Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Transcript

1 Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή ή λάθος και σημειώστε το Σ ή το Λ. α. Η εξίσωση (λ )x =λ μπορεί να είναι αδύνατη. Σ Λ β. Η εξίσωση αx= β έχει λύση μόνο όταν α. Σ Λ γ. Aν ισχύει x 5=5 x, τότε είναι x 5. Σ Λ δ. Αν x, x οι ρίζες του τριωνύμου αx +βx+γ, τότε: αx +βx+γ=α(x x )(x x ). Σ Λ ε. Αν η διακρίνουσα του τριωνύμου αx +βx+γ είναι αρνητική τότε το τριώνυμο είναι αρνητικό. Σ Λ ζ. x d(x,). η. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ισχύει: Σ Λ ( μονάδες ανά ερώτημα) Γ. Η απόσταση (ΑΒ) των σημείων Α(, 5) και Β(,7) είναι: α. 8 β. 5 γ. δ. 9 (5 μονάδες) Θέμα Δίνεται η εξίσωση x (λ )x λ λ =. A. Να δείξετε ότι για κάθε λr η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες x και x. (7 μονάδες) B. Να βρείτε τις τιμές του λr για τις οποίες ισχύει : x x. (9 μονάδες) Γ. Για λ =, να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες :, (9 μονάδες)

2 Θέμα (x x )( x ) Δίνεται η συνάρτηση: f(x)= x x λ x + = 7λ +9 x y(λ 7λ+). και η εξίσωση: Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και το διάστημα στο οποίο η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. (8 μονάδες) Β. Για τις λύσεις της ανίσωσης του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε τις τιμές του λr ώστε η εξίσωση () να παριστάνει ευθεία παράλληλη: α. στον άξονα x x, στον άξονα y y. (6 μονάδες) β. στην ε : y= x+. ( μονάδες) 46x 4 x Γ. Να λύσετε την ανίσωση x f() f( ). (8 μονάδες) Θέμα 4 Α. Δίνονται οι παραστάσεις: κ= x 4x x x και λ= x y : x y x y 5 α. Να αποδείξετε ότι για x= και y=, κ= και λ=. ( μονάδες) 9 β. Αν ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι ο α = και η διαφορά 4 ω ισούται με ω= ( ) ( ) ( ) 5, όπου Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να βρείτε τον εικοστό όρο της προόδου καθώς και το άθροισμα: α 9 +α + +α. (9 μονάδες) Β. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Ώστε να ισχύουν: Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι 7 8. Οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(Α Β) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο Χ =,,, όπου κ, λ οι τιμές των παραστάσεων του Α ερωτήματος. α. Να αιτιολογήσετε γιατί Ρ(Β)= και Ρ(Α Β)=. (4 μονάδες) β. Να βρεθούν οι πιθανότητες: i. Να μην πραγματοποιηθούν τα ενδεχόμενα Α και Β ταυτόχρονα. ii. Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α. iii. Nα μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α ή Β. ( μονάδες ανά ερώτημα) Καλή Επιτυχία στις Εξετάσεις!!!

3 Απαντήσεις Διαγωνίσματος Θέμα Α. Σχολικό σελ. 9. Β. α Λ ( αν λ= είναι αόριστη και αν λ έχει μοναδική λύση x=) β Λ ( αν α=β= είναι αόριστη και έχει άπειρες λύσεις) γ Σ δ Σ ε Λ (είναι ομόσημο του α) ζ Λ ( x d(x,) ) η Σ Γ. To γ γιατί: ( ) (x x ) (y y ) ( ) (7 5) 544 Θέμα Λύση Α. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι Δ>. Πράγματι: Δ = (λ ) 4( λ λ ) = 4λ 4λ ++4λ + 4λ + 4 = 8λ + 5 >, για κάθε Β. Αν x x oι ρίζες της () τότε είναι (λ ) x + x = =λ () και x x = Τότε x x (x x ) x x x x () () (x x ) x x λr. λ λ = λ λ () (λ ) λ λ + λ 5λ+ Δ=β 4αγ=5 4= Άρα 5 x x, 6 x λ + λ 5λ+ + + Τελικά πρέπει λ

4 Γ. Για λ = οι () και () γράφονται: x + x = και x x =, οπότε: (x S = x ) (x x ) () ( ) P = () ( ) 7 Oπότε η εξίσωση ου βαθμού είναι η : x Sx + P = x x 4 7x 6x 4= 9 7 Θέμα Α. f(x) = (x x )( x ) x x Πρέπει x +x+ Δ = 4 <, οπότε x +x+ για κάθε xr Άρα το πεδίο ορισμού της f(x) είναι το R. Για να είναι η γραφική παράσταση της f πάνω από τον άξονα x x πρέπει f(x)> (x x )( x ) Θα λύσουμε την ανίσωση x x x x +x =, Δ= +8 = 9, x, = 4 x x = x = x= ή x = x ½ x +x x + + x +x f(x) + f(x) x Β. α. Αφού x< x <, θα είναι x x και x< x < x <, οπότε x x και η ευθεία : : λ x + = 7λ +9 x y(λ 7λ+) ισοδύναμα γράφεται: λ ( x)+ = 7λ +9( x) y(λ 7λ+) λ λ x +=7λ+8 9x y(λ 7λ+) 9x λ x= λ + 7λ y(λ 7λ+) (9 λ )x= (λ 7λ +) y(λ 7λ+) ( λ)(+λ)x = (λ )(λ 4) y(λ )(λ 4) y( λ)(λ 4)=( λ)(+λ)x+( λ)(λ 4) ()

5 Για να παριστάνει η () ευθεία πρέπει οι συντελεστές των x και y να μη μηδενίζουν ταυτόχρονα. Δηλαδή ( λ)(+λ)=λ= και ( λ)(λ 4)=λ= ή λ=4 Πρέπει λ. Για λ η ευθεία γίνεται ε: y(λ 4)=(+λ)x+λ 4 Aν λ= ε: 7y= 7y= (ευθεία κάθετη στον y y στο σημείο y=, άρα παράλληλη στον x x) Αν λ=4 ε: 7x= x= (ο άξονας y y) β. Για λ 4 ε: y x και λ ε = ε//ε Γ. f( )=f()=, άρα f()+=4 και f( )+= 46x 4 x 46x 4 x x x f() f( ) 4 x 4 x x 4 x x x 4 6 x x 8 x x 8 8x8 7 7x x Θέμα 4 Α. α. κ= β. x x (x)(x) (x)(x) x x 4x x(x 4) x(x)(x) x x y : x y x y x y x y x y 5 λ= x y x y Άρα α =. 4 4 Οι αριθμοί Ρ(Α), Ρ(Α Β) και ( ) ως πιθανότητες θα ανήκουν στο διάστημα [,]. Άρα Ρ(Α) <, +Ρ(Α Β)> και ( ) 5<, Δηλαδή: ( ) P(A), ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) Άρα ( ) ( ) ( ) 5 P( ) ( ) ( ) 5 P( ) P(A) ( ) ( ) 5, άρα ω=.

6 ( ) 9 9 α 9 +α + +α = (α +α + +α 9 +α ) ( α +α + +α 8 )=S S 8 S ( ) ( 9) 96 8 S 8 [ (8 ) ] 4(6 9) άρα α 9 +α + +α =96 84=576. Β. α. X,,. Το >, άρα απορρίπτεται. A B B P(A B) P(B) P(A B) και P(B) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι 7 8. Άρα 7 P(A B) 8 Από προσθετικό νόμο έχουμε: 7 7 P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(A) 8 4 i. P(A B) P(A B) 7 5 ii. P(A B) P(A) P(A B) iii. P(A B) P(A B) 8 8