Το Κλασσικό Πολλαπλό Γραμμικό Μοντέλο Παλινδρόμησης Στατιστικά

Transcript

1 Το Κλασσικό Πολλαπλό Γραμμικό Μοντέλο Παλινδρόμησης Στατιστικά Συμπεράσματα και Εκτιμήσεις Περιεχόμενα 6 Εισαγωγή 6 Βασική Στατιστική Ανάλυση 63 Το Γραμμικό Μοντέλο4 63 Χρήση των εικονικών μεταβλητών 3 64 Υποθέσεις του κλασσικού γραμμικού μοντέλου παλινδρόμησης 6 64 Γραμμικότητα του μοντέλου παλινδρόμησης6 64 Πλήρης τάξη Παλινδρόμηση Σφαιρικά Υπόλοιπα Μη στοχαστικές ανεξάρτητες μεταβλητές4 646 Κανονικότητα Περίληψη Παλινδρόμηση ελαχίστων τετραγώνων47 65 Αλγεβρικές πτυχές της λύσης των ελαχίστων τετραγώνων59 65 Διαμερισμένη παλινδρόμηση και μερική παλινδρόμηση Μερική Παλινδρόμηση και Μερικοί Συντελεστές Συσχέτισης65 66 Η καλή προσαρμογή και η ανάλυση της διασποράς68 67 Στατιστικές ιδιότητες του εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων στα πεπερασμένα δείγματα79 67 Μη στοχαστικοί παλινδρομητές Πιθανολογικoί παλινδρομητές Υπολογίζοντας το σ και τη διασπορά του b Έλεγχος υπόθεσης για ένα συντελεστή Διαστήματα εμπιστοσύνης για τις παραμέτρους 9 68 Αποτελέσματα μεγάλων - δειγμάτων για το κλασσικό μοντέλο παλινδρόμησης96

2 7 Πρόβλεψη 98 7 Μια κατάλληλη μέθοδος τις προβλέψεις00 8 Ανάλυση προδιαγραφών04 8 Επιλογή μεταβλητών04 8 Παράλειψη σχετικών μεταβλητών07 83 Συνυπολογισμός άσχετων μεταβλητών 07 6 Εισαγωγή Η οικονομετρία είναι κλάδος της οικονομικής επιστήμης που μετράει και σταθμίζει (με στατιστικές και μαθηματικές μεθόδους) τα οικονομικά δεδομένα και προβλήματα, με σκοπό την επαλήθευση της εγκυρότητας των οικονομικών θεωριών, τη διεύρυνση των γνώσεων και τη δυνατότητα προβλέψεων Το θεωρητικό πεδίο, ασχολείται με τη δημιουργία μαθηματικών και στατιστικών μοντέλων για την ερμηνεία οικονομικών στοιχείων Η οικονομετρία ενδιαφέρεται για την ποσολόγηση των οικονομικών σχέσεων, με την παροχή αριθμητικών εκτιμήσεων των σχετικών παραμέτρων και με τον έλεγχο υποθέσεων που ενσωματώνονται σε οικονομικές σχέσεις Μια οικονομετρική μελέτη αρχίζει με ένα σύνολο προτάσεων για κάποια πτυχή της οικονομίας Η θεωρία διευκρινίζει ένα σύνολο ορθών, αιτιοκρατικών σχέσεων μεταξύ μεταβλητών Γνωστά παραδείγματα είναι οι εξισώσεις ζήτησης, οι εξισώσεις παραγωγής και τα μακροοικονομικά μοντέλα Η εμπειρική έρευνα παρέχει εκτιμήσεις αγνώστων παραμέτρων για το μοντέλο, όπως οι ελαστικότητες, (οι επιδράσεις δηλαδή στη ζήτηση ενός αγαθού από τις μεταβολές στις τιμές του, στην παραγωγική διαδικασία ή από άλλους παράγοντες), ή η οριακή ροπή προς την κατανάλωση (το τμήμα από την αύξηση του εισοδήματος που διατίθεται για κατανάλωση και δεν αποταμιεύεται) και προσπαθεί συνήθως να μετρήσει την ισχύ της θεωρίας πάνω στην συμπεριφορά των παρατηρούμενων δεδομένων Αυτό και τα επόμενα διάφορα κεφάλαια αναπτύσσουν διάφορες τεχνικές που χρησιμοποιούνται σε αυτό το πλαίσιο Αρχίζουμε με ένα γενικό γραμμικό μοντέλο και μια βασική στατιστική λεπτομερή ανάλυση 6 Βασική Στατιστική Ανάλυση Συσχετιστική εναντίον πειραματικής έρευνας Η πιο εμπειρική έρευνα ανήκει σαφώς σε μια από τις δύο γενικές κατηγορίες Στη συσχετιστική έρευνα δεν επηρεάζουμε (ή τουλάχιστον προσπαθούμε να μην επηρεάζουμε) τις μεταβλητές αλλά μόνο κοιτάμε τις

3 σχέσεις (συσχετίσεις) μεταξύ κάποιου συνόλου μεταβλητών, όπως η πίεση αίματος και το επίπεδο χοληστερόλης Στην πειραματική έρευνα, χειριζόμαστε μερικές μεταβλητές και μετράμε έπειτα τα αποτελέσματα αυτού του χειρισμού σε άλλες μεταβλητές, παραδείγματος χάριν, ένας ερευνητής τεχνητά μπορεί να αυξήσει την πίεση του αίματος και να καταγράψει έπειτα το επίπεδο χοληστερόλης Η ανάλυση στοιχείων στην πειραματική έρευνα υπολογίζει τις συσχετίσεις μεταξύ των μεταβλητών, συγκεκριμένα, αυτών που χειριζόμαστε και αυτών που επηρεάζονται από το χειρισμό Εντούτοις, τα πειραματικά στοιχεία μπορούν ενδεχομένως να παρέχουν ποιοτικά καλύτερες πληροφορίες: Μόνο τα πειραματικά στοιχεία μπορούν να δείξουν τις αιτιώδεις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών Παραδείγματος χάριν, εάν διαπιστώσουμε ότι όποτε αλλάζουμε την μεταβλητή Α αλλάζει η μεταβλητή Β, τότε μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η μεταβλητή Α επηρεάζει τη Β Εξαρτημένη εναντίον ανεξάρτητων μεταβλητών Οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι αυτές που χειριζόμαστε ενώ οι εξαρτώμενες μεταβλητές μόνο μετρούνται ή καταχωρούνται Αυτή η διάκριση εμφανίζεται ορολογικά μπερδεμένη, διότι όπως μερικοί σπουδαστές λένε, όλες οι μεταβλητές εξαρτώνται από κάτι Εντούτοις, μόλις συνηθίσουμε αυτήν τη διάκριση, τότε γίνεται αναπόφευκτη Οι όροι εξαρτώμενη και ανεξάρτητη μεταβλητή ισχύουν συνήθως στην πειραματική έρευνα όπου κάποιες μεταβλητές τις χειριζόμαστε και υπό αυτή την έννοια είναι ανεξάρτητες από τα αρχικά σχέδια, χαρακτηριστικά γνωρίσματα, προθέσεις κλπ των θεμάτων Παραδείγματος χάριν, εάν σε ένα πείραμα, τα αρσενικά συγκρίνονται με τα θηλυκά σε σχέση με τη λευκή αρίθμηση των κυττάρων τους (Whte Cell Count, WCC), το γένος θα μπορούσε να κληθεί ανεξάρτητη μεταβλητή και το WCC εξαρτώμενη μεταβλητή Σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών Ανεξάρτητα από τον τύπο τους, δύο ή περισσότερες μεταβλητές συσχετίζονται εάν σε ένα δείγμα παρατηρήσεων, οι τιμές αυτών των μεταβλητών κατανέμονται κατά τρόπο συνεπή Με άλλα λόγια, οι μεταβλητές συσχετίζονται εάν οι τιμές τους έχουν κάποια συστηματική αντιστοιχία η μια με την άλλη γι αυτές τις παρατηρήσεις Παραδείγματος χάριν, το Γένος και το WCC θα είχαν κάποια συσχέτιση εάν τα περισσότερα αρσενικά είχαν υψηλό WCC και τα περισσότερα θηλυκά χαμηλό WCC, ή αντίστροφα Το ύψος συσχετίζεται με το βάρος επειδή τα ψηλά άτομα είναι βαρύτερα από τα κοντύτερα Ο Δείκτης Νοημοσύνης συσχετίζεται με τον αριθμό των λαθών σε μια δοκιμή, εάν οι άνθρωποι με υψηλότερο Δείκτη Νοημοσύνης κάνουν λιγότερα λάθη Γιατί οι σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών είναι σημαντικές Γενικά, ο βασικός στόχος κάθε έρευνας ή επιστημονικής ανάλυσης είναι να βρίσκει σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών Κατά συνέπεια, η πρόοδος της επιστήμης πρέπει πάντα να περιλαμβάνει την εύρεση νέων σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών Η συσχετιστική έρευνα περιλαμβάνει τη μέτρηση τέτοιων σχέσεων 3

4 με απλό τρόπο Εντούτοις, η πειραματική έρευνα δεν είναι πολύ διαφορετική υπό αυτή την άποψη Παραδείγματος χάριν, το προαναφερθέν πείραμα που συγκρίνει το WCC στα αρσενικά και τα θηλυκά μπορεί να περιγραφεί ψάχνοντας έναν συσχετισμό μεταξύ δύο μεταβλητών: Το Γένος και το WCC Η στατιστική μας βοηθά να αξιολογήσουμε τις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών Δύο βασικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα κάθε σχέσης μεταξύ των μεταβλητών Οι δύο πιο στοιχειώδεις ιδιότητες κάθε σχέσης μεταξύ των μεταβλητών είναι (α) το μέγεθος της σχέσης (magntude) (ποσοτικό) και (β) η αξιοπιστία (relablty) Μέγεθος Το μέγεθος μπορεί πιο εύκολα να κατανοηθεί και να μετρηθεί από την αξιοπιστία Παραδείγματος χάριν, εάν έχει βρεθεί στο δείγμα μας κάθε αρσενικό να έχει υψηλότερο WCC από οποιοδήποτε θηλυκό, θα μπορούσαμε να πούμε ότι το μέγεθος της σχέσης μεταξύ των δύο μεταβλητών (Gender και WCC) είναι πολύ υψηλό στο δείγμα μας Με άλλα λόγια, θα μπορούσαμε να προβλέψουμε την μία μεταβλητή βασιζόμενη στην άλλη (τουλάχιστον μεταξύ των μελών του δείγματός μας) Αξιοπιστία Η αξιοπιστία μιας σχέσης είναι μια πολύ λιγότερο διαισθητική έννοια, αλλά εξαιρετικά σημαντική Αναφέρεται στην αντιπροσωπευτικότητα του αποτελέσματος από το συγκεκριμένο δείγμα μας για ολόκληρο πληθυσμό Με άλλα λόγια, λέει πόσο πιθανό είναι να βρεθεί μια παρόμοια σχέση εάν το πείραμα ξαναγίνει με άλλα δείγματα από τον ίδιο πληθυσμό Πρέπει να θυμόμαστε ότι δεν ενδιαφερόμαστε σχεδόν ποτέ, μόνο γι αυτό που συμβαίνει στο δείγμα μας Ενδιαφερόμαστε για το δείγμα στην έκταση την οποία μπορεί να παρέχει πληροφορίες για τον πληθυσμό Εάν η μελέτη μας ικανοποιεί μερικά ειδικά κριτήρια, τότε η αξιοπιστία μιας σχέσης μεταξύ των μεταβλητών που παρατηρούνται στο δείγμα μας μπορεί να υπολογιστεί ποσοτικά και να αντιπροσωπευθεί χρησιμοποιώντας ένα τυποποιημένο μέτρο (το τεχνικά αποκαλούμενο p-value ή στατιστικό επίπεδο σημαντικότητας) Τι είναι στατιστική σημαντικότητα (p-value) Η στατιστική σημαντικότητα ενός αποτελέσματος είναι η πιθανότητα που η παρατηρηθείσα σχέση (πχ, μεταξύ των μεταβλητών) ή μια διαφορά (πχ, μεταξύ των μέσων) σε ένα δείγμα εμφανίστηκε καθαρά κατά τύχη και ότι στον πληθυσμό από τον οποίο προήλθε το δείγμα, δεν υπάρχει καμία τέτοια σχέση ή διαφορά Πιο συγκεκριμένα, η p-value μιας δοκιμής στατιστικής σημαντικότητας αντιπροσωπεύει την πιθανότητα της λήψης τιμών της στατιστικής δοκιμής που είναι ίσες με ή μεγαλύτερες στο μέγεθος από την παρατηρηθείσα στατιστική δοκιμή Χρησιμοποιώντας λιγότερο τεχνικούς όρους, κάποιος θα μπορούσε να πει ότι η στατιστική σημαντικότητα ενός αποτελέσματος μας λέει κάτι για το βαθμό στον οποίο το αποτέλεσμα είναι αληθινό (υπό 4

5 την έννοια ότι είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού ) Πιο τεχνικά, η τιμή του p-value αντιπροσωπεύει έναν μειωτικό δείκτη της αξιοπιστίας του αποτελέσματος (βλέπε Brownlee, 960) Όσο πιο υψηλό είναι το p-value, τόσο λιγότερο μπορούμε να πιστέψουμε ότι η παρατηρηθείς σχέση μεταξύ των μεταβλητών στο δείγμα είναι ένας αξιόπιστος δείκτης της σχέσης μεταξύ των αντίστοιχων μεταβλητών στον πληθυσμό Συγκεκριμένα, το p-value παριστάνει την πιθανότητα του λάθους που περιλαμβάνεται στην αποδοχή του παρατηρηθέντος αποτελέσματός μας ως έγκυρου, δηλαδή ως αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού Παραδείγματος χάριν, μια p-value του 05 (δηλαδή /0) δείχνει ότι υπάρχει 5% πιθανότητα η σχέση μεταξύ των μεταβλητών που βρίσκονται στο δείγμα μας να είναι τυχαία επιτυχία Με άλλα λόγια, υποθέτοντας ότι στον πληθυσμό δεν υπήρξε καμία σχέση μεταξύ των μεταβλητών και επαναλαμβάναμε τα πειράματά μας το ένα μετά το άλλο, θα μπορούσαμε να αναμείνουμε ότι σε περίπου κάθε 0 επαναλήψεις του πειράματος θα υπήρχε ένα στο οποίο η σχέση μεταξύ των εν λόγω μεταβλητών θα ήταν ίση ή ισχυρότερη από τη δική μας σχέση (Σημειώστε ότι αυτό δεν είναι το ίδιο με το να πούμε ότι δεδομένου ότι υπάρχει μια σχέση μεταξύ των μεταβλητών, μπορούμε να αναμείνουμε ότι θα ξαναπάρουμε τα ίδια αποτελέσματα σε 5% του αριθμού των επαναλήψεων ή 95% αυτών Όταν υπάρχει μια σχέση μεταξύ των μεταβλητών στον πληθυσμό, η πιθανότητα της αντιγραφής της μελέτης και της διαπίστωσης της σχέσης σχετίζεται με τη στατιστική δύναμη, (δηλαδή την πιθανότητα απόρριψης μιας ψευδής στατιστικής κενής υπόθεσης) Σε πολλούς τομείς της έρευνας, το p- value του 05 συνήθως αντιμετωπίζεται ως ένα αποδεκτό επίπεδο λάθους Πώς να καθορίσουμε ότι ένα αποτέλεσμα είναι πραγματικά σημαντικό Δεν υπάρχει κανένας τρόπος να αποφευχθεί η αυθαιρεσία στην τελική απόφαση ως προς ποιο επίπεδο σημαντικότητας θα αντιμετωπιστεί ως πραγματικά σημαντικό Δηλαδή η επιλογή κάποιου επιπέδου σημαντικότητας, μέχρι το οποίο τα αποτελέσματα να απορριφθούν ως άκυρα, είναι αυθαίρετη Στην πράξη, η τελική απόφαση εξαρτάται συνήθως από το εάν η έκβαση προβλέφθηκε από την αρχή ή βρέθηκε μόνο μετά από πολλές αναλύσεις και συγκρίσεις που εκτελέστηκαν στο σύνολο των δεδομένων Χαρακτηριστικά, σε πολλές επιστήμες, αποτελέσματα που δίνουν p 005 θεωρούνται διαχωριστική γραμμή στατιστικά σημαντική αλλά θυμηθείτε ότι αυτό το επίπεδο σημαντικότητας περιλαμβάνει μια αρκετά υψηλή πιθανότητα λάθους (5%) Αποτελέσματα που είναι σημαντικά στο p 00 επίπεδο θεωρούνται συνήθως στατιστικά σημαντικά και p 0005 ή p 000 επίπεδα καλούνται συχνά ιδιαίτερα σημαντικά Αλλά αυτές οι ταξινομήσεις αντιπροσωπεύουν μόνο αυθαίρετες συμβάσεις που είναι ανεπίσημα βασισμένες στη γενική ερευνητική εμπειρία 5

6 Στατιστική σημαντικότητα και ο αριθμός των διενεργηθεισών αναλύσεων Περιττό να πούμε ότι, όσες περισσότερες αναλύσεις εκτελούνται σε ένα σύνολο δεδομένων, τόσα περισσότερα αποτελέσματα θα πετύχουν κατά τύχη το συμβατικό επίπεδο σημαντικότητας Παραδείγματος χάριν, εάν υπολογίζουμε συσχετίσεις μεταξύ δέκα μεταβλητών (πχ, 45 διαφορετικοί συντελεστές συσχετίσεως), τότε πρέπει να αναμένουμε να βρούμε κατά τύχη ότι περίπου δύο (δηλ, ένας στους 0) συντελεστές συσχέτισης είναι σημαντικοί στο p 005 επίπεδο, ακόμα κι αν οι τιμές των μεταβλητών ήταν τυχαίες και δεν συσχετίζονται στον πληθυσμό Μερικές στατιστικές μέθοδοι που περιλαμβάνουν πολλές συγκρίσεις και έτσι μια καλή πιθανότητα για τέτοια λάθη, περιλαμβάνουν κάποια διόρθωση ή ρύθμιση για το συνολικό αριθμό συγκρίσεων Εντούτοις, πολλές στατιστικές μέθοδοι (ειδικά απλές διερευνητικές αναλύσεις στοιχείων) δεν προσφέρουν απλές λύσεις σε αυτό το πρόβλημα Επομένως, εξαρτάται από τον ερευνητή να αξιολογεί προσεκτικά την αξιοπιστία απροσδόκητων συμπερασμάτων Συσχετίσεις, Σκοπός (τι είναι συσχετίσεις;) Η συσχέτιση μεταξύ δύο μεταβλητών απεικονίζει το βαθμό με τον οποίο οι μεταβλητές συσχετίζονται Το πιο κοινό μέτρο συσχέτισης είναι ο Pearson Product Moment Correlaton (αποκαλούμενο εν συντομία Pearson συσχέτιση) Όταν μετριέται σε έναν πληθυσμό η συσχέτιση Pearson υποδεικνύεται με το ελληνικό γράμμα (ρ) Όταν υπολογίζεται σε ένα δείγμα, υποδεικνύεται με το γράμμα r και καλείται μερικές φορές Pearsons r Η συσχέτιση Pearson απεικονίζει το βαθμό της γραμμικής σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών Κυμαίνεται από + μέχρι - Μια συσχέτιση του + σημαίνει ότι υπάρχει μια τέλεια θετική γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών Το scatterplot που παρουσιάζεται σε αυτήν την σελίδα απεικονίζει μια τέτοια σχέση Είναι μια θετική σχέση επειδή υψηλά αποτελέσματα στον άξονα των συσχετίζονται με υψηλά αποτελέσματα στον άξονα των Y Μια συσχέτιση του - σημαίνει ότι υπάρχει μια τέλεια αρνητική γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών Το scatterplot που παρουσιάζεται κατωτέρο απεικονίζει μια αρνητική σχέση Είναι μια αρνητική σχέση επειδή υψηλά αποτελέσματα στον άξονα των συσχετίζονται με χαμηλά αποτελέσματα στον άξονα των Y Μια συσχέτιση του 0 σημαίνει ότι δεν υπάρχει καμία γραμμική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών 6

7 Η δεύτερη γραφική παράσταση παρουσιάζει μια μηδενική συσχέτιση Pearson Οι συσχετίσεις είναι σπάνιες στα 0,, ή - Μερικά πραγματικά στοιχεία που παρουσιάζουν συγκρατημένα υψηλό συσχετισμό παρουσιάζονται στην επόμενη σελίδα Το scatterplot κατωτέρω παρουσιάζει τη δύναμη του βραχίονα ως λειτουργία της δύναμης του πιασίματος για 47 ανθρώπους που εργάζονται σε δουλειά που απαιτεί φυσική-δύναμη Το διάγραμμα αποκαλύπτει μια ισχυρή θετική συσχέτιση Η τιμή της Pearson συσχέτισης είναι 063 7

8 Πώς να ερμηνεύουμε τις τιμές των συσχετίσεων Για μικρά Ν, το r μπορεί εμφανώς να ποικίλει ακόμα και αν η κενή υπόθεση είναι αληθινή (η κενή υπόθεση είναι ότι δεν υπάρχει καμία αληθινή διαφορά μεταξύ των ομάδων και οποιαδήποτε διαφορά (στατιστικά) οφείλεται στα λάθη δειγματοληψίας Οι ερευνητές προσπαθούν να το διαψεύσουν αυτό) Για μεγαλύτερα μεγέθη δειγμάτων, οι συσχετίσεις θα συγκεντρωθούν πιο κοντά στο μηδέν αλλά θα υπάρχει ακόμα μια ιδιαίτερη διακύμανση των τιμών Σημασία της Συσχετίσεως Το επίπεδο της σημαντικότητας που υπολογίζεται για κάθε συσχέτιση είναι μια αρχική πηγή πληροφοριών για την αξιοπιστία της συσχέτισης Η σημαντικότητα ενός συντελεστή συσχετίσεως ενός ιδιαίτερου μεγέθους θα αλλάξει ανάλογα με το μέγεθος του δείγματος από το οποίο υπολογίστηκε Η δοκιμή της σημαντικότητας είναι βασισμένη στην υπόθεση ότι η κατανομή των υπόλοιπων (δηλαδή των αποκλίσεων από τη γραμμή παλινδρόμησης) ακολουθεί την κανονική κατανομή και ότι η διασπορά των υπόλοιπων είναι η ίδια για όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x Εντούτοις, οι μελέτες Monte Carlo προτείνουν ότι η συγκέντρωση αυτών των υποθέσεων, δεν είναι απολύτως κρίσιμη εάν το μέγεθος του δείγματος μας το δεν είναι πολύ μικρό και όταν η απόσταση από την υπόθεση της κανονικότητας δεν είναι πολύ μεγάλη Είναι αδύνατο να διατυπωθούν ακριβείς συστάσεις βασισμένες στα αποτελέσματα Monte- Carlo, αλλά πολλοί ερευνητές ακολουθούν μια εμπειροτεχνική μέθοδο ότι εάν το μέγεθος του δείγματος είναι 50 ή παραπάνω τότε είναι απίθανες σοβαρές αμεροληψίες (bases) και εάν το μέγεθος του δείγματος είναι πάνω από 00 τότε δεν πρέπει να ενδιαφερόμαστε καθόλου για τις υποθέσεις 8

9 κανονικότητας Υπάρχουν, εντούτοις, πιο κοινές και σοβαρές απειλές για την ισχύ των πληροφοριών όπου ένας συντελεστής συσχετίσεως μπορεί να παρέχει Διερευνητική εξέταση των μητρών συσχετίσεως Ένα κοινό πρώτο βήμα πολλών αναλύσεων στοιχείων που περιλαμβάνουν περισσότερες από πολύ μία μεταβλητές είναι να πάρουμε τον πίνακα συσχέτισης όλων των μεταβλητών και να τον εξετάσουμε για αναμενόμενες (και μη αναμενόμενες) σημαντικές σχέσεις Όταν γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζουμε τη γενική φύση της στατιστικής σημαντικότητας Συγκεκριμένα, εάν έχουμε πολλές δοκιμές (σε αυτήν την περίπτωση, πολλές συσχετίσεις), τότε σημαντικά αποτελέσματα θα βρίσκονται εκπληκτικά συχνά λόγω καθαρής πιθανότητας Παραδείγματος χάριν, εξ ορισμού, ένας συντελεστής σημαντικός στο επίπεδο 005 θα εμφανιστεί κατά τύχη μια φορά σε κάθε 0 συντελεστές Δεν υπάρχει κανένας αυτόματος τρόπος να απομακρυνθούν οι αληθινές συσχετίσεις Κατά συνέπεια, πρέπει να μεταχειριζόμαστε όλα τα αποτελέσματα που δεν προβλέφθηκαν ή προγραμματίστηκαν με ιδιαίτερη προσοχή και τη δυνατότητα συνύπαρξης τους με άλλα αποτελέσματα Τελικά, εντούτοις, ο πιο αποφασιστικός (αν και δαπανηρός) έλεγχος για έναν τέτοιο τυχαίο παράγοντα είναι να επαναληφθεί η μελέτη Αυτό το ζήτημα είναι γενικό και αναφέρεται σε όλες τις αναλύσεις που περιλαμβάνουν πολλαπλάσιες συγκρίσεις και στατιστική σημαντικότητα Έλεγχος υπόθεσης Οι στατιστικές υποθέσεις διατυπώνονται πάντα ανά ζεύγη και διαμερίζουν το σύνολο του παραμετρικού χώρου Θ σε δυο ξένα υποσύνολα Θ και Θ έτσι ώστε να ισχύει ΘΘ +Θ και ΘI Θ Η πρώτη από τις δυο υποθέσεις (Η 0 ) ονομάζεται μηδενική υπόθεση ή Ελεγχόμενη υπόθεση και η δεύτερη υπόθεση (Η ) ονομάζεται εναλλακτική ή υπόθεση έρευνας Η Η 0 μας δείχνει την μη-διαφορά ανάμεσα στην τιμή της στατιστικής συνάρτησης του δείγματος και της αντίστοιχης παραμέτρου του πληθυσμού, ενώ η Η μας δείχνει την διαφορά ανάμεσα στην τιμή της στατιστικής συνάρτησης του δείγματος και της αντίστοιχης παραμέτρου του πληθυσμού Διατυπώνουμε την κενή υπόθεση H 0 ( μια κενή υπόθεση είναι μια στατιστική υπόθεση η οποία εξετάζεται για πιθανή απόρριψη κάτω από την υπόθεση ότι είναι αληθινή, συνήθως ότι οι παρατηρήσεις είναι αποτέλεσμα καθαρά τύχης) και την εναλλακτική υπόθεση H (λαμβάνεται συνήθως για να δείξει ότι οι παρατηρήσεις είναι το αποτέλεσμα μιας πραγματικής επίδρασης, με κάποιο ποσοστό τύχης) 9

10 Προσδιορίζουμε μια στατιστική δοκιμή που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αξιολογήσει την αλήθεια της κενής υπόθεσης Συνήθως γράφουμε H 0 : θ θ 0 και H : θ < θ 0 Μη γραμμικές σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών Μια άλλη πιθανή πηγή προβλημάτων με τη γραμμική (Pearson r) συσχέτιση είναι η μορφή της σχέσης Όπως αναφέρθηκε πριν, η συσχέτιση Pearson r μετρά μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών μόνο ως προς την έκταση στην οποία είναι γραμμική Αποκλίσεις από τη γραμμικότητα θα αυξήσουν το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τη γραμμή της παλινδρόμησης ακόμα κι αν αντιπροσωπεύουν μια αληθινή και πολύ στενή σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών Η δυνατότητα τέτοιων μη γραμμικών σχέσεων είναι ένας άλλος λόγος για τον οποίο εξετάζουμε τα scatterplots τα οποία είναι ένα απαραίτητο βήμα στην αξιολόγηση κάθε συσχετισμού Παραδείγματος χάριν, η ακόλουθη γραφική παράσταση αποδεικνύει έναν εξαιρετικά ισχυρό συσχετισμό μεταξύ των δύο μεταβλητών που δεν περιγράφεται καλά από τη γραμμική συνάρτηση Μέτρηση των μη γραμμικών σχέσεων Τι είναι αυτό που κάνει ένα συσχετισμό να είναι ισχυρός αλλά σαφώς μη γραμμικός (όπως φαίνεται από την εξέταση των scatterplots); Δυστυχώς, δεν υπάρχει καμία απλή απάντηση σε αυτήν την ερώτηση, επειδή δεν υπάρχει κανένας εύκολος στη χρήση τρόπος ισοδύναμος του Pearson r ο οποίος να είναι σε θέση να χειριστεί μη γραμμικές σχέσεις Εάν η καμπύλη είναι μονότονη (συνεχώς να μειώνεται ή να αυξάνεται) θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να μετασχηματίσουμε τη μια ή και τις δύο μεταβλητές για να αφαιρέσουμε την καμπυλότητα και να υπολογίσουμε έπειτα το συσχετισμό Παραδείγματος χάριν, ένας χαρακτηριστικός μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται σε τέτοιες περιπτώσεις είναι η λογαριθμική συνάρτηση Μια άλλη επιλογή διαθέσιμη εάν η σχέση είναι μονότονη είναι να δοκιμαστεί μια μη παραμετρική συσχέτιση 0

11 (πχ, Spearman R) η όποια είναι ευαίσθητη μόνο με την τακτική ρύθμιση των τιμών, κατά συνέπεια, εξ ορισμού αγνοεί την μονότονη καμπυλότητα Εντούτοις, μη παραμετρικοί συσχετισμοί είναι γενικά λιγότερο ευαίσθητοι και μερικές φορές αυτή η μέθοδος δεν παράγει οποιαδήποτε κέρδη Δυστυχώς, οι δύο ακριβέστερες μέθοδοι δεν είναι εύχρηστες και απαιτούν πολύ πειραματισμό με τα στοιχεία Επομένως θα μπορούσαμε: -Να προσδιορίσουμε τη συγκεκριμένη συνάρτηση που περιγράφει καλύτερα την καμπύλη Αφότου έχει βρεθεί μια συνάρτηση, μπορούμε να εξετάσουμε την καλή προσαρμογή της στα στοιχεία μας -Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πειραματιστούμε διαιρώντας μια από τις μεταβλητές σε διάφορα τμήματα (πχ, 4 ή 5) ίσου πλάτους (groupng varable) και κάνοντας μια ανάλυση της διασποράς στα στοιχεία T-test Το t-test αξιολογεί εάν οι μέσοι δύο ομάδων είναι στατιστικά διαφορετικοί ο ένας από τον άλλο Αυτή η ανάλυση είναι κατάλληλη όποτε θέλουμε να συγκρίνουμε τους μέσους δύο ομάδων και ιδιαίτερα κατάλληλη ως ανάλυση μιας έρευνας εκ των υστέρων μόνο δύο ομάδων τυχαίου πειραματικού σχεδίου Εικόνα Ιδανικές κατανομές για τις μεταχειρισμένες τιμές και αυτές που χρησιμοποιούνται ως πρότυπο τιμές Η Εικόνα παρουσιάζει τις κατανομές για τις μεταχειρισμένες (μπλε) και αυτές που χρησιμοποιούνται ως πρότυπο (πράσινες) ομάδες σε μια μελέτη Πραγματικά, η Εικόνα παρουσιάζει μια ιδανική κατανομή - η πραγματική κατανομή θα απεικονιζόταν συνήθως με την γραφική παράσταση ιστογράμμων Η Εικόνα δείχνει που βρίσκονται οι μέσοι των δύο ομάδων Η ερώτηση που κάνει η δοκιμή t-test είναι εάν οι μέσοι είναι στατιστικά διαφορετικοί

12 Τι σημαίνει ότι οι μέσοι για δύο ομάδες είναι στατιστικά διαφορετικοί; Εξετάστε τις τρεις περιπτώσεις που παρουσιάζονται στην Εικόνα Το πρώτο πράγμα που παρατηρούμε για τις τρεις περιπτώσεις είναι ότι η διαφορά μεταξύ των μέσων είναι η ίδια και στις τρεις Αλλά, πρέπει επίσης να παρατηρήσουμε ότι οι τρεις καταστάσεις δεν φαίνονται ίδιες Το παράδειγμα στην κορυφή παρουσιάζει μια περίπτωση με μέτρια μεταβλητότητα των τιμών μέσα σε κάθε ομάδα Η δεύτερη κατάσταση παρουσιάζει υψηλή περίπτωση μεταβλητότητας και η τρίτη παρουσιάζει την περίπτωση με τη χαμηλή μεταβλητότητα Σαφώς, θα καταλήγαμε στο συμπέρασμα ότι οι δύο ομάδες εμφανίζονται πιο διαφορετικές ή ξεχωριστές στην περίπτωση της κατώτερης ή χαμηλής μεταβλητότητας Γιατί; Επειδή υπάρχει σχετικά μικρή επικάλυψη μεταξύ των δύο καμπύλων με σχήμα καμπάνας Στην περίπτωση υψηλής μεταβλητότητας, η διαφορά στις ομάδες εμφανίζεται ελάχιστα εντυπωσιακή επειδή οι δύο κατανομές έχουν πιο πολλά κοινά σημεία Εικόνα Τρία σενάρια για τις διαφορές μεταξύ των μέσων Αυτό μας οδηγεί σε ένα πολύ σημαντικό συμπέρασμα: Όταν εξετάζουμε τις διαφορές μεταξύ των αποτελεσμάτων για δύο ομάδες, πρέπει να κρίνουμε τη διαφορά μεταξύ των μέσων τους σε σχέση με την κατανομή ή μεταβλητότητα των τιμών τους και το t-test κάνει ακριβώς αυτό Εικόνα 5 Τύπος για το t-test Η t- τιμή θα είναι θετική εάν ο πρώτος μέσος είναι μεγαλύτερος από το δεύτερο και αρνητική εάν είναι μικρότερος Μόλις υπολογίσουμε την t- τιμή πρέπει να ανατρέξουμε σε έναν πίνακα

13 σημαντικότητας για να εξετάσουμε εάν το κλάσμα είναι αρκετά μεγάλο ώστε να δείχνει ότι η διαφορά μεταξύ των ομάδων δεν είναι πιθανό να υπάρχει λόγω πιθανότητας Για να εξετάσουμε τη σημαντικότητα, πρέπει να θέσουμε ένα επίπεδο κινδύνου (που λέγεται alpha level) Στην περισσότερη κοινωνική έρευνα, η εμπειροτεχνική μέθοδος έχει θέσει το άλφα επίπεδο05 Αυτό σημαίνει ότι πέντε φορές από τις εκατό θα βρούμε μια στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων ακόμα κι αν δεν υπήρχε καμία (δηλαδή κατά τύχη ) Πρέπει επίσης να καθορίσουμε τους βαθμούς ελευθερίας (df) για τη δοκιμή Στο t-test, οι βαθμοί ελευθερίας είναι το άθροισμα και στις δύο ομάδες μείον Λαμβάνοντας υπόψη το alpha level, τους βαθμούς ελευθερίας και την t-τιμή, μπορούμε να δούμε την t-τιμή σε έναν τυποποιημένο πίνακα σημαντικότητας για να καθορίσουμε εάν η t-τιμή μας είναι αρκετά μεγάλη ώστε να είναι σημαντική Εάν είναι, μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η διαφορά μεταξύ των μέσων για τις δύο ομάδες είναι διαφορετική (ακόμη και λαμβάνοντας υπόψη τη μεταβλητότητα) Ευτυχώς, τα στατιστικά προγράμματα υπολογιστών τυπώνουν συνήθως τα αποτελέσματα της δοκιμής t-test και μας σώζουν από το πρόβλημα του να ανατρέξουμε σε έναν πίνακα Η δοκιμή t-test, one-way Analyss of Varance (ANOVA) και μια μορφή ανάλυσης παλινδρόμησης είναι από μαθηματική άποψη ισοδύναμα και δίνουν τα ίδια αποτελέσματα Έτσι τα t tests είναι ακριβώς μια ειδική περίπτωση του ANOVA: Εάν αναλύσουμε τους μέσους δύο ομάδων με ANOVA, παίρνουμε τα ίδια αποτελέσματα με τη δοκιμή t-test Ο όρος ανάλυση της διασποράς είναι μια πηγή σύγχυσης Παρά το όνομά του, ο πίνακας ANOVA ενδιαφέρεται για τις διαφορές μεταξύ των μέσων στις ομάδες, όχι διαφορές μεταξύ των διασπορών Το όνομα ανάλυση της διασποράς προέρχεται από τον τρόπο με τον οποίο η διαδικασία χρησιμοποιεί τις διασπορές για να αποφασίσει εάν οι μέσοι είναι διαφορετικοί Μια καλύτερη ονομασία γι αυτό το πρότυπο θα ήταν ANOVASMAD (analyss of varance to see f means are dfferent)! Ο τρόπος που δουλεύει είναι απλός: Το πρόγραμμα κοιτάζει την μεταβλητότητα (διασπορά) μέσα στις ομάδες, κατόπιν επιλύει πώς αυτή η μεταβλητότητα θα μεταφραστεί στην μεταβλητότητα (δηλ διαφορές) μεταξύ των ομάδων, λαμβάνοντας υπόψη πόσες περιπτώσεις υπάρχουν στις ομάδες Εάν οι παρατηρηθείς διαφορές είναι πολύ μεγαλύτερες από αυτές που αναμένουμε κατά τύχη, θα έχουμε στατιστική σημαντικότητα Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν μόνο δύο ομάδες, έτσι η μεταβλητότητα μεταξύ των ομάδων είναι ακριβώς η διαφορά μεταξύ των μέσων 3

14 63 Το Γραμμικό Μοντέλο Το πολλαπλό γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης χρησιμοποιείται για να μελετήσει τη σχέση μεταξύ μιας εξαρτώμενης μεταβλητής και διάφορων ανεξάρτητων μεταβλητών Η γενική μορφή του γραμμικού μοντέλου παλινδρόμησης είναι y ( x x ) + ε β x + + β x + ε,,,( 6 ) f, n K K K όπου το y είναι η εξαρτώμενη ή αποκριτική μεταβλητή, οι x,xk είναι οι ανεξάρτητες ή προβλέπουσες μεταβλητές και οι δείκτες είναι οι n παρατηρήσεις του δείγματος Η θεωρία θα διευκρινίσει το f (, ) x x K Η εξίσωση (6-) καλείται συνήθως πληθυσμιακή εξίσωση παλινδρόμησης του y πάνω στα x,xk Το y είναι αυτό που παλινδρομείτε και τα x K, k,, K, είναι οι παλινδρομητές ή συμμεταβλητές Ο όρος ε είναι η τυχαία διαταραχή, η οποία ονομάζεται έτσι επειδή διαταράσσει μια ειδάλλως σταθερή σχέση Η τιμή του ε εξαρτάται από την υποκείμενη κατανομή πιθανότητας Η διαταραχή ή αλλιώς σφάλμα προκύπτει για διάφορους λόγους Πρωταρχικός λόγος είναι ότι δεν μπορούμε να ελπίσουμε ότι θα προσεγγίζουμε κάθε επίδραση μιας οικονομικής μεταβλητής σε ένα μοντέλο, ανεξάρτητα από το πόσο επιμελώς εργαζόμαστε Το καθαρό αποτέλεσμα (net effect), που μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, από τους παραληφθείς παράγοντες εξηγείται στη διαταραχή Υπάρχουν πολλοί παράγοντες που συμβάλλουν στη διαταραχή σε ένα μοντέλο θεμελιωμένο πάνω στο πείραμα και την απόδειξη Πιθανώς ο σημαντικότερος από αυτούς τους παράγοντες είναι τα σφάλματα στη μέτρηση Είναι εύκολο να θεωρητικολογήσει κανείς για τις σχέσεις μεταξύ των ακριβώς καθορισμένων μεταβλητών και είναι διαφορετικό να πάρει τις ακριβείς τιμές αυτών των μεταβλητών Παραδείγματος χάριν, η δυσκολία της αποκόμισης λογικών ποσών κέρδους, επιτόκια, μετοχικά κεφάλαια, ή ακόμα χειρότερα, ανερχόμενες υπηρεσίες από τα μετοχικά κεφάλαια είναι ένα επαναλαμβανόμενο θέμα στην εμπειρική βιβλιογραφία Η βιβλιογραφία στο μόνιμο εισοδηματικό μοντέλο κατανάλωσης (πχ, Fredman (957)) παρέχει ένα ενδιαφέρον παράδειγμα Τα σφάλματα εμφανίζονται επειδή το μοντέλο είναι μια απλοποίηση της πραγματικότητας Υποθέτουμε, για παράδειγμα, ότι η τιμή είναι ο μόνος καθοριστικός παράγοντας για τη ζήτηση ενός προϊόντος Στην πραγματικότητα, διάφορες παραληφθείς μεταβλητές έχουν σχέση με τη ζήτηση, όπως οι μεμονωμένες προτιμήσεις, ο πληθυσμός, το εισόδημα και ο καιρός μπορεί να περιληφθούν στον όρο του σφάλματος Αν αυτές οι παραληφθείς επιδράσεις είναι μικρές, είναι λογικό να υποθέτουμε ότι το σφάλμα είναι τυχαίο 4

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Εισόδημα και Εκπαίδευση Ένας αριθμός πρόσφατων μελετών έχει αναλύσει τη σχέση μεταξύ του εισοδήματος και της εκπαίδευσης Θα αναμέναμε, κατά μέσον όρο, υψηλά επίπεδα εκπαίδευσης να συνδέονται με υψηλά εισοδήματα Το απλό μοντέλο παλινδρόμησης είναι εισόδημα β + β εκπαίδευση + ε εντούτοις, η εξίσωση παραμελεί ότι οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν υψηλότερο εισόδημα όταν είναι μεγαλύτεροι παρά όταν είναι νέοι, ανεξάρτητα από την εκπαίδευσή τους Αυτό σημαίνει ότι το β θα μεγαλοποιήσει την οριακή επίδραση της εκπαίδευσης Εάν η ηλικία και η εκπαίδευση είναι θετικά συσχετισμένες, το μοντέλο παλινδρόμησης θα συνδέσει όλες τις παρατηρηθείς αυξήσεις στο εισόδημα με τις αυξήσεις στην εκπαίδευση Ένας καλύτερος προσδιορισμός της επίδρασης της ηλικίας είναι εισόδημα β + β εκπαίδευση + β 3 ηλικία + ε Συχνά παρατηρείται ότι το εισόδημα τείνει να αυξηθεί με πιο αργό ρυθμό στα τελευταία έτη κέρδους απ ότι στα αρχικά Για να προσαρμόσουμε αυτήν την πιθανότητα θα επεκτείνουμε το μοντέλο μας στο εισόδημα β + β εκπαίδευση + β 3 ηλικία + β 4 ηλικία + ε Θα περιμέναμε το β 3 να είναι θετικό και το β 4 να είναι αρνητικό Το κρίσιμο χαρακτηριστικό γνώρισμα αυτού του μοντέλου είναι ότι μας επιτρέπει να φέρουμε σε πέρας ένα πείραμα αποτελούμενο από έννοιες οι οποίες μπορεί να μην είχαν παρατηρηθεί στα πραγματικά δεδομένα Στο παράδειγμα, μπορεί να θέλουμε (και μπορούμε) να συγκρίνουμε τα εισοδήματα δύο ατόμων της ίδιας ηλικίας με διαφορετικά επίπεδα εκπαίδευσης ακόμα κι αν το σύνολο των δεδομένων μας δεν περιέχει πραγματικά δύο τέτοια άτομα, (το πως μπορούμε να μετρήσουμε την εκπαίδευση είναι μια διαφορετική και αρκετά δύσκολη ερώτηση που δεν είμαστε σε θέση να απαντήσουμε εδώ) Μια μεγάλη βιβλιογραφία έχει αφιερωθεί σε αυτήν την ενδιαφέρον ερώτηση πάνω σε αυτό το θέμα Η εκπαίδευση δεν είναι πραγματικά ανεξάρτητη από τη μέχρι τώρα διάταξη του σκηνικού Άτομα με ιδιαίτερα υψηλά κίνητρα θα επιλέξουν να ακολουθήσουν περισσότερη εκπαίδευση (παραδείγματος χάριν, με τη μετάβαση στο πανεπιστήμιο ή μεταπτυχιακά) από άλλα άτομα Για τον ίδιο λόγο, αυτά τα άτομα μπορούν να κάνουν πράγματα τα οποία, κατά μέσο όρο, τους οδηγούν σε υψηλότερα εισοδήματα Σε αυτή την περίπτωση, ένα θετικό β το 5

16 οποίο υποδηλώνει μια σχέση μεταξύ του εισοδήματος και της εκπαίδευσης, μετράει πραγματικά την επίδραση της εκπαίδευσης στο εισόδημα ή απεικονίζει το αποτέλεσμα κάποιας υποκρυπτόμενης επίδρασης πάνω στις δύο μεταβλητές που δεν έχουμε συμπεριλάβει στο μοντέλο παλινδρόμησης; ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Η Συνάρτηση Κατανάλωσης του Keynes Μελετήστε τις ακόλουθες προτάσεις από τη Γενική θεωρία του Keynes (936): Το εθνικό εισόδημα και η απασχόληση εξαρτώνται από τις πραγματικές επενδύσεις και τις καταναλωτικές δαπάνες, με ανάλογες προσαρμογές των επιτοκίων και των φορολογικών συντελεστών Υπεστήριξε ότι η κρατική παρέμβαση στα επιτόκια και στις δημόσιες επενδύσεις, βοηθούν αποτελεσματικά στην αντιμετώπιση των υφέσεων, στη διατήρηση της οικονομικής σταθερότητας και στην ανάπτυξη Θα ορίσουμε τι λέμε ροπή προς την κατανάλωση ως τη συναρτησιακή σχέση f μεταξύ του Χ, ένα δεδομένο επίπεδο εισοδήματος και του C τα έξοδα κατανάλωσης από αυτό το επίπεδο εισοδήματος, έτσι ώστε C f() Κατά τον Keynes, το ύψος της κατανάλωσης (και κατ επέκταση της αποταμίευσης που αποτελεί τη βάση της οικονομικής ανάπτυξης) εξαρτάται περισσότερο από το ύψος του εισοδήματος και λιγότερο από το ύψος του επιτοκίου Την άποψη του Keynes αντίκρουσε ο M Fredman το 957 με το βιβλίο του A Theory of the Consumpton Functon Ο M Fredman ήταν οπαδός της θεωρίας του μονεταρισμού, κατά την οποία η ανάπτυξη και η ομαλή πορεία της οικονομίας (πληθωρισμός, επιτόκια κλπ) εξαρτάται από τον έλεγχο και τη ρύθμιση της π ρ ο σ φ ο ρ ά ς χρήματος Πάντως, σημαντικό ρόλο παίζει και η ζ ή τ η σ η του χρήματος Το ποσό το οποίο το κοινωνικό σύνολο ξοδεύει στην κατανάλωση εξαρτάται () εν μέρει στο ποσό του εισοδήματός του, () σε άλλες αντικειμενικές συνακόλουθες καταστάσεις και () εν μέρει στις υποκειμενικές ανάγκες, τις ψυχολογικές τάσεις και κοινωνικές συνήθειες των ατόμων που το συνθέτουν Το επίπεδο του εισοδήματος καθορίζεται από τα έξοδα κατανάλωσης (και από τις οικογένειες και από την κυβέρνηση), την καθαρή επένδυση και τις καθαρές εξαγωγές Ο απολογισμός των καταναλωτικών δαπανών αποτελεί ένα ουσιαστικό ποσοστό των συνολικών δαπανών στις περισσότερες οικονομίες (περίπου το 70%) Οι αλλαγές στις καταναλωτικές δαπάνες επομένως επηρεάζουν πολύ το επίπεδο εισοδήματος και απασχόλησης Ο θεμελιώδης ψυχολογικός νόμος επάνω στον οποίο εξαρτόμαστε με μεγάλη εμπιστοσύνη, πρώτα λόγω της γνώσης μας για την ανθρώπινη φύση και δεύτερον λόγω της λεπτομερής εμπειρίας μας από γεγονότα, δείχνει ότι οι άνθρωποι είναι διατεθειμένοι, κατά κανόνα και κατά μέσο όρο, να αυξήσουν την κατανάλωσή τους καθώς αυξάνονται τα εισοδήματά τους, αλλά όχι τόσο όσο 6

17 και η αύξηση του εισοδήματος τους Με άλλα λόγια, η κατανάλωση αυξάνεται λιγότερο αναλογικά με τις εισοδηματικές αυξήσεις Η μέση ροπή προς την κατανάλωση μειώνεται καθώς το εισόδημα αυξάνεται Δηλαδή το dc/d είναι θετικό και μικρότερο της μονάδας Αλλά, εκτός από τις αλλαγές στο εισοδηματικό επίπεδο σε μικρές-περιόδους, είναι επίσης φανερό ότι ένα απόλυτα υψηλό επίπεδο εισοδήματος θα τείνει κατά κανόνα να διευρύνει το χάσμα μεταξύ του εισοδήματος και της κατανάλωσης Αυτοί οι λόγοι θα οδηγήσουν, κατά κανόνα σε μια μεγαλύτερη αναλογία εισοδήματος που αποταμιεύεται καθώς το πραγματικό εισόδημα αυξάνεται Η θεωρία προϋποθέτει μια σταθερή σχέση μεταξύ της κατανάλωσης και του εισοδήματος, C f(), και ισχυρίζεται ότι η οριακή ροπή προς την κατανάλωση (Margnal Propensty to Consume, MPC), dc/d, είναι μεταξύ 0 και και δείχνει πόσο εισόδημα ξοδεύεται για κάθε πρόσθετης μονάδας του εισοδήματος Η μέση ροπή προς την κατανάλωση (Average Propensty to Consume, APC), C/, πέφτει καθώς το εισόδημα αυξάνεται ή d(c/)/d(mpc-apc)/<0 Προκύπτει ότι MPC<APC σε όλα τα επίπεδα εισοδήματος για μια ευθεία γραμμή της συνάρτησης κατανάλωσης η όποια κόβει τον κάθετο άξονα επάνω από την αρχή των συντεταγμένων στο διάγραμμα κατανάλωση-εισόδημα Σε ουσιαστικά υψηλά επίπεδα εισοδήματος το MPC μπορεί να μειωθεί Η μέση ροπή προς την κατανάλωση δείχνει πώς κάθε επίπεδο εισοδήματος διαιρείται μεταξύ της κατανάλωσης και της αποταμίευσης Ο πιο συχνός τύπος της συνάρτησης κατανάλωσης είναι η γραμμική σχέση C α + β, η οποία ικανοποιεί τους νόμους του Keynes εάν το β βρίσκεται μεταξύ 0 και και το α είναι μεγαλύτερο του μηδενός Αυτά τα θεωρητικά αποτελέσματα παρέχουν τη βάση για μια εμπειρική μελέτη Δοθέντος ενός κατάλληλου συνόλου δεδομένων, θα μπορούσαμε να ερευνήσουμε κατά πόσον η γραμμική συνάρτηση όπως δίνεται, προσφέρει μια ικανοποιητική περιγραφή της σχέσης μεταξύ κατανάλωσης και εισοδήματος και εάν όντως είναι έτσι, εάν το α είναι θετικό και το β είναι μεταξύ 0 και Ο Πίνακας 6 και η Εικόνα 6 παριστάνουν την συνολική κατανάλωση και το προσωπικό εισόδημα σε δολάρια για την οικονομία των ΗΠΑ τα δέκα χρόνια Είναι προφανές από την εικόνα ότι, τουλάχιστον επιφανειακά, τα δεδομένα είναι σύμφωνα με τη θεωρία Αλλά η γραμμική συνάρτηση είναι μόνο κατά προσέγγιση Στην πραγματικότητα, είναι απίθανο η κατανάλωση και το εισόδημα να μπορούν να συνδεθούν με οποιαδήποτε απλή σχέση Η αιτιοκρατική σχέση είναι σαφώς ανεπαρκής, Το μοντέλο σκοπεύει μόνο να απεικονίσει τα εξέχοντα χαρακτηριστικά γνωρίσματα αυτού του μέρους της οικονομίας Δεν 7

18 είμαστε τόσο φιλόδοξοι ώστε να προσπαθήσουμε να συλλάβουμε κάθε επίδραση πάνω στη σχέση, αλλά μόνο αυτές που είναι αρκετά ουσιαστικές ώστε να τη διαμορφώσουν άμεσα Η ευθεία γραμμή της συνάρτησης κατανάλωσης και οποιαδήποτε ευθεία γραμμή περιγράφονται από την σταθερά της α το ύψος στο οποίο κόβει τον κάθετο άξονα και την κλίση της β το ποσό που αυξάνεται για κάθε μονάδα καθώς κινούμαστε οριζόντια προς τα δεξιά Η κλίση της συνάρτησης κατανάλωσης είναι η οριακή ροπή προς την κατανάλωση, δηλαδή το μέρος κάθε πρόσθετου δολαρίου του διαθέσιμου εισοδήματος που οι οικογένειες επιθυμούν να καταναλώσουν Επειδή η διασπορά των σημείων βρίσκεται κοντά στη γραμμή που συνοψίζει αυτήν την σχέση, η απλοποίησή μας είναι χρήσιμη Εντούτοις, τα σημεία δεν βρίσκονται ακριβώς σύμφωνα με τη γραμμή Η απλοποίησή μας χάνει μερικές από τις επιρροές της ζήτησης κατανάλωσης Πίνακας 6 Διαθέσιμο Ατομικό Εισόδημα και Ατομικά Έξοδα Κατανάλωσης Έτος Εισόδημα Κατανάλωση ,6 67, , 696, ,3 737, ,7 767, ,5 76, ,9 779, ,8 83, ,9 864, ,8 05,7 903, 97,6 8

19 C Observed Lnear Εικόνα 6 Ποιοι παράγοντες μετατοπίζουν την συνάρτηση κατανάλωσης; Η επίδραση του πλούτου είναι η προς τα πάνω (προς τα κάτω) μετατόπιση της συνάρτησης κατανάλωσης όταν ο οικιακός πλούτος αυξάνεται (μειώνεται) και οι άνθρωποι ξοδεύουν περισσότερα (λιγότερα) σε κάθε επίπεδο του ατομικού διαθέσιμου εισοδήματος Η καταναλωτική πίστη (consumer credt), το σύστημα δηλαδή της παροχής πιστώσεων ή βραχυπρόθεσμων δανείων σε καταναλωτές, για αγορές με δόσεις ή επί πιστώσει Μια αύξηση στην νομισματική βάση αυξάνει το ταμειακό απόθεμα του τραπεζικού συστήματος και του επιτρέπει να επεκτείνει την καταναλωτική πίστη υπό μορφή μεγαλύτερων δανειακών διευκολύνσεων Λειτουργώντας μέσω των επιδράσεων του πλούτου ή της ζήτησης και του κόστους της καταναλωτικής πίστης, αλλαγές στην προσφορά χρήματος και στα επιτόκια μπορεί να μετατοπίσουν τη συνάρτηση κατανάλωσης και το συνολικό χρονοδιάγραμμα ζήτησης, επηρεάζοντας έτσι το επίπεδο ισορροπίας εισοδήματος και παραγωγής Το επόμενο βήμα είναι να ενσωματώσουμε στο μοντέλο την έμφυτη τυχαιότητα, του αντίστοιχου πραγματικού κόσμου Κατά συνέπεια, γράφουμε C f(, ε), όπου το ε είναι στοχαστικό στοιχείο Είναι σημαντικό να μην δούμε το ε σαν ένα δοχείο στο οποίο 9

20 συγκεντρώνονται οι ανεπάρκειες του μοντέλου Παραδείγματος χάριν, η Εικόνα 6 παρουσιάζει τις ίδιες μετρούμενες μεταβλητές όπως στην Εικόνα 6 για τα έτη Εμφανίζεται η ίδια μέτρια έλλειψη προσαρμογής Αλλά για τα χρόνια , προφανώς κάτι λείπει Αυτές οι διαφορές δεν είναι αποτέλεσμα τυχαίας απόκλισης Τα χρόνια 94 ως 945 επειδή ήταν χρόνια πολέμου εμπόδισαν την κατανάλωση να αυξηθεί με ρυθμό σύμφωνα με εκείνα τα επίπεδα εισοδήματος Αυτό θα ενσωματωνόταν στο μοντέλο εάν κάποιος σκόπευε να το εφαρμόσει για αυτήν την πρώιμη περίοδο C Observed Lnear Εικόνα 6 Υπάρχουν τέσσερα σημεία, τα έτη 94 ως 945 που βρίσκονται εμφανώς κάτω από τη γραμμή παλινδρόμησης σε σχέση με τα υπόλοιπα στοιχεία Παρακάτω θα δούμε μια ερμηνεία αυτής της επίδρασης Τα δεδομένα της κατανάλωσης και του εισοδήματος για τα έτη 940 ως 950 παρατίθενται στον παρακάτω Πίνακα Πίνακας: Δαπάνες κατανάλωσης Έτος Διαθέσιμο Εισόδημα Ατομικές Καταναλωτικές Δαπάνες ,0 9,9 0

21 ,9 37,5 33, 343,6 338, 33,7 38,8 335,8 336,8 36,8 43,6 4, 48, 55, 70,9 30,0 305,8 3, 39,3 337,3 y 78,59, x 3,87, S xx Σ (x - x ) 075,34, S yy Σ (y - y ) 3505, και S xy Σ (x - x )(y - y ) 033,6, έτσι SST 033,6, SSR b S xx (033,6/075,34) 075,34 96,4673, SSE SST SSR 937,4, και R b S xx / S yy Προφανώς, όπως φαίνεται η παλινδρόμηση δεν παρέχει μια αρκετά καλή προσαρμογή Τελικά το μοντέλο παλινδρόμησης είναι C t β + β x t + β 3 W t + ε t, όπου το x t είναι το Διαθέσιμο Εισόδημα και το W t είναι η εν καιρώ πολέμου εικονική μεταβλητή, η οποία παίρνει την τιμή ένα στα χρόνια 94 ως 945 και μηδέν στα άλλα, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα Τα αποτελέσματα της παλινδρόμησης επιβεβαιώνουν ότι η κατανάλωση κατά τη διάρκεια του ου παγκόσμιου πολέμου ήταν σημαντικά κάτω από αυτό που αναμενόταν, λαμβάνοντας υπόψη το εισόδημα

22 Πίνακας: Έξοδα κατανάλωσης Year ncome consumpton war ,0 9, ,9 43, ,5 4, , 48, ,6 55, , 70, ,7 30, ,8 305, ,8 3, ,8 39, ,8 337,3 0 Model (Constant) ncome war Unstandardzed Coeffcents a Dependent Varable: consumpton Coeffcents a Standardzed Coeffcents B Std Error Beta t Sg -0,065 8,443 -,354,733,960,089,853 0,74,000-55,46 5,90 -,748-9,397,000 Στις πιο πρόσφατες εφαρμογές, οι ερευνητές σε πολλούς τομείς μελετούν συχνά τα αποτελέσματα σε κάποια απάντηση Τα παραδείγματα που μπορούν να διατυπωθούν με μοντέλα παλινδρόμησης που περιλαμβάνουν μια εικονική μεταβλητή είναι η επίδραση του εισοδήματος στο πανεπιστήμιο, όπως σε επόμενο παράδειγμα, οι διαφορές των φύλων στη συμπεριφορά προσφοράς εργασίας και οι δομές των μισθών στις βιομηχανίες y β x + δd + ε Παραμένει η απόδειξη του πώς το στοχαστικό στοιχείο ε θα ενσωματωθεί στην εξίσωση Η πιο συχνή προσέγγιση είναι να υποθέσουμε ότι είναι προσθετικό Έτσι, μπορούμε να ανασχηματίσουμε την εξίσωση στους στοχαστικούς όρους: C α + βχ+ ε

23 Αυτός είναι ο αντίστοιχος εμπειρικός τύπος του θεωρητικού μοντέλου Υποθέτουμε ότι κάθε παρατήρηση στο δείγμα μας (C t, t ), t,,t, παράγεται από μια βασική διαδικασία που περιγράφεται από το C t α + β t + ε, t,,t Η παρατηρηθείς κατανάλωση είναι το άθροισμα δύο μερών, του αιτιοκρατικού μέρους α + βχ και του τυχαίου στοιχείου ε Ο στόχος μας είναι να υπολογίσουμε τις άγνωστες παραμέτρους του μοντέλου, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα για να μελετήσουμε την ισχύ των θεωρητικών προτάσεων και χρησιμοποιώντας το εκτιμώμενο μοντέλο ίσως να προβλέψουμε την τιμή της κατανάλωσης Το πώς προχωράμε από εδώ εξαρτάται αποφασιστικά από τι εμείς υποθέτουμε για την στοχαστική διαδικασία η οποία μας έχει οδηγήσει στις παρατηρήσεις μας για τα δεδομένα που έχουμε στη διάθεση μας Μια από τις πιο χρήσιμες πτυχές του πολλαπλού μοντέλου παλινδρόμησης είναι η δυνατότητά του να προσδιορίζει τις ανεξάρτητες συνέπειες ενός συνόλου μεταβλητών πάνω σε μια εξαρτώμενη μεταβλητή 63 Χρήση των εικονικών μεταβλητών Οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στις εξισώσεις παλινδρόμησης παίρνουν συνήθως τιμές γύρω από ένα συνεχή πεδίο τιμών Αυτό δεν χρειάζεται βέβαια να συμβαίνει και μερικές φορές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές που παίρνουν δύο ή περισσότερες διακεκριμένες τιμές Παραδείγματος χάριν, μπορεί να επιθυμήσουμε να ερμηνεύσουμε το γεγονός ότι μερικά άτομα πηγαίνουν στο πανεπιστήμιο και άλλα όχι Δημιουργούμε μια εικονική μεταβλητή που παίρνει την τιμή εάν το άτομο πηγαίνει στο πανεπιστήμιο και 0 εάν το άτομο δεν πηγαίνει Οι εικονικές μεταβλητές είναι ιδιαίτερα χρήσιμες όταν εξετάζει κάποιος ποιοτικά στοιχεία Μια εικονική μεταβλητή είναι μια αριθμητική μεταβλητή που χρησιμοποιείται στην ανάλυση παλινδρόμησης για να αντιπροσωπεύσει τις υποομάδες του δείγματος μας Στο ερευνητικό επίπεδο, η εικονική μεταβλητή χρησιμοποιείται συχνά για να διακρίνει τις διαφορετικές ομάδες επεξεργασίας Στην απλούστερη περίπτωση, θα χρησιμοποιούσαμε μια εικονική μεταβλητή 0, όπου σε ένα πρόσωπο δίνεται μια τιμή 0 εάν είναι στην ομάδα ελέγχου ή εάν είναι στην ομάδα επεξεργασίας Οι εικονικές μεταβλητές είναι χρήσιμες επειδή μας επιτρέπουν να χρησιμοποιήσουμε μια απλή εξίσωση παλινδρόμησης για να αντιπροσωπεύσουμε πολλαπλές ομάδες Αυτό σημαίνει ότι δεν χρειάζεται να γράψουμε χωριστά μοντέλα εξίσωσης για κάθε υποομάδα 3

24 Υποθέστε ότι μια εταιρία χρησιμοποιεί δύο τύπους διαδικασιών παραγωγής Υποθέτοντας ότι η παραγωγή που λαμβάνεται από κάθε διαδικασία, κατανέμεται κανονικά με διαφορετικές αναμενόμενες τιμές αλλά τις ίδιες διασπορές, μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε τη διαδικασία παραγωγής ως μια εξίσωση παλινδρόμησης: Y β + β + ε () Όπου το Y είναι η παραγωγή που συνδέεται με την διαδικασία εισαγωγής και είναι μια εικονική μεταβλητή εάν η παραγωγή λαμβάνεται από τη μηχανή A και 0 εάν η παραγωγή λαμβάνεται από τη μηχανή Β Σε αυτό το μάλλον απλό παράδειγμα, το β μετρά την αναμενόμενη παραγωγή που συνδέεται με τη μηχανή B ενώ το β μετρά τη διαφορά στην παραγωγή που συνδέεται με την αλλαγή από τη μηχανή Β στη μηχανή Α Αυτό μπορεί να φανεί παίρνοντας τη μέση τιμή και στις δύο πλευρές της εξίσωσης () για και 0: Ε(Υ ι ) β αν 0 Ε(Υ ι ) β + β αν Πρέπει να είναι σαφές ότι μια δοκιμή της κενής υπόθεσης ότι β 0 είναι ουσιαστικά μια δοκιμή της υπόθεσης ότι δεν υπάρχει καμία διαφορά στην παραγωγή που συνδέεται με τις μηχανές Α και Β Στην πραγματικότητα οι πραγματικές εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων των παραμέτρων παλινδρόμησης είναι η μέση παραγωγή που συνδέεται με τη μηχανή Β και η διαφορά μεταξύ των μέσων παραγωγών των Α και Β, αντίστοιχα Αυτή η διαδικασία μπορεί εύκολα να τροποποιηθεί εάν περιλαμβάνονται περισσότερες από δύο διακεκριμένες τιμές Παραδείγματος χάριν, δύο εικονικές μεταβλητές μπορούν να υιοθετηθούν για να ερμηνεύσουν το γεγονός ότι η παραγωγή που παράγεται από κάθε μια από τρεις διαδικασίες (A, B και C) μπορεί να μην είναι ίδια Εξετάστε το μοντέλο Y β + β + β 3 3 +ε () όπου εάν η παραγωγή λαμβάνεται από τη μηχανή A και 0 εάν η παραγωγή λαμβάνεται από τη μηχανή Β, 4

25 3 εάν η παραγωγή λαμβάνεται από τη μηχανή Β και 0 εάν η παραγωγή λαμβάνεται από τη μηχανή Α Κατά συνέπεια οι τρεις διαδικασίες παραγωγής αντιπροσωπεύονται από τον ακόλουθο συνδυασμό τιμών που λαμβάνονται από τις εικονικές μεταβλητές: Μηχανή Χ Χ 3 Α 0 Β 0 C 0 0 Παίρνοντας αναμενόμενες τιμές μπορούμε να ερμηνεύσουμε τα αποτελέσματα της παλινδρόμησης: Ε(Υ ι ) β + β αν, 3 0, Ε(Υ ι ) β + β 3 αν 0, 3, Ε(Υ ι ) β αν 0, 3 0 όπου το β αντιπροσωπεύει την αναμενόμενη τιμή της παραγωγής που συνδέεται με τη μηχανή C Το β αντιπροσωπεύει τη διαφορά στην παραγωγή που συνδέεται με την αλλαγή από τη μηχανή C στη μηχανή Α και το β 3 μετρά τη μέση αλλαγή στην παραγωγή που συνδέεται με μια αλλαγή από τη μηχανή C στη μηχανή B H δοκιμή της κενής υπόθεσης ότι β 0 δίνει μια δοκιμή της υπόθεσης ότι δεν υπάρχει καμία διαφορά στην παραγωγή που συνδέεται με τη μηχανή Α και στην παραγωγή που συνδέεται με τη μηχανή C, ενώ μια ανάλογη δοκιμή που συγκρίνει το B με το C παρέχεται από μια t-test στο συντελεστή β 3 Σημειώστε ότι τρεις εναλλακτικές διαδικασίες παραγωγής αντιπροσωπεύθηκαν από δύο εικονικές μεταβλητές (η τρίτη υπονοείτε) Παριστάνοντας ένα τέτοιο φαινόμενο έχοντας μια μεταβλητή να παίρνει τρεις τιμές, πχ, μηχανή A, μηχανή Β, μηχανή C 0, δεν είναι ισοδύναμο με την τεχνική της εικονικής μεταβλητής εκτός αν οι διαφορές στην παραγωγή που σχετίζονται με τις συγκρίσεις στις μηχανές Β και Α και στις μηχανές C και B είναι ίδιες Είναι λάθος να παριστάνουμε τη διαδικασία των εικονικών μεταβλητών χρησιμοποιώντας τρεις δύο - τρόπων μεταβλητές Χ, Χ 3 και Χ 4 όπου η Χ 4 παίρνει την τιμή όταν είναι χρησιμοποιείται η μηχανή C και την τιμή 0 σε άλλη περίπτωση Η εισαγωγή της μεταβλητής 4 δεν προσθέτει καμία συμπληρωματική πληροφορία αλλά προσθέτει μια μη ανεξάρτητη εξίσωση στην παραγωγή των εκτιμητών ελάχιστων τετραγώνων Στην πραγματικότητα υπάρχει μια τέλεια συσχέτιση στο μοντέλο επειδή 4 3 για κάθε παρατήρηση 5

26 64 Υποθέσεις του κλασσικού γραμμικού μοντέλου παλινδρόμησης Το κλασσικό γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης αποτελείται από κάποιες υποθέσεις για το πώς ένα σύνολο δεδομένων θα παραχθεί μέσω της διαδικασίας δημιουργίας δεδομένων Η θεωρία θα διευκρινίσει μια ακριβή, αιτιοκρατική σχέση μεταξύ της εξαρτώμενης μεταβλητής και των ανεξάρτητων μεταβλητών Οι υποθέσεις του μοντέλου αφορούν τα ακόλουθα πρόσθετα ζητήματα: Γραμμική συναρτησιακή μορφή της σχέσης, Προσδιορισμός των παραμέτρων του μοντέλου, 3 Αναμενόμενη τιμή των υπολοίπων ε, δοθέντος των πληροφοριών που έχουν παρατηρηθεί, 4 Διασπορές και συνδιασπορές των υπολοίπων δοθέντος των πληροφοριών που έχουν παρατηρηθεί, 5 Φύση του δείγματος των δεδομένων των ανεξάρτητων μεταβλητών, και 6 Κατανομή πιθανότητας του στοχαστικού μέρους του μοντέλου Οι υποθέσεις περιγράφουν τη μορφή του μοντέλου και σχέσεις μεταξύ των μερών του και υπαγορεύουν κατάλληλες διαδικασίες εκτίμησης και εξαγωγής συμπεράσματος 64 Γραμμικότητα του μοντέλου παλινδρόμησης Έστω ότι το διάνυσμα στήλη x k είναι οι n παρατηρήσεις της μεταβλητής x k, k,, Κ και συγκεντρώνουμε αυτά τα δεδομένα σε έναν n K πίνακα δεδομένων Χ Συνηθίζεται η πρώτη στήλη του Χ να είναι μια στήλη με έτσι ώστε το β να είναι ο σταθερός όρος στο μοντέλο Το y είναι οι n παρατηρήσεις y,,y n και το ε είναι το διάνυσμα στήλη το οποίο περιέχει τα n σφάλματα (αποκλίσεις) Ο τύπος στο (6-) μπορεί τώρα να γραφτεί y x β + + x k β K + ε, (6-) ή να γραφτεί υπό την μορφή της Υπόθεσης ΥΠΟΘΕΣΗ : y β + ε (6-3) Μια Σημειογραφική Συμφωνία Εις στο εξής, για να αποφύγουμε μια ενδεχόμενη σύγχυση και μια φορτική σημείωση, θα χρησιμοποιούμε το μαυρισμένο x για να δηλώνουμε μια στήλη 6

27 ή μια γραμμή του Θα είναι σαφές από το κείμενο ποιο χρησιμοποιούμε Στον τύπο (6-) το x k είναι η k στήλη του Χ Οι δείκτες j και k θα χρησιμοποιούνται για να δηλώνουν στήλες (μεταβλητών) Θα είναι συχνά βολικό να αναφερόμαστε σε μόνο μία ανεξάρτητη παρατήρηση για την οποία θα γράφουμε με βάση το (6-3) y x β + ε (6-4) Οι δείκτες και t θα χρησιμοποιούνται για να δηλώνουν τις γραμμές (παρατηρήσεις) του Χ Στον τύπο (6-4) το x είναι διάνυσμα στήλη, δηλαδή η αναστροφή της K γραμμής του Το αρχικό ενδιαφέρον μας είναι για την εκτίμηση και το συμπέρασμα για το διάνυσμα παραμέτρων β Παρατηρήστε ότι το απλό μοντέλο παλινδρόμησης στο Παράδειγμα 6 είναι μια ειδική περίπτωση στην οποία ο πίνακας Χ έχει μόνο δύο στήλες, από τις οποίες η πρώτη είναι μια στήλη με μονάδες Η υπόθεση της γραμμικότητας του μοντέλου παλινδρόμησης περιέχει το προσθετικό σφάλμα Για να είναι η παλινδρόμηση γραμμική υπό την έννοια που περιγράφεται εδώ, πρέπει να είναι της μορφής (6-) είτε με τις αρχικές μεταβλητές ή μετά από κάποιο κατάλληλο μετασχηματισμό Παραδείγματος χάριν, το μοντέλο y Αx β ε ε είναι γραμμικό (αφότου πάρουμε λογαρίθμους και στις δύο πλευρές της εξίσωσης), ενώ το μοντέλο y ax β + ε δεν είναι Όταν λέμε ότι το μοντέλο είναι γραμμικό ή ότι είναι μη γραμμικό, εννοούμε αντιστοίχως ότι είναι γραμμικό ή μη γραμμικό ως προς τις παραμέτρους Η παρατηρηθείς εξαρτώμενη μεταβλητή είναι έτσι το άθροισμα δύο στοιχείων, του αιτιοκρατικού στοιχείου α + βx και της τυχαίας μεταβλητής ε Αξίζει να δώσουμε έμφαση στο ότι κανένα από τα δύο μέρη δεν είναι άμεσα παρατηρούμενο επειδή τα α και β είναι άγνωστα Η υπόθεση της γραμμικότητας δεν είναι τόσο επακριβής όπως μπορεί να φανεί με μια πρώτη ματιά Μέσα στο πλαίσιο της παλινδρόμησης, η γραμμικότητα αναφέρεται στον τρόπο με τον οποίο οι παράμετροι και το σφάλμα εισάγονται στην εξίσωση και όχι απαραιτήτως στη σχέση μεταξύ των μεταβλητών Παραδείγματος χάριν, οι εξισώσεις y α + βx + ε, y α + βcos(x) 7

28 + ε, y α + β/x + ε και y α + βlnx + ε, είναι όλες γραμμικές ως προς κάποια συνάρτηση του x με βάση τον ορισμό που έχουμε χρησιμοποιήσει εδώ Στα παραδείγματα, μόνο το x έχει μετασχηματιστεί αλλά και το y επίσης θα μπορούσε όπως στη y Αx β ε ε, η οποία είναι μια γραμμική σχέση ως προς τους λογαρίθμους των x και y, δηλαδή lny α + βlnx + ε Η ποικιλία των συναρτήσεων είναι απεριόριστη Αυτή η άποψη για το μοντέλο χρησιμοποιείται σε διάφορες συναρτησιακές μορφές Το γραμμικό λογαριθμικό μοντέλο (log-lnear model) είναι y e β Χ β Χ β K e e Κ ε ε Χ Κ Κ Με λογαρίθμους, β K k β e lny β + β lnχ + β 3 lnχ β K lnχ K + ε Το οποίο είναι επίσης γνωστό ως σταθερή ελαστικότητα Σε αυτήν την εξίσωση, η ελαστικότητα του y με βάση τις αλλαγές στο x είναι y / y η k x k / x k ln y ln x k β, k η όποια δεν μεταβάλλεται με το x k Αντιθέτως, η ελαστικότητα στο γραμμικό μοντέλο είναι y / y x k / x k x k β k x β + ε Το γραμμικό λογαριθμικό μοντέλο χρησιμοποιείται συχνά στα μοντέλα της ζήτησης και παραγωγής Διαφορετικές τιμές του β παράγουν ευρέως ποικίλες συναρτήσεις Ο όρος γραμμικό λογαριθμικό προέρχεται από το γεγονός ότι κάποιος μπορεί, μέσω των λογαριθμικών μετασχηματισμών, να επαναδιατυπώσει το πρόβλημα της ανάλυσης πινάκων πολλαπλής συχνότητας σε όρους που είναι παρόμοιοι με του πίνακα ANOVA Ένα ημιλογαριθμικό (semlog) μοντέλο που χρησιμοποιείται συχνά για να διαμορφώσει τo ρυθμό ανάπτυξης είναι το ln y t x t β + δ t + ε t 8