Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων"

Transcript

1 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() =0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Α. ii. Να λύσετε την εξίσωση 3 + =. iii. Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με Â = 90 ο, να αποδείξετε ότι η εξίσωση β + γ = α έχει μοναδική ρίζα. i. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες ρ και ρ με ρ < ρ οπότε είναι f(ρ) = f(ρ) = 0 (). Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε από ρ<ρ f(ρ) < f(ρ) 0 <0, άτοπο. Ομοίως αποδεικνύουμε και αν η f είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα η εξίσωση f() =0 έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα. ii. Η εξίσωση 3 + = έχει προφανή λύση την =, αφού 3 +=. Θα δείξουμε ότι η = είναι μοναδική.

2 Θεωρούμε την συνάρτηση f() = 3 + -, IR. Για κάθε,, IR με < είναι και 3 < 3 Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε 3 + < <3 + - f( ) <f( ) οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα. Τότε σύμφωνα με το ερώτημα (i) η λύση = είναι μοναδική. iii. Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90 ο ) ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα, οπότε β + γ = α. Επομένως για την εκθετική εξίσωση β +γ =α έχουμε μια τουλάχιστον ρίζα την =. Η δοσμένη εξίσωση β +γ =α γράφεται β α +γ α = ( β α ) +( γ α ) - = 0 Θεωρούμε την συνάρτηση f()=( β α ) +( γ α ) -, IR. Επειδή β <α και γ <α θα ισχύει και 0 < β α < και 0 < γ <, οπότε οι α εκθετικές συναρτήσεις ( β α ) και ( γ α ) είναι γνησίως φθίνουσες. Για κάθε, IR με < είναι : ( β α ) > ( β α ) ( γ α ) > ( γ α ) Οπότε και ( β α ) + ( γ α ) > ( β α ) + ( γ α ) ( β α ) + ( γ α ) - > ( β α ) +( γ α ) - f() > f(). Επομένως με βάση το ερώτημα (i) η εξίσωση f() = 0 ( β α ) +( γ α ) -=0 β +γ =α έχει μοναδική λύση την =.

3 Άσκηση Έστω η συνάρτηση f η οποία για κάθε, y IR ικανοποιεί τη σχέση f ( + y) f () f(y) e + y i. Να αποδείξετε ότι f(0) = ii. Να αποδείξετε ότι f (-) = iii. Να βρείτε τον τύπο της f. f(), για κάθε IR i. Για = y = 0 έχουμε f(0) f (0), δηλαδή f(0) f (0) f(0)( f(0)) 0 } } f(0) f(0) f(0) 0 f(0) } f(0) } άρα f(0) = f(0) ii. Για y= - έχουμε f(0) f() f(-) f() f(-) άρα f() f(-) = οπότε f(-) =, IR () f() iii. Για IR και y=0 έχουμε : f() f() f(0) e f() e () Για = 0 και y= - έχουμε f(-) f(0) f(-) e - f(-) e - f() e f() e (3) Από () και (3) έχουμε f() = e, IR.

4 Άσκηση 3 Έστω η άρτια συνάρτηση f: IR IR η οποία είναι συνεχής στο σημείο 0 = και για την οποία ισχύει ότι lim f() ( ) = i. Να βρεθεί το f() ii. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο = - iii. Να υπολογισθεί το όριο : lim f () ημ π i. Θέτω g() = f() ( ) με lim g() =, ενώ f() = g()(-) + και lim f() = lim [ g()( ) +] = lim g() lim ( ) + =. Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 = θα ισχύει lim f()= f() δηλαδή f() =. ii. Από το ερώτημα i) έχουμε f() = g() (-) + και επειδή η f είναι και άρτια ισχύει f(-)= g() (-) + Τότε lim f( ) = lim [g()( ) +]= (θυμίζουμε ότι lim g() = ) Στη συνέχεια θέτουμε =t. Όταν τότε t -, οπότε από τη lim f( ) = προκύπτει lim t f(t) =.

5 Επίσης από το ερώτημα i) έχουμε f() = και αφού η f είναι άρτια θα έχουμε και f(-) =. Τελικά lim f() = f(-) =, επομένως η f είναι συνεχής και στο -. iii. f lim () = lim (f() )(f()+) ημ π = ημ π = lim [f() + ) f() ημ π ]= lim [(f() + )g() ( ) ημ π ]= =lim [(f() + ) g() ( ημπ ) ] με lim (f() + ) = = f() += και lim g()=. Για το όριο lim ημ(π) Όταν τότε t 0, οπότε : lim t 0 t ημ (πt+π) = lim t 0 θέτουμε - = t = t +. t ημ(πt) = π lim t 0 ημ(πt) πt = = π lim u 0 ημu u = π = π (θέσαμε πt = u, όταν t 0 τότε u 0 ) Τελικά lim f () ημ π =lim [ f() + ] lim g() lim ( ημ(π) ) = ( π ) = π

6 Άσκηση 4 Έστω η συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f() + ημ (f()) = 3 για κάθε IR i. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0 = 0. ii. Εάν επιπλέον η συνάρτηση f είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα [α, β ] με f(α) f(β) < 0, να δειχθεί ότι α, β ετερόσημοι. i. Για =0 από την υπόθεση έχουμε f(0)+ ημ (f(0)) = 0 ημ(f(0)) = -f(0). Τότε θα ισχύει ημ(f(0)) = -f(0) = f(0). Όμως ημ(f(0) f(0) οπότε προκύπτει f(0) f(0) f(0) 0 f(0) = 0. Επίσης από την υπόθεση έχουμε : f()= 3- ημ(f()) και επομένως : f() = 3 ημ(f()) 3 + ημ(f()) 3 + f() επομένως f() 3 + f() f() 3-3 f() 3 Όμως lim 0 ( 3 ) = lim 0 (3 ) = 0 οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim 0 f() = 0. Άρα lim 0 f() = f(0) = 0, που σημαίνει ότι η f είναι συνεχής στο 0= 0. ii. Η f είναι συνεχής στο [ α,β ] και f(α)f(β) < 0. Τότε από το θεώρημα Bolzano συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (α,β) τέτοιο ώστε f(0) =0. Αντικαθιστώντας στην υπόθεση όπου το 0, παίρνουμε :

7 : f(0)+ημ(f(0) = 30 ή ημ0 = 30= 30 ή 0=0. Άρα α< 0 <β οπότε α και β είναι ετερόσημοι. Άσκηση 5 Να υπολογίσετε το: lim + 3 ημ Είναι lim + ( + 06) = + και lim + ( 3 ημ + ) = lim + [ ( ημ διότι lim + ημ = lim t 0 ημt t =, (θέσαμε = t οπότε όταν + τότε t 0.) + )] = - Άρα υπάρχει α IR, ώστε για κάθε (-,α ) να ισχύει 3 ημ - + <0, οπότε : lim + 3 ημ = lim + 3 ημ = =lim + ( ημ + + ) ( +06 ) = lim + ημ

8 με lim + ημ lim + 06 =, lim + = 0, άρα = lim + 3 ημ lim = = = Άσκηση 6 Έστω f συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε IR ισχύει: f 3 () + f() = Να αποδείξετε ότι: i. η f είναι συνεχής ii. η f είναι γνησίως αύξουσα iii. η εξίσωση f() =0 έχει ακριβώς μία ρίζα, μη μηδενική, στο διάστημα ( -, ) iv. οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f -, έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (-, - ). i. Για κάθε IR είναι f 3 ()+ f() = 5 ++ Για 0 IR έχουμε f 3 (0) + f(0)= , 0. Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε: f() f(0) + f 3 () f 3 (0) = f() - f(0) + (f() f(0)) (f () +f() f(0) +f (0)) = (f() f(0)) (+ f ()+f() f(0)+f (0)) =

9 f() f(0) = f ()+f()f( 0 )+f ( 0 )+ τότε, f() - f(0) = = = f ()+f()f( 0 )+ f (0) f ()+f( 0 )f()+f ( 0 ) ( Η παράσταση f ()+f (0) f()+f (0)+ αποτελεί τριώνυμο ως προς f() με αρνητική διακρίνουσα οπότε είναι μονίμως θετική). Όμως lim = 0, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής έχουμε και lim 0 f() f( 0 ) = 0 lim 0 f() = f( 0 ), επομένως η f είναι συνεχής στο IR. ii. Έστω ότι υπάρχουν, IR για τα οποία ισχύουν f() f() οπότε και f 3 () f 3 (). Τότε : f 3 () + f() f 3 ()+ f() οπότε και , άτοπο, διότι < και 5 < 5 οπότε < Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. iii. Για = - έχουμε f 3 (-) + f(-) = - f(-) (f (-)+ ) = - f(-)= f ( )+ < 0 Για = έχουμε : f 3 ()+ f()= f() (f () +)=, άρα f() >0. Τότε ισχύει το θεώρημα Bolzano οπότε υπάρχει ξ (-, ) τέτοιο ώστε f(ξ) =0. Όμως η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η λύση είναι μοναδική.

10 iv. Έστω ότι υπάρχει ξ (-, -) τέτοιος ώστε f(ξ) = ξ. Από τη σχέση της υπόθεσης για = ξ προκύπτει ότι : ξ 5 ξ 3 +=0 θεωρούμε τη συνάρτηση h()= 5 3 +, [ -, -]. Η h είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο [ -, -] και h(-) = (-) 5 - (- ) 3 + = -3 <0 h (-)= (-) 5 - (-) 3 + = >0. Άρα h(-) h(-) <0 οπότε ισχύει το θεώρημα Bolzano και επομένως υπάρχει ρ (-, -) ώστε να είναι h(ρ) =0, δηλαδή ρ 5 -ρ 3 + =0 ρ 5 +ρ + = ρ 3 +ρ. Επομένως f 3 (ρ) +f(ρ)= ρ 3 +ρ f 3 (ρ)-ρ 3 +f(ρ)-ρ=0 (f (ρ) ρ) (f (ρ) +ρ f(ρ) +ρ +)=0 f(ρ) =ρ. Τότε όμως ρ= f - (ρ) δηλαδή f(ρ)= f - (ρ). Επομένως το ρ είναι το κοινό σημείο των συναρτήσεων f και f -. Άσκηση 7 Για τη συνάρτηση f: IR IR ισχύει : lim α [ f() +f (α )]= l IR Να βρείτε το lim α f() Θεωρώ την συνάρτηση g()= f()+ f(α ) () για την οποία ισχύει: lim α g() = l Από την () θέτοντας όπου το α έχουμε: f(α ) + f() = g (α ) () Οι () και () δίνουν το σύστημα f() + f(α-) = g() f() + f(α ) = g (α ). Τότε D= = 3 0 g() Df()= g(α ) = g() g (α ) και

11 f()= Df() D g() g (α ) = = 3 3 g() - g(α-) (3) 3 Έχουμε lim α g()= l και lim α g(α ) = lim t α g(t) = l (θέσαμε α- = t. Όταν α τότε και t α). Τότε από την (3) έχουμε lim α f() = lim α ( 3 g() 3 g(α )) = = 3 lim α g() - 3 lim α g(a ) = 3 l - 3 l = 3 l. Άσκηση 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f() = και g() = e i. να βρεθεί η συνάρτηση h= f g ii. να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρεθεί η h - iii. να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης : h() + h - () = 0 στα διαστήματα Δ= [, ]. i. Έχουμε Αf = IR {0} και Αg =IR. Το πεδίο ορισμού της f g είναι το σύνολο Β =[ Ag/ g()af] = [ IR/e 0] = IR και h()= (f g)() =f(g()) = f(e ) = e = e-. ii. Θέτω h()= y e - = y (με y > 0) ln e = ln y = -ln y με y>0. Άρα h(b) = (0, + ) και h - : (0, + ) IR με h - ()= -ln

12 iii. Οι συναρτήσεις h() και h - () είναι συνεχείς και γνησίως φθίνουσες στο [,] οπότε και η συνάρτηση φ()=h()+h - () είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ [, ]. Τότε : φ(δ)= [ φ(), φ()] = [ e - - In, e - ]. Tο 0 φ(δ) άρα η εξίσωση φ()=0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο [,]. Όμως η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] οπότε η λύση αυτή είναι μοναδική. Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f: IR IR συνεχής. Αν ισχύει f(-06) +f(0) + f(06) = 0, να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο IR. Έχουμε : f(-06) +f(0) +f(06) =0 () Αν f(-06) = 0 ή f(0) =0 ή f(06)=0.τότε η εξίσωση () έχει πράγματι μια τουλάχιστον ρίζα. Αν f(-06) f(0) f(06) 0, τότε για να ισχύει η () θα πρέπει δύο από τους όρους f(-06), f(0), f(06) να είναι ετερόσημοι. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: a) Αν f(-06) f(0) <0 τότε από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (-06,0) ώστε f()= 0

13 b) Αν f(0) f(06) <0, τότε από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (0, 06) ώστε f() =0. c) Αν f(-06) f(06) <0, τότε από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον 3 (-06, 06) τέτοιο ώστε f(3)=0. Άρα σε κάθε περίπτωση η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. Άσκηση 0 Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση f: [α,β] IR με σύνολο τιμών [α, β] όπου α, β IR*+. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα 0 [α,β] ώστε να ισχύει f (0) + 0f(0) = 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f () + f() -, [ α, β]. Η g είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] ως γινόμενο και άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ισχύει: g(α) =f (α) + α f(α) -α και g(β) = f (β) +β f(β) β. Αναζητώ το πρόσημο των g(α) και g(β). Γνωρίζουμε ότι : 0 < α f() β άρα α f () β () Επίσης 0 < α f() β 0 < α β και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε α f() β () Προσθέτουμε κατά μέλη τις () και () οπότε :

14 α f () + f() β για κάθε [ α, β ]. Για = α έχουμε: α f (α) +α f(α) f (α) + α f(α) α 0 g(α) 0 Για = β έχουμε f (β) + β f(β) β f (β) +βf(β) β 0 g(β) 0. Άρα ισχύει g(α) g (β) 0. a) Εάν g(α) g(β) <0 τότε η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο [α, β]. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον θ (α, β) ώστε g(θ) = 0 f (θ) +θf(θ)= θ. b) Εάν g(α) g(β) =0 g(α) =0 ή g(β) = 0 οπότε θ= α ή θ= β. Τελικά υπάρχει ένα τουλάχιστον θ [ α, β] ώστε g(θ) = θ f (θ) +θ f(θ) = θ. Άσκηση Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [α, β]. Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 [α, β] ώστε f(0)= 9 [ f(α) + 3f ( α+β )+ 4f(β) ]. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β ], οπότε ισχύει το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής. Άρα υπάρχουν ε, μ [α, β] έτσι ώστε: f(ε) f() f(μ) για κάθε [α, β]. Υποθέτω ότι f(ε)= m και f(μ)= Μ οπότε έχουμε m f(α) Μ m f(α) Μ.

15 Επίσης, m f ( a+β ) Μ 3m 3f (α+β) 3Μ και m f(β) Μ 4m 4f(β) 4Μ. Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: 9m f(α) +3f( a+β ) +4 f(β) 9Μ m 9 [f(α) +3f(α+β) +4f(β)] Μ. O αριθμός [f (α) + 3f (a+β) + 4f(β)] ανήκει στο σύνολο τιμών της f 9 που είναι το διάστημα [ m, M ]. Επειδή η f είναι συνεχής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον θ [α, β] ώστε f(θ) = 9 [ f(α) +3f(α+β ) +4f(β)]. Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f() = συν [π( + + ) ] να βρείτε το lim + f(). Θεωρώ την συνάρτηση g() = π( + + ) με Αg = IR. Τότε για > 0 g() = ++ ) ( +++) +++ = π(+ ) = ( + + +) π(+ ) Τότε lim + g() = = π( ++ ) = ( + + +) π(+0) = π. Άρα lim + f() = lim + συν(g()) = lim t π συνt = συν π = - (θέσαμε g() = t, οπότε + τότε t π).

16 Άσκηση 3 Έστω η συνάρτηση f() = + i. Να λύσετε την εξίσωση: f() = y, με άγνωστο το, όπου y ένας δοσμένος πραγματικός αριθμός ii. Με τη βοήθεια των αποτελεσμάτων που θα βρείτε από τη λύση της εξίσωσης f() =y : a. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f b. Να δείξετε ότι η f είναι - iii. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f - της f. Ισχύει Αf = IR. i. Για <0 έχουμε f() = y (-) + = y - +y = 0 () H διακρίνουσα της εξίσωσης (), είναι : Δ = 4-4y = 4( - y) Αν y > τότε Δ < 0 και η () είναι αδύνατη Αν y= τότε Δ= 0 και από () έχω = >0 οπότε απορρίπτεται Αν y < τότε Δ >0 και η εξίσωση () έχει δύο λύσεις = + y και = y. Η πρώτη λύση είναι θετική, οπότε απορρίπτεται. Η δεύτερη γίνεται δεκτή αν και μόνο αν - y < 0 y > -y > y <0 Για 0 έχουμε f() = y + = y + y = 0 () H διακρίνουσα της εξίσωσης () είναι Δ = 4+4y = 4 (+y) Aν y < - τότε Δ <0 και άρα η () είναι αδύνατη Αν y= - τότε Δ = 0 και άρα από () έχω = - <0, οπότε απορρίπτεται

17 Αν y > - τότε Δ >0 και άρα η εξίσωση () έχει δύο λύσεις = y και = y H δεύτερη είναι αρνητική, οπότε απορρίπτεται. Η πρώτη γίνεται δεκτή μόνο αν y >0 + y >, +y y 0 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση f() = y με IR για κάθε y IR έχει μια μοναδική λύση την =[ y, y < y, y 0 ii. α) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των αριθμών y IR για τους οποίους η εξίσωση f() = y έχει μια τουλάχιστον ρίζα IR. Όπως είδαμε παραπάνω αυτό συμβαίνει για κάθε y IR. Άρα σύνολο τιμών της f είναι το IR. β) Έστω, IR και ότι f() = f(). Θέτω f() =y οπότε και f() = y. Έτσι οι αριθμοί και είναι δύο ρίζες της εξίσωσης f() =y, άτοπο ( δείξαμε παραπάνω ότι η εξίσωση f()= y έχει μοναδική λύση ) iii. Η συνάρτηση f αντιστρέφεται αφού είναι -. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι f - : IR IR με f - y, y < 0 (y) =[ + + y, y 0 Άσκηση 4 Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο IR με f(0) =. Επιπλέον υποθέτουμε ότι : f() για κάθε < - και f() 3 για κάθε > 3. Να δείξετε ότι η f έχει ελάχιστη τιμή.

18 Η f στο διάστημα [ -, 3] είναι συνεχής και επομένως στο διάστημα αυτό έχει ελάχιστη τιμή. Επομένως υπάρχει 0 [ -, 3] ώστε f() f(0) για κάθε [-,3]. Τότε για =0 έχουμε f(0) f(0) f(0) Για κάθε < - έχουμε f() > f(0) δηλαδή f() > f(0) Για κάθε >3 έχουμε f() 3> f(0) και άρα f() > f(0) Επομένως για κάθε IR ισχύει f() f(0), οπότε η f έχει ελάχιστη τιμή στο 0. Άσκηση 5 Δίνεται η συνάρτηση f: (0, + ) IR με f() M, M>0 και την ιδιότητα ( + y) f ( y) = f(y)+ y f(),, y > 0. Να δείξετε ότι: lim + f() = 0. Για y= έχω ( + ) f( ) = f() + f() f( ) = f() f() = f( ) f() = f( ) () Όμως f() M οπότε και f( ) M. Από () έχουμε f() = f( ) Όμως lim + M 0. M = 0 οπότε lim + f() =0 lim + f() =

19 Άσκηση 6 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο IR για τις οποίες ισχύει [f () + g ()] f() για κάθε IR. Να αποδείξετε ότι: lim + f() = lim + g() =0. Για >0 έχουμε [f () + y ()] f() f () +y () f() f () + y () f() 0 f () f() + + y () (f()- ) και 0 g () οπότε lim + (f() ) = 0 lim + (f() ) = 0 Τότε f() = (f() ) + lim + f() = lim + (f() ) + lim + lim + g ()= 0 lim + g() = 0. = 0+0 = 0. Επίσης Άσκηση 7 Μια συνάρτηση f: IR IR έχει την ιδιότητα f( y) + f() + f(y)+3 = + y+ y,, y IR i. Να αποδείξετε ότι f() =0 ii. Να αποδείξετε τον τύπο της f iii. Να βρείτε το lim + συν f ()+

20 i. Για = y = η δεδομένη σχέση γράφεται f() + f() +f() +3= 3 f() =0 ii. Για y= έχουμε : f() + f() +f()+ 3 = ++ f() +3 = + f() = - iii. lim + συν f ()+ = lim + συν ( ) + = lim + συν + Έχουμε - συν - συν συν () ( - + >0 αφού Δ= -4< 0) Όμως lim + lim + + έχουμε: lim χ + = lim + = -lim + = 0 και = 0, οπότε από την () και το κριτήριο παρεμβολής συν + = 0. Άσκηση 8 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη το [0,π ]και ισχύει: + ημ f() +ημ, [0,π] i. Να δείξετε ότι: f( π ) = 3 ii. iii. Να υπολογίσετε το lim π συν χ f() 3 3 f() f() 3 Να υπολογίσετε το lim π f() 3

21 i. Στη δοθείσα θέτουμε όπου = π οπότε: + ημ π f (π ) + ημ π 3 f ( π ) 3 άρα f (π ) = 3 ii. + ημ f() + ημ ημ f() -3 ημ - Διαιρώντας με συν 0, έχουμε : ημ συν f() 3 ημ συν. Τότε lim συν π ( ημ ) = συν ( ημ )( ημ+) = lim π = lim συν π ( ημ+) = - lim π = - ημ ( ημ)(+ημ)( ημ+) = -lim π =. (+)(+) Όμοια lim π -lim π ημ συν = lim π ημ ( ημ)(+ημ) = -lim π ( ημ) ημ = ημ συν ( ημ+) = ημ = -. f() 3 Με το κριτήριο παρεμβολής έχουμε: lim π = συν Τότε lim π συν f() 3 = lim π f() 3 συν = f() 3 = lim π συν (+ημ)( ημ +) = - iii. Αφού lim π συν = < 0 f() 3 τότε και συν < 0 f() 3 κοντά στο π

22 Όμως συν > 0, άρα f() -3 <0 κοντά στο π, οπότε 3 f() >0 3 f() f() 3 3 f() f() 3 Άρα : lim π = lim π f() 3 = f() 3 f() f() lim π f() 3 = lim π ( f() f() lim π f() 3 = [-f ( π ) π f(π )] - = (-3-3 π ) (- ) = + (αφού lim π (f() 3) = 0 ενώ f() 3 < 0). Άσκηση 9 Έστω συνάρτηση f με τύπο f()= ln + α) Να δειχθεί ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f - της f β) Να βρεθεί το lim y f (y) y (ln+) α) Προφανώς έχουμε Af = (0,+ ) Έστω, (0,+ ) με < οπότε προκύπτουν ln < ln και < προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: ln + < ln + δηλαδή f() < f() Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ) και άρα - στο (0,+ ). Έτσι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f - :f(a) Af Επιπλέον η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, οπότε f(a) = (lim 0 + f(), lim + f())=(lim 0 +(ln + ), lim + (ln + ))=

23 (-, + ) = R) Δηλαδή f - =R (0,+ ) β) Για να υπολογίσω το ζητούμενο όριο χρησιμοποιώ την μέθοδο της αλλαγής μεταβλητής. Θέτω y=f() (οπότε =f - (y) και y-(ln+) = - Θα πρέπει να βρω που τείνει το, όταν το y. Δηλαδή πρέπει να λύσω την εξίσωση f()= (η οποία προφανώς έχει μοναδική λύση με δεδομένο ότι το σύνολο τιμών της είναι το R και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ )) Θεωρώ την συνάρτηση g()=f()-, (0, + ) Προφανώς g()= f()- = ln+ - = 0 Επίσης αν, (0,+ ) με < ισχύει f()<f() και f()-<f()-. Δηλαδή g()<g(). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ) και η λύση = είναι μοναδική. Επομένως f()= μόνο όταν = που σημαίνει ότι όταν y, τότε Έτσι: lim y f (y) y (ln+) = lim lim f (f()) ln+ (ln+) = lim = ( )( +) = lim ( )( +) ( )( +) = lim ( + )=. Άσκηση 0 Για μια συνάρτηση f, ισχύει ότι: (fof) () = 3+ για κάθε R α) Να δειχθεί ότι η f είναι - β) Να δειχθεί ότι το σύνολο τιμών της f είναι όλο το R γ) Να λυθεί η εξίσωση 9f() + 8 = f (53)

24 A) Υποθέτω f( )= f (f( )) f(f( )) = f (f( )) 3 + = 3 + =, οπότε η f είναι - Αναζητώ το σύνολο τιμών της f. Υποθέτω τυχαίο ψ R θα δείξω ότι υπάρχει R ώστε : f() = ψ. Τότε: f(f()) = f(ψ) (fof)() = f(ψ) 3 + = f(ψ) = (f(ψ) ) 3 Άρα f(a) = R B) Συνδυάζοντας τη δοθείσα σχέση (fof)() = 3 + και το γεγονός ότι 53 = 3 7+ έχουμε ότι: 53 = (fof)(7) Άρα η εξίσωση γράφεται : 9f()+8 = f (fof) (7) 9f()+8 = f (f (f(7)) 9f()+8 = f(7) () Όμως 7 = = (fof)(5) και η () γράφεται: 9f() + 8 = f((fof)(5)) 9f()+8 = (fof)(f(5)) 9f()+8 = 3f(5) + 9f()+6 = 3f(5) 3f() + = f(5) (fof)(f()) = f(5)

25 f(f(f() =f(5)) f(f())=5 3 + = 5 =. Άσκηση Έστω f συνάρτηση συνεχής στο R τέτοια ώστε f(-) = - για κάθε R ισχύει: f (f()) + f(f ()) = α) Δείξτε ότι υπάρχει ξ (,) ώστε f(ξ) = 0 β) Αν υπάρχει 0 <0 ώστε f(0) = 0 να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχει ρ μεταξύ του 0, 0 ώστε f(ρ) =0 ii) ρ = ξ ή ρ = -ξ A) Από τη δοθείσα σχέση, θέτοντας = - έχω f (f(-) + f(f (-)) = =(-) f (-) + f() = + f()= f() =. Η f είναι συνεχής στο [-, ] με f(-) f() < 0, οπότε ισχύει το θεώρημα Bolzano και επομένως υπάρχει ξ (-,) έτσι ώστε f(ξ) = 0.

26 Β) i) έστω ότι f( 0 ) = 0 με 0 < 0 από τη δοθείσα σχέση θέτοντας όπου το 0 έχω f (f( 0 )) + f(f ( 0 )) = 0 f ( 0 ) + f( 0 ) = f( 0 ) = 0 f( 0 ) = 0 Τότε f( 0 ) f( 3 0 ) = 0 0 = 0 < 0, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ρ ( 0, 0 ) με f(ρ) = 0 ii) από τη δοθείσα σχέση θέτοντας διαδοχικά όπου το ξ και το ρ έχω: f (f(ξ)) +f( f (ξ)) = ξ και f (f(ρ)) + f(f (ρ)) = ρ και συνεπώς f (0) + f(0) = ξ και f (0) +f(0) = ρ οπότε ξ = ρ και συνεπώς ξ= ±ρ. Άσκηση Δίνεται συνάρτηση f() = με R {0,} α) Να εξεταστεί αν η f είναι - β) Να βρεθεί η αντίστροφη f γ) Να λυθεί η εξίσωση f () = f() δ) Να βρεθούν οι συναρτήσεις fof και f of

27 Α) Για IR - {0, } ο τύπος της f γράφεται: f()= = ( ) Αν, Af = R - - {0, } με f() = f() τότε = ή =, οπότε η f είναι. Β) η συνάρτηση f είναι οπότε είναι και αντιστρέψιμη. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f. Όμως η γραφική παράσταση της f προκύπτει από τη γραφική παράσταση της υπερβολής g() =, αν τη μετατοπίσουμε κατά μια μονάδα προς τα δεξιά. Συνεπώς, από το σύνολο τιμών της f, πρέπει να εξαιρέσουμε το - γιατί στον τύπο f() = (του ερωτήματος α) ο δεν μπορεί να πάρει την τιμή 0 και επιπλέον πρέπει να εξαιρέσουμε το 0 αφού το δεύτερο μέλος της f() = δεν μπορεί ποτέ να γίνει ίσο με το 0. Για τον τύπο της f θέτω f() = ψ = f (ψ) οπότε προκύπτει: ψ = f (ψ) με f (ψ) 0 τότε : ψ(f (ψ) -) = ή ψf (ψ) = ψ + ή με f (ψ) = ψ+ ψ. Επομένως, ο τύπος της αντίστροφης είναι: f ()= +, IR [-,0,]

28 Γ) Θέτω f() = f () = 5 ή = + 5. = + - = - - =0 οπότε Δ) Αfof = [ Af / f () Af] = [ R [-,0,] / + R [0,] = [ R [-,0,] / + 0 και + ] = R [-,0,] με (fof )()= f(f ()) = Άσκηση 3 = f + = () + =. Έστω η συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε - f() - για κάθε R. α) Να υπολογισθεί το lim X 0 ( f( )) β) Να βρεθεί το lim X + f() γ) Να δειχθεί ότι lim X + (συν 3 + ημ 3)f() = Α) Στη δοθείσα σχέση θέτοντας όπου το ( 0) παίρνω: ( ) f ( ) ( ) - ή f ( ) - Πολλαπλασιάζοντας με, προκύπτει : - f ( ) - Όμως lim 0 ( ) = και lim 0 ( ) = οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχω lim 0 ( f( )) =

29 Β) από τη σχέση - f() - προκύπτει: lim + ( ) = + και lim + ( ) = +, οπότε και lim + f( ) = +. Γ) ισχύουν οι σχέσεις συν και συν 3 Επίσης, ημ οπότε συν 3 + ημ < (η ισότητα δεν ισχύει διότι το ημ και το συν δεν μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα μονάδα για καμία τιμή του ). Επομένως, συν 3 + ημ -3 < - -(συν 3 +ημ -3) > Επίσης, ισχύει f() - και μπορώ να υποθέσω ότι όταν + τότε - > 0 οπότε και f() > 0. Τότε : -(συν 3 +ημ -3) f() > - (συν 3 + ημ -3) f() < - ( -) και < (συν 3 +ημ 3)f() < 0 όμως lim + = 0 και lim + 0 = 0, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής, προκύπτει ότι: lim + (συν 3 +ημ 3)f() = 0 με (συν 3 + ημ -3)f() < 0 όταν +, οπότε lim + [( συν 3 + ημ -3) f()] = -.

30 Άσκηση 4 Αν για τη συνάρτηση f: R + R ισχύει f() f(ψ) ln + y για κάθε,ψ ψ R + και f() =, τότε: α) να βρείτε τον τύπο της f β) να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία Α) από τη σχέση f() f(ψ) ln ψ + ψ () με εναλλαγή των μεταβλητών και ψ παίρνουμε: f(ψ) f() ln ψ + ψ f(ψ) f() -ln + ψ ψ -(f()- f(ψ)) - (ln + ψ) ψ f() f(ψ) ln + ψ () ψ από () και () προκύπτει f() f(ψ) = ln + ψ (3) ψ από την (3) για ψ = έχουμε: f() f() = ln + f() - = ln + f()= ln +, IR + B) Έστω, (0,+ ) με < τότε και : ln <ln και συνεπώς ισχύει : ln + < ln + δηλαδή f() < f()

31 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR +. Άσκηση 5 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: R R με f(0) 0 και f() 05 για κάθε R. Δείξτε ότι η εξίσωση f () = έχει δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες. Για κάθε R ισχύει: f() f() 05 f()+05 0 και f() Θεωρούμε τη συνάρτηση g()= (f() - )(f()+), [-05, 05]. Η g είναι συνεχής στο [-05, 0] και στο [0, 05] ως διαφορά και γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Επίσης, g(-05) g(0) = [f(-05) +05] [ f(-05) -05]f (0) 0 όπου f(-05) +05 0, f(-05) και f (0) > 0 Διακρίνουμε: i. Αν g(-05) g(0) = 0 τότε g(-05) = 0, άρα το -05 είναι ρίζα της g() = 0 ii. Αν g(-05) g(0) < 0, τότε για τη g ισχύει το θεώρημα Bolzano οπότε η εξίσωση g() = 0 (f() - ) (f() + ) = 0 f () = έχει τουλάχιστον ρίζα στο [-05, 0]. Ομοίως δείχνουμε ότι η εξίσωση έχει και μια τουλάχιστον ρίζα στο [(0,05]. Επομένως, η f () = έχει δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες.

32 Άσκηση 6 Έστω η συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε f () + f(f()) = 4 για κάθε R και f() =. α) Εάν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0 = να υπολογισθεί το όριο lim [(f() 3)ημ( )] β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [,] Α) από τη δοθείσα σχέση για = έχουμε: f () + f(f()) = 4 +f() = 4 f() = 3 Με δεδομένο ότι η f είναι συνεχής στο σημείο 0 = παίρνουμε lim f() = f() = 3. Θέτω g() =(f() -3)ημ( ), οπότε : g() f() 3)ημ( ) = f() 3) ημ( ) f() 3 Επομένως, g() f() 3 - f() 3 g () f() 3. Ομοίως, lim ( f() 3 ) = lim ( f() 3 ) = 0 οπότε από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει lim g() =0 δηλαδή lim [f() 3)ημ( ( )]. Β) Υποθέτουμε ότι η f είναι συνεχής στο [,]. Θεωρούμε στη συνάρτηση h() = f() -, [,] η οποία είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών. Επίσης, h() = f()- = 3 - = h() = f()- = - = -

33 Άρα h()h() <0, οπότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει 0 (,) τέτοια ώστε h( 0 ) = 0 f( 0 )=. Αντικαθιστώντας στη δοθείσα όπου το 0 έχουμε: f ( 0 ) + f( 0 ) = 4 + f() = 4 f()=0, άτοπο αφού f()= επομένως, η f δεν είναι συνεχής στο [,]. Άσκηση 7 Αν είναι γνωστό ότι: ημα ημ3 + ημ5 για κάθε ( π, π ), α R και ότι lim α +5β+ α) οι τιμές των παραμέτρων α και β β) η τιμή ρ R = ρ R να βρεθούν: Αν ( π, 0) τότε: ημα ημ3 + ημ5 α ημα α 3ημ3 3 +5ημ5 5 Τότε lim 0 = (α ημα ) α lim ημ3 0 ( ημ5) 5 αlim 0 ημα α 3 lim 0 ημ3 3 α 3 +5 α 4 () +5lim 0 ημ5 5 Αν (0, ημα ) τότε : ημ3 + ημ5 α ημα α 3 ημ ημ5

34 lim 0 +(α ημα ) α lim 0 +(3ημ3 3 +5ημ5 ) α 3+5 α 4 () 5 Από () και () προκύπτει α=4 Τότε lim α 5β+ = lim 4 5β+ = ρ R. Θέτω g()= 4 +5β+ g()( ) = 4 +5β + lim (g()( )) = lim (4 + 5β + ) ρ 0 = 5 + 5β β = -. Τότε lim α +5β+ = lim 4 5+ = lim 4( )( 4 ) ( )(+) = lim 4 + = 3. Επομένως ρ = 3. Άσκηση 8 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (f())= 4, για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - για κάθε R β) Να αποδείξετε ότι f(4) = 4f(), R γ) Να αποδείξετε ότι f(0) = 0 δ) Να αποδείξετε ότι f() 4 = f (), R

35 ε) Να αποδείξετε ότι f ( f() 4 ) =. Α) Για κάθε, R με f() = f() f(f()) = f(f()) 4 = 4 =. Άρα η f είναι. Β) στη δοθείσα σχέση θέτω όπου το f()οπότε f (f(f()) = 4f() και f(f()) = 4 οπότε προκύπτει f(4) = 4f(). Γ) από την παραπάνω σχέση θέτοντας όπου =0 έχουμε: f(4 0)= 4f(0) f(0)= 0. Δ) επειδή η f είναι - αντιστρέφεται και θέτοντας όπου το f () στη δοθείσα σχέση έχω f(f(f ()) = 4f () f()=4f () f ()= 4 f() Ε) αντικαθιστώντας όπου το f() στη δοθείσα σχέση έχουμε f(f ( f() f() )) = f(f (f())) = f() f(f() ) 4 4 =. Άσκηση 9 Δίνονται οι ορισμένες στο IR συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει: [f () + g ()] f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: lim + f() = lim + g() = 0.

36 Αφού + μπορούμε να θεωρήσουμε ότι > 0, οπότε: (f () +g ()) f() f ()+ g () f() f () f() + + g () (f() - ) + g () Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν οι ανισώσεις: 0 (f() - ) και 0 g () Όμως lim 0 = 0 και lim + =0 οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε: lim + (f() ) = 0 και lim + g() = 0 Τότε : lim + f() = lim + [(f() ) + ] = lim + (f() ) +lim + = = 0. ΑΣΚΗΣΗ 30 Δίνεται η συνάρτηση f()= - α ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Α β) Τι έχετε να πείτε για το όριο της συνάρτησης όταν το τείνει στο 0 =0 γ) Με, θέτουμε h() = f() Να υπολογίστε το lim h()

37 δ) Προσδιορίστε το α R ώστε η συνάρτηση g() = { a 4 h(), A {} (a + ), = α ) Πρέπει 0 0 ή και 0, οπότε A = {0} [, + ) β) το όριο της συνάρτησης f όταν το τείνει στο 0, δεν έχει νόημα,διότι το πεδίο ορισμού A της f δεν περιέχει διάστημα της μορφής (α, 0) ή (0, α)ή (α, 0]ή [0, α) ή (α, 0) (0, β) γ)lim h() = lim lim ( ) lim ( ) ( )( +) = lim = lim ( ) = lim ( ) ( +) ( )( +) = + = = lim ( ) ( )( +) = δ) Ισχύει lim g()=lim h() = και g() = α 4 (α + ) Πρέπει lim g() = g() α (α + ) = α ( )α = 0 α α + α = 0 α(α ) + (α ) = 0 (α )(α + ) = 0 α = ή α =.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και f(α)f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. όριο συνεχεία

Συναρτήσεις. όριο συνεχεία Συναρτήσεις όριο συνεχεία Συλλογή Ασκήσεων mathmatica -7 ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Συναρτήσεις -Όριο Συνέχεια:-Μια συλλογή ασκήσεων Έλυσαν οι: XRIMAK Αναστάσης Κοτρώνης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης. 2.Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 3, να είναι το R.

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης. 2.Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 3, να είναι το R. . Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης χ f() ln( 5) Πρέπει -ln(-3) χ-3> ln(-3) lne χ > 3-3 e χ > 3 e 3 χ > 3 Οπότε το Π.Ο. της συνάρτησης είναι Α f (, e3)u(e3, ).Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έστω συνάρτηση f για την οποία ισύουν είναι συνεής στο κλειστό [α,β] είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Τότε υπάρει τουλάιστον ένα σημείο ξ του (α,β), τέτοιο ώστε να είναι : f (ξ) = ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης 1 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με f() = 3e + 10 + 1 και g() = 015 + 015 196 α) Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας των f, g β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R. ΜΑΘΗΜΑ.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση γράφεται e + e e 0 Προφανής ρίζα Θεωρούµε τη συνάρτηση f()

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x. Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 05 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 7 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 66 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α3. α Σ, β Λ, γ Λ, δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2

έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2 . Έστω η συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f(). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο. e για κάθε. t 3 63 e dt 7 έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) f() = 6 + 6 iv) f() = log ( log4(- )) v) f() = ii) f() = iii) f() = log ( + ) 5 log 4 vii)

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση ()

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο,

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 3 ωρών στις Συναρτήσεις και τα Όρια 9-5 Θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση z, z μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν z z = z z Έχουμε: z z = z z ( z z ) ( z z ) = z z z z = z z z z z z = z z z z. Το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 3 α) f 3 1 1 γ) f 9 β) f 3 δ) f log 1 4 α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί 3 3 + (1) Έχουμε: (1) ( 3+), και 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R με f (), για κάθε > για την οποία ισχύει η σχέση: u f() ( ) + f(t) dt du, για κάθε >. () i. Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα