ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ Χειράκης Δαμιανός ΑΕΜ: 3656 Επιβλέπων Καθηγητής: Τσιριγώτης Γεώργιος ΚΑΒΑΛΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2011

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα πτυχιακή εργασία εκπονήθηκε από τον φοιτητή Χειράκη Δαμιανό του τμήματος Ηλεκτρολογίας του Ανώτατου Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Καβάλας κατά το ακαδημαϊκό έτος υπό την επίβλεψη του Καθηγητή του Τμήματος Τσιριγώτη Γεώργιο. Στον κύριο Τσιριγώτη οφείλω τις θερμές μου ευχαριστίες για την καθοδήγηση και την υποστήριξη του καθ όλη την διάρκεια διεκπεραίωσης της παρούσας πτυχιακής εργασίας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την ανυπολόγιστη ηθική υποστήριξη, την συμπαράσταση και την κατανόηση που έδειξαν όλο τον καιρό των σπουδών μου. Στην μνήμη του πατέρα μου 1

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το MATLAB (matrix laboratory) είναι ένα περιβάλλον αριθμητικής υπολογιστικής και μια προγραμματιστική γλώσσα τέταρτης γενιάς. Αποθηκεύει και κάνει τις πράξεις με βάση την άλγεβρα μητρών. Χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, ωστόσο είναι πολύ "ισχυρό" και μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για προγραμματισμό. Το SIMULINK είναι ένα γραφικό περιβάλλον μοντελοποίησης και προσομοίωσης block διαγραμμάτων και μη γραμμικών συστημάτων. Αποτελεί επέκταση του MATLAB και διαφοροποιείται από αυτό στο ότι διαθέτει ένα παραθυρικό γραφικό user interface και μπορεί να προσθέσει περεταίρω λειτουργίες στο MATLAB. Το ανάστροφο εκκρεμές συνήθως χρησιμοποιείται για τη συγκριτική αξιολόγηση νέων τεχνικών ελέγχου, όπου είναι ένα ασταθές μη-γραμμικό σύστημα. Η μελέτη αυτή έχει ως σκοπό την εξισορρόπηση ενός ανάστροφου εκκρεμούς εφαρμόζοντας τεχνικές ευφυούς Ελέγχου. Το πρόβλημα της εξισορρόπησης ενός ανάστροφου εκκρεμούς έχει πολλά κοινά σημεία με πολλά άλλα πρακτικά προβλήματα ελέγχου όπως ο έλεγχος ενός διαστημικού πυραύλου εκτόξευσης, ενός δορυφόρου, ενός αυτόματου συστήματος προσγείωσης αεροσκάφους κ.α. Ο σκοπός της εργασίας αυτής είναι η εξομοίωση ενός μηχανικού ανάστροφου εκκρεμούς και η εύρεση κατάλληλου γραμμικού ελεγκτή για την σταθεροποίηση του συστήματος. Πρώτο σκέλος της πτυχιακής, θα είναι η μελέτη των μη γραμμικών εξισώσεων που διέπουν την συμπεριφορά ενός ανάστροφου εκκρεμούς και η εισαγωγή τους στο MATLAB. Δεύτερο σκέλος θα είναι η κατασκευή των μοντέλων. Για να λυθεί το παραπάνω πρόβλημα χρησιμοποιήθηκε το Simulink ως περιβάλλον προσομοίωσης, το οποίο είναι ένα αναγνωρισμένο στην επιστημονική κοινότητα λογισμικό, που περιέχεται στο πακέτο του Matlab της MathWorks. 2

4 Πίνακας περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: MATLAB-SIMULINK..4 Εισαγωγή στο Matlab...5 Στοιχεία του Matlab...5 Βασικά συστατικά...6 Εφαρμογές του Matlab...6 Είσοδος στο Matlab...7 Έξοδος από το Matlab Αναλυτική περιγραφή των παραθύρων...10 Βασικές πράξεις...12 Συναρτήσεις βιβλιοθήκης...15 Μεταβλητές...16 Γραφικές παραστάσεις στο Matlab...17 SIMULINK Γενικά...20 Βασικές λειτουργίες του SIMULINK...22 Περιήγηση στο SIMULINK...23 Βασικές βιβλιοθήκες δομικών στοιχείων του SIMULINK..30 Παράδειγμα 1 Διαφορική εξίσωση στο SIMULINK.33 Παράδειγμα 2 δουλεύοντας ένα απλό σύστημα 36 Παράδειγμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ.50 Εισαγωγή...50 Ευφυής έλεγχος..50 Περιγραφή διαδικασίας...51 Ανάστροφο εκκρεμές..54 Περιγραφή της εργαστηριακής διάταξης.54 Οι εξισώσεις περιγραφής του συστήματος..,57 Κατασκευή των μοντέλων Simulink..59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ.66 Υλοποίηση των μοντέλων στο SIMULINK..66 Χρήσιμα εργαλεία από το Simulink.66 Παρουσίαση των μοντέλων.68 Προσομοίωση των δυο μοντέλων με animation..75 3

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 MATLAB-SIMULINK Εισαγωγή στο MATLAB Το MATLAB αποτελεί ένα εμπορικό εργαλείο το οποίο προσφέρει ένα διαδραστικό προγραμματιστικό περιβάλλον στον χρήστη και χρησιμοποιείται σε ένα μεγάλο εύρος εφαρμογών. Ενσωματώνει μια υψηλού επιπέδου γλώσσα προγραμματισμού, κατάλληλη για τη μοντελοποίηση και επίλυση σύνθετων μαθηματικών, και όχι μόνο, προβλημάτων. Το όνομά του προέρχεται από τις λέξεις MATrix LABoratory (εργαστήριο πινάκων) πράγμα που υποδηλώνει το γεγονός ότι η λειτουργία του βασίζεται εξ ολοκλήρου στη χρήση πινάκων, στοιχεία των οποίων μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί (ακόμα και ένας μεμονωμένος αριθμός, όπως για παράδειγμα το 8, θεωρείται ως πίνακας με ένα στοιχείο). Ανάμεσα σε ένα πλήθος άλλων ευκολιών που προσφέρει επιτρέπει τον εύκολο χειρισμό πινάκων, τη γραφική απεικόνιση (plotting) συναρτήσεων και δεδομένων, την υλοποίηση αλγορίθμων, την δημιουργία γραφικών διεπαφών και τη συνεργασία και διαλειτουργικότητα με προγράμματα γραμμένα σε άλλες γλώσσες προγραμματισμού. Λόγω, δε του ότι το MATLAB βρίσκει εφαρμογή σε ποικίλα επιστημονικά πεδία (επεξεργασία σήματος, νευρωνικά δίκτυα, συστήματα ελέγχου κ.τ.λ.), πρόσθετα πακέτα, που ονομάζονται toolboxes, ενσωματώνονται σε αυτό και προσφέρουν χρήσιμες εξειδικευμένες συναρτήσεις. Δημιουργήθηκε από τον Moler στη δεκαετία του 1970, αρχικά σαν εργαλείο διαχείρισης των βιβλιοθηκών της γλώσσας προγραμματισμού FORTRAΝ: Linpack (γραμμική άλγεβρα) και Eispack (ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα). Η έκδοση που χρησιμοποιείται σήμερα είναι η 8 και πέρα από τις δυνατότητες που παρείχαν οι προηγούμενες αυτή έχει εμπλουτιστεί με νέες βιβλιοθήκες αλλά και με καινούριο πιο φιλικό γραφικό περιβάλλον. Το Matlab χρησιμοποιείται κυρίως για μαθηματικούς υπολογισμούς, ανάπτυξη αλγορίθμων, προσομοίωση, μοντελοποίηση και προτυποποίηση. Επίσης, για ανάλυση δεδομένων,οπτικοποίηση, επιστημονικά και 4

6 μηχανολογικά γραφικά και ανάπτυξη εφαρμογών. Είναι ένα διαδραστικό σύγχρονο εργαλείο του οποίου βασικό στοιχείο είναι η διάταξη (array). Αυτό μας επιτρέπει τη λύση πολλών υπολογιστικών προβλημάτων, ιδιαίτερα όσων περιλαμβάνουν σχηματισμούς πινάκων και διανυσμάτων σε χρόνο μικρότερο απ ότι απαιτούν οι γλώσσες προγραμματισμού Fortran και C. Στοιχεία του Matlab Το σύστημα του Matlab αποτελείται από πέντε βασικά μέρη: Α) Περιβάλλον ανάπτυξης. Είναι ένα σύνολο από εργαλεία που βοηθάνε στην χρήση των συναρτήσεων και των αρχείων του Matlab.Τα εργαλεία αυτά συμπεριλαμβάνουν την επιφάνεια εργασίας του Matlab (Matlab desktop),τη γραμμή εργασιών (command window), το ιστορικό εντολών (command history), έναν κειμενογράφο (editor) και έναν διορθωτή (debugger), έναν περιηγητή για τη βοήθεια, το χώρο εργασίας (workspace), τα αρχεία και την αναζήτηση. Β) Βιβλιοθήκη μαθηματικών συναρτήσεων του Matlab. Είναι μια τεράστια συλλογή από υπολογιστικούς αλγορίθμους που καλύπτουν ένα ευρύτατο φάσμα που ξεκίνα από στοιχειώδεις συναρτήσεις, όπως το άθροισμα, το ημίτονο, και εκτείνεται σε πιο σύνθετες συναρτήσεις, όπως αντιστροφή πίνακα, συναρτήσεις Bessel και μετασχηματισμούς Fourrier. Γ) Γλώσσα του Matlab. Είναι μια υψηλού επιπέδου γλώσσα με δηλώσεις δομής ελέγχου, δομές δεδομένων, συναρτήσεις/εξόδους και χαρακτηριστικά αντικειμενοστραφούς προγραμματισμού. Δ) Γραφικά Το Matlab μπορεί με ευκολία να αναπαραστήσει γραφικά διανύσματα και πίνακες και δίνει τη δυνατότητα σχολιασμού και εκτύπωσης αυτών των γραφημάτων. Περιλαμβάνει επιπέδου για απεικόνιση διανυσμάτων σε διαγράμματα δυο και τριών διαστάσεων, επεξεργασία εικόνας, δυναμική κίνηση ομοιωμάτων και γραφικά παρουσίασης. Περιλαμβάνει επιπλέον συναρτήσεις χαμηλού επιπέδου που επιτρέπουν στο χρήστη να προσαρμόσει πλήρως την εμφάνιση των γραφημάτων. Ε) Περιβάλλον εφαρμογής προγραμμάτων (Application Program Interface - API) Είναι μια βιβλιοθήκη που επιτρέπει στο χρήστη να γράψει κώδικα στις γλώσσες προγραμματισμού C και Fortran που αλληλεπιδρούν με το Matlab. Δίνει τη δυνατότητα κλήσης υπορουτίνων από το Matlab (dynamic linking), κλήση του Matlab ως υπολογιστικής μηχανής και για την ανάγνωση και ανάπτυξη αρχείων τύπου MAT (MATfiles). 5

7 Τα βασικά συστατικά του MATLAB είναι: Το Περιβάλλον Ανάπτυξης και τα αντίστοιχα εργαλεία του: περιλαμβάνει διάφορα παράθυρα, όπως το Παράθυρο Εντολών (Command Window) και το Ιστορικό Εντολών (Command History) και άλλα εργαλεία για αποσφαλμάτωση (debugging), ανάλυση κώδικα και πλοήγηση στο σύστημα αρχείων Η βιβλιοθήκη μαθηματικών συναρτήσεων: ίσως το πιο σημαντικό συστατικό του MATLAB, με στοιχειώδεις αριθμητικές συναρτήσεις, αλλά και πιο πολύπλοκες Η γλώσσα προγραμματισμού: μια υψηλού επιπέδου προγραμματιστική γλώσσα με δομές δεδομένων, συναρτήσεις, εντολές ελέγχου ροής, εντολές εισόδου/εξόδου και στοιχεία από αντικειμενοστραφείς γλώσσες προγραμματισμού Τα γραφικά συστατικά: το MATLAB παρέχει μια πληθώρα δυνατοτήτων απεικόνισης διανυσμάτων, πινάκων και γραφημάτων στις 2 και 3 διαστάσεις Eφαρμογές του Matlab Το Matlab μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα μεγάλο εύρος εφαρμογών που απαιτούν σύνθετους μαθηματικούς υπολογισμούς. Είναι προσανατολισμένο για να λύνει τα προβλήματα αριθμητικά, δηλαδή με αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας. Χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Για την ανάπτυξη ενός αλγορίθμου απαιτείται ο ορισμός και η πλήρης κατανόηση του προβλήματος προς επίλυση, ο καθορισμός του, δηλαδή ο καθορισμός μιας συγκεκριμένης διαδικασίας βημάτων τα οποία οδηγούν σε συγκεκριμένα αποτελέσματα με ικανοποιητικά ελάχιστο δυνατό κόστος (μνήμης και χρόνου),η υλοποίηση του σε υπορουτίνα / πρόγραμμα, αν αυτό κριθεί απαραίτητο. Επίσης απαιτείται ο έλεγχος της υπορουτίνας προγράμματος για διάφορες περιπτώσεις δεδομένων, ειδικά όλων των ακραίων περιπτώσεων και τέλος η χρήση υπορουτίνας / προγράμματος για επίλυση σχετικών προβλημάτων. Μια άλλη εφαρμογή του Matlab όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο είναι η μοντελοποίηση και η προσομοίωση προβλημάτων, κάνοντας χρήση του Simulink, το οποίο είναι ένα πρόγραμμα ενσωματωμένο στο Matlab, η ανάλυση και η οπτικοποίηση δεδομένων και η δημιουργία γραφικών παραστάσεων. Το Matlab διαθέτει δυναμικές και ευέλικτες γραφικές ικανότητές. Σχήματα διαφόρων τύπων μπορούν να δημιουργηθούν σχετικά εύκολα. Αναφορικά, οι βασικές εντολές που χρησιμοποιούνται είναι οι: plot, loglog, semilogx, semilogy,polar. Τέλος η δημιουργία εφαρμογών για την επεξεργασία συστημάτων και την επίλυση σύνθετων προβλημάτων Τα toolboxes (εργαλειοθήκες) του Matlab είναι ένα ευρύ σύνολο από ήδη ανεπτυγμένους αλγορίθμους που παρέχονται στο χρήστη με τη μορφή συναρτήσεων του προγράμματος και βοηθούν στη λύση ειδικής κατηγορίας προβλημάτων. Κάποια έτοιμα πακέτα τέτοιων αλγορίθμων είναι το control systems toolbox,το signal processing toolbox,το simulink, το model predictive control toolbox,κτλ. 6

8 Είσοδος στο Μatlab Για να χρησιμοποιήσουμε το Matlab πρέπει πρώτα να το εγκαταστήσουμε στον υπολογιστή μας. Μπορούμε να ξεκινήσουμε το πρόγραμμα με δύο κυρίως τρόπους. Με τα πλήκτρα Έναρξη Προγράμματα (programs) MΑΤLAB MATLAB R2007b. Εικ.1: Έναρξη του Matlab ή με διπλό κλικ στο εικονίδιο του Μatlab στην αρχική οθόνη του υπολογιστή, το οποίο έχει εγκατασταθεί αυτόματα στην οθόνη του υπολογιστή μας αμέσως μετά την εγκατάσταση του προγράμματος. Η εγκατάσταση του προγράμματος γίνεται με την είσοδο στον υπολογιστή του κατάλληλου cd με τον κωδικό που συνοδεύεται. Με διπλό κλικ στο παρακάτω εικονίδιο αρχίζει να τρέχει το πρόγραμμα και είμαστε έτοιμοι να το επεξεργαστούμε χωρίς να το ψάχνουμε από τα προγράμματα. 7

9 Έξοδος από το Μatlab Εικ.2: Εικονίδιο του Matlab στην αρχική οθόνη Για να κλείσουμε το πρόγραμμα επιλέγουμε ένα από τους παρακάτω τρεις τρόπους: α)από το μενού του προγράμματος μας επιλέγουμε File-Exit MATLAB β)πατώντας το Χ στο παράθυρο του Matlab. Γ) πληκτρολογώντας quit στο παράθυρο εντολών (command window) του Matlab. Για να χρησιμοποιήσουμε το MATLAB πρέπει να το εγκαταστήσουμε πρώτα στον υπολογιστή μας.μπορούμε να ξεκινήσουμε το πρόγραμμα με διπλό κλικ πάνω στο εικονίδιο αυτό. Μετά από λίγο, αφού το πρόγραμμα φορτώσει, θα εμφανιστεί στην οθόνη μας το παράθυρο έναρξης του MATLAB (MATLAB opening window). Αυτό είναι το πρώτο παράθυρο που εμφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή και από αυτό ξεκινάμε τον προγραμματισμό. Το παράθυρο έναρξης του Matlab παρουσιάζεται παρακάτω στην Εικ.3: 8

10 Γενικά εμφανίζονται τέσσερα παράθυρα: Εικ.3: Παράθυρο έναρξης του MATLAB 1) Το μεγάλο παράθυρο εντολών (Command Window) στα δεξιά. Οι εντολές της MATLAB εισάγονται σ αυτό το παράθυρο μετά την προτροπή (prompt) >>. Τα αποτελέσματα επίσης τυπώνονται στο παράθυρο αυτό (προεπιλογή). 2) Ένα μικρό παράθυρο πάνω αριστερά που δείχνει τον τρέχοντα φάκελο (Current Directory) και τα αρχεία που εμφανίζονται σ αυτόν. Αν το παράθυρο είναι κρυμμένο, επιλέξτε Current Directory. 3) Ένα παράθυρο που εναλλάσσεται με το παράθυρο τρέχοντα φακέλου ανάλογα με την επιλογή Workspace ή Current Directory είναι το παράθυρο του χώρου εργασίας (workspace). Αν το παράθυρο είναι κρυμμένο, επιλέξτε Workspace. 4) Ένα παράθυρο κάτω αριστερά που δείχνει το ιστορικό εντολών (Command History). Αν δεν εμφανιστεί το παράθυρο αυτό επιλέξτε Command History στην επιλογή View. Με τον ίδιο τρόπο μπορείτε να κλείσετε το παράθυρο αυτό. Κατά τη διάρκεια μιας εργασίας στη MATLAB μπορεί να εμφανιστούν αυτόματα και άλλα παράθυρα όταν αυτό απαιτείται όπως παράθυρα κειμένου (document windows), παράθυρα γραφικών (graphics windows) και παράθυρα σύνταξης αρχείων (editing windows). 9

11 Η έξοδος από το πρόγραμμα μπορεί να γίνει με τους εξής τρόπους: με την εντολή quit ή την εντολή exit στο παράθυρο εντολών, με κλικ στο τετραγωνίδιο [x] που βρίσκεται πάνω δεξιά στο παράθυρο της MATLAB, και με την επιλογή File Exit MATLAB στο παράθυρο εργασίας. Το Matlab έχει ένα πολύ φιλικό προς τον χρήστη περιβάλλον. Χρησιμοποιεί παράθυρα (windows) για την εύκολη πρόσβαση σε όλες τις λειτουργίες. Όταν εκκινήσει το πρόγραμμα, θα εμφανιστούν αυτά τα παράθυρα: Ό Εικ.4: Παράθυρα για εύκολη πρόσβαση Αναλυτική περιγραφή των παραθύρων στην οθόνη εκκίνησης command window Είναι το βασικό παράθυρο στο οποίο αναγράφονται οι δηλώσεις μεταβλητών και οι εντολές (Στα αγγλικά ονομάζεται «command prompt»). Είναι το κύριο περιβάλλον εργασίας. Το σημείο στο οποίο το πρόγραμμα αναμένει εντολές έχει το σύμβολο ( >> ). Στο συγκεκριμένο παράθυρο, η εκτέλεση της εκάστοτε εντολής πραγματοποιείται μόλις πιεστεί το πλήκτρο Enter ενώ τα αποτελέσματα της εκτέλεσης είναι άμεσα ορατά στον χώρο αμέσως κάτω από την εκτελούμενη εντολή. 10

12 Workspace Ο χώρος στον οποίο αποθηκεύονται οι μεταβλητές που δηλώνονται στο «command prompt». Όταν για παράδειγμα πληκτρολογηθεί στο «command prompt»: >>x=5 τότε το πρόγραμμα, αποθηκεύει την τιμή του x στο workspace. (Όπως μπορούμε να δούμε όλες οι μεταβλητές στο matlab αποθηκεύονται σε πινακοποιημένη μορφή. Για παράδειγμα, μία σταθερά αποθηκεύεται σαν ένας πίνακας 1Χ1). Current directory Παράθυρο, από το οποίο παρέχεται εύκολη πρόσβαση σε φακέλους με αρχεία εργασίας. Επίσης, χρησιμεύει κατά την εκτέλεση αρχείων. Όταν για παράδειγμα θέλουμε να εκτελέσουμε το αρχείο newt.m τότε πρέπει το current directory να είναι ο φάκελος του δίσκου στον οποίο είναι αποθηκευμένο, αλλιώς το matlab δεν θα μπορεί να το εντοπίσει για να το εκτελέσει. Command history Το matlab κρατά ιστορικό για τις εντολές που έχουν πληκτρολογηθεί προηγουμένως. Έτσι κάνοντας διπλό κλικ σε κάποια από αυτές μπορεί κάποιος να την ανακτήσει στο «command prompt» χωρίς να χρειαστεί να την πληκτρολογήσει πάλι. Τα υπόλοιπα παράθυρα (Μπορούν να εμφανιστούν πατώντας το ιπτάμενο μενού view): Εικ.5: Υπόλοιπα παράθυρα εργασίας (view) 11

13 Περιγραφή υπολοίπων παραθύρων εργασίας Launch Pad Δενδροειδές διάγραμμα για πρόσβαση στις διάφορες επιπρόσθετες βιβλιοθήκες με ειδικούς αλγόριθμους, τα λεγόμενα toolbox, (Όπως τα Optimization toolbox, Fuzzy Logic toolbox, Genetic Algorithms toolbox κ.α), σε έτοιμα προγράμματα αυτών (demos), καθώς και σε αρχεία βοήθειας. Profiler Ο χρήστης πληκτρολογεί μια εντολή και το πρόγραμμα μετρά τον χρόνο που χρειάζεται να την υπολογίσει. Αυτό είναι χρήσιμο, διότι μια εντολή μπορεί να γραφεί με διαφορετικούς τρόπους ώστε να εκτελείται σε λιγότερο χρόνο. Με άλλα λόγια μπορεί κάποιος να βελτιστοποιήσει τον κώδικά του, στα σημεία εκείνα που δαπανάται ο μεγαλύτερος χρόνος κατά την εκτέλεση. Help Παρέχει πρόσβαση σε αρχεία βοήθειας. Βασικές πράξεις Το MATLAB μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν απλή αριθμομηχανή. Για τις βασικές πράξεις χρησιμοποιούνται τα σύμβολα που φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα: Παράδειγμα: >> 1+2 ans = 3 Παράδειγμα: >> (3*7)^3+6 ans = 9267 Πίνακας 1: Βασικές πράξεις 12

14 Προτεραιότητα πράξεων Όπως και στις γλώσσες προγραμματισμού FORTRAN και C, η MATLAB ακολουθεί τους συνήθεις αλγεβρικούς κανόνες για την σειρά εκτέλεσης πράξεων: 1. Πρώτα εκτελούνται οι πράξεις μέσα σε παρενθέσεις από τα μέσα προς τα έξω. 2. Μετά εκτελούνται οι υψώσεις σε δύναμη. 3. Μετά εκτελούνται οι πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις από τα αριστερά προς ταδεξιά. 4. Τέλος, εκτελούνται οι προσθέσεις και αφαιρέσεις από τα αριστερά προς τα δεξιά. Παράδειγμα: Ο σωστός τρόπος υπολογισμού της παράστασης είναι ο εξής: >> (1.1^(2+3)-1)/(3*2) ans = Παράδειγμα: Διαφορά δεξιάς-αριστερής διαίρεσης >> 4/5 ans = >> 4\5 ans = Παράδειγμα: >> (5+7-3)/12 ans = Παράδειγμα: >> x=1 x = 1 >> y=2 y = 2 >> w=z^y w = 9 13

15 Άλλοι χρήσιμοι τελεστές, εκτός από τους βασικούς, φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Πίνακας 2: Χρήσιμοι τελεστές Για τα ονόματα μεταβλητών χρησιμοποιούνται κυρίως γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου. Η MATLAB κάνει διάκριση μεταξύ κεφαλαίων και μικρών γραμμάτων. Οι πίνακες και τα διανύσματα αποτελούν τις κύριες μεταβλητές της MATLAB όπως δηλώνεται και από το όνομά της. Μάλιστα στις αρχικές εκδοχές της MATLAB (μέχρι και την εκδοχή 3) όλες οι μεταβλητές ήταν πίνακες, αφού οι αριθμοί αντιμετωπίζονται σαν 14

16 1 1 πίνακες και τα διανύσματα σαν 1 n πίνακες. Οι πίνακες στη MATLAB εισάγονται με βάση τους εξής κανόνες: 1. Τα στοιχεία του πίνακα γράφονται ανάμεσα σε αγκύλες [.. ]. Μόνο στην περίπτωση 1 1 πινάκων, δηλ. μόνο στην περίπτωση αριθμών (!), οι αγκύλες είναι προαιρετικές. 2. Τα στοιχεία μιας γραμμής του πίνακα χωρίζονται είτε με κόμματα είτε με κενό. 3. Η αλλαγής γραμμής στον πίνακα δηλώνεται είτε με ερωτηματικό (;) είτε με αλλαγή γραμμής στο παράθυρο εντολών της MATLAB. Παράδειγμα: Θα προσθέσουμε τα διανύσματα u = (4, 0, 1, 2) και v = (1, 2, 3, 1). >> u=[ ]; >> v=[1, 2, -3, 1]; >> u+v ans = Συναρτήσεις βιβλιοθήκης Η MATLAB είναι εφοδιασμένη με αρκετές συναρτήσεις βιβλιοθήκης oι οποίες περιλαμβάνουν τους λογαρίθμους, τις εκθετικές συναρτήσεις, τις τριγωνομετρικές, τις υπερβολικές συναρτήσεις, συναρτήσεις στατιστικής ανάλυσης και άλλες. Στον πίνακα φαίνονται μόνο μερικές από αυτές: Πίνακας 3: Συναρτήσεις βιβλιοθήκης 15

17 Οι βασικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούμε στο Matlab είναι ενσωματωμένες στο πρόγραμμα και δεν χρειάζεται να τις ορίζει κάθε φόρα ο χρήστης. Η κλήση της συνάρτησης γίνεται πληκτρολογώντας τα αρχικά της. Αν θέλουμε να δούμε πως συντάσσεται μια συνάρτηση πληκτρολογούμε στο command window help και το όνομα της εντολής. Παράδειγμα: >> 7*cos(pi/4)+8*tan(pi/6)-3*sqrt(25)+log(10) ans = Μεταβλητές Για τις μεταβλητές ισχύουν οι εξής κανόνες για την ονομασία τους: Μία μεταβλητή με κεφαλαία γράμματα αποτελεί διαφορετική μεταβλητή από μία με μικρά γράμματα. Για παράδειγμα οι μεταβλητές Cost, cost, Cost, COST είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους. Τα ονόματα των μεταβλητών μπορούν να έχουν μέχρι 31 χαρακτήρες. Οποιοσδήποτε χαρακτήρας μετά τον 31ο, αγνοείται. Τα ονόματα των μεταβλητών, πρέπει να ξεκινούν με κάποιο γράμμα και να ακολουθούνται από άλλα γράμματα, αριθμούς, και χαρακτήρες υπογράμμισης (πχ_ ). Οι χαρακτήρες στίξης δεν επιτρέπονται, διότι πολλοί από αυτούς έχουν ιδιαίτερη σημασία στο matlab. Κάθε φορά που εκκινείτε η MATLAB δημιουργείται στη μνήµη του υπολογιστή ο χώρος εργασίας (workspace) εντός του οποίου αποθηκεύονται οι οριζόμενες στο παράθυρο εντολών μεταβλητές. Οι μεταβλητές αυτές είναι διαθέσιµες μέχρι την έξοδο από τη MATLAB, ενώ είναι δυνατή η αποθήκευση τους στο δίσκο και η ανάκτηση τους σε επόμενη εκκίνηση της MATLAB. Ο εξ ορισμού τύπος μεταβλητής είναι πραγματικός διπλής ακρίβειας. Άλλοι τύποι μεταβλητών που θα χρησιμοποιηθούν στα πλαίσια των εργαστηριακών ασκήσεων είναι ο μιγαδικός αριθµός και η μεταβλητή-αντικείμενο συνάρτησης μεταφοράς. Είναι δυνατή η χρήση και άλλων τύπων μεταβλητών, η περιγραφή των οποίων είναι εκτός του σκοπού του παρόντος οδηγού. Η δήλωση μιας μεταβλητής στο παράθυρο εντολών γίνεται ταυτόχρονα µε την απόδοση τιμής σε αυτήν. Είναι δυνατή η αποθήκευση μιας μεταβλητής (ή και όλων των μεταβλητών) του χώρου εργασίας στο δίσκο του υπολογιστή, αλλά και η ανάκτηση αποθηκευμένων μεταβλητών από το δίσκο στο χώρο εργασίας. Η αποθήκευση μεταβλητής γίνεται µε την εντολή save, η οποία συντάσσεται ως: 16

18 save fname X Όπου fname είναι το όνομα αρχείου και X η αποθηκευμένη μεταβλητή. Εξ ορισµού το αρχείο αποθήκευσης έχει την κατάληξη.mat και είναι δυαδικό (binary). Είναι δυνατή η αποθήκευση και σε αρχείο κειμένου (text) αν δοθεί η εντολή ως: save fname X -ascii H ανάκτηση μεταβλητών αποθηκευμένων σε αρχεία τύπου.mat ή αρχεία κειμένου γίνεται µε την εντολή load. H εντολή αυτή συντάσσεται ως: load fname Εάν το αρχείο µε όνομα fname είναι τύπου.mat. Οι ανακτώμενες από το αρχείο μεταβλητές είναι διαθέσιµες στο χώρο εργασίας µε τα ονόµατα που είχαν χρησιμοποιηθεί κατά την αποθήκευση τους. Στην περίπτωση όπου το αρχείο αποθήκευσης είναι τύπου κειμένου (περιέχει γραµµές αριθμητικών τιµών διαχωρισμένων µε κενά), χρησιμοποιείται η σύνταξη: load fname.ext Όπου.ext η κατάληξη του αρχείου. Οι τιμές που περιέχει το αρχείο είναι διαθέσιµες στο χώρο εργασίας ως µια μεταβλητή µε όνομα το όνομα του αρχείου χωρίς την κατάληξη. Γραφικές παραστάσεις στη Matlab Η εντολή plot Η Matlab έχει εξαιρετικές δυνατότητες στις γραφικές απεικονίσεις και είναι εφοδιασμένη με πολλές συναρτήσεις για εύκολο και ευέλικτο σχεδιασμό επίπεδων, δύο και τριών διαστάσεων, ισοϋψών καμπυλών, τρισδιάστατων επιφανειών και πολλά αλλά. Η προσπάθεια κατανόησης των μαθηματικών συναρτήσεων με γραφικές παραστάσεις, αποτελεί ένα ευχάριστο και αποτελεσματικό εργαλείο για τη μελέτη των μαθηματικών. Θα ξεκινήσουμε με την πιο απλή εντολή, plot, και θα αναφέρουμε εκτενώς πολλές ιδιότητες αυτής. Η εντολή plot χρησιμοποιείται για την κατασκευή του γραφήματος μιας επίπεδης καμπύλης και συντάσσεται ως εξής >>plot (x,y). Εντολή plot title xlabel ylabel legend text grid Περιγραφή Δημιουργεί το γράφημα του y συναρτήσει του x Προσθήκη τίτλου Προσθήκη ετικέτας στον οριζόντιο άξονα Προσθήκη ετικέτας στον κατακόρυφο άξονα Προσθήκη λεζάντας Προσθήκη κειμένου στη θέση (xi, yi) Δημιουργία πλέγματος 17

19 Παρακάτω παρατίθεται ένα απλό παράδειγμα για να γίνει πιο σαφής η λειτουργία της plot. Παράδειγμα 1: Εκτέλεση ενός απλού σχεδιασμού των στοιχείων δύο διανυσμάτων. >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> plot (x,y) Εικ. 6: Γραφική παράσταση στο Matlab Παρατηρούμε ότι η plot ενώνει τα 9 σημεία που ορίζουν τα x και y με συνεχείς γραμμές. Αν τώρα θέλουμε να κατασκευάσουμε το γράφημα μιας συνάρτησης y=f(x) κατασκευάζουμε πρώτα το διάνυσμα x στο διάστημα που μας ενδιαφέρει με ομοιόμορφα κατανεμημένα σημεία και με μικρό βήμα. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το y και γράφουμε την εντολή plot (x,y) Παράδειγμα 2: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημx σε διάστημα [0, 2π] με βήμα 0.1 >> x=0:0.1:2*pi; >>y=sin(x); >>plot(x,y) 18

20 Εικ.7: Γραφική παράσταση στο Matlab Αν αντί για το μήκος του κάθε υποδιαστήματος μας ενδιαφέρει, το πλήθος των σημείων x, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση linspace. Αν το επιθυμητό πλήθος σημείων είναι για παράδειγμα 100 για την παραπάνω συνάρτηση γράφουμε x=linspace(0,2*pi,100) και το γράφημα είναι ακριβώς το ίδιο. Όταν χρησιμοποιούνται δύο ή περισσότερες εντολές scatter ή plot διαδοχικά, τα περιεχόμενα της εικόνας που εμφανίζεται τροποποιούνται σβήνοντας ότι είχε απεικονιστεί από την πρώτη εντολή και εμφανίζοντας μόνο τα περιεχόμενα της τελευταίας εντολής. Προκειμένου να δημιουργηθεί μία νέα εικόνα για να απεικονιστούν τα δεδομένα χρησιμοποιείται η εντολή figure ενώ με την εντολή hold on τα δεδομένα τόσο της πρώτης όσο και της τελευταίας εντολής θα απεικονιστούν στην ίδια εικόνα. 19

21 SIMULINΚ Γενικά Το SIMULINK είναι ένα λογισµικό πακέτο που επιτρέπει τη μοντελοποίηση, προσομοίωση και ανάλυση δυναµικών συστημάτων. Υποστηρίζει γραµµικά και µη γραµµικά συστήματα, μοντελοποιημένα σε συνεχή ή διακριτό χρόνο, ή ακόµη και υβριδικά συστήµατα (εν μέρει μοντελοποιημένα σε συνεχή και εν µέρει σε διακριτό χρόνο). Υποστηρίζονται ακόµη συστήµατα µε τµηµατικά διαφορετικούς χρόνους δειγματοληψίας. Για τη μοντελοποίηση, το SIMULINK παρέχει ένα γραφικό περιβάλλον διεπαφής(gui) που επιτρέπει την κατασκευή μοντέλων ως δομικών διαγραµµάτων, χρησιμοποιώντας λειτουργίες click-and-drag του ποντικιού. Το SIMULINK περιλαμβάνει ένα πλήθος βιβλιοθηκών δοµικών στοιχείων (blocks), τα βασικότερα από τα οποία είναι οι πηγές (sources), τα στοιχεία «απορρόφησης» (sinks), τα συνεχή γραµµικά στοιχεία, τα µη γραµµικά στοιχεία και τα στοιχεία σημάτων και συστηµάτων. Είναι επίσης δυνατή η τροποποίηση και η δημιουργία νέων δοµικών στοιχείων από το χρήστη. Τα μοντέλα SIMULINK είναι ιεραρχικά (ένα μοντέλο μπορεί να περιέχει μπλοκ τα οποία περιέχουν µε τη σειρά τους άλλα μπλοκ), έτσι μπορούν να ιδωθούν σε διάφορα επίπεδα. Ένα σύστηµα που έχει ιεραρχική δομή μπορεί να ιδωθεί αρχικά σε υψηλό επίπεδο ως ένα σύνολο διασυνδεμένων υποσυστημάτων, κάθε ένα από τα οποία 20

22 μοντελοποιείται ως ένα μπλοκ. Στη συνέχεια, κάνοντας διπλό κλικ µε το ποντίκι στα επί μέρους µπλοκ, ο χρήστης µπορεί να κατέβει σε χαμηλότερα επίπεδα ώστε να δει αυξανόμενους βαθµούς λεπτομέρειας. Μετά τη δημιουργία ενός μοντέλου, είναι δυνατή η προσομοίωση του, χρησιμοποιώντας µια από τις διάφορες μεθόδους ολοκλήρωσης που παρέχει το SIMULINK. Χρησιμοποιώντας παλµογράφους (scopes) και άλλα µπλοκ απεικόνισης, είναι δυνατή η παρακολούθηση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης καθώς αυτή εξελίσσεται. Επιπλέον, είναι δυνατή η εξαγωγή αποτελεσμάτων της προσομοίωσης στο χώρο εργασίας της MATLAB για περαιτέρω επεξεργασία. Είναι ακόµη δυνατή η χρήση του SIMULINK για προσομοίωση αλλά και έλεγχο συστηµάτων σε πραγματικό χρόνο, µέσω της εργαλειοθήκης πραγματικού χρόνου (RealTimeWorkshop). Περαιτέρω πληροφορίες για τα δοµικά στοιχεία και τις βιβλιοθήκες του SIMULINK είναι διαθέσιµες µέσω της βοήθειας της MATLAB. Αφότου καθοριστεί ένα πρότυπο ο χρήστης έχει την δυνατότητα να δει τα αποτελέσµατα της προσομοίωσης καθώς αυτή τρέχει. Επίσης, του είναι επιτρεπτό να αλλάξει τις παραμέτρους και να ξαναδεί τα αποτελέσµατα της προσομοίωσης που τον ενδιαφέρουν. Γενικά το simulink μας ενθαρρύνει να χτίσουμε πρότυπα από την αρχή ή να κάνουμε διαφοροποιήσεις σε υπάρχοντα. Έχουμε στιγμιαία πρόσβαση σε όλα τα υπάρχοντα εργαλεία του Matlab, έτσι ώστε να μπορούμε να πάρουμε διάφορα αποτελέσματα να τα αναλύσουμε και να τα απεικονίσουμε σε γραφική παράσταση. Με τη βοήθεια του simulink μπορούμε να μετατρέψουμε τον υπολογιστή μας σε ένα εργαστήριο για τη διαμόρφωση και την ανάλυση συστημάτων που αλλιώς ήταν αδύνατο να μελετήσουμε τόσο αναλυτικά και εύκολα τη συμπεριφορά, τους όπως για παράδειγμα το σύστημα φρεναρίσματος ενός αυτοκινήτου. Είναι αρκετά ευχάριστο στο χρήστη καθώς τον εισάγει σε ένα γραφικό περιβάλλον όπου εκεί μπορεί να σχεδιάσει τα συστήματά του χρησιμοποιώντας το ποντίκι και σέρνοντας αντικείμενα στο χώρο εργασίας που του προσφέρεται. Το simulink είναι ένα λογισμικό ιδιαίτερα πρακτικό και αυτό το αποδεικνύει το ότι το χρησιμοποιούν χιλιάδες μηχανικοί σε όλο τον κόσμο για να προσομοιώσουν και να λύσουν πραγματικά προβλήματα. Στο Simulink το μόνο που απέμεινε είναι τα σύμβολα που λειτουργούν σαν διασύνδεση. Η εσωτερική αναπαράσταση και όλες οι πράξεις γίνονται σε καθαρά ψηφιακή βάση. Διατίθεται μια πληθώρα από έτοιμες συναρτήσεις, απεικονίσεις, και άλλες ευκολίες. 21

23 Οι βασικές λειτουργίες του SIMULINK Τα βασικά χαρακτηριστικά και λειτουργίες του Simulink είναι: Χρησιμοποιείται για δημιουργία μοντέλων προσομοιώσεων και ανάλυση Δυναρικών φυσικών συστημάτων µε ένα ευέλικτο και εύκολο στη χρήση περιβάλλον εργασίας. Επιλύει διάφορα είδη προβλημάτων που εµπίπτουν σε διάφορους επιστημονικούς τοµείς λόγω της µαθηµατικής επάρκειάς του. Παρά το ότι είναι ουσιαστικά γλώσσα προγραμματισμού δεν χρειάζεται προγραμματιστικές ικανότητες υψηλού επιπέδου. Υπάρχει πλήθος βιβλιογραφικών αναφορών και εφαρμογών αλλά και τεχνικής τεκμηρίωσης, που το καθιστά προσβάσιµο σε κάθε ενδιαφερόμενο. Παρέχει μεγάλες δυνατότητες γραφικής απεικόνισης που επιτρέπουν την απεικόνιση των αποτελεσμάτων των προσομοιώσεων στη οθόνη του υπολογιστή. (Hanselman, 2001). Ο χρήστης σχεδιάζει διαγράμματα ροής φυσικών συστηνόταν χρησιμοποιώντας το ποντίκι. Υπάρχουν βιβλιοθήκες µε έτοιμα στοιχεία και συναρτήσεις για συγκεκριμένες εφαρμογές, όπως η µμετάδοση δεδομένων, επικοινωνίες, μηχανικά συστήµατα και ηλεκτρικά κυκλώματα. Περιέχει επίσης πολλές έτοιµες συναρτήσεις ή εξειδικευμένες διαδικασίες που απαιτούνται σε προσομοιώσεις και μοντελοποιήσεις. Παρέχει όλα τα µαθηµατικά εργαλεία για να δημιουργήσει ο χρήστης τη γραφική απεικόνιση οποιασδήποτε συνάρτησης. Παράδειγμα απλής εφαρμογής η συνάρτηση f(x) = 3x + 5x, που παριστάνεται µε το Simulink ως εξής: Εικ.8: Η συνάρτηση f(x)=3x+5x Η μεταβλητή (x) παριστάνεται µε την συνάρτηση ράµπας, ενώ τα αποτελέσµατα εξάγονται στο µπλοκ «scope» και απεικονίζονται µε διπλό κλικ πάνω του. Όλα τα µπλοκ βρίσκονται στην βιβλιοθήκη του λογισµικού και μεταφέρονται µε drag-anddrop µε το ποντίκι στην επιφάνεια εργασίας του μοντέλου. Έτοιµες εφαρμογές «Demo» υπάρχουν στη «βοήθεια» του Matlab και στην ιστοσελίδα της Mathworks. 22

24 Περιήγηση στο SIMULINK Τα μοντέλα Δυναρικών συστημάτων που κατασκευάζονται µε το SIMULINK αποθηκεύονται ως αρχεία µε την κατάληξη.mdl. Προκειμένου να δημιουργήσουμε ένα νέο μοντέλο ή να ανοίξουμε ένα αποθηκευμένο μοντέλο, στο παράθυρο εντολών της MATLAB κάνουµε αρχικά κλικ στο εικονίδιο το οποίο ανοίγει τον browser των βιβλιοθηκών του SIMULINK. Από το παράθυρο του browser µπορούµε να δημιουργήσουμε ένα νέο μοντέλο, κάνοντας κλικ στο εικονίδιο ή να ανοίξουµε ένα αποθηκευμένο µμοντέλο, κάνοντας κλικ στο εικονίδιο, Εικ. 7: Εικ.7: Έναρξη βιβλιοθήκης του SIMULINK Όταν ενεργοποιηθεί το πρόγραμμα του Simulink θα εμφανιστεί στην οθόνη μας το παράθυρο περιήγησης Simulink το οποίο περιέχει τις βασικές βιβλιοθήκες δομικών στοιχείων. Είναι ένας εύκολος τρόπος να βρεθούν τα κατάλληλα εργαλεία. Από εδώ μπορούμε να επιλέξουμε τα κατάλληλα μπλοκ ώστε να κατασκευάσουμε τα μοντέλα τα οποία θέλουμε να δουλέψουμε για οποιαδήποτε εφαρμογή. Το παράθυρο περιήγησης του Simulink παρουσιάζεται παρακάτω: 23

25 Εικ.8: Παράθυρο περιήγησης του SIMULINK Στο παράθυρο παρατηρούμε ότι έχει δομή δέντρου και είναι το βασικό παράθυρο αναζήτησης αντικειμένων των βιβλιοθηκών του Simulink που είναι εγκατεστημένες στον υπολογιστή. Από όλες αυτές τις βιβλιοθήκες που παρουσιάζονται στο παράθυρο εμείς θα χρησιμοποιήσουμε κατά κύριο την βιβλιοθήκη που φαίνεται στην Εικόνα επιλεγμένη μέσα σε μπλε πλαίσιο με την ονομασία Simulink. Βλέπουμε ότι περιέχει 16 υποκατηγορίες που περιέχουν μπλοκ διαγράμματα υπεραρκετά για τα μοντέλα που θα σχεδιάσουμε. Για να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο υπάρχουν δύο τρόποι. Στο menu εντολών του παραθύρου περιήγησης βιβλιοθηκών Simulink επιλέγουμε File New Model και στην συνέχεια ανοίγει ένα μικρότερο παράθυρο μέσα στο οποίο σχεδιάζουμε το μοντέλο. Έπειτα από την σχεδίαση του μοντέλου μπορούμε να το αποθηκεύσουμε με όποιο όνομα θέλουμε. 24

26 Στο παράθυρο περιήγησης βιβλιοθηκών Simulink στη γραμμή εργαλείων και ακριβώς κάτω από την επιλογή File του menu εντολών υπάρχει ένα εικονίδιο μιας λευκής σελίδας, πατάμε αυτό το εικονίδιο και ανοίγει το παράθυρο σχεδίασης. Στην Εικόνα 8 εμφανίζονται οι διάφορες κατηγορίες blocks που μπορεί να χρησιμοποιήσει κάποιος. Μπορεί να επιλέξει ανάμεσα από τις εξής κατηγορίες: Commonly Used Blocks Continuous Discontinuities Discrete Logic and Bit Operations Lookup Tables Math Operations Model Verification Model-Wide Utilities Ports & Subsystems Signal Attributes Signal Routing Sinks Sources User Defined Functions Additional Math & Discrete Στην κατηγορία Sources περιέχονται τα blocks που φαίνονται στην Εικόνα 9. Αυτά αφορούν κυρίως Διάφορα σήματα εισόδου όπως Step (Βηματικές μεταβολές) Sine Wave (Ημιτονοειδείς μεταβολές) Ramp (Γραμμικές μεταβολές) Random Number (Τυχαίοι αριθμοί με κατανομή Gauss) Uniform Random Number (Τυχαίοι αριθμοί με ομοιόμορφη κατανομή) κλπ Διάφορα αρχεία με δεδομένα : From File Διάφορες μεταβλητές από το workspace του Matlab : From Workspace Ρολόι : Clock κλπ 25

27 Εικ.9: Κατηγορία Sources Στην κατηγορία Sinks περιέχονται τα blocks που φαίνονται στην Εικόνα 10: 26

28 Εικ.10: Κατηγορία Sinks Αυτά αφορούν κυρίως: Διάφορα καταγραφικά σημάτων εξόδου όπως Display Floating Scope Scope XY Graph Αρχεία στα οποία θα καταγραφούν δεδομένα: To File Διάφορες μεταβλητές στο workspace του Matlab στις οποίες θα συμπληρωθούν δεδομένα: To Workspace Κλπ. 27

29 Στην κατηγορία Continuous περιέχονται τα blocks που φαίνονται στην Εικόνα 11. Αυτά αφορούν: Εικ.11: Κατηγορία Continuous Μοντέλα χώρου κατάστασης: State-Space Συναρτήσεις μεταφοράς: Transfer Fcn Zero-Pole Integrator Συναρτήσεις που σχετίζονται με νεκρό χρόνο: Transport Delay Variable Time Delay Variable Transport Delay Παραγώγιση σήματος εισόδου: Derivative 28

30 Στην κατηγορία Math Operations περιέχονται τα blocks που φαίνονται στην Εικόνα 12. Αυτά αφορούν κυρίως διάφορες μαθηματικές συναρτήσεις όπως είναι οι συναρτήσεις: Abs, Add, Divide, Dot Product, Product, Rounding Function, Sign, Sine Wave Function, Subtract, Trigonometric Function κλπ. Εικ.12: Κατηγορία Math Operations Ένα μοντέλο είναι ένα σύνολο από μπλοκ διαγράμματα που θα πρέπει να αντιπροσωπεύει σε γενικές γραμμές το σύστημα που θέλουμε να προσομοιώσουμε. Για να μεταφέρουμε στο νέο παράθυρο σχεδίασης μοντέλου τα μπλοκ διαγράμματα που επιθυμούμε είτε τα μετακινούμε με το ποντίκι από τη βιβλιοθήκη του Simulink είτε επιλέγοντας τα με δεξί κλικ στο ποντίκι επιλέγουμε την εντολή Add to untitled. Untitled είναι η ονομασία που δίνει το πρόγραμμα σε ένα μοντέλο που δεν έχουμε 29

31 ακόμα ονομάσει, σε περίπτωση που ήδη έχουμε αποθηκεύσει το μοντέλο μας τότε στη θέση του untitled θα υπάρχει η ονομασία που έχουμε δώσει στο μοντέλο μας. Πρώτο βήμα για τη δημιουργία του μοντέλου είναι το άνοιγμα ενός νέου παραθύρου σχεδίασης μέσα στο οποίο θα τοποθετήσουμε τα κατάλληλα μπλοκ διαγράμματα, τους τρόπους που θα ανοίξουμε το παράθυρο σχεδίασης τους έχουμε αναφέρει παραπάνω, επομένως το παράθυρο σχεδίασης όταν το ανοίξουμε είναι το παρακάτω: Εικ.13: Παράθυρο Untitled Οι βασικές βιβλιοθήκες δοµικών στοιχείων του SIMULINK συνοπτικά Στον πίνακα που ακολουθεί περιγράφονται συνοπτικά ορισμένα από τα δοµικά στοιχεία των βιβλιοθηκών του SIMULINK, τα οποία χρησιμοποιούνται συνήθως κατά τη μοντελοποίηση γραµµικών χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων συνεχούς χρόνου. Είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα στοιχεία κατά τη λειτουργία του Simulink. Με αυτά τα δομικά στοιχεία είναι δυνατόν να κατασκευαστούν και να προσομοιωθούν πολυάριθμα μοντέλα για κάθε είδους χρήση. 30

32 Πίνακας 4: Δομικά στοιχεία του Simulink 31

33 Πίνακας 5: Δομικά στοιχεία του Simulink 32

34 Παράδειγμα 1: Διαφορική εξίσωση στο SIMULINK Οι βασικές πράξεις στον αναλογικό υπολογισμό είναι η άθροιση, ο πολλαπλασιασμός επί μια σταθερά, το γινόμενο δυο μεταβλητών, και η ολοκλήρωση. Επιπλέον υπάρχει και η δημιουργία σημάτων σταθερής στάθμης. Μη γραμμικές συναρτήσεις υλοποιούνταν με ειδικό τρόπο σύνθεσης. Στο Simulink το μόνο που απέμεινε είναι τα σύμβολα που λειτουργούν σαν διασύνδεση. Η εσωτερική αναπαράσταση και όλες οι πράξεις γίνονται σε καθαρά ψηφιακή βάση. Διατίθεται μια πληθώρα από έτοιμες συναρτήσεις, απεικονίσεις, και άλλες ευκολίες. Εικ.14: Έτοιμες συναρτήσεις, απεικονίσεις Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να αναπαραστήσουμε μια (συνήθη, πάντα) διαφορική εξίσωση σε περιβάλλον αναλογικού υπολογιστή εξετάζοντας ένα οδηγούμενο κύκλωμα RLC που περιγράφεται από την εξίσωση LCv (t )+RCv (t )+v( t)= u( t) Το πρώτο βήμα είναι να ξαναγράψουμε την εξίσωση φροντίζοντας να υπάρχει απομονωμένη και χωρίς συντελεστή στο αριστερό μέρος η ανώτερη παράγωγος που εμφανίζεται v (t) = ( R L ) v (t) ( 1 LC ) v(t) + 1 LC u(t) Το ζεύγος v και v μπορούν να συνδεθούν με μια μονάδα ολοκλήρωσης και το ίδιο μπορεί να γίνει για τα v και v. 33

35 Εικ.15: Σύνδεση με μονάδα ολοκλήρωσης Τώρα, τα σήματα με τα v και v εμφανίζονται πολλαπλασιασμένα επί κάποιες σταθερές. Εφόσον διατίθενται έτοιμες οι σχετικές μονάδες προχωρούμε στο πιο κάτω σχήμα: Εικ.16: Συνέχιση του σχήματος Υποθέτοντας ότι μπορούμε να σχηματίσουμε την οδήγηση που μας έχει δοθεί, και για παράδειγμα ας πούμε ότι είναι ένα ημιτονοειδές σήμα, διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να σχηματίσουμε εύκολα το δεξί μέρος της εξίσωσης. Έτσι λοιπόν συνεχίζεται η κατασκευή του διαγράμματος. 34

36 Εικ.17: Σχηματίζεται εύκολα το δεξί μέρος της εξίσωσης Στο σημείο αυτό διαπιστώνουμε ότι για να σχηματίσουμε την εξίσωση πρέπει τα δυναμικά (οι τάσεις) που αντιστοιχούν στο v!! και στο δεξιό μέρος να είναι ίσα. Αυτό μας οδηγεί στο να συνδέσουμε την έξοδο του αθροιστή και την είσοδο του ολοκληρωτή ώστε να κλείσει ο βρόχος που υπονοεί η εξίσωση. Στο πιο κάτω σχήμα όπου πραγματοποιήσαμε τη σύνδεση αυτή, προσθέσαμε επιπλέον και τις αρχικές συνθήκες (που απαραίτητα συνοδεύουν κάθε πρόβλημα προσομοίωσης). Οι αρχικές συνθήκες αφορούν τους ολοκληρωτές και εισάγονται κατάλληλα κατά τις οδηγίες του κατασκευαστή του πακέτου προσομοίωσης. Το Simulink προσδίδει αρχικά μηδενικές τιμές στις αρχικές συνθήκες των ολοκληρωτών και είναι συνηθισμένο φαινόμενο να παίρνουν οι αφηρημένοι χρήστες μηδενικές αποκρίσεις από ολόσωστα κατά τα άλλα διαγράμματα. Εικ.18: Το ολοκληρωμένο διάγραμμα 35

37 Το αντίστοιχο διάγραμμα Simulink για το πιο πάνω κύκλωμα με R = L = C = 1 φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: Παράδειγμα 2: Δουλεύοντας ένα απλό σύστηµα Εικ.19: Το αντίστοιχο διάγραμμα Simulink Παρακάτω δίνεται ένα απλό παράδειγμα έτσι ώστε ο χρήστης να κατανοήσει τη λειτουργία του Simulink. Συγκεκριμένα θα κατασκευαστεί ένα απλό πρότυπο που ενσωματώνει µια συνάρτηση ημιτόνου κι ενός ολοκληρώματος. Εικ.19: Πρότυπο του Simulink 36

38 Δημιουργώντας ένα απλό μοντέλο Η εκκίνηση του Simulink γίνεται ως εξής: Στο παράθυρο του MATLAB, στη γραμμή εντολών εισάγεται η λέξη Simulink και πιέζοντας enter εµφανίζεται το παράθυρο βιβλιοθηκών του Simulink. Εικ.20 Παράθυρο βιβλιοθηκών του Simulink Στο παράθυρο αυτό εµφανίζεται µια πλειάδα από βιβλιοθήκες οι οποίες είναι απαραίτητες για το χτίσιμο οποιοδήποτε µμοντέλου. Στην αριστερή πλευρά υπάρχουν οι κατηγορίες των βιβλιοθηκών και στη δεξιά εμφανίζονται σε μορφή blocks, όπου είναι έτοιμα για σχεδίαση. Επιλέγοντας κάποια βιβλιοθήκη από αριστερά, παραδείγματος χάρη Sources, στα δεξιά εµφανίζονται τα block σχετικά µε αυτήν. Από το παράθυρο του Simulink στο μενού File επιλέγετε New->Model κι έτσι εµφανίζεται ένα άδειο παράθυρο προτύπου, έτοιμο για μοντελοποίηση. Για να κατασκευάσουμε το πρότυπο του παραδείγματος, πρέπει να αντιγράψουμε τα block στο κενό παράθυρο που έχει δημιουργηθεί. 37

39 Εντοπίζουμε το block του κύµατος ηµίτονου (sine wave) στη βιβλιοθήκη πηγών και αντιγράφουμε το στο άδειο παράθυρό που θέλουμε να δημιουργήσουμε το πρότυπό μας. Εικ.21 To block sine wave Αντιγράφουμε τα block που είναι απαραίτητα για να δημιουργήσουμε το πρότυπό μας, από τις αντίστοιχες βιβλιοθήκες: Block Scope (από τη βιβλιοθήκη Sinks) Block ολοκληρωτών (από τη βιβλιοθήκη Continious) Block Mux (από τη βιβλιοθήκη Signal Routing) Ρυθμίσεις Παραμέτρων Πριν μοντελοποιήσουμε ένα πρότυπο, µπορούμε να θέσουμε διάφορες επιλογές προσομοίωσης, όπως την έναρξη και τέλος του χρόνου της προσομοίωσης. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Πλαίσιο διαλόγου Configuration Parameters (διαμόρφωση παραμέτρων) για να διευκρινίσει τις επιλογές της προσομοίωσης του προτύπου σας. Για παράδειγμα, μοντελοποιούμε το πρότυπό του παραπάνω παραδείγματος για 20 δευτερόλεπτα: Στο παράθυρο δημιουργίας του προτύπου μας, από το µενού Simulation επιλέγουμε Configuration Parameters. Το Simulink εμφανίζει το πλαίσιο διαλόγου παραμέτρων διαμόρφωσης (Configuration Parameters), στο οποίο η χρονική παράμετρος Stop Time έχει τη προκαθορισμένη τιµή

40 Εικ.22: Configuration Parameters Για να αλλάξουμε τη τιµή αυτή εισάγουμε στη παράμετρο Stop Time την τιµή 20. Πιέζουμε το πλήκτρο ΟΚ, τώρα το Simulink εφαρμόζει τις αλλαγές μας στις παραμέτρους και κλείνει το παράθυρο. Τρέχοντας την προσομοίωση Στο ίδιο παράθυρο του προτύπου μας, από το µενού Simulation, το Simulink τρέχει το πρότυπο και σταµατά όταν φθάσει στο χρόνο παύσης που έχει εισάγει ο χρήστης από πριν ή όταν επιλέξει ο ίδιος Stop από το ίδιο µενού. Επίσης υπάρχει η δυνατότητα έναρξης και παύσης για το τρέξιµο του προτύπου από την µπάρα εργαλείων. Στη συνέχεια στο παράθυρο µε το πρότυπό μας, πιέζουμε δύο φορές το block Scope. Τότε θα εμφανιστεί ένα άλλο παράθυρο το οποίο θα δείχνει τα αποτελέσµατα της προσομοίωσης όπως παρουσιάζονται εδώ: 39

41 Εικ.23: Αποτελέσματα της προσομοίωσης Παράδειγμα 3: Δίδεται το εξής διάγραμμα βρόχου ανάδρασης: Εικ.24: Διάγραμμα βρόχου ανάδρασης 40

42 Να βρεθεί η απόκριση του συστήματος όταν επιβάλλονται ταυτόχρονα: 1. μοναδιαία βηματική μεταβολή του σήματος αναφοράς y sp ( t) = H( t) και 2. ημιτονοειδής μεταβολή της διαταραχής d(t) = Asin(ωt), όπου Α = 2 και ω =2π. κάνοντας χρήση του Simulinκ. Λύση Έστω ότι κάποιος εργάζεται στο Matlab. Γράφει στο παράθυρο εργασίας: >>simulink και περιμένει να ανοίξει ο Simulink Library Browser. Επιλέγοντας File New Model ανοίγει ένα νέο κενό αρχείο όπου θα δημιουργηθεί το ζητούμενο αρχείο του Simulink. Από την κατηγορία Sources θα απαιτηθούν τα blocks Step Sine Wave και Clock Τα blocks Step και Sine Wave θα απαιτηθούν για να περιγραφούν τα δύο σήματα εισόδου. To block Clock θα απαιτηθεί για να γίνει η γραφική παράσταση της μεταβλητής εξόδου y ως προς τον χρόνο t. Από την κατηγορία Sinks θα απαιτηθεί το block XY Graph, όπου θα γίνει η καταγραφή της απόκρισης. Επίσης απαιτείται από την κατηγορά Continuous να χρησιμοποιηθεί πέντε φορές το block Transfer Fcn για να περιγραφούν οι πέντε συναρτήσεις μεταφοράς Από την κατηγορία Math Operations απαιτείται να χρησιμοποιηθεί δύο φορές το block Add για άθροιση και/ή αφαίρεση σημάτων και μια φορά το block Gain για να περιγραφεί η διόρθωση του σήματος αναφοράς. H διαδικασία εισαγωγής κάθε block στο υπο δημιουργία αρχείο βασίζεται στην επιλογή του επιθυμητού block και στην συνέχεια στο σύρσιμο του block μέσα στο αρχείο. Με τον τρόπο αυτό ο χρήστης θα πάρει την Εικόνα 25: 41

43 Εικ.25: Σύρσιμο των block μέσα στο αρχείο Στην συνέχεια πρέπει να δοθούν τα ακριβή δεδομένα που σχετίζονται με το συγκεκριμένο πρόβλημα. Κάνοντας διπλό κλικ στο block Step ανοίγει παράθυρο που φαίνεται στην Εικόνα 26: Εικ.26: Step Parameters 42

44 Στην θέση του 1 για το Steptime τίθεται η τιμή 0, αφού η μοναδιαία βηματική μεταβολή λαμβάνει χώρα την χρονική στιγμή 0. Κάνοντας διπλό κλικ στο block Sine Wave ανοίγει παράθυρο που φαίνεται στην Εικόνα 27: Εικ.27: Sine Wave parameters 43

45 Στα πεδία Amplitude, Bias, Frequency(rad/sec), Phase(rad), Sample time τίθενται οι κατάλληλες τιμές. Κάνοντας διπλό κλικ στο block Gain ανοίγει παράθυρο που φαίνεται στην Εικόνα 28: Εικ.28 Gain Parameters Στo πεδίο Gain τίθεται η κατάλληλη τιμή. Κάνοντας διπλό κλικ στο block Transfer Fcn1 ανοίγει παράθυρο που φαίνεται στην Εικόνα 29. Στα πεδία Numerator coefficient και Denominator coefficient τίθενται οι κατάλληλες τιμές. Το ίδιο επαναλαμβάνεται και για τα άλλα τέσσερα blocks Transfer Fcn2, Transfer Fcn3, Transfer Fcn4, Transfer Fcn. Κάνοντας διπλό κλικ στο block Add ανοίγει παράθυρο που φαίνεται στην Εικόνα 30. Εικ.29: Transfer Fcn Parameters 44

46 Σχ.30: Sum parameter Επειδή υπάρχει αρνητική ανάδραση, τα πρόσημα στον αθροιστή είναι + και -.Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τον δεύτερο αθροιστή Add1. Στην περίπτωση αυτή και τα δύο πρόσημα είναι θετικά. Κάνοντας διπλό κλικ στο block ΧΥ Graph ανοίγει παράθυρο που φαίνεται στην Εικόνα 31. Τίθενται κατάλληλες τιμές στα πεδία x-min, x-max, y-min, y-max Στην πραγματικότητα οι τιμές για τα x προκύπτουν ανάλογα με τον χρόνο προσομοίωσης και οι τιμές για τα y προκύπτουν μετά από δοκιμές ανάλογα με το εύρος διακύμανσης της μεταβλητής y. Εικ.31: XY Graph Parameters 45

47 Επίσης για να είναι πιο ευανάγνωστο το πρόγραμμα, ο χρήστης μπορεί να αλλάξει τα ονόματα των blocks ως εξής: Step ysp Sine Wave d Gain Km Transfer Fcn1 Gc Transfer Fcn2 Gf Transfer Fcn3 Gp Transfer Fcn4 Gm Transfer Fcn Gd Όταν γίνουν όλα τα παραπάνω, το παράθυρο θα πρέπει να μοιάζει με την Εικόνα 32: Εικ.32: Τα μπλοκ του προγράμματος Στην συνέχεια πρέπει να συνδεθούν με γραμμές τα αντίστοιχα blocks. Στα blocks εισόδου (ysp, d, clock) υπάρχουν μόνον σημεία εξόδου. Στα blocks εξόδου (XY Graph) υπάρχουν μόνον σημεία εισόδου. Στα υπόλοιπα blocks υπάρχουν και σημεία εισόδου και σημεία εξόδου. Σε ένα ολοκληρωμένο σωστά πρόγραμμα, από κάθε σημείο εξόδου πρέπει να αναχωρεί μια γραμμή και σε κάθε σημείο εισόδου πρέπει να καταλήγει μια γραμμή. Η χάραξη των γραμμών πρέπει να ξεκινάει πάντα από σημείο εξόδου και να καταλήγει σε σημείο εισόδου. Όταν ο κέρσορας βρεθεί πάνω από σημείο εξόδου μετατρέπεται σε σταυρό. Ο χρήστης έχοντας διαρκώς πατημένο το αριστερό πλήκτρο του «ποντικιού» συνδέει το σημείο εξόδου που θέλει με το σημείο εισόδου που θέλει. Όταν γίνουν όλα τα παραπάνω, το παράθυρο θα πρέπει να μοιάζει με την Εικόνα 33: 46

48 Εικ.33: Ένωση των block μεταξύ τους Το πρόγραμμα δεν έχει ολοκληρωθεί καθώς χρειάζεται να υπάρχει διακλάδωση στην έξοδο του αθροιστή Add1 που να οδηγείται στην είσοδο του μετρητικού Gm. Αυτό επιτυγχάνεται οδηγώντας τον κέρσορα σε κάποιο σημείο πάνω στο επιθυμητό ευθύγραμμο τμήμα, πατώντας Ctrl και ταυτόχρονο κλικ στο αριστερό πλήκτρο. Αυτό επιτρέπει την λήψη διακλάδωσης, η οποία οδηγείται στην συνέχεια κατά τα γνωστά στο block Gm. Όταν γίνουν όλα τα παραπάνω, το παράθυρο θα πρέπει να μοιάζει με την Εικόνα 34: Τώρα το πρόγραμμα είναι ολοκληρωμένο. Το σώζετε με όνομα paradeigma_01.mdl. Στην μπάρα επιλογών φαίνεται και η διάρκεια προσομοίωσης που έχει την τιμή 10. Αν θέλει ο χρήστης, μπορεί να τροποποιήσει την διάρκεια προσομοίωσης. Με την τροποποίηση της διάρκειας προσομοίωσης αυξάνεται ο χρόνος που το πρόγραμμα προσομοιώνεται κι έτσι είναι δυνατόν να παρατηρηθούν καλύτερα όλα τα δεδομένα όπως πχ η παρατήρηση για μεγαλύτερο διάστημα των κυματομορφών στο scope, ή η παρατήρηση των animation αν υπάρχουν για την καλύτερη κατανόηση των προγραμμάτων. 47

49 Εικ.34: Διακλάδωση στο Add1 Το επόμενο στάδιο είναι να «τρέξει» η προσομοίωση. Αυτό επιτυγχάνεται πατώντας Simulation Start. Θα δημιουργηθεί το παράθυρο της Εικόνας 35: Εικ.35: Αποτέλεσμα προσομοίωσης Το Simulink κάνει την προσομοίωση με βάση παραμέτρους που είναι προκαθορισμένες. Αν ο χρήστης δεν είναι ικανοποιημένος από το αποτέλεσμα 48

50 μπορεί να επέμβει και να τροποποιήσει τις παραμέτρους. Αυτό επιτυγχάνεται πατώντας Simulation Configuration Parameters. Ανοίγεται το παράθυρο που φαίνεται στην Εικόνα 36: Εικ.36: Configuration Parameters Εδώ φαίνονται οι διάφορες επιλογές που αφορούν χρόνο έναρξης και χρόνο τερματισμού, αλγόριθμο επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων του μοντέλου, αν η επίλυση θα γίνει με σταθερό ή μεταβλητό βήμα ολοκλήρωσης, μέγιστο και/ή ελάχιστο βήμα ολοκλήρωσης κλπ. Για παράδειγμα, αν τεθεί το μέγιστο βήμα ολοκλήρωσης ίσο με 0.1, τότε επαναλαμβάνοντας την προσομοίωση λαμβάνεται πιο ομαλή καμπύλη που φαίνεται στην Εικόνα 37: Εικ.37: Αποτέλεσμα προσομοίωσης 49

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ Εισαγωγή Ευφυής Έλεγχος Τα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου βρίσκονταν στο επίκεντρο για πολλές δεκαετίες, προσφέροντας στην ανθρωπότητα συστήματα που πλέον θεωρούνται απαραίτητα, όπως είναι ο θερμοστάτης σε οικιακές εφαρμογές, το τηλέφωνο, το αυτόματο κιβώτιο ταχυτήτων, οι αυτόματοι υαλοκαθαριστήρες στα αυτοκίνητα κτλ. Ωστόσο το χάσμα μεταξύ θεωρίας και πράξης στη βιομηχανία καθώς και οι συνεχείς αυξανόμενες απαιτήσεις πολύπλοκων διαδικασιών οδήγησαν στην προσπάθεια εύρεσης νέων μη-συμβατικών τεχνικών, οι οποίες στηρίζονται στην ανθρώπινη γνώση και εμπειρία (Υπολογιστική Νοημοσύνη). Μέρη της Υπολογιστικής Νοημοσύνης αποτελούν τα Έμπειρα Συστήματα (Expert Systems), η Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic) και τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Artificial Neural Networks), όπως και οι συνδυασμοί τους. Η περιοχή αυτή είναι γνωστή ως Ευφυής Έλεγχος. Ο Ευφυής Έλεγχος χρησιμοποιείται σε πολύπλοκα συστήματα στα οποία είναι δύσκολο ή και αδύνατο να βρεθεί το μαθηματικό μοντέλο, σε αντίθεση με τις συμβατικές τεχνικές, στις οποίες είναι απαραίτητη η γνώση της διεργασίας. Ουσιαστικά ο Ευφυής Έλεγχος στηρίζεται στη μίμηση του ανθρώπου και την αναπαραγωγή της ανθρώπινης γνώσης, εμπειρίας και συλλογισμού. Βασικό μέλημα του είναι να βρίσκει λύσεις στο πρόβλημα ελέγχου μιας διαδικασίας αντιδρώντας όπως ένας άνθρωπος χειριστής, δηλαδή επιδιώκει ο χειριστής της διαδικασίας να προτυποποιείται. Η πρώτη εφαρμογή του Ευφυή Ελέγχου στη βιομηχανία (σύμφωνα με τον Ρ. Κίνγκ) ήταν στα τέλη του 1970 και έκτοτε έχει επιφέρει αξιόλογη βελτίωση στην ποιότητα του παραγόμενου προϊόντος, την αύξηση της παραγωγικότητας, την εξοικονόμηση ενέργειας καθώς και την αύξηση της διαθεσιμότητας του βιομηχανικού εξοπλισμού. Σήμερα τα Ευφυή Συστήματα χρησιμοποιούνται σε πολλές βιομηχανικές εφαρμογές όπως σε βιομηχανίες τσιμέντου, πετρελαιοειδών, λιπασμάτων κτλ. Ευφυείς Ελεγκτές Στόχος του ευφυούς ελεγκτή (σύμφωνα με τον Ροβέρτο - Ε. Κινγκ) είναι να ενεργεί όπως ο άνθρωπος χειριστής, με τους ίδιους κανόνες δίχως όμως τα μειονεκτήματά του. Οι ευφυείς ελεγκτές, εφόσον λειτουργούν όπως και οι άνθρωποι χειριστές, έχουν την ικανότητα να ανταπεξέλθουν κάτω από ένα περιβάλλον ασάφειας και αβεβαιότητας τόσο της ελεγχόμενης διαδικασίας όσο και του περιβάλλοντός τους. Ένας ευφυής ελεγκτής, με λίγα λόγια, μιμείται τον καλύτερο άνθρωπο χειριστή της συγκεκριμένης διεργασίας. Σημαντικό όμως μειονέκτημά του σε σχέση με τον άνθρωπο χειριστή είναι, ότι δεν κατέχει την ικανότητα προσαρμογής και μάθησης νέων κανόνων. 50

52 Περιγραφή διαδικασίας Η διαδικασία που χρησιμοποιείται σε αυτό το έργο είναι το σύστημα ανάστροφου εκκρεμούς. Το ανάστροφο εκκρεμές είναι ένα ιδιαίτερα γραμμικό και ανοιχτού βρόχου ασταθές σύστημα. Αυτό σημαίνει ότι το πρότυπο γραμμικών τεχνικών δεν μπορεί να μοντελοποιήσουν τη μη γραμμική δυναμική του συστήματος. Όταν το σύστημα προσομοιώνεται το εκκρεμές πέφτει γρήγορα. Τα χαρακτηριστικά του ανάστροφου εκκρεμούς κάνουν την ταυτοποίηση και τον έλεγχο πιο προκλητικά.o κύριος στόχος του έργου είναι η ανάπτυξη ενός ακριβούς μοντέλου συστήματος ανάστροφου εκκρεμούς. Το ανάστροφο εκκρεμές είναι ένα από τα σημαντικότερα κλασσικά προβλήματα της εφαρμοσμένης μηχανικής. Η ράβδος που ισορροπεί πάνω σε ένα καροτσάκι είναι ένα από τα γνωστότερα παραδείγματα από τα μη γραμμικά και μη ευσταθή προβλήματα ελέγχου. Το παραπάνω πρόβλημα μπορεί να τροποποιηθεί και να γίνει ακόμα πιο περίπλοκο αν η ράβδος που αναφέραμε παραπάνω έχει και μία ευλυγισία. Τότε το πρόβλημα ελέγχου γίνετε σαφώς πιο δύσκολο Το ανάστροφο εκκρεμές είναι μια πειραματική διάταξη η οποία είναι εύκολο να υλοποιηθεί. Οι εξισώσεις που το διέπουν και η όλη συμπεριφορά του μπορεί να παρομοιαστεί με την προσομοίωση της πτήσης ενός πυραύλου ή ενός βλήματος στα αρχικά στάδια της πτήσης του. Ο στόχος της μελέτης είναι: να σταθεροποιηθεί το εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση ενώ το καροτσάκι θα βρίσκεται πάντα σε μια επιθυμητή θέση. Δηλαδή να γίνεται η μεταφορά του «βαγονιού» στην επιθυμητή θέση, ενώ παράλληλα η ράβδος που βρίσκεται κατακόρυφα πάνω σε αυτό δεν θα πρέπει να «πέσει». Φυσικά η μετακίνηση του βαγονιού στην επιθυμητή θέση θα πρέπει να γίνεται όσο το δυνατόν πιο γρήγορα. Το πρόβλημα του ανάστροφου εκκρεμούς είναι ανάλογο με αρκετά προβλήματα, ένα από αυτά είναι ο ρομποτικός βραχίονας robotic arms ο οποίος συμπεριφέρεται παρόμοια με το εκκρεμές. Η δυναμική του εκκρεμούς μιμείται τη δυναμική του ρομποτικού βραχίονα, καθώς ρυθμίζεται ανάλογα, όταν βρεθεί στο κέντρο της πίεσης κάτω από το κέντρο βάρους του βραχίονα. Το σύστημα είναι επίσης ασταθές. Με λίγα λόγια δηλαδή για να επιτευχθεί η ισορροπία του robot θα πρέπει να γίνονται κάθε φορά διορθωτικές κινήσεις όπως στο εκκρεμές για να επιτευχθεί η ισορροπία. Ένα άλλο πρότυπο που «μιμείται» το εκκρεμές είναι ο ίδιος ο άνθρωπος, η δυνατότητα του ανθρώπου να στέκεται «όρθιος» μπορεί να χαρακτηρισθεί με την προσπάθεια του εκκρεμούς να σταθεί όρθιο πάνω στο βαγόνι. Το κεντρικό νευρικό σύστημα του ανθρώπου ενεργοποιεί τους μυς οι οποίοι θέτουν τις όποιες μικρές αλλαγές χρειάζονται προκειμένου ο άνθρωπος να σταθεί όρθιος, Ας υποθέσουμε ότι προσπαθούμε να ισορροπήσουμε ένα σκουπόξυλο με το δείκτη του χεριού μας. Τι συμβαίνει τότε; 51

53 Εικ.38: Προσπάθεια ισορρόπησης του ξύλου Μήπως θα πρέπει να ρυθμίζουμε συνεχώς τη θέση του χεριού μας για να παραμείνει το αντικείμενο σε όρθια θέση; η απάντηση φυσικά είναι, ναι. Έτσι λοιπόν και το εκκρεμές που θα δούμε κάνει το ίδιο πράγμα με πιο «περιορισμένο» τρόπο, καθώς το βαγονάκι μπορεί να κινηθεί αριστερά και δεξιά μόνον, ενώ το χέρι μας έχει τη δυνατότητα να κινηθεί επάνω, κάτω, λοξά κ.λ.π. Ακριβώς όπως το σκουπόξυλο, το εκκρεμές είναι και αυτό ένα ασταθές σύστημα. Για να γίνει λοιπόν η επίτευξη του ελέγχου του συστήματος θα πρέπει να εφαρμοσθεί δύναμη κατάλληλη ώστε να παραμείνει το σκουπόξυλο σε όρθια θέση. Το ανάστροφο εκκρεμές (Inverted Pendulum) είναι ένα από τα δυσκολότερα συστήματα στο τομέα της εφαρμοσμένης μηχανικής ελέγχου. Παρόλο που η θεωρία ελέγχου έχει κάνει μεγάλες προόδους τις τελευταίες δεκαετίες, η εύρεση ελεγκτών για ένα μη γραμμικό μοντέλο είναι ακόμα ένα δύσκολο πρόβλημα. Πιο συγκεκριμένα ο στόχος είναι να σταθεροποιήσουμε το εκκρεμές έτσι ώστε η θέση μεταφοράς στη διαδρομή να είναι ελεγχόμενη, ενώ ταυτόχρονα η απόκριση του συστήματος να είναι όσον το δυνατόν γρηγορότερη. Το πρόβλημά μας περιλαμβάνει ένα βαγόνι το οποίο μπορεί να κατευθυνθεί αριστερά και δεξιά καθώς και μια ράβδο «εκκρεμές» το οποίο μπορεί να κάνει τις ίδιες κινήσεις με το βαγόνι. Το εκκρεμές που είναι τοποθετημένο ανάστροφα πάνω στο βαγόνι, έχει τη δυνατότητα να πέσει κατά μήκος του άξονα του βαγονιού ανάλογα με την κίνηση που πραγματοποιείται κάθε φορά από το σύστημα. Στόχος μας είναι να κάνουμε το σύστημα να ελεγχθεί έτσι ώστε το εκκρεμές να παραμένει σε όρθια θέση και να μη πέφτει όπως στο παρακάτω σχήμα: 52

54 Εικ.39: Το εκκρεμές θα πρέπει να παραμείνει όρθιο Επίσης το εκκρεμές θα πρέπει να παραμένει όρθιο σε οποιαδήποτε κίνηση εκτελεί το βαγόνι, καθώς και να είναι ανθεκτικό σε οποιοδήποτε είδος θορύβου υπάρχει στο σύστημα. Όταν το βαγόνι αρχίσει να κινείται τότε το εκκρεμές θα αρχίσει να πέφτει με φορά αντίθετη από αυτή του βαγονιού, το εκκρεμές όπως είπαμε και όπως βλέπουμε στο παραπάνω σχήμα είναι συνδεδεμένο με το βαγόνι, το βαγόνι θα κινηθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση προκειμένου να φέρει τη ράβδο και πάλι σε ισορροπία και να αποφύγει την πτώση της. Για να σταθεροποιήσουμε το σύστημα θα χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα ελέγχου ανατροφοδότησης το οποίο εμείς καλούμαστε να υλοποιήσουμε. Η σχεδίαση, η περιγραφή, η ανάλυση και η εφαρμογή του ανάστροφου εκκρεμούς που θα μελετήσουμε θα γίνει με τη χρήση του MATLAB και ειδικότερα ενός λογισμικού πακέτου που μας προσφέρει, το Simulink, το οποίο είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στη σχεδίαση και εξομοίωση. Με την βοήθεια του Simulink λοιπόν θα κατασκευαστούν και θα εξομοιωθούν τα μοντέλα του ανάστροφου εκκρεμούς, το γραμμικό και το μη γραμμικό καθώς και του ελεγκτή ανατροφοδότησης ο οποίος με τον τρόπο που θα κατασκευαστεί, θα υπολογίζει την απαιτούμενη δύναμη ώστε να κρατηθεί το εκκρεμές σταθερό και να μη πέσει. Όλα αυτά θα βγουν από τις εξισώσεις περιγραφής του συστήματος. Από τις εξισώσεις περιγραφής που παρουσιάζονται πιο κάτω, δημιουργούμε όλα τα μοντέλα καθώς απ το Simulink και με τη χρησιμοποίηση των κατάλληλων μπλοκ από τις βιβλιοθήκες του, υλοποιείται ότι θέλουμε. 53

55 Ανάστροφο Εκκρεμές Το ανάστροφο εκκρεμές (inverted pendulum) είναι ένα κλασσικό πρόβλημα στην δυναμική και στα συστήματα ελέγχου. Αποδεικνύει ότι με ανατροφοδότηση σταθεροποιείται ένα ασταθές σύστημα ανοιχτού βρόχου. Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο MIT το 1960 και προσομοίαζε το πρόβλημα σταθεροποίησης ενός πυραύλου κατά την εκτόξευση. Το διάγραμμα ενός ανάστροφου εκκρεμούς φαίνεται στο Σχήμα (Εικ.40): Εικ.40: Διάγραμμα ανάστροφου εκκρεμούς Το εκκρεμές σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το σημείο pivot. Αποτελείται από μάζα m, και έχει μήκος 2l. Το βαγονέτο μάζας M κινείται στον οριζόντιο άξονα. Θεωρούμε ότι το κέντρο μάζας βρίσκεται σε απόσταση l από το σημείο περιστροφής. Σε αντίθεση με το απλό εκκρεμές, το ανάστροφο εκκρεμές έχει την μάζα του πάνω από το σημείο περιστροφής. Στόχος της άσκησης είναι ο σχεδιασμός συστήματος ελέγχου που θα διατηρεί το ανάστροφο εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση, ενώ το βαγονέτο κινείται οριζόντια (balancing problem). Περιγραφή της εργαστηριακής διάταξης Το σύστημα αποτελείται ένα ανάστροφο εκκρεμές (inverted pendulum) τοποθετημένο σε ένα βαγονέτο (cart). Το βαγονέτο μπορεί να ολισθαίνει οριζόντια σε γλίστρες. Η κίνηση κατά τον οριζόντιο άξονα, γίνεται με την βοήθεια σερβοκινητήρα (servo motor) και οδοντωτών ιμάντων (timing belts). Ο σερβοκινητήρας περιλαμβάνει αισθητήριο μέτρησης γωνιακής θέσης του άξονα κίνησης (rotary encoder). Ένας Η/Υ (control computer) εξοπλισμένος με κάρτα επεξεργασίας δεδομένων και DSP στο περιβάλλον MATLAB/Simulink θα χρησιμοποιηθεί για την υλοποίηση του. συστήματος ελέγχου. Ο ελεγκτής σχεδιάζεται στο περιβάλλον MATLAB/Simulink και υλοποιείται σε πραγματικό χρόνο στην πλατφόρμα Real Time του MATLAB 54

56 Εικ.41: Εργαστηριακή διάταξη του εκκρεμούς Παρόλο που η θεωρία ελέγχου έχει κάνει μεγάλες προόδους τις τελευταίες δεκαετίες, η εύρεση ελεγκτών για ένα μη γραμμικό μοντέλο είναι ακόμα ένα δύσκολο πρόβλημα. Μια κλασσική μέθοδος ελέγχου είναι η γραμμικοποίηση του συστήματος γύρω από συγκεκριμένα σημεία, η εύρεση ενός γραμμικού ελεγκτή για αυτό το σύστημα και τέλος η εφαρμογή του γραμμικού ελεγκτή στο μη γραμμικό σύστημά μας. Στόχος των συστημάτων ελέγχου με ανατροφοδότηση είναι να εξασφαλίζουν ότι το σύστημα κλειστού βρόχου έχει επιθυμητή συμπεριφορά στην μεταβατική και μόνιμη κατάσταση. Ένα τέτοιο σύστημα είναι αποδεκτό όταν 1. είναι ευσταθές, 2. οι διαταραχές απορρίπτονται, 3. επιτυγχάνονται αλλαγές στην είσοδο αναφοράς, 4. το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ελαττώνεται, 5. η δράση ελέγχου παραμένει εντός των ορίων λειτουργίας 6. το σύστημα είναι εύρωστο, δηλ. αλλαγές στο μοντέλο συστήματος και σε συνθήκες λειτουργίας δεν επηρεάζουν την απόδοσή του. 55

57 Το σύστημα ανάστροφου εκκρεμούς είναι ένα κλασικό πρόβλημα ελέγχου που χρησιμοποιείται στα πανεπιστήμια σε όλο τον κόσμο. Είναι μια κατάλληλη διαδικασία για τη δοκιμή πρωτότυπων ελεγκτών λόγω της υψηλής μη γραμμικότητας της και την έλλειψη σταθερότητας. Το σύστημα αποτελείται από έναν αντεστραμμένο πόλο, βασίζετε σε ένα καρότσι το οποίο είναι ελεύθερο να κινείται προς την κατεύθυνση x. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προκύψουν οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος, το μοντέλο θα αναπτυχθεί σε Simulink και θα αναπτυχθούν οι βασικοί ελεγκτές. Ο στόχος της ανάπτυξης ενός ανάστροφου εκκρεμούς στο Simulink είναι ότι το αναπτυγμένο μοντέλο θα έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με την ίδια τη διαδικασία. Θα είναι δυνατή η δοκιμή σε κάθε έναν από τους πρότυπους ελεγκτές στο περιβάλλον Simulink. Πριν το μοντέλο ανάστροφου εκκρεμούς αναπτυχθεί σε Simulink, οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος θα υπολογίζονται με «Lagrange Εξισώσεις». Οι Lagrange εξισώσεις είναι ένας από τους πολλούς τρόπους προσδιορισμού των εξισώσεων του συστήματος. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αυτή είναι δυνατόν να παραχθούν δυναμικές εξισώσεις του συστήματος για ένα περίπλοκο μηχανικό σύστημα, όπως το ανάστροφο εκκρεμές. Η Εικ.42 είναι ένα ελεύθερο σώμα διάγραμμα του συστήματος εκκρεμούς. Εικ.42: Ελεύθερο διάγραμμα σώματος του συστήματος ανάστροφου εκκρεμούς M - Μάζα του καροτσιού m - μάζα του πόλου l - το μήκος του πόλου f - δύναμη ελέγχου 56

58 Οι εξισώσεις περιγραφής του συστήματος Οι εξισώσεις του Lagrange χρησιμοποιούν την κινητική και δυναμική ενέργεια στο σύστημα για τον προσδιορισμό των δυναμικών εξισώσεων του καροτσιού-πόλου του συστήματος Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας της κάθε μάζας. Η κινητική ενέργεια, T1 του καροτσιού είναι: T 1 = 1 Μ y2 2 (Eξ.1) Ο πόλος μπορεί να μετακινηθεί τόσο στην οριζόντια όσο και στην κατακόρυφη διεύθυνση έτσι η κινητική ενέργεια είναι: T 1 = 1 2 m(y z 2 2 ) (Εξ.2) Από το ελεύθερο διάγραμμα του σώματος y2 και z2 είναι ίσο με: y 2 =y + lsinθ (Εξ.3) z 2 = lθ sinθ (Εξ.4) z 2 =lcosθ(εξ.5) (y2) =y +lθ cosθ (Εξ.6) Η συνολική κινητική ενέργεια, Τ του συστήματος είναι ίση με: Τ = Τ 1 + Τ 2 = 1 2 [My 2 + m(y z 2 2 )] (Εξ.7) Oι Εξισώσεις 3 και 5 που είναι εισαγμένες στην εξίσωση 7 δίνουν την εξίσωση 8: Τ = 1 2 Μy m[y 2 + 2y θ lcosθ + l 2 θ 2 ] (Εξ.8) Το δυναμικό της ενέργειας, V του συστήματος είναι αποθηκευμένο στο εκκρεμές ώστε: V = mgz 2 = mglcosθ (Εξ.9) 57

59 Η langrange συνάρτηση είναι: L = T V = 1 2 (M + m)y2 + mlcosθy θ ml2 θ 2 mg lcos (Eξ.10) Οι μεταβλητές του χώρου καταστάσεων του συστήματος είναι y και θ, έτσι οι Lagrange εξισώσεις είναι: d dt ( L y ) L y = 0 (Εξ.11) d dt ( L θ ) L θ (Εξ.12) Αλλά, L y = (M + m)(y +mlcosθθ ) (Εξ.13) L y = 0 L =mlcosθy + ml θ 2 θ L θ = mglsinθ (Eξ.14) (Εξ.15) (Εξ.16) Οι παραπάνω εξισώσεις (Εξ ) έχουν εισαχθεί στις Lagrange εξισώσεις, (Εξ ) και το αποτέλεσμα είναι οι μη-γραμμικές δυναμικές εξισώσεις του συστήματος ανεστραμμένου εκκρεμούς, οι οποίες φαίνονται παρακάτω: (Μ + m)y + mlcosθθ mlθ 2 sinθ = f mlcosθ. y mlsinθ. y θ + ml 2 θ mglsinθ = 0 (Eξ.17) (Εξ.18) Ορισμένες από τις τεχνικές μοντελοποίησης και ελέγχου που συμμετέχουν στο πρόγραμμα είναι γραμμικές, έτσι αυτές οι εξισώσεις πρέπει να είναι γραμμικές. Είναι δυνατόν να γραμματικοποιηθούν αυτές τις εξισώσεις με την προσέγγιση cosθ = 1 και sinθ = 0. Υποτίθεται ότι η θ διατηρείται μικρή. Η απόκλιση της είναι επίσης αμελητέα. Ως εκ τούτου οι δύο γραμμικές εξισώσεις του συστήματος είναι y = f M mg M θ (Eξ.19) θ = f + Ml (M+m ) gθ (Εξ.20) Ml 58

60 Κατασκευή των μοντέλων Simulink Σε αυτό το στάδιο, ένα σύνολο εξισώσεων (γραμμικές και μη γραμμικές) που περιγράφουν το ανάστροφο εκκρεμές έχουν αναπτυχθεί. Το επόμενο στάδιο είναι η κατασκευή ενός μοντέλου simulnk του συστήματος ανάστροφου εκκρεμούς. Δεν υπάρχει διαδικασία για την ανάπτυξη μοντέλων Simulink από εξισώσεις δυναμικής κατάστασης. Το διάγραμμα κάτω είναι το γραμμικό μοντέλο του εκκρεμούς. Αυτό το μοντέλο κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας ολοκληρωτές, μπλοκ κέρδους, κλπ. Το μοντέλο (Εικ.43) είναι απλά μια αναπαράσταση Simulink των γραμμικών εξισώσεων κατάστασης. Εικ.43: Το μοντέλο Simulink του γραμμικού συστήματος εκκρεμούς Το μη γραμμικό σύστημα εκκρεμούς (Εικ.45) εμφανίζεται στην επόμενη σελίδα. Το μη-γραμμικό σύστημα, ακόμα κι αν είναι πιο περίπλοκο αναπτύσσεται με παρόμοιο τρόπο. Και τα δύο μοντέλα είναι τόσο μεγάλα που είναι δυνατόν να ενσωματωθούν σε block υποσυστήματα όπως φαίνεται πιο κάτω (Εικ.44). Και των δυο μοντέλων τα set-up χρησιμοποιούν μια μάσκα. Η μάσκα επιτρέπει να αλλαχτούν οι τιμές των m, l, g, κλπ για διαφορετικές προσομοιώσεις. Η μάζα του καροτσιού, Μ έχει οριστεί σε 1,2 kg, η μάζα του εκκρεμούς έχει οριστεί σε 0,11 Kg και το μήκος του εκκρεμούς είναι 0,4 μέτρα. Τα στοιχεία αυτά προέρχονται από την πλατφόρμα πραγματικού χρόνου ανάστροφου εκκρεμούς. 59

61 Εικ.44: Μπλοκ Simulink των συστημάτων εκκρεμούς Το παρακάτω διάγραμμα simulink είναι το μη-γραμμικό μοντέλο του εκκρεμούς: Εικ.45: μοντέλο Simulink του μη γραμμικού συστήματος εκκρεμούς Και τα δύο μοντέλα του εκκρεμούς έχουν προσομοιωθεί σε Simulink. Η γωνία του εκκρεμούς παρουσιάζεται παρακάτω (Εικ.46).Η προσομοίωση δείχνει ότι το εκκρεμές πηγαίνει ασταθές και πέφτει. 60

62 Εικ.46: Απόκριση ανοικτού βρόχου ανεστραμμένου εκκρεμούς Μία από τις απαιτήσεις για ταυτοποίηση του συστήματος είναι η συλλογή των «πλούσιων πληροφοριών» εισόδου / εξόδου δεδομένων. Το γράφημα παραπάνω (Εικ.46) της γωνίας του εκκρεμούς, δεν μας δίνει αρκετές πληροφορίες για το σύστημα εκκρεμούς.- Το εκκρεμές πέφτει πολύ γρήγορα. Για να είναι επαρκές το μοντέλο ανεστραμμένου εκκρεμούς, είναι αναγκαίο να σταθεροποιηθεί με τη χρήση ενός ελεγκτή ανάδρασης. Χρησιμοποιώντας έναν ελεγκτή ανάδρασης, τα δεδομένα εξόδου θα περιέχουν περισσότερες πληροφορίες που περιγράφουν τη διαδικασία. Ένας πλήρης ελεγκτής ανάδρασης κατάστασης αναπτύσσεται για να σταθεροποιηθεί το γραμμικό σύστημα εκκρεμούς. Το γραμμικό σύστημα θα μπορούσε σταθεροποιηθεί χρησιμοποιώντας πολλές διαφορετικές μεθόδους (PID, κλπ). Ο πλήρης ελεγκτής ανάδρασης σταθεροποιεί το σύστημα τοποθετώντας τους πόλους κλειστού βρόχου στην σταθερή περιοχή. Το μοντέλο simulink με τον ελεγκτή φαίνεται παρακάτω. (Εικ.47). Παρατηρούμε ότι ο ελεγκτής ανάδρασης παίρνει σαν εισόδους τις τέσσερις εξόδους του εκκρεμούς και η έξοδός του συνδέεται στην είσοδο του εκκρεμούς. Έτσι όπως θα δούμε και παρακάτω ο ελεγκτής καταφέρνει να κρατήσει το εκκρεμές σταθερό. 61

63 Εικ.47: Διάγραμμα Simulink του Γραμμικού Εκκρεμούς και ο ελεγκτής Το γραμμικό εκκρεμές σύστημα προσομοιώθηκε, η γωνία του εκκρεμούς παρουσιάζεται παρακάτω. (Εικ.48) Το σταθεροποιημένο σύστημα με ελεγκτή κρατά τη γωνία του εκκρεμούς σταθερή. Το εκκρεμές μπορεί να προσομοιωθεί για μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα. Τα δεδομένα είναι επίσης καλύτερης ποιότητας για τους σκοπούς του συστήματος αναγνώρισης. Εικ.48: Απόκριση κλειστού βρόχου του ανεστραμμένου εκκρεμούς με ελεγκτή 62

64 Η ανάπτυξη ενός ελεγκτή για το μη-γραμμικό εκκρεμές είναι πιο δύσκολη. Γραμμικές τεχνικές ελέγχου, όπως το PID, η πλήρης ανάδραση δοκιμάστηκαν αλλά δεν είχαν καμία επιτυχία όσον αφορά τον έλεγχο του μη γραμμικού εκκρεμούς. Ένας ελεγκτής γραμμικής ανάδρασης αναπτύχθηκε για τον έλεγχο του μηγραμμικού συστήματος εκκρεμούς. Η γραμμική ανάδραση ακυρώνει την μη γραμμικότητα στο σύστημα εκκρεμούς έτσι ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι πιο γραμμικό. Οι ακόλουθες εξισώσεις είναι ένας τρόπος ελέγχου και αναπτύχθηκαν για τον ελεγκτή ανεστραμμένου εκκρεμούς. Οι πρώτες τέσσερις εξισώσεις (Εξίσωση 21-24) έχουν εισαχθεί στην κύρια εξίσωση. Η κύρια εξίσωση (Εξίσωση 25) υπολογίζει την απαιτούμενη δύναμη, U για να κρατήσει το εκκρεμές σταθερό. h 1 = 3 gsinθ (Εξ.21) h 4l 2 = 3 cosθ (Εξ.22) 4l f1 = m (lsinθθ 2 3 gsin2θ) fx (Εξ.23) 8 f2=m + m(1-3 4 cos2 θ) (Εξ.24) u = f 2 [h h 1 + k 1 (θ θ d ) + k 2 θ + c 1 (x x d ) + c 2 x ] f 1 (Εξ.25) 2 Για τις προσομοιώσεις τίθενται οι τιμές Μ, μ, 1, g του μοντέλου εκκρεμούς. Οι παρακάτω αριθμητικές τιμές έχουν χρησιμοποιηθεί: Μ = 1,2 kg, m = 0,1 Kg, l = 0,4 m, g = 9,81 m / s, 1 k = 25, 2 k = 10, C = 1, 2 C = 2,6. Επίσης, xd = 0 μ. και θd = 0 rad, τα οποία είναι στην επιθυμητή θέση του καροτσιού και τη γωνία του εκκρεμούς, αντίστοιχα. Για λεπτομέρειες σχετικά με όλες τις παραμέτρους βλ. [4]. Ένα μοντέλο Simulink του ανωτέρου ελεγκτή αναπτύχθηκε και παρουσιάζεται στην Εικ.49. Οι είσοδοι σε αυτόν τον ελεγκτή είναι οι 4 έξοδοι του μη-γραμμικού μοντέλου του εκκρεμούς. Το σωστό μέγεθος και η δύναμη για να κρατήσει το εκκρεμές σταθερό υπολογίζεται από τον ελεγκτή. Ο ελεγκτής που παρουσιάζεται παρακάτω (Εικ.49) σχεδιάστηκε στο Simulink με την βοήθεια των παραπάνω εξισώσεων. Από τα μεγαλύτερα πλεονεκτήματα του Simulink είναι ότι με τα εργαλεία που έχει, μπορούμε από οποιαδήποτε εξίσωση να αναπτύξουμε και να προσομοιώσουμε μεγάλο πλήθος μοντέλων. 63

65 Εικ.49: Μοντέλο Simulink του μη γραμμικού ελεγκτή Το παρακάτω διάγραμμα (Εικ.50) δείχνει το μη γραμμικό εκκρεμές με τον ελεγκτή. Εικ.50: Διάγραμμα Simulink του μη γραμμικού συστήματος με τον ελεγκτή 64

66 Η Εικ.51 είναι η κλειστού βρόχου γωνία του εκκρεμούς χαραγμένη από το matlab. Η κλειστή βρόχου απόκριση είναι σταθερή και δείχνει ότι ο ελεγκτής λειτουργεί. Εικ.51: Απόκριση κλειστού βρόχου του μη γραμμικού εκκρεμούς με ελεγκτή Τα γραμμικά και μη γραμμικά μοντέλα από το βαγόνι- πόλο του συστήματος έχουν αναπτυχθεί και προσομοιωθεί. Έχει Διαπιστωθεί ότι το σύστημα είναι ανοιχτού βρόχου ασταθές. Για την ακριβή ταυτοποίηση του συστήματος η διαδικασία πρέπει να είναι σταθερή, γι αυτό, πρότυποι ελεγκτές ανάδρασης αναπτύχθηκαν και δοκιμάστηκαν. 65

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Υλοποίηση των μοντέλων στο simulink Στο παρών κεφάλαιο αναπτύσσονται τα μοντέλα simulink του 2 ου κεφαλαίου. Με την επιλογή των κατάλληλων block από τις βιβλιοθήκες του simulink κατασκευάζονται τα μοντέλα του γραμμικού και μη γραμμικού εκκρεμούς, των ελεγκτών ανάδρασης άλλα και την παρουσίαση των μοντέλων με animation έτσι ώστε να παρατηρείται οπτικά με γραφική απεικόνιση η κίνηση του εκκρεμούς. Οι παράμετροι των μοντέλων που χρησιμοποιούμε είναι αυτές της εργαστηριακής μονάδας που υπάρχει στο εργαστήριο των ΣΑΕ του Τμήματος Ηλεκτρολογίας του ΤΕΙ Καβάλας της εταιρίας FEEDBACK και είναι οι εξής: Μ=2,4 Kg m=0.23 Kg I=0.4 m g=9.81 m/s 2 Χρήσιμα εργαλεία από το simulink Ας δούμε μερικά από τα σημαντικότερα εργαλεία που μας βοήθησαν στο σχεδιασμό του συστήματος. Για την πραγματοποίηση της αφαίρεσης-πρόσθεσης χρησιμοποιούμε το block (ADD) που βρίσκουμε στη βιβλιοθήκη και έχει τη μορφή του παρακάτω σχήματος: Έχει 2 εισόδους και 1 έξοδο, τον αριθμό των εισόδων μπορούμε να τον αλλάξουμε κάνοντας διπλό κλικ πάνω και προσθέτοντας επιπλέον το σύμβολο της ανάλογης πράξης. Για την πράξη της ολοκλήρωσης χρησιμοποιήσαμε το block με την ονομασία Integrator που βρίσκεται στο μενού Continuous της βιβλιοθήκης. Εδώ μπορούμε να δώσουμε και κάποια αρχική συνθήκη στο σύστημα μας κάνοντας διπλό κλικ και δίνοντας τη συνθήκη στο πεδίο initial condition. 66

68 Λόγο της πολυπλοκότητας των εξισώσεων για δική μας διευκόλυνση και για αποφυγή σφαλμάτων χρησιμοποιήσαμε μία λειτουργία που μας δίνει το simulink, τα «υποσυστήματα» δηλαδή οργανώσαμε εξισώσεις ιεραρχικά δομημένες σε υποσυστήματα, έτσι ώστε ο έλεγχος σφαλμάτων στο σύστημα μας να γίνεται πιο εύκολα και το σύστημά μας να είναι πιο ευανάγνωστο. Παράδειγμα υποσυστήματος κάνοντας διπλό κλικ πάνω του θα δούμε τη κρύβει μέσα του. Για να κάνουμε ένα υποσύστημα επιλέγουμε τα κομμάτια που θέλουμε να αποτελείται έπειτα δεξί κλικ και μετά create subsystem. Στην εργασία μας αυτή η δυνατότητα μας διευκόλυνε πάρα πολύ καθώς μπορέσαμε να οργανώσουμε μικρότερα υποσυστήματα και να τα συνδέσουμε έπειτα με το υπόλοιπο σύστημα σαν έτοιμο «κομμάτι» όσες φορές χρειαστεί. Ένα άλλο block που χρησιμοποιήσαμε εκτεταμένα είναι αυτό του πολλαπλασιασμού το οποίο υπάρχει στη βιβλιοθήκη. Βρίσκεται στο μενού math operation της βιβλιοθήκης. Έχει 2 εισόδους όπου τοποθετούμε τους αριθμούς για πολλαπλασιασμό και 1 έξοδο όπου παίρνουμε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού. Ιδιαίτερα χρήσιμο είναι το block των τριγωνομετρικών συναρτήσεων όπου το χρησιμοποιήσαμε εκτεταμένα καθώς στις εξισώσεις μας υπάρχουν αρκετά sin-cos. Κάνοντας διπλό κλικ πάνω του έχουμε τη δυνατότητα να επιλέξουμε ποια τριγωνομετρική συνάρτηση που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε. Για τη γραφική απεικόνιση χρησιμοποιήσαμε το έτοιμο block (Animation) το οποίο βρήκαμε στο demo παράδειγμα του MatLab slcp, μας βοηθάει να μελετήσουμε ευκολότερα τις επιδόσεις του συστήματός μας καθώς μας παρουσιάζει μία πραγματική γραφική εξομοίωση του μοντέλου μας. 67

69 Μετά την ολοκλήρωση της σχεδίασης του μοντέλου και την εισαγωγή των τιμών των μεταβλητών είμαστε έτοιμοι να προχωρήσουμε στην εξομοίωση πατώντας το play. Παρουσίαση των μοντέλων 1)Το μοντέλο γραμμικού εκκρεμούς Εδώ παρουσιάζεται το μοντέλο του γραμμικού εκκρεμούς. Εικ.52: Το Γραμμικό εκκρεμές Στο παραπάνω μοντέλο προσαρμόσαμε τις τιμές των παραμέτρων στα κατάλληλα μπλοκ και φαίνονται οι τιμές τους στο σχήμα. Χρησιμοποιήσαμε μπλοκ κέρδους (ενισχυτές), ολοκληρωτές και αθροιστές. Οι τιμές των παραμέτρων φαίνονται γραμμένες πάνω στα μπλοκ Gain. 68

70 2) Μοντέλο μη γραμμικού εκκρεμούς Αυτό είναι το μοντέλο μη γραμμικού εκκρεμούς: Εικ.53: Το μη γραμμικό εκκρεμές Όπως και στο προηγούμενο μοντέλο έτσι και εδώ προσαρμόσαμε τις παραμέτρους στα επί μέρους μπλοκ. Το μοντέλο μη γραμμικού εκκρεμούς φαίνετε ότι είναι πιο πολύπλοκο από το γραμμικό ωστόσο αναπτύσσεται με παρόμοιο τρόπο. Χρησιμοποιήσαμε διάφορα μπλοκ από την βιβλιοθήκη του simulink όπως ολοκληρωτές (integrator) πολλαπλασιαστές (product) τριγωνομετρικές συναρτήσεις (Trigonometric functions) σταθερές τιμές (constant) κτλ. Και τα δύο μοντέλα για το λόγο ότι καταλαμβάνουν αρκετό χώρο στην επιφάνεια εργασίας του simulink μπορούμε να τα συγχωνεύσουμε σε δυο υποσυστήματα έτσι ώστε να υπάρχει άνεση στην επεξεργασία των άλλων σχημάτων. Τα δυο υποσυστήματα παρουσιάζονται παρακάτω: 69

71 3) Υποσυστήματα των δυο μοντέλων Εικ.54: Υποσυστήματα των μοντέλων 4) Η γωνία του εκκρεμούς χωρίς τον ελεγκτή Εδώ παρουσιάζεται η γωνία του εκκρεμούς χωρίς την προσθήκη του ελεγκτή για την διατήρησή της. Εικ.55: Η γωνία χωρίς τον ελεγκτή 70

72 Παρατηρούμε ότι η γωνία του εκκρεμούς χωρίς τον ελεγκτή δεν παραμένει σταθερή και πέφτει. 5) Το μοντέλο του ελεγκτή Εδώ παρουσιάζεται το μοντέλο του ελεγκτή που αναπτύχθηκε για την εξισορρόπηση του εκκρεμούς. Εικ.56: Ο ελεγκτής Ο παραπάνω ελεγκτής αναπτύχθηκε σύμφωνα με τις εξισώσεις του 2 ου Κεφ. Για την υλοποίησή του χρησιμοποιήθηκαν διάφορα μπλοκ από την βιβλιοθήκη του simulink (Gain, math function, Trigonometric function, Constant, Product, Sum κ.α) και συνδυάστηκαν κατάλληλα έτσι ώστε να προσομοιώσουν τις εξισώσεις που είδαμε πιο πριν. Ο ελεγκτής επειδή είναι πολύ μεγάλος και καταλαμβάνει αρκετό χώρο στην επιφάνεια εργασίας εισάγεται σε ένα υποσύστημα ώστε να υπάρχει άνεση και να τοποθετηθεί στα μοντέλα των εκκρεμών. Παρακάτω παρουσιάζεται το υποσύστημα του ελεγκτή. 71

73 6) Υποσύστημα του ελεγκτή Εικ.57: Υποσύστημα του ελεγκτή Παρακάτω παρουσιάζονται τα μοντέλα simulink του γραμμικού και του μη γραμμικού εκκρεμούς αντίστοιχα με τον ελεγκτή, καθώς και οι γωνίες των σταθεροποιημένων εκκρεμών. 7) Το γραμμικό εκκρεμές με τον ελεγκτή Εικ.58: Το γραμμικό εκκρεμές με τον ελεγκτή 72

74 Αυτό είναι το γραμμικό εκκρεμές με τον ελεγκτή. Οι τέσσερις έξοδοι του εκκρεμούς συνδέονται στις τέσσερις εξόδους του ελεγκτή έτσι ο ελεγκτής υπολογίζει την απαιτούμενη δύναμη για να κρατήσει την γωνία του εκκρεμούς σταθερή. Με το μπλοκ scope παρατηρούμε με γραφική απεικόνιση την γωνία του εκκρεμούς. Για είσοδο στο μοντέλο βάζουμε από το simulink το Band-Limited White Noise, τα μπλοκ to workspace χρησιμοποιούνταi για να στέλνουν δεδομένα στο περιβάλλον του Matlab. 8) Γωνία του γραμμικού εκκρεμούς Εικ.59: Γωνία του γραμμικού εκκρεμούς Εδώ παρουσιάζεται η γωνία του γραμμικού εκκρεμούς. Όπως παρατηρούμε η γωνία δεν πέφτει όπως πριν αλλά παραμένει σταθερή. Αυτό επιτυγχάνεται με την προσθήκη του ελεγκτή ανατροφοδότησης ο οποίος υπολογίζοντας την κατάλληλη δύναμη το εκκρεμές καταφέρνει να ισορροπήσει. 73

75 9) Το μη γραμμικό εκκρεμές με τον ελεγκτή Εικ.60: Το μη γραμμικό εκκρεμές με τον ελεγκτή Αυτό είναι το μη γραμμικό εκκρεμές με τον ελεγκτή και παρακάτω η γωνία του. 10) Γωνία του μη γραμμικού εκκρεμούς Εικ.61: Γωνία του μη γραμμικού εκκρεμούς 74

76 Όπως βλέπουμε και στο μη γραμμικό εκκρεμές με την προσθήκη του ελεγκτή η γωνία κρατιέται σταθερή. Προσομοίωση των δυο μοντέλων με animation Παρακάτω παρουσιάζονται τα δύο μοντέλα των εκκρεμών με την προσθήκη γραφικής απεικόνισης animation. 11) Το γραμμικό εκκρεμές με το animation Εικ.62: Το animation Linear Όπως παρατηρούμε μαζί με το αρχικό μοντέλο μας προσθέτουμε και άλλα στοιχεία ώστε να πάρουμε την γραφική απεικόνιση. Το μπλοκ animation δέχεται τρεις εισόδους από την γωνία του εκκρεμούς, την θέση του καροτσιού και την θέση του εκκρεμούς. Έτσι προσομοιώνεται και μπορούμε να παρακολουθήσουμε την κίνηση του εκκρεμούς. 75

77 12) Το μη γραμμικό εκκρεμές με το animation Το animation του εκκρεμούς Εικ.63: Το animation nonlinear Εικ.64: Το animation του εκκρεμούς 76