University of the Aegean. Business School. Department of Financial Management and Engineering

Transcript

1 Business School Fleet Sizing Decisions for Prioritized Pick-Up and Delivery Operations using the Branch and Price Method Dimitris-Georgios Baklagis Supervisor Professor Ioannis Minis Chios 2013

2 Acknowledgments First of all I would like to thank my supervisor Dr. Ioannis Minis for giving me the opportunity to get in touch with many interesting concepts of operational research. Furthermore, I would like to thank Mr. George Dikas, PhD Candidate of the University of the Aegean for his contribution and his support all these months, without his help I would not be able to complete my diploma thesis, and to Mr. Theodoros Emmanouilidis, PhD Candidate of the University of the Aegean for his contribution and his help during the implementation of the experiments. I am also grateful to all my professors all these years during my studies who have contributed in my educational development. Finally, I would like to thank my family and my friends for their support during all these years of my educational period. i

3 Abstract Optimizing routing-related operations has significant implications in improving the efficiency of logistics. In this thesis we deal with the problem of sizing a fleet of vehicles performing prioritized pick-up and delivery operations to serve a known client base under resource constraints. We propose a new model for this problem that combines the Team Orienteering Problem with the problem of Pick-up and Delivery with Time Windows, and Capacity Constraints (TOPPDTWCC). We have developed an exact Branch-and-Price method for the TOPPDTWCC. To assess system performance we proposed a number of KPIs related to: a) quality of service, b) expected profit, and c) utilization of the vehicles and considering these, from the set of the most effective fleet is selected this with the minimum total cost. ii

4 Εκτενής Περίληψη Εισαγωγή Στη σύγχρονη κοινωνία, σηµαντικά κεφάλαια επενδύονται στην µεταφορά προϊόντων και επιβατών, καθιστώντας τον κλάδο των µεταφορών ιδιαίτερα σηµαντικό. Σκοπός της παρούσας διπλωµατικής εργασίας, είναι η ανάπτυξη και η υλοποίηση ενός εργαλείου, µέσω του οποίου θα προσδιορίζεται το πλήθος και το µέγεθος του στόλου των οχηµάτων που θα πρέπει να διατεθεί, παρέχοντας την δυνατότητα να αξιολογείται και ο υπάρχων στόλος, έτσι ώστε να ανταποκρίνεται στις ανάγκες των πελατών του µεγιστοποιώντας το κέρδος του, σε διαδικασίες παραλαβής και επίδοσης εµπορευµάτων ή επιβατών (Pick-up and Delivery Operations). Ο στόλος των οχηµάτων αποτελεί σηµαντικό περιουσιακό στοιχείο καταλαµβάνοντας µεγάλο µέρος του προϋπολογισµού κάθε εταιρίας που δραστηριοποιείται στον κλάδο των µεταφορών. Ένας στόλος οχηµάτων ο οποίος ανταποκρίνεται µε ακρίβεια στις απαιτήσεις των πελατών, πλεονεκτεί τόσο στην παρεχόµενη ποιότητα εξυπηρέτησης προς τους πελάτες όσο και στην χρήση του κεφαλαίου της επιχείρησης, έναντι των ανταγωνιστών. Για την δηµιουργία αυτού του εργαλείου, µοντελοποιήθηκε και επιλύθηκε ένα νέο πρόβληµα δροµολόγησης, το πρόβληµα του Οµαδικού Προσανατολισµού µε Παραλαβές και Παραδόσεις, µε περιορισµούς Χρονικών Παραθύρων και Χωρητικότητας (Team Orienteering Problem with Pickups and Deliveries Time Window and Capacity Constraints, TOPPDTWCC). Το πρόβληµα αυτό αποτελεί συνδυασµό του προβλήµατος Παραλαβής και Επίδοσης, προϊόντων ή επιβατών, µε περιορισµούς Χρονικών Παραθύρων και Χωρητικότητας (Pickup and Delivery Problem with Time Windows and Capacity Constraints, PDPTWCC, Dumas, iii

5 1991), από τα πιο διαδεδοµένα και µελετηµένα προβλήµατα δροµολόγησης οχηµάτων τις τελευταίες δεκαετίες και του προβλήµατος Οµαδικού Προσανατολισµού (Team Orienteering Problem, TOP, Chao, 1996). Το πρόβληµα Παραλαβής και Επίδοσης (PDP) ανήκει στην κατηγορία προβληµάτων δροµολόγησης οχηµάτων (Vehicle Routing Problems, VRP, Toth και Vigo, 2002), και αποτελείται από ένα σύνολο πελατών, στο οποίο ο κάθε πελάτης επιθυµεί να µεταφερθεί στην τοποθεσία του µια συγκεκριµένη ποσότητα προϊόντων, αφού πρώτα παραληφθεί από µια διαφορετική τοποθεσία. Σκοπός του PDP είναι να εξυπηρετηθούν όλοι οι πελάτες ελαχιστοποιώντας την απόσταση που θα διανυθεί. Στο πρόβληµα προσανατολισµού (Orienteering Problem, OP, Chao 1996), η εξυπηρέτηση όλων των πελατών δεν είναι δυνατή, λόγω της περιορισµένης διαθεσιµότητας πόρων. Σκοπός της επίλυσης του εν λόγο προβλήµατος, είναι η επιλογή του βέλτιστου συνόλου πελατών έτσι ώστε να µεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος (κέρδος νοείται το αντίτιµο που λαµβάνεται µετά την εξυπηρέτηση ενός πελάτη). Όταν εξετάζεται η εξυπηρέτηση των πελατών από ένα στόλος οχηµάτων, το παραπάνω πρόβληµα ορίζεται ως πρόβληµα οµαδικού προσανατολισµού (Team Orienteering Problem, TOP). Η βασική διαφορά µεταξύ των προβληµάτων δροµολόγησης και προσανατολισµού είναι ότι τα προβλήµατα δροµολόγησης στοχεύουν στην ελαχιστοποίηση του κόστους, εξυπηρετώντας το σύνολο των πελατών ενώ τα προβλήµατα προσανατολισµού στοχεύουν στην εξυπηρέτηση εκείνου του υποσυνόλου πελατών που µεγιστοποιεί το κέρδος δεδοµένης της περιορισµένης διαθεσιµότητας των πόρων. Το πρόβληµα του TOPPDTWCC δηµιουργήθηκε µε σκοπό να αντιµετωπίσει περιπτώσεις παραλαβής και επίδοσης όπου λόγω των περιορισµών η εξυπηρέτηση όλων των απαιτήσεων δεν είναι εφικτή. iv

6 Μοντελοποίηση του προβλήµατος Για να περιγράψουµε το TOPPDTWCC ορίζουµε ένα γράφο G = (N, A) µε N = {0, 2n + 1} P D το σύνολο των κόµβων και A το σύνολο των τόξων (i, j) που ενώνουν το σύνολο N. Ως n ορίζουµε το σύνολο των πελατών, ενώ οι κόµβοι 0 και 2n + 1 ορίζονται ως ο αρχικός και ο τερµατικός κόµβος αντίστοιχα. Ορίζουµε επίσης ως P = {1,, n} το σύνολο των κόµβων στους οποίους γίνονται οι παραλαβές και ως D = {n + 1,..,2n} τους κόµβους στους οποίους γίνονται οι επιδόσεις. Στο TOPPDTWCC ένας πελάτης i ορίζεται από τον κόµβο παράδοσης i και τον κόµβο επίδοσης i + n. Ως κέρδος p! ορίζεται το κέρδος που λαµβάνεται µετά την εξυπηρέτηση του κόµβου i P, ενώ ως t!" ορίζεται ο χρόνος που χρειάζεται για να διανυθεί το τόξο (i, j). Το s! ορίζει τον χρόνο που ξεκινά η εξυπηρέτηση του i κόµβου, η οποία πρέπει να αρχίσει ανάµεσα στα προκαθορισµένα χρονικά παράθυρα e!, b!, όπου e! και b! ο ενωρίτερος και ο αργότερος χρόνος έναρξης της εξυπηρέτησης του i κόµβου αντίστοιχα. Ως q! ορίζεται το φορτίο που έχει το όχηµα µετά την εξυπηρέτηση του i κόµβου, µε ζήτηση d!. Τέλος, ορίζουµε ως V το σύνολο των οχηµάτων µε το κάθε ένα να έχει χωρητικότητα ίση µε Q µονάδες. Το TOPPDTWCC προσπαθεί να βρει αυτά τα δροµολόγια µε τα οποία το κέρδος µεγιστοποιείται. Θεωρούµε ως Ω το σύνολο των εφικτών δροµολογίων. Ένα δροµολόγιο ή µονοπάτι r Ω είναι εφικτό όταν: α) ένα όχηµα ξεκινά από τον αρχικό κόµβο και καταλήγει στον τερµατικό κόµβο µέσα σε συγκεκριµένα χρονικά όρια, ικανοποιώντας τους περιορισµούς χωρητικότητας στο φορτίο του, β) κάθε πελάτης πρέπει να εξυπηρετηθεί το πολύ µία φορά, γ) αν ένα όχηµα επισκεφτεί έναν κόµβο παραλαβής, τότε πρέπει να επισκεφτεί και τον αντίστοιχό κόµβο επίδοσης στο ίδιο δροµολόγιο, δ) η εξυπηρέτηση κάθε κόµβου i πρέπει να γίνεται ανάµεσα στα προκαθορισµένα χρονικά παράθυρα [e!, b! ], όπου e! είναι ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης της εξυπηρέτησης και b! ο αργότερος χρόνος έναρξης της v

7 εξυπηρέτησης. Όταν ισχύουν τα προηγούµενα, τότε ένα δροµολόγιο είναι εφικτό και το συνολικό κέρδος ορίζεται από το παρακάτω µοντέλο: TP = max p!!! x! (1) µε συνθήκες:!! a!" x! 1, i P (2)!! x! V (3) x! 0,1, r Ω (4) Όπου, p! =!! a!" p! ορίζεται το κέρδος που αποκτήθηκε από το δροµολόγιο r και p! ορίζεται το κέρδος που αποκτάται κάθε φορά µε την εξυπηρέτηση του i κόµβου παραλαβής. Τέλος, η µεταβλητή απόφασης x! παίρνει την τιµή 1 αν το δροµολόγιο r συµµετέχει στην λύση του προβλήµατος και 0 αν δεν συµµετέχει. Η ανισότητα (2) εγγυάται ότι το σύνολο των πελατών θα εξυπηρετηθεί το πολύ 1 φορά, ενώ η ανισότητα (3) περιορίζει τον αριθµό των οχηµάτων που θα χρησιµοποιηθούν. Branch-and-Price Για την επίλυση του προβλήµατος εφαρµόστηκε η µέθοδος Branch-and-Price (BP). Η BP µέθοδος περιέχει τον αλγόριθµο της Column Generation (CG) ενσωµατωµένο στην µέθοδο Branch and Bound (BB). Στην αρχή της µεθόδου BP το πρόβληµα επιλύεται από την CG «χαλαρώνοντας» τον περιορισµό (4) επιτρέποντας την µεταβλητή x! να λαµβάνει τιµές στο διάστηµα [0,1]. Στην συνέχεια εφαρµόζοντας τις αρχές του BB παράγεται η βέλτιστη λύση του αρχικού προβλήµατος. Η BP χρησιµοποιείται κυρίως σε προβλήµατα που ο αριθµός των vi

8 µεταβλητών είναι αρκετά µεγάλος σε σχέση µε το πλήθος των περιορισµών και εφαρµόζεται σε αρκετά προβλήµατα δροµολόγησης (VRP), σε προβλήµατα χρονοπρογραµµατισµού (scheduling) και στελέχωσης (crewing) (Desrosiers, 1995). Με την µέθοδο Column Generation, το κυρίως πρόβληµα (Master Problem, MP) που ορίζεται από τις σχέσεις (1)-(4) χωρίζεται σε δύο µικρότερα προβλήµατα. Το περιορισµένο πρόβληµα (Restricted Master Problem, RMP) και το υπο-πρόβληµα (Sub-Problem, SP). Το RMP, σε κάθε t επανάληψη της CG, επιλύεται λαµβάνοντας υπόψιν µόνο ένα υποσύνολο Ω! Ω των µεταβλητών του MP. Η µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε για την επίλυση του RMP είναι η Revised Simplex Method, µια παραλλαγή της κλασσικής Simplex, η οποία επιτυγχάνει µείωση του υπολογιστικού χρόνου και της απαιτούµενης υπολογιστικής µνήµης. Στη συνέχεια, νέες µεταβλητές-δροµολόγια ω που συνεισφέρουν στην βελτίωση της αντικειµενικής συνάρτησης, αναγνωρίζονται από το SP και προσθέτονται στο αρχικό σύνολο των µεταβλητών. Έτσι µετά από την t επανάληψη της CG, το σύνολο των µεταβλητών µας ορίζεται ως Ω!!! = Ω! ω. Η CG επαναλαµβάνεται όσο το SP παράγει νέες µεταβλητές, (ω ). Τα δροµολόγια τα οποία παράγονται θα πρέπει να ικανοποιούν το παρακάτω κριτήριο: a!" p! a!" π! π! > 0!!!" (5) Όπου π! ορίζονται οι σκιώδεις (ή δυικές) τιµές της ανισότητας (2) και π! οι σκιώδεις τιµές του περιορισµού των οχηµάτων, οι οποίες παράγονται από την επίλυση του RMP. Το SP σε εφαρµογές της CG σε προβλήµατα δροµολόγησης επιλύεται ως ένα πρόβληµα εύρεσης της συντοµότερης διαδροµής (Shortest Path Problem). Πιο συγκεκριµένα στην περίπτωσή µας επιλύεται ως ένα πρόβληµα βέλτιστης διαδροµής µε χρονικά παράθυρα, περιορισµούς χωρητικότητας, παραλαβές και παραδόσεις (Elementary Shortest Path vii

9 Problem with Time Windows, Capacity Constraints and Pickup and Deliveries, ESPPTWCCPD) (Ropke και Cordeau, 2009). O όρος Elementary δηλώνει ότι στα παραγόµενα µονοπάτια δεν επιτρέπεται να δηµιουργούνται κύκλοι, δηλαδή ότι κανένας πελάτης δεν πρέπει να εξυπηρετηθεί περισσότερες από µία φορά στο ίδιο µονοπάτι. Για να περιγράψουµε το SP, ας υποθέσουµε ένα γράφο G = (N, A) όπου N = {0,2n + 1} P D, ως 0 συµβολίζεται ο αρχικός κόµβος και 2n + 1 ο τερµατικός κόµβος, όπου P και D είναι το σύνολο των κόµβων παραλαβής και επίδοσης αντίστοιχα. Το σύνολο A περιέχει όλα τα τόξα που ενώνουν τους κόµβους του συνόλου N. Κάθε τόξο (i, j) έχει ένα κόστος σύµφωνα µε την παρακάτω σχέση: c!" = π! p!, i P, j N π!, i {0}, j N 0, i D {n + 1}, j N (6) Το SP επιλύθηκε όπως περιγράφεται από τους Ropke και Cordeau (2009) µε την χρήση του label-setting αλγόριθµου υπό τις βασικές αρχές του κλασσικού αλγόριθµου των Bellman s Ford. Χαρακτηριστικό του αλγόριθµου αυτού είναι η δηµιουργία ετικετών (labels), στις οποίες καταγράφονται όλες οι απαραίτητες πληροφορίες για την κατανάλωση των πόρων έως την άφιξη στον πελάτη που επισκέπτεται τελευταίο. Ως πόροι ορίζονται: το συνολικό κέρδος που έχει συλλεχθεί µέχρι εκείνη την στιγµή στο δροµολόγιο, την συνολική απόσταση που έχει διανυθεί, το συνολικό φορτίο που έχει µαζί του το όχηµα, το µονοπάτι που έχει ακολουθήσει. Για να επιτευχθεί η ακέραια λύση για το MP, χρησιµοποιείται η µέθοδος Branch-and-Bound (BB) µε την χρήση της πολιτικής διχοτόµησης της εφικτής περιοχής, branching on arcs. viii

10 Προτεινόµενες βελτιώσεις Η επίλυση του SP απαιτεί ένα σχετικά σηµαντικό χρονικό διάστηµα σε σχέση µε τον απαιτούµενο χρόνο της συνολικής µεθόδου, ενώ ταυτόχρονα καταναλώνει και σηµαντικό µέρος από την υπολογιστική ισχύ και µνήµη. Στην προσπάθεια να µειωθεί τόσο ο χρόνος επίλυσης του SP όσο και η υπολογιστική µνήµη, εφαρµόστηκε µία σειρά από βελτιωτικές αλλαγές και η απόδοση τους µελετήθηκε µέσω πειραµατικής διαδικασίας. Ενδεικτικά αναφέρουµε µερικές από τις τροποποιήσεις που εφαρµόστηκαν στο SP, η τρίτη από τις οποίες προτείνεται στην παρούσα διπλωµατική εργασία, ενώ οι πρώτες δύο υπάρχουν στην βιβλιογραφία. 1. Ο ευρετικός αλγόριθµος Limited Discrepancy Search (LDS) χρησιµοποιήθηκε µε σκοπό να µειωθεί ο χρόνος που απαιτεί η CG. Το βασικό πλαίσιο πάνω στο οποίο λειτουργεί ο LDS είναι ότι επιλύει το Shortest Path Problem περιορίζοντας την αναζήτηση µόνο στους καλύτερους γειτονικούς κόµβους κάθε φορά. 2. Κατά την διαδικασία αποθήκευσης των νέων labels, αποθηκεύονται σε συνδεδεµένες λίστες χρησιµοποιώντας µία φθίνουσα λεξικογραφική (lexicographic) ταξινόµηση µε βάση τους πόρους της κάθε ετικέτας (Sort), µε σκοπό να αναπτύσσονται πρώτα οι πιο υποσχόµενες ετικέτες. 3. Αναπτύχθηκε ένα νέο κριτήριο το οποίο εκµεταλλευόµενο την συµµετρία του πίνακα c προβλέπει ποιες ετικέτες δεν µπορούν να φτάσουν στον τερµατικό κόµβο, ικανοποιώντας παράλληλα την σχέση (5) και σταµατάει την επέκτασή τους (PC). Σε κάθε επανάληψη της CG το ελάχιστο κόστος που µπορεί να συλλεχθεί υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: mincost = π! p!!!!!!!!!! + π! (7) ix

11 Αν το mincost 0,τότε η CG τερµατίζει. Επιπλέον για κάθε µια ετικέτα label l ορίζουµε ως U(l) το κόστος που δεν µπορεί να συλλέξει από άλλους κόµβους γιατί δεν είναι εφικτή η µετάβασή του σε αυτούς. Οι κόµβοι αυτοί αναφέρονται στην βιβλιογραφία ως unreachable nodes (Ropke και Cordeau, 2009). mincost(l) = π! p!!!\!(!)!!!!!!! + π! (8) Άρα αν mincost l 0, η ετικέτα l διαγράφεται χωρίς να επεκταθεί περαιτέρω. Πειραµατική διερεύνηση Για τη διερεύνηση του καταλληλότερου συνδυασµού των τριών παραπάνω τεχνικών µε στόχο την µείωση του υπολογιστικού χρόνου, τα προβλήµατα αναφοράς των Li και Lim (2001), τα οποία αναφέρονται σε προβλήµατα Παραλαβής και Επίδοσης προϊόντων µε χρονικά παράθυρα και περιορισµούς χωρητικότητας, αφού πρώτα τροποποιήθηκαν κατάλληλα για να ταιριάζουν στα χαρακτηριστικά του TOPPDTWCC. Πιο συγκεκριµένα χρησιµοποιήθηκαν 5 οχήµατα αντί για 25 και 100 µονάδες χωρητικότητας στα οχήµατα αντί για 250. Τα αποτελέσµατα αυτής της διερεύνησης παρατίθενται αναλυτικότερα στο κύριο κοµµάτι της διπλωµατικής εργασίας. Χρησιµοποιώντας τον στατιστικό έλεγχο του t-test αποδείχθηκε στατιστικά ότι η χρήση του PC και του LDS καθώς και ο συνδυασµός αυτών των δύο συνεισφέρουν στην βελτίωση του χρόνου εκτέλεσης. Εφαρµογές του TOPPDTWCC Αρκετές εφαρµογές του TOPPDTWCC µπορούν να εφαρµοστούν στον κλάδο της εφοδιαστικής αλυσίδας, και της επιχειρησιακής έρευνας. Ένα χαρακτηριστικό πεδίο εφαρµογής του είναι στην δηµιουργία των ηµερήσιων δροµολογίων σε διαδικασίες x

12 Παραλαβής και Επίδοσης, όπου οι πόροι δεν επαρκούν για την εξυπηρέτηση όλων των πελατών, µέσα στα προκαθορισµένα όρια µίας ηµερήσιας βάρδιας. Μία δεύτερη εφαρµογή του συναντάται στον σχεδιασµό ενός συστήµατος σύµφωνα µε το οποίο θα υπολογίζεται ο αριθµός των οχηµάτων V και η χωρητικότητάς τους Q έτσι, ώστε να εξυπηρετείται ένα επιθυµητό ποσοστό πελατών και να συλλέγεται επίσης το αντίστοιχα επιθυµητό κέρδος. Για να µπορέσουµε να βρούµε τα χαρακτηριστικά του στόλου (V, Q), δηµιουργήθηκε µία σειρά από δείκτες συγκριτικής αξιολόγησης (KPIs) σχετικά µε: α) την ποιότητα της εξυπηρέτησης, β) το κέρδος που συλλέχθηκε, γ) την αξιοποίηση του στόλου των οχηµάτων. Στον παρακάτω Πίνακα 2, περιγράφονται αναλυτικά οι δείκτες, οι οποίοι περιγράφονται αναλυτικά στο Παράρτηµα 2. Πίνακας 1: Σύντοµη περιγραφή των δεικτών Κατηγορία Δείκτης Περιγραφή Ποιότητα εξυπηρέτησης Κέρδος που συλλέχθηκε Αξιοποίηση του στόλου QOS PC VU CU Ο αριθµός των πελατών που εξυπηρετήθηκαν προς τον συνολικό αριθµό των πελατών Το κέρδος που συλλέχθηκε προς το µέγιστο δυνατό κέρδος Η συνολική ποσότητα προϊόντων που µεταφέρθηκε προς την συνολική χωρητικότητα των οχηµάτων Η συνολική ποσότητα προϊόντων µέσα στα οχήµατα κατά την διάρκεια µίας βάρδιας προς την συνολική χωρητικότητα του στόλου Ανάλυση των πειραµάτων Η επίλυση ορισµένων από τα Li και Lim (2001) προβλήµατα για διαφορετικές παραµέτρους (V, Q) για 30 πελάτες, οδήγησε στην δηµιουργία των παρακάτω διαγραµµάτων τα οποία περιγράφουν τους προαναφερόµενους δείκτες. xi

13 Πιο συγκεκριµένα, µελετήθηκαν δύο κατηγορίες παραµέτρων (V, Q). Όσον αφορά την πρώτη κατηγορία, για τις τρεις τιµές που αφορούν το πλήθος των οχηµάτων V = 3,7,14 η χωρητικότητα τους µεταβάλλεται, Q = {35,, 200}. Αντιθέτως, στη δεύτερη κατηγορία, για τρεις τιµές της χωρητικότητας των οχηµάτων, Q = {50,100,200} το πλήθος των οχηµάτων µεταβάλλεται, V = {1,3,,15}. Μετά την ανάλυση των αποτελεσµάτων ακολουθεί η παράθεση των µέσων τιµών τους, οµαδοποιώντας τα σε δέκα διαφορετικές κλάσεις που ορίζονται από την συνολική χωρητικότητα του στόλου Q = Q V. Το Σχήµα 1 απεικονίζει τις τιµές του QOS για διαφορετικές τιµές χωρητικότητας του στόλου. Είναι προφανές ότι οι τιµές του QOS αυξάνονται καθώς η συνολική χωρητικότητα αυξάνεται. Για παράδειγµα, είναι δυνατόν να οριστεί κατώτατο αποδεκτό επίπεδο στις τιµές του QOS ίσο µε 80%. Σε αυτή την περίπτωση η χωρητικότητα του στόλου Q που ικανοποιεί αυτό το όριο είναι Q > ( ]. Σχήµα 1: QOS συναρτήσει της συνολικής χωρητικότητας του στόλου Το Σχήµα 2 απεικονίζει τις τιµές του PC για διαφορετικές συνολικές χωρητικότητες Q. Οι τιµές του PC βρίσκονται σε πλήρη συµφωνία µε τις προηγούµενες του QOS, µε την διαφορά ότι στο Σχήµα 2 οι τιµές του PC είναι µεγαλύτερες ή ίσες του QOS, καθώς η αντικειµενική συνάρτηση (1) στοχεύει στην µεγιστοποίηση του συλλεγόµενου κέρδους. xii

14 Σχήµα 2: PC συναρτήσει της συνολικής χωρητικότητας του στόλου Τα Σχήµα 3 απεικονίζει τις τιµές του VU για διαφορετικές χωρητικότητες Q. Ο δείκτης VU προσδιορίζει την παραγωγικότητα του στόλου. Υψηλότερες τιµές του VU δηλώνουν ότι εξυπηρετήθηκαν περισσότεροι πελάτες ανά όχηµα. Οι τιµές του VU που υπερβαίνουν το 100% δηλώνουν ότι τα οχήµατα φόρτωσαν και ξεφόρτωσαν περισσότερα προϊόντα από την συνολική τους χωρητικότητα. Σχήµα 3: VU συναρτήσει της συνολικής χωρητικότητας του στόλου Το Σχήµα 4 απεικονίζει τις τιµές του CU για διαφορετική χωρητικότητα του στόλου Q. Σε αυτή την περίπτωση οι χαµηλές τιµές του CU δηλώνουν ότι τα οχήµατα διένυσαν αποστάσεις µε σχετικά µικρότερο φορτίο. Συµπερασµατικά αποδοτικότεροι στόλοι αποδεικνύονται αυτοί µε όσο το δυνατόν µεγαλύτερο CU. xiii

15 Επιλογή του στόλου Σχήµα 4: CU συναρτήσει της συνολικής χωρητικότητας του στόλου Αφού δηµιουργηθεί η σειρά µε τα KPIs, είναι δυνατόν µε πιο µεγάλη ακρίβεια να προσδιοριστεί το κατάλληλο µέγεθος του στόλου των οχηµάτων για την εξυπηρέτηση των συγκεκριµένων πελατών. Για να προσδιοριστεί το µέγεθος αυτό ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Βήµα 1. Δηµιουργία πιθανών σεναρίων δροµολόγησης Βήµα 2. Ορισµός ενός κατώτατου αποδεκτού ορίου για τις τιµές των προηγούµενων KPIs Βήµα 3. Προσδιορισµός του στόλου των οχηµάτων (V, Q) ο οποίος ικανοποιεί αυτά τα όρια Βήµα 4. Υπολογισµός του συνολικού κόστους του στόλου C(V, Q) Βήµα 5. Επιλογή του στόλου µε το µικρότερο κόστος Μετά τον ορισµό των κατώτερων αποδεκτών ορίων για κάθε έναν από τους δείκτες, επιλέγουµε στην συνέχεια στον Πίνακα 3 ποια τιµή συνολικής χωρητικότητα στόλου ικανοποιεί τις απαιτήσεις µας. xiv

16 Πίνακας 2: Κατώτατα αποδεκτά όρια των KPIs για διαφορετικές χωρητικότητες στόλου Χωρητικότητα στόλου QOS (70%) PC (70%) VU (40%) CU (10%) Προκρινόμενες χωρητικότητες [50-345] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] Μετά την επιλογή της συνολικής χωρητικότητας του στόλου που ικανοποιεί αυτά τα όρια, ακολουθεί η ανάλυση στους στόλους (V, Q) που την αποτελούν και η εφαρµογή στην συνέχεια του ίδιου ελέγχου για κάθε στόλο (V, Q) ξεχωριστά. Πίνακας 3: Κατώτατα αποδεκτά όρια για διαφορετικούς στόλους Στόλος (V, Q) QOS (70%) PC (70%) VU (40%) CU (10%) Προκρινόµενοι στόλοι (5, 200) (7, 150) (14, 75) (11, 100) (7, 175) Τέλος, µετά την επιλογή των στόλων (V, Q) που ικανοποιούν τα κατώτατα αυτά όρια εκτιµάται το συνολικό ετήσιο κόστος του στόλου, βάση του παρακάτω τύπου, και στην συνέχεια επιλέγεται ο στόλος οχηµάτων, µε το ελάχιστο συνολικό ετήσιο κόστος. Κόστος στόλου = αριθμός οχημάτων κόστος απόκτησης 15έτη + μισθός οδηγού έτος + λοιπά πάγια κόστη έτος (9) + χιλιομετρική κάλυψη κόστος χιλιομέτρου αριθμός οχημάτων xv

17 Επίλογος Στην παρούσα διπλωµατική εργασία παρουσιάστηκε και µελετήθηκε το πρόβληµα του Οµαδικού Προσανατολισµού µε Παραλαβές και Παραδόσεις, µε περιορισµούς Χρονικών Παραθύρων και Χωρητικότητας και οι εφαρµογές του. Το πρόβληµα αυτό είναι συνδυασµός του προβλήµατος Παραλαβής και Επίδοσης (PDP) και του προβλήµατος Οµαδικού Προσανατολισµού (TOP). Το πρόβληµα µοντελοποιήθηκε και επιλύθηκε µε την µέθοδο Branch-and-Price, ενώ µία νέα τεχνική δηµιουργήθηκε µε σκοπό να επιταχύνει την επίλυση του. Μία σειρά από πειράµατα δηµιουργήθηκε µε σκοπό να προσδιοριστεί ο συνδυασµός των τεχνικών που καταναλώνει λιγότερο υπολογιστικό χρόνο, µνήµη και ισχύ. Η ανάλυση αυτή απέδειξε ότι η προτεινόµενη αυτή τεχνική µπορεί να συνεισφέρει, µε στατιστική σηµαντικότητα, στην βελτίωση της απόδοσης της µεθόδου για την επίλυση του χαλαρωµένου προβλήµατος. Επίσης, αναλύοντας τις τιµές δεικτών συγκριτικής αξιολόγησης, µελετήθηκε πως ο διαφορετικός αριθµός οχηµάτων, διαφορετικής χωρητικότητας, επηρεάζει την λύση του προβλήµατος και παρουσιάστηκε µια πρακτική µέθοδος πέντε βηµάτων για την επιλογή του καταλληλότερου στόλου οχηµάτων. xvi

18 Table of Contents Chapter 1. Introduction... 1 Chapter 2. A Branch and Price formulation for the TOPPDTWCC Description of the TOPPDTWCC Column Generation for the TOPPDTWCC Solving the TOPPDTWCC Proposed refinements of the labeling algorithm... 8 Chapter 3. Computational Study Chapter 4. Applications of TOPPDTWCC Parametric analysis Decision of the fleet size Chapter 5. Conclusions References Appendix A Appendix B xvii

19 List of Figures Figure 1: QOS as a function of total fleet capacity Figure 2: PC as function of total fleet capacity Figure 3: VU as function of total fleet capacity Figure 4: CU as function of total fleet capacity List of Tables Table 1: Performance of the combinations of refinements for selected instances with 20 requests Table 2: Computational time to obtain the lower bound per instance per modification combination for instances of 20 requests Table 3: Two sample paired t-test between (-.-.-) and (-.PC.-) mean computational times Table 4: Two sample paired t-test between (-.-.-) and (-.LDS.-) Table 5: Two sample paired t-test for the rest between mean computational times of modifications Table 6: Brief description of the KPIs Table 7: KPIs acceptance limit for different total fleet capacity groups Table 8: Qualified fleet s capacity fleets (V, Q) Table 9: Selection of the fleet size and type xviii

20 Chapter 1. Introduction Optimizing routing-related operations has significant implications in improving the efficiency of logistics. In this thesis we deal with the problem of sizing a fleet of vehicles performing prioritized pick-up and delivery operations to serve a known client base under resource constraints. We propose a new model for this problem that combines the Team Orienteering Problem with the problem of Pick-up and Delivery with Time Windows, and Capacity Constraints (TOPPDTWCC). The fleet of vehicles is an important asset for any transport company. Thus, determining the size and capacity characteristics of the fleet is important, since failure to do so may lead to low quality of service and profit loses, or to poor use of capital. We may describe the TOPPDTWCC as follows: A fleet of identical vehicles with capacity constraints serves pick-up and delivery requests. A request, which must be served by a single vehicle, comprises a quantity of products that must be picked up from an origin point and delivered to a destination point within certain time intervals. The vehicles initially are located at a central depot to which they must return after completing their routes. In this problem, however, the vehicle fleet is unable to serve all requests during the available planning horizon due to limitations of the available resources. The objective of the problem is to determine which requests will be served in order to gain the maximum profit. We propose a new model to describe this problem. The model combines the Team Orienteering Problem (TOP) as introduced in Chao et al., (1996), and the Pick-up and Delivery Problem, with Time Windows and Capacity Constraints (PDPTWCC) as presented in Dumas et al., (1991). The objective here is to maximize the total profit collected by serving the requests with a limited fleet of capacitated vehicles. 1

21 The basic difference between our problem and PDPTWCC is that the latter concerns the case in which all requests are served by minimizing the total travel cost, while in the TOPPDTWCC the resources are insufficient to serve all requests. Instead requests are to be selected to optimize the objective function within the relevant constraints. The Pickup and Delivery Problem (PDP) is a generalization of the Vehicle Routing Problem (VRP). In the PDP each customer request is related to two different locations: A pickup location where products (or passengers) must be picked up, and a destination location where they must be delivered. The PDP s objective is to serve all requests minimizing the total travel cost. Over the past decades, several classes of the PDP have been studied and numerous papers and books are available in the literature; interested readers may refer to Toth and Vigo (2002), Berbeglia et al. (2007), Parragh et al. (2008a, b). Toth and Vigo (2002) stated that PDP is an NP-hard problem since it is a generalization of the VRP. According to the three categories introduced by Berbeglia et al. (2007) concerning the classes of PDP, the TOPPDTWCC belongs to the one-to-one [1-1] category of problems, since each pickup node is associated with a unique delivery node. The Orienteering Problem (OP) was named after the sport game of orienteering (Chao et al., 1996). In the OP a vehicle starts from a certain starting point and attempts to visit as many points as possible, striving to maximize the score collected but by covering a distance or time within a predefined time limit. OP could be considered as a combination of the Traveling Salesman Problem (TSP) and the Knapsack Problem (Vansteenwegen et al., 2011). Early applications of the OP were presented by Tsiligirides (1984), where a travelling salesperson within limited time must serve those customers who maximize total sales. Golden et al. (1987) also modeled an inventory routing problem in an attempt to deliver heating fuel on daily basis to maximize profit. Golden et al., (1987) showed that OP is an NP-hard 2

22 problem. The Team Orienteering Problem (TOP) is an extension of the OP; in TOP a team of players attempts to maximize the points collected by the team in total. In contrast to classical routing problems, in which all customers must be served in order to minimize the distance traveled, routing problems aiming to maximize profit have received limited attention (Vansteenwegen et al., 2011). According to the survey for the OP of Vansteenwegen et al., (2011), only Boussier et al., (2007) and Archetti et al., (2009) have assumed capacitated vehicles in the OP; this feature is a key aspect of the current work. To address the posed TOPPDTWCC, we apply the exact Branch-and-Price (BP) method (Barnhart et al., 1998, Desaulniers et al., 1998). The BP method consists of the Column Generation (CG) algorithm embedded in a Branch and Bound (BB) tree (Desaulniers et al., 2005). In BP the problem is first relaxed in terms of the integrality constraints associated with the decision variables of the problem, and CG is applied to provide an optimal solution for this relaxed problem. Subsequently, principles of BB are applied to obtain the optimal solution for the initial integer problem. Desrosiers et al. (1995) mention that BP techniques are frequently observed in crew scheduling and routing problems, and are suitable for problems with large number of variables (Barnhart et al.,1998). We applied the above model and solution method in order to determine the appropriate size of a fleet to serve a certain client base at a desired service level. For the investigation of this case we consider as request base the benchmark instances provided by Li and Lim (2001) for the PDPTWCC, which were appropriately modified. The rest of the Thesis is structured and follows: Section 2 describes a set covering formulation for TOPPDTWCC and the BP solution framework. Section 3 presents several common techniques, a proposed refinement concerning the solution of the sub-problem of the BP framework, and a computational study to identify the best combination of techniques to 3

23 solve the TOPPDTWCC efficiently. Section 4 focuses on the fleet sizing application. Finally, Section 5 discusses the conclusions of the current work and proposes directions for future research. 4

24 Chapter 2. A Branch and Price formulation for the TOPPDTWCC 2.1 Description of the TOPPDTWCC In order to define the TOPPDTWCC, we suppose a directed graph G = (N, A) where N = {0, 2n + 1} P D is the node set. Let n be the number of requests, and nodes 0 and 2n + 1 be the starting and destination depot(s), respectively. Let also P = {1,, n} be the set of the pick-up nodes and D = {n + 1,..,2n} the set of the delivery nodes, considering that each request i is associated with node i of set P and node i + n of set D. Assume that set A contains all the arcs (i, j) connecting the nodes of set N. Furthermore, p! is the profit gained after serving node i, t!" is the time required to traverse arc (i, j), s! represents the time when the service of node i starts, e!, b! is the time interval within which each node must be served, q! is the load that the vehicle carries after serving node i, d! is the demand of each node and d! = d!!!, i P. Finally, let V be the number of the available vehicles, each of them with capacity equal to Q units. TOPPDTWCC consists of finding the set of vehicles routes M for which the total profit collected is maximized. The latter should be achieved considering that each vehicle route must start from node 0 to and end up to 2n + 1, each node i is served at most once, the service of which should start into the time interval [e!, b! ]. Furthermore, if i P is served by a vehicle m then the respective i + n D must be served by m and vice versa and the service of each node i P must precede the service of the related node i + n. Furthermore, M V and q! Q, for each i N. 2.2 Column Generation for the TOPPDTWCC Column generation (CG) is applied in various operational research problems; interested readers may refer to Wilhelm (2001). The CG method aims to partitioning a linear problem, 5