3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ"

Transcript

1 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή A y B : f( {y} ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε απεικόνιση f: A B ονομάζεται και ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ με πεδίο ορισμού D(f Α και πεδίο τιμών R(f B R(f { y B: A με f(y} ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: A : ανεξάρτητη μεταβλητή y B : εξαρτημένη μεταβλητή Αν Α, Β R τότε η f ονομάζεται πραγματική συνάρτηση 32 ΕΙΔΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 321 ΤΑΥΤΟΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f: A R με f( 322 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f: A R με f( α +α 1 +α α n n 323 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: f: A R ονομάζεται συμμετρική ως προς το α (ή την ευθεία ya αν ισχύουν: (i α- A α+ A και (ii f(α- f(α+ ΟΡΙΣΜΟΣ: f: A R ονομάζεται συμμετρική ως προς το σημείο α (ή την ευθεία yή ΑΡΤΙΑ αν: (i - A A και (ii f(- f( ΟΡΙΣΜΟΣ: f: A R ονομάζεται ΠΕΡΙΤΤΗ αν: (i - A A και (ii f(- -f(

2 324 ΑΜΦΙΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗ (1-1 ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη ή ένα προς ένα (1-1 αν και μόνο αν y R(f ένα και μόνο ένα A : f( y 325 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται: (α αύξουσα αν 1, 2 D(f: 1 < 2 f( 1 f( 2 (β γνησίως αύξουσα αν 1, 2 D(f: 1 < 2 f( 1 <f( 2 (γ φθίνουσα αν 1, 2 D(f: 1 < 2 f( 1 f( 2 (δ γνησίως φθίνουσα αν 1, 2 D(f: 1 < 2 f( 1 >f( 2 Όλες οι παραπάνω συναρτήσεις λέγονται μονότονες 326 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Αντίστροφη συνάρτηση μίας αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης f ορίζουμε τη συνάρτηση f --1 : R(f D(f για την οποία f --1 (y D(f και y R(f : f(y ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύνθεση δύο πραγματικών συναρτήσεων f και g με R(f D(g ορίζουμε τη συνάρτηση g f( g( f( με πεδίο ορισμού D(g f { D(f : f( D(g } ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν R(f D(g τότε D(g fd(f 328 ΦΡΑΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται άνω φραγμένη αν Μ R: f( M D(f ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται κάτω φραγμένη αν Μ R: f( M D(f ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται φραγμένη αν είναι και άνω και κάτω φραγμένη 4

3 329 ΚΥΡΤΕΣ & ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται κυρτή σε ένα διάστημα Δ D(f αν 1, 2 Δ, t (,1 f( (1-t 1 +t 2 (1-tf( 1 +t f( 2 ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται κοίλη σε ένα διάστημα Δ D(f αν 1, 2 Δ, t (,1 f( (1-t 1 +t 2 (1-tf( 1 +t f( ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 331 ΟΡΙΣΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΣ: Όριο της f( στην τιμή α Ο αριθμός L είναι το όριο μιας συνάρτησης f( όταν το προσεγγίζει το α αν και μόνο αν ε> δ>: f(-l <ε -α <δ [ L-ε<f(< L+ε α-δ<<α+δ] Με άλλα λόγια: Για οποιοδήποτε θετική ποσότητα ε μπορούμε να βρούμε μια περιοχή (διάστημα κοντά στο α για το οποίο το f( (L-ε, L+ε ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: f ( L 6 ΟΡΙΣΜΟΣ: Πλευρικά Όρια Ο αριθμός L είναι το όριο από δεξιά (αριστερά μιας συνάρτησης f( όταν το προσεγγίζει το α αν και μόνο αν ε> δ>: f(-l <ε α<<α+δ (α-δ<<α ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΛΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: + f ( f ( L (Αριστερό L (Δεξί

4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: f ( f ( L f ( L + ΟΡΙΣΜΟΣ: Όρια στο Άπειρο Ο αριθμός L είναι το όριο μιας συνάρτησης f( όταν το προσεγγίζει το + (- αν και μόνο αν ε> δ>: f(-l <ε >δ (<-δ ΟΡΙΣΜΟΣ: Ο αριθμός L είναι το όριο μιας συνάρτησης f( όταν το προσεγγίζει το α αν και μόνο αν Π(L Π(α: f( Π(L Π(α Π(L: Περιοχή γύρω από το L και Π(α: Περιοχή γύρω από το α ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Έστω λ 1, λ 2 R και f ( L1 g ( L, 2 1 ( λ 1 f ( + λ 2 g ( λ 1 f ( +λ 2 g ( a λ 1 L 1 +λ 2 L 2 2 ( f ( g ( ( f g ( f ( f ( 3 g ( a g ( L 1 /L 2 a 4 ( f ( n [ f ( ] n n L 1 a 5 f ( f ( L a 1 6 g f ( g ( f ( a αν L 1 D(g L 1 L 2 g(l 1 αν και μόνο 7 Αν f( g( τότε f ( g ( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι ιδιότητες 1&2 μπορούν να γενικευτούν για n συναρτήσεις: 8 8 n i f i ( i 1 λ i n i 1 n n 9 f i ( 1 i 1 n λ i f i ( i 1 n f i ( L i i 1 λ i L i

5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΠΟΥ ΤΕΙΝΟΥΝ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 1 ( f ( + g ( + όταν f ( + και g ( L R - όταν f ( και g ( L R + όταν f ( g ( + - όταν f ( g ( απροσδιόριστο όταν f ( + και g ( 2 ( f ( g ( + όταν f ( + και g ( L > + όταν f ( και g ( L < - όταν f ( και g ( L > - όταν f ( + και g ( L < απροσδιόριστο όταν f ( ± και f ( 1 g ( f ( a g ( 3 όπως στο γινόμενο ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν g ( + ή - τότε 1 a g ( ± ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: f ( g ( τότε a f ( g ( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: απροσδιόριστο Αν f( και g( είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις και f ( g ( τότε (-α είναι παράγοντας και των δύο συναρτήσεων οπότε f ( ( a f g ( ( f ( a g ( ( a g ( g (

6 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ 1 ( sin( ( cos( sin( a α R cos( a α R ( tg ( (a sin( k X 1 1 b b α b +, b>1 + tg α R\{ κπ+π/2, κ Ζ } 335 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Η ευθεία D: yα+β είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης f( αν ( f ( a β ή ( f ( a β + ΟΡΙΣΜΟΣ: Η ευθεία D: γ είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης f( αν f ( ± f ( ± + ή 6 b, b>1 + ± b b, <b<1 +, <b< e 7 ( ln( ln(α ( ln( +, ( ln( ln(

7 13 14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: f(3+1/(-2 34 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 341 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο α D(f αν και μόνο αν f ( f ( a a ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Μία συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα Α D(f αν και μόνο αν η f είναι συνεχής σε κάθε σημείο Α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: f(+2+1/ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια μόνο τότε έχουμε συνέχεια από δεξιά ή αριστερά 342 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1 Έστω λ 1,λ 2 R και f(, g( συνεχείς συναρτήσεις Τότε και οι συναρτήσεις: λ 1 f(+λ 2 g(, f(g( και f(/g( είναι συνεχείς 2 Όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι συνεχείς

8 15 16 ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( είναι συνεχής στο [α,β] τότε η συνάρτηση αυτή παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ f(α και f(β, δηλαδή Μ (min{f(α,f(β}, ma{ f(α,f(β } γ (α,β: f(γμ ή (min{ f(α,f(β}, ma{ f(α,f(β } R(f ΠΟΡΙΣΜΑ: Αν f( είναι συνεχής και μονότονη στο D(f[α,β] τότε R(f [min{ f(α,f(β }, ma{ f(α,f(β } ] ΠΟΡΙΣΜΑ: Αν f( είναι ορισμένη και συνεχής στο D(f[α,β] με f(αf(β< τότε γ (α,β: f(γ ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( είναι ορισμένη και συνεχής στο D(f[α,β] τότε είναι και φραγμένη 35 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Ι 351 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ p: τιμή ενός προϊόντος ή αγαθού (price q: ποσότητα ενός αγαθού (quantity d: ζήτηση ενός αγαθού (demand s: προσφορά ενός αγαθού (supply R: ολικά έσοδα μίας επιχείρησης C: ολικό κόστος μίας επιχείρησης (cost ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ dd(p: συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού ss(p: συνάρτηση προσφοράς ενός αγαθού RR(q : συνάρτηση ολικών εσόδων CC(q : συνάρτηση ολικού κόστους ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το πεδίο ορισμού συνήθως είναι [,+ Η συνάρτηση ζήτησης [d(p] είναι φθίνουσα Η συνάρτηση προσφοράς [s(p] είναι αύξουσα

9 ΣΗΜΕΙΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Τιμή ισορροπίας ενός αγαθού είναι η τιμή p D(d D(s για την οποία d(p s(p q Η ποσότητα q λέγεται ποσότητα ισορροπίας και το σημείο (p, q σημείο ισορροπίας ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το σημείο ισορροπίας ορίζεται στο σημείο που τέμνονται η συνάρτηση ζήτησης και η συνάρτηση προσφοράς 353 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση ολικών εσόδων ονομάζεται το συνολικό ποσό που αποκτάται από την πώληση q μονάδων ενός αγαθού και ορίζεται ως R(q ποσότητα τιμή p q Συνήθως η τιμή καθορίζεται από την ποσότητα είναι δηλαδή συνάρτηση της ποσότητας και έτσι έχουμε p p(q και R(q p(q q ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση μέσων εσόδων ορίζεται ως ΑR(q R(q/q [είναι το έσοδο που έχουμε από κάθε μονάδα του αγαθού που πουλήσαμε ] 354 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ Ή ΕΞΟΔΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση ολικού κόστους C(q ονομάζεται η συνολική δαπάνη που απαιτείται για την παραγωγή q μονάδων ενός αγαθού ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: C(q είναι αύξουσα

10 19 2 H ποσότητα C C( ονομάζεται σταθερό ή πάγιο κόστος ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση μέσου κόστους ΑC(q ονομάζεται η δαπάνη που αντιστοιχεί κατά μέσο όρο για την παραγωγή κάθε μονάδας ενός αγαθού και ορίζεται ως AC(qC(q/q 355 ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΟΡΙΣΜΟΣ: Νεκρό σημείο ονομάζουμε το σημείο ( q, C(q με q D(C D(R στο όποιο τα έσοδα και το κόστος είναι ίσα δηλαδή C(q R(q ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο νεκρό σημείο δεν έχουμε ούτε κέρδος ούτε ζημιά 36 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 361 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγωγος μίας συνάρτησης f( στο σημείο D(f ονομάζεται το όριο f ( f ( L R ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: '( f ή df ( d ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ: αν δ- τότε ΕΡΜΗΝΕΙΑ f ( f ( + δ f ( δ ' δ

11 δ : Μεταβολή της f όταν το f ( f ( αυξάνει κατά δ f + δ f ( δ ( αυξάνει κατά δ f ( + δ f ( δ δ : Μέση μεταβολή της f όταν το : Μέση μεταβολή της f όταν το αυξάνει απειροελάχιστα f '( ονομάζεται και οριακός ή στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγωγος συνάρτηση f '( μίας συνάρτησης f( ονομάζεται η συνάρτηση f '( f ( + δ f ( δ D(f δ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι: Η παράγωγος f '( μας δίνει την κλίση της εφαπτομένη στο σημείο (,f( 362 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ ΟΡΙΣΜΟΣ: Συνάρτηση Οριακών εσόδων MR(q ονομάζουμε την παράγωγο της συνάρτησης ολικών εσόδων R(q δηλαδή dr( q MR( q R'( q dq ΕΡΜΗΝΕΙΑ: οριακός ρυθμός μεταβολής των εσόδων ΟΡΙΣΜΟΣ: Συνάρτηση Οριακού κόστους ΜC(q ονομάζουμε την παράγωγο της συνάρτησης ολικού κόστους C(q δηλαδή dc( q MC( q C'( q dq ΕΡΜΗΝΕΙΑ: οριακός ρυθμός μεταβολής του κόστους ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (IΙ: Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι και συνεχής

12 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 f(c R f '( 2 f(α+β f '( α 3 f( k f '( k k-1 4 f(e f '( e 5 f(sin( f '( cos( 364 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 1 [λ 1 f(+λ 2 g(] λ 1 f (+λ 2 g ( 2 [f(g(] f (g(+ f (g ( f ( g( ' f '( g( f ( g'( [ g( ] g( 4 2 ' g'( [ g( ] 5 [g f(] g ( f( f ( 6 [f -1 (] 1/ f ( f -1 ( [Από (3 για f(1] 37 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν f ( είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε η παράγωγος της λέγεται παράγωγος δευτέρας τάξης 2 d f ( d ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: f ( ή f (2 ( ή 2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Με όμοιο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε και της παραγώγους 3 ης, 4 ης,, n τάξης ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: f (n ( ή ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: n d f ( 1 [λ 1 f(+λ 2 g(] (n λ 1 f (n (+λ 2 g (n ( 2 [f(g(] (n n k n f k ( k n ( g d ( n k n! όπου k k!( n k! n (

13 38 ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΟΡΙΩΝ ΚΑΙ Ο ΚΑΝΟΝΑΣ L HOPITAL ΚΑΝΟΝΑΣ L HOPITAL: Έστω f( και g( συνεχείς στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμες στο (α,β και [α,β]: αν f ( g( ή f '( f ( g( ± και υπάρχει το όριο g'( f ( f '( ( τότε g g'( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι: Ο κανόνας ισχύει και για f ( f '( ( ± δηλαδή ± g ± g'( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ: Αν έχουμε απροσδιόριστη μορφή του { f ( + g( }, δηλαδή f ( + και g ( - τότε μετασχηματίζουμε το παραπάνω όριο σε μορφή / θέτοντας F(1/f( και G(1/g( έτσι ώστε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L Hopital Δηλαδή { f ( + g( } F( + G( F( G( 25 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙΙ: Αν έχουμε απροσδιόριστη μορφή του { f ( g( }, δηλαδή f ( και g ( ± τότε μετασχηματίζουμε το παραπάνω όριο σε μορφή / θέτοντας F(1/f( έτσι ώστε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L Hopital g( f + F( Δηλαδή { ( g( } ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙV: Αν έχουμε απροσδιόριστη μορφή του g ( β με g ( f, δηλαδή ( ( (i αβ (ii α1 και β± (iii α και β± (iv α± και β τότε μετασχηματίζουμε το παραπάνω όριο σε g ( f ( e { g ( ln f ( } f 26 α και έτσι ώστε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L Hopital

14 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Διαφορικό μιας συνάρτησης f( και για απόκλιση από το ίση με d ορίζεται η συνάρτηση df( f (d ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Το διαφορικό εκφράζει μια προσέγγιση της μεταβολής της f όταν το αυξηθεί κατά d (δηλαδή γίνει +d Η προσέγγιση βασίζεται στην εφαπτομένη στο σημείο (, f( Όσο πιο μικρό είναι το d τόσο πιο καλή είναι η προσέγγιση Στην πράξη αν ζητηθεί το διαφορικό της f( υπολογίζουμε την παράγωγο της ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: df(f (d f ( df(/d ΟΡΙΣΜΟΣ: Η εξίσωση της εφαπτομένης της f( στο σημείο (, f( δίδεται ως εξής: L(: yf( +f ( (- ΟΡΙΣΜΟΣ: Διαφορικό n τάξης μιας συνάρτησης f( και για απόκλιση από το ίση με d ορίζεται η συνάρτηση d n f( f (n (d n 31 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙΙ 311 ΟΡΙΑΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Οριακή συνάρτηση ενός οικονομικού μεγέθους ή συνάρτησης (ζήτησης, προσφοράς, εσόδων, κέρδους κλπ ονομάζεται η πρώτη τους παράγωγος ΕΡΜΗΝΕΙΑ:Τα οριακά μεγέθη χρησιμοποιούνται ως προσέγγιση της μεταβολής της f( όταν το μεταβάλλεται κατά μία μονάδα 312 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Τα οριακά μεγέθη επηρεάζονται από τις μονάδες μέτρησης τους Για αυτό ορίζουμε εναλλακτικά την ελαστικότητα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ελαστικότητα μιας συνάρτησης yf( ονομάζεται η συνάρτηση: df ( E ( f '( f ( d f ( dy y d

15 ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Είναι ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής της yf( [dy/y] προς την ποσοστιαία μεταβολής της [d/] ΕΡΜΗΝΕΙΑ (II: Εάν η αυξηθεί κατά 1% τότε η yf( αυξάνει κατά Ε( dy y df ( f ( ΕΡΜΗΝΕΙΑ (III: Ε( d / d / [Συν οριακού μεγέθους]/[συν μέσου μεγέθους] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η Ε( είναι ελεύθερη μονάδων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ: Η Ε(dln(y/dln( 29 [Θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού] 312 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β Αν f( είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο διάστημα (α,β τότε f ( ή f ( για κάθε [α,β] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για τις γνησίως αύξουσες ή φθίνουσες στο διάστημα (α,β τότε f (> ή f (< για κάθε [α,β] ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ του Rolle: Αν f( είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β και f(αf(β τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (α,β τέτοιο ώστε f ( ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β τότε υπάρχει (α,β τέτοιο ώστε f ( f ( β f ( a β α 313 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f( παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο για D(f αν μπορούμε να ορίσουμε μια περιοχή Π( γύρω από το τέτοια ώστε: f( f( ή f( f( για κάθε Π( Συνήθως Π( ( -ε, (, +ε για ε>

16 ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f( παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή μέγιστο για D(f αν: f( f( ή f( f( για κάθε D(f ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat: Έστω f( παραγωγίσιμη στο D(f και η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο για τότε f ( ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( παραγωγίσιμη στο (α, (,β: (α αν f (< για < και f (> για > τότε η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για (β αν f (> για < και f (< για > τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( δύο φορές παραγωγίσιμη f ( και f ( τότε (α αν f ( < τότε τοπικό μέγιστο στο (β αν f ( > τότε τοπικό ελάχιστο στο ΚΥΡΤΕΣ & ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β τότε f( είναι κυρτή (ή κοίλη στο [α,β] αν f ( ( ή f ( για κάθε [α,β] ΟΡΙΣΜΟΣ: Το σημείο (,f( λέγεται σημείο καμπής μιας συνεχούς στο [α,β] συνάρτησης f( αν υπάρχει ε> τέτοιο ώστε η f( είναι κυρτή στο ( -ε, και κοίλη (, -ε ή αντίστροφα [δηλαδή είναι το σημείο που αλλάζει η κυρτότητα] ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα σημείο D(f το οποίο είναι θέση σημείου καμπής τότε f ( ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( τρεις φορές παραγωγίσιμη στο σημείο D(f Το είναι θέση σημείου καμπής αν f ( και f ( 32

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ. Ο διδάσκων. Θ. Παπαδόγγονας

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ. Ο διδάσκων. Θ. Παπαδόγγονας ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ Ανακοινώνεται στους σπουδαστές του 1ου εξαμήνου του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων ότι η ύλη της τελικής εξέτασης του μαθήματος «Μικροοικονομική» αφορά τις εξής ενότητες: Οικονομική Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. 1 ο εξάμηνο

Μικροοικονομία. 1 ο εξάμηνο Μικροοικονομία 1 ο εξάμηνο ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΣΤΟΥΣ Συνολικό Κόστος (TC): Το χρηματικό ποσό που απαιτείται για την απόκτηση όλων των εισροών. Συνολικό Σταθερό Κόστος (TFC ή πάγια έξοδα): Το χρηματικό ποσό που δαπανά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚA ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚA ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚA ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΛΑΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Οικονομικές Έννοιες Επαναληπτική άσκηση στο Κεφάλαιο 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Σημειώσεις

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Σημειώσεις ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σημειώσεις Δρ. Ελευθέριος Γούλας Πάτρα, 2010 ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν (Α.Ε.Π.) Είναι η αξία όλων των τελικών αγαθών και υπηρεσιών που παράγονται σε μία οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΜΒΟΛΟ ΜΟΝΑΔΕΣ S.. Φορτίο, q oulomb, Ηλεκτρικό ρεύμα, i Ampére, A Ηλεκτρικό δυναμικό olt, Ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κόστος- Έξοδα - Δαπάνες

Κόστος- Έξοδα - Δαπάνες Κόστος- Έξοδα - Δαπάνες του συνεργάτη μας λογιστή Α Τάξεως Γεωργίου Τσιμπίκου Κόστος. ΚΟΣΤΟΣ είναι ένα αριθμητικό μέγεθος που αντιπροσωπεύει τα ποσά που επενδύθηκαν για την απόκτηση υλικών ή άϋλων αγαθών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Μια «πολύπλοη» συνάρτηση f, δυό μεταβλητών, μπορεί να προσεγγιστεί (στην γειτονιά ενός σημείου (,y)) από μια πολυωνιμιή συνάρτηση με την βοήθεια του αναπτύγματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α

ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις προτάσεις από Α1 µέχρι και A5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα σε κάθε αριθµό τη λέξη Σωστό,

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα