που ικανοποιούν τις σχέσεις ( και (. Απάντηση α Λύνουμε τις ( και ( ως προς λ και εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων που προκύπτουν. Είναι: l- l + l + και λ - λ + Επομένως: Η σχέση λοιπόν που συνδέει τα και είναι: - β Τα ζεύγη ( επαληθεύουν την (Ι που έχει τη μορφή α + β γ με α! 0 και β -! 0. Επομένως η γραφική παράσταση των ζευγών ( είναι η ευθεία ε: - που παριστάνουμε στο διπλανό σχήμα. (Ι O - - ε 3

20 Να λυθεί το σύστημα ( S: - -4 Λύση Επιλέγουμε τη μέθοδο αντικατάστασης αφού η η εξίσωση του (Σ εύκολα μπορεί να λυθεί ως προς. Λύνουμε λοιπόν τη η εξίσωση ως προς και αντικαθιστούμε στην η οπότε το (Σ γίνεται: ( * * -4 5 $ -4 6 Άρα ( (6 5. Z + 4 ] Να λυθεί το σύστημα [ ] \ 4 Λύση Απαλείφουμε τους παρονομαστές και φέρνουμε τις εξισώσεις στη μορφή α + β γ. Η πρώτη εξίσωση γίνεται: $ + 6$ + 6$ Η δεύτερη εξίσωση γίνεται: $ - 4$ $ Προκύπτει λοιπόν για λύση το σύστημα: 3-6 ( ( S: ( Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ( με 4 και της ( με 3 και έχουμε: 3-6 $ * $ Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις οπότε το σύστημα ισοδύναμα γίνεται: $ 0 6 * - * - * * * 0 0 Άρα ( ( 0. 4 Γραμμικά συστήματα

21 Παρατήρηση Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις εξισώσεις του (Σ προκύπτει η εξίσωση που λύνεται εύκολα ως προς και στη συνέχεια μπορούμε να εργαστούμε με τη μέθοδο της αντικατάστασης..4 α Να βρεθεί το σύστημα των εξισώσεων που έ- χουν γραφικές παραστάσεις τις ευθείες ε ε του διπλανού σχήματος. β Να βρεθεί το κοινό σημείο των ε ε. O Απάντηση α Η ευθεία ε έχει τη μορφή α + β με α εφ45. Άρα είναι + β. Επιπλέον διέρχεται από το σημείο (0 - οπότε ισχύει: β β - Επομένως η ε έχει εξίσωση: - - Η ευθεία ε έχει επίσης τη μορφή α + β και επειδή διέρχεται από τα σημεία (- 0 και (0 3 οι συντεταγμένες τους θα την επαληθεύουν. Επομένως έχουμε το σύστημα: 0 a$ ( b a b 0 a 3 0 a * - + * 3 a$ 0+ b b 3 b 3 b 3 Άρα η ε έχει εξίσωση: β Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που παριστάνουν τις ε και ε. Έχουμε: - $ ( ( $ ( Με πρόσθεση κατά μέλη των ( και ( προκύπτει -9. Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση του αρχικού συστήματος και έχουμε: - (-9-8 Άρα ( (-8-9 που σημαίνει ότι η ε και η ε τέμνονται στο σημείο Κ(-8-9. ε ε 45.5 α Δίνονται αριθμοί α β για τους οποίους ισχύει: α + β και α - β.00 Να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις: α + β α ( και β + α β ( παριστάνουν ευθείες και να βρεθεί το σημείο τομής τους. 5

22 β Να λυθεί το σύστημα ( S: * Απάντηση α Ένας τουλάχιστον από τους α β είναι διαφορετικός από το μηδέν γιατί αν ήταν α β 0 τότε από την ισότητα α + β θα είχαμε που είναι άτοπο. Άρα οι ( και ( έχουν τη μορφή α + β γ με α! 0 ή β! 0 οπότε παριστάνουν ευθείες. Το σημείο τομής τους προκύπτει από τη λύση του συστήματος των ε- ξισώσεών τους. Έτσι με πρόσθεση κατά μέλη των ( και ( έχουμε: (α + β + (β + α α + β Αντίστοιχα με αφαίρεση των μελών της ( από την ( προκύπτει: (α - β + (β - α α - β Το σύστημα λοιπόν γίνεται: 5 ( ( 5 * ( - -( * * - -4 Επομένως οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α(3. β Παρατηρούμε ότι και Επιπλέον οι εξισώσεις του (Σ προκύπτουν από τις εξισώσεις ( και ( του προηγούμενου ερωτήματος για α και β.495. Άρα το (Σ έχει μοναδική λύση τη ( (3..6 Το διπλανό σχήμα παριστάνει το δάπεδο μιας ορθογώνιας βεράντας που είναι στρωμένη με τριών ειδών πλακάκια. Αν τα λευκά πλακάκια είναι τετράγωνα να βρεθούν οι διαστάσεις που έχουν τα πλακάκια κάθε είδους. Απάντηση Αν α#α είναι τα λευκά πλακάκια τότε α#β είναι τα γκρι ορθογώνια πλακάκια και β#β τα ροζ πλακάκια με τις διαστάσεις τους μετρημένες σε cm. Έτσι έχουμε το σύστημα: 4a+ 3b 00 4a+ 3b 00 8a+ 7b 40 ( 8a+ 7b - 4 ( a+ 3b 40 - $ 00 m 4a+ 3b 00 4a + 3$ 0 00 b 0 b 0 4a a 35 b 0 b 0 4 m 6 Γραμμικά συστήματα

23 Άρα οι διαστάσεις μετρημένες σε cm που έχουν τα πλακάκια είναι:.7 Να λυθεί το σύστημα Λύση 35 # 35 0 # 35 και 0 # 0 ^+ 5h+ - 5 $ + ^+ h 4 Όταν οι συντελεστές των αγνώστων είναι πολύπλοκοι αριθμοί δεν εξυπηρετεί να εργαζόμαστε με τις μεθόδους της αντικατάστασης ή των αντίθετων συντελεστών. Γι αυτό επιλέγουμε τη μέθοδο των οριζουσών. 5 D + + ^+ 5h^+ h ! 0 Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση τη ( c m. Υπολογίζουμε τις D και D. Είναι: 5 D $ ^+ h ^ h-d 5 5 D ^ h D 4 Άρα ( D D c m ( ` - - j..8 Να λυθούν τα συστήματα: α 6 $ + - β 3$ + $ $ - 3 $ - Λύση α Έχουμε: 6 D $ $ Επομένως αναμένουμε το σύστημα να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ης εξίσωσης με (ώστε να έχουμε τους ίδιους συντελεστές αγνώστων και στις δύο εξισώσεις οπότε το σύστημα γίνεται: 6 $ + - $ 3 $ + $ $ Άρα το σύστημα είναι αδύνατο. 6 $ $ + 7

24 β Είναι: 3 D $ 0 Αναμένουμε λοιπόν το σύστημα να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Διαιρούμε τα μέλη της ης εξίσωσης με - (ώστε να έχουμε τους ίδιους συντελεστές αγνώστων και στις δύο εξισώσεις οπότε προκύπτει η η εξίσωση. Επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τη μορφή των οποίων βρίσκουμε αν λύσουμε για παράδειγμα την η εξίσωσή του ως προς. Έτσι είναι: Άρα ( - c m! R..9 Έστω σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους για το οποίο ι- σχύει: D ( S: + - * D+ 5D 4D Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση να βρεθεί η λύση αυτή. Λύση Επειδή το σύστημα έχει μοναδική λύση είναι D! 0. Αν διαιρέσουμε λοιπόν τα μέλη των εξισώσεων του συστήματος (Σ με D! 0 θα έχουμε: Z D + - ] + - * + - [ * D 5D 4D + ] $ + 5$ 4 \ Επομένως είναι: οπότε: D 5-3 D και D ( 9 6 c m ( 3 ` j a.0 Θεωρούμε την ορίζουσα D b g d και την εξίσωση: a - g b 0 d - ( 8 Γραμμικά συστήματα

25 α Να αποδειχθεί ότι η ( είναι δευτεροβάθμια εξίσωση. β Αν η εξίσωση ( δεν έχει πραγματικές ρίζες τότε: i (α + δ < 4D a+ b 0 ii το σύστημα έχει μοναδική λύση. g+ d 0 Απόδειξη α Η ορίζουσα ( ισοδύναμα γίνεται: (α - (δ - - βγ 0 αδ - α - δ + - βγ 0 - (α + δ + αδ - βγ 0 Άρα η ( είναι δευτεροβάθμια εξίσωση. β i Επειδή η ( δεν έχει πραγματικές ρίζες θα ισχύει: Δ < 0 (α + δ - 4(αδ - βγ < 0 (α + δ < 4(αδ - βγ (α + δ < 4D a b αφού D ad - bg. g d ii Ορίζουσα του συστήματος είναι η D. Λόγω του ερωτήματος (i είναι 4D > (α + δ $ 0. Επομένως D! 0 που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση (τη ( (0 0.. Να βρεθεί πόσες λύσεις έχει καθένα από τα συστήματα: l α - l β - 3- l - 9 γ * + l - l+ l όπου λ! R. Απάντηση Έχουμε: l α D - l -(- l +! 0 για κάθε λ! R. l Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε πραγματικό αριθμό λ. l - β D l - l 0. - l Διαιρούμε τη η εξίσωση του συστήματος με - και το σύστημα γίνεται: l- * l - - Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο για κάθε λ! R. 3 - l γ D l 3 l - $ - l

26 Διαιρούμε την η εξίσωση του συστήματος με -3 και το σύστημα γίνεται: Z l ] [ ] l \ 3 Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις για κάθε λ! R Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα -- 4 l α είναι αδύνατο β έχει άπειρες λύσεις γ έχει μοναδική λύση. Απάντηση Είναι: D που σημαίνει ότι το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων για κάθε λ! R. Πολλαπλασιάζουμε την η εξίσωση με και την προσθέτουμε στη η οπότε το σύστημα γίνεται: 5 5 * ( l l Επομένως: α Αν λ! -0 το σύστημα είναι αδύνατο. β Αν λ -0 το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. γ Επειδή D 0 δεν υπάρχουν λ! R για τα οποία το σύστημα έχει μοναδική λύση..3 Να λυθεί το σύστημα ( : ( l l S + + για τις διάφορες τιμές του ( l πραγματικού αριθμού λ. Λύση Είναι: l l D + ( l+ - l( l+ 5 l+ 4-l - 5l l + 5 -λ -3λ + 4 -λ - 4λ + λ + 4 -λ(λ (λ + 4 (-λ + (λ + 4 (Διευκολύνει να έχουμε την ορίζουσα D παραγοντοποιημένη όχι μόνο για να βρίσκουμε τις τιμές του λ για τις οποίες είναι D 0 αλλά και για απλοποιήσεις κλασμάτων που μπορεί να προκύψουν κατά τον υπολογισμό της μοναδικής λύσης (. l l D - l ( - l D + ( l+ -( l+ 5 l - l Γραμμικά συστήματα

27 Εξετάζουμε πότε είναι D 0. Έχουμε: D 0 (-λ + (λ λ ή λ -4 Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν λ! και λ! -4 τότε είναι D! 0 άρα το σύστημα (Σ έχει μοναδική λύση τη: ( l ( l c m - c - m ( - l + ( l + 4 ( - l+ ( l+ 4 c - l + 4 l + 4 m Αν λ τότε το σύστημα (Σ γίνεται: Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( ( - 3! R. Αν λ -4 τότε το σύστημα (Σ γίνεται: 4 ( 4 ( $ * * Άρα το σύστημα (Σ είναι αδύνατο..4 Δίνονται οι εξισώσεις: (κ κ + 3 (ε και κ + (κ - (ε α Να αποδειχθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν ευθείες. β Να βρεθούν για τις διάφορες τιμές του κ!r τα κοινά σημεία των δύο ευθειών. Απάντηση α Καθεμία από τις δύο εξισώσεις έχει τη μορφή α + β γ. Στην (ε είναι β -4! 0 άρα η (ε παριστάνει ευθεία. Στην (ε οι συντελεστές κ και κ - των και αντίστοιχα δεν μπορούν να μηδενίζονται συγχρόνως αφού τότε θα είχαμε κ 0 και κ που είναι αδύνατο. Επομένως και η (ε παριστάνει ευθεία. β Τα κοινά σημεία των δύο ευθειών προσδιορίζονται από τη λύση του συστήματος: ( k 4 k 3 ( S: k+ ( k- Επειδή το (Σ είναι παραμετρικό εργαζόμαστε με τη μέθοδο των οριζουσών. Είναι: k - -4 D k k- (κ - + 4κ (κ + k D k - (κ + 3(κ κ + κ + (κ + D k - k + 3 D κ - - κ(κ + 3 -κ - κ - -(κ + -D k 3

28 Εξετάζουμε πότε είναι D 0. Έχουμε: D 0 (κ + 0 κ - Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν κ! - τότε είναι D! 0 οπότε το (Σ έχει μοναδική λύση τη: ( D D c m - ( - ` j Άρα για κ! - οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α( -. Αν κ - το (Σ γίνεται: Επομένως το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής: ( (- -! R Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις (ε και (ε ταυτίζονται οπότε έχουν κοινά όλα τα σημεία με συντεταγμένες (- -! R. Z + 3- v - ].5 Να λυθεί το σύστημα ( S: [ v 3 ] Λύση 3- + v \ Λύνουμε την η εξίσωση ως προς ω: ω - ω ( Αντικαθιστούμε τη σχέση ( στη η και 3η εξίσωση και προκύπτει το σύστημα: 4 3( * ( * Το τελευταίο σύστημα είναι ομογενές # με: 5 3 D ! Άρα έχει μοναδική λύση τη ( (0 0. Για 0 και 0 από την ( προκύπτει ω. Άρα ( ω (0 0. Z + 5-7v 0 ].6 Να λυθεί το σύστημα [ v 0 ] Λύση v 0 \ Θεωρούμε τον έναν άγνωστο για παράδειγμα το ω ως σταθερό τυχαίο αριθμό και επιλέγουμε ένα # σύστημα (με αγνώστους πλέον μόνο τα. 3 Γραμμικά συστήματα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 1ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 1ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Εξισώσεις, Ανισώσεις και Συναρτήσεις

Κεφάλαιο 3 Εξισώσεις, Ανισώσεις και Συναρτήσεις Κεφάλαιο 3 Εξισώσεις, Ανισώσεις και Συναρτήσεις Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 3.1 Η έννοια της μεταβλητής... 3 3.2 Πρωτοβάθμιες εξισώσεις... 3 3.3 Πρωτοβάθμιες ανισώσεις...

Διαβάστε περισσότερα

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.3. Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A.Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι - τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα