ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ"

Transcript

1 ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων Το σηµαντικότερο σηµείο της θεωρίας που εξετάζουµε είναι το εξής: Αν f() είναι συνάρτηση συνεχής στο [,], τότε υπάρχει παραγωγίσιµη συνάρτηση g() µε την ιδιότητα g () = f() για κάθε, οπότε το g() g() ισούται µε τη διαφορά: το εµβαδόν του χωρίου {(, y) : [,], 0 y f ()} µείον το εµβαδόν του χωρίου {(, y) : [,], f () y 0} ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ας δούµε πρώτα πως ορίζουµε το εµβαδόν του χωρίου X που περιορίζεται από το γράφηµα µιας συνεχούς θετικής συνάρτησης f() ορισµένη στο διάστηµα [,], και τις ευθείες =, =, y = 0, δηλ X = {(,y) : [,], 0 y f()} Χωρίζουµε το διάστηµα [,]σε n ίσα διαστήµατα µήκους εξής: = το καθένα, ως n [,] = [,+ ] [+,+ ] [ + (n ),+ n ] Εύκολα µπορούµε να δούµε ότι το άθροισµα E n n = f( ) k= k

2 είναι µια προσέγγιση του εµβαδού του X, όπου k τυχόν σηµείο του k διαστήµατος, δηλ k [ + (k ),+ k ], για k =,,,n Παρατηρούµε ότι όσο το n µεγαλώνει, τόσο το του χωρίου Αποδεικνύεται ότι το lim E n + αυτός είναι το εµβαδόν του χωρίου X n E n προσεγγίζει καλύτερα το εµβαδόν υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός Ο αριθµός Αν η f()είναι τυχούσα συνεχής συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα [,] (όχι κατ ανάγκη θετική), τότε, όταν το n τείνει στο +, το E τείνει στην τιµή E = E E, n + όπου E + το εµβαδόν του χωρίου και E το εµβαδόν του χωρίου X = {(,y) : + [,], 0 y f()} X = {(,y) : [,], f() y 0} Την τιµή E την ονοµάζουµε ορισµένο ολοκλήρωµα της f()στο διάστηµα [,] και την συµβολίζουµε f()d Στα επόµενα παραδείγµατα τα ολοκληρώµατα εξετάζονται βάσει του ορισµού, από τον γεωµετρικό υπολογισµό των εµβαδών των χωρίων X +, X Παραδείγµατα Το d 0 ισούται µε το εµβαδόν του χωρίου {(,y): 0, 0 y } (την ακριβή τιµή του δεν µπορούµε προς το παρόν να υπολογίσουµε), αν 0 Αν f () = τότε f ()d= +, αν 0<

3 Για την σταθερή συνάρτηση f() = έχουµε f()d = 4 Αν f() = και < 0 < τότε f()d = E+ E = f ()d = 0 6 0d = 0 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Οι επόµενες ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος αποδεικνύονται σχετικά εύκολα µε τον ορισµό Πρόταση Αν f(), g() συνεχείς συναρτήσεις στο [,], τότε [f () + g()]d = f ()d + g()d, kf ()d = k f ()d, όπου k σταθερά, c c f()d = f()d+ f()d, όπου c, 4 m(-) f()d Μ(-), όταν m f() M, [, ] Χάριν ενοποίησης του συµβολισµού µπορούµε να ορίσουµε και την ακόλουθη ιδιότητα:

4 4 Ορισµός f()d = - f()d Παραδείγµατα 9 [ sin( + ) 7e ]d = d sin( + )d 7 e d Αν 0 αν [0,] f() =, τότε αν [,] f ()d = f ()d + f ()d = 0 + ( )d = d d = / (τα δύο 0 0 τελευταία ολοκληρώµατα υπολογίστηκαν γεωµετρικά) 0 e d e, διότι = e e e = e για κάθε [, ] 4 0 e d + e d = 0 0 Αν f() συνεχής στο [,], τότε t r t f()d = f()d + f()d, για κάθε s s r s, t,r [,] Απόδειξη Όταν s r t, είναι άµεσο Όταν r s t, τότε t t s t r f ()d = f ()d f ()d = f ()d + f ()d Όµοια οι άλλες περιπτώσεις s r r r s ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η επόµενη έννοια είναι πολύ χρήσιµη στον υπολογισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος

5 Ορισµός Αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f() ορισµένη σε ένα διάστηµα λέµε τις συναρτήσεις που η παράγωγός τους ισούται µε f() Αν g() είναι µία τέτοια συνάρτηση, δηλ g () = f(), τότε κάθε άλλη θα έχει τη µορφή g() + c όπου c κάποια σταθερά (δες επόµενη Σηµείωση) Τότε λέµε ότι το αόριστο ολοκλήρωµα της f()είναι g() + c, και το συµβολίζουµε f()d = g() + c Σηµείωση Αν (), g() διαφορίσιµες σε ένα διάστηµα, και () = g () = f() για κάθε, τότε υπάρχει σταθερά c έτσι ώστε () = g() + c ιότι από το Θεώρηµα µέσης τιµής, αν µία συνάρτηση όπως η () g() έχει σταθερά µηδενική παράγωγο σε ένα διάστηµα τότε είναι σταθερή Παραδείγµατα sin()d = cos() + c Απόδειξη ( cos()) = sin() d= + c Απόδειξη ( ) = = Μπορούµε τώρα να διατυπώσουµε το επόµενο σηµαντικό θεώρηµα που δικαιολογεί γιατί λέµε η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης Θεώρηµα Έστω f:[,] R συνεχής συνάρτηση Τότε η συνάρτηση F() = f(t)dt είναι παραγωγίσιµη και ισχύει F () = f(), για [, ], δηλ f ()d = f(t)dt + c Απόδειξη Υποθέτουµε ότι 0 (, ) Αν 0 = ή 0 =, η απόδειξη µπορεί να συµπληρωθεί εύκολα από τον αναγνώστη

6 6 Εξ ορισµού έχουµε F( + ) F( ) = lim 0 F( ) Υποθέτουµε κατ αρχάς ότι > 0 Τότε F( 0 + ) - F( 0 ) = Ορίζουµε τα m, M ως εξής: m =min{f(): 0 0 +}, M = m{ f(): 0 0 +} Από ιδιότητα των ορισµένων ολοκληρωµάτων, έχουµε ότι m n 0 + f()d M f()d 0 Εποµένως F( + ) F( ) 0 0 m M Εάν < 0, λίγα πράγµατα πρέπει να αλλάξουµε: Θέτουµε m = min{f(): } M = m{ f(): } Τότε m (-) f()d M (-) Επειδή F( 0 + ) - F( 0 ) = παίρνουµε 0+ 0 f()d f()d = - 0 f()d, 0 + m F( 0 +)- F( 0 ) M Επειδή < 0, διαιρώντας µε αντιστρέφεται η ανισότητα και έχουµε F( + ) F( ) 0 0 m M Όµως η f() είναι συνεχής στο 0, άρα ισχύει Αυτό αποδεικνύει ότι lim m = lim M = f ( ) 0 0 0

7 7 F( + ) F( ) = lim = f( 0 ) 0 F( ) Πόρισµα Αν f() είναι συνεχής σε ένα διάστηµα τότε υπάρχει το αόριστο ολοκλήρωµά του Έχουµε τώρα το εξής σηµαντικό θεώρηµα που δικαιολογεί τη σηµασία του αόριστου ολοκληρώµατος για τον υπολογισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος Θεώρηµα (Θεµελιώδες Θεώρηµα του Ολοκληρωτικού Λογισµού) Αν f()είναι συνεχής στο [,]και f()d= g() + c τότε f()d = g() g() Απόδειξη Έχουµε g () = f(), και F() = f() από το προηγούµενο θεώρηµα, όπου F() = f(t)dt Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g() = F() + c Οπότε f ()d = F() = F() F() = g() g() Παραδείγµατα cos()d = sin() sin(), διότι cos()d = sin() + c 0 ed= e e = e 0, διότι ed= e + c Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f() = Λύση Θέτουµε () = και g() = Τότε έχουµε ηµt dt, > 0 t ηµt dt t

8 8 f() = g( ) = g(()) Άρα, από τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης έχουµε f () = g (()) () f () = g ( ) () Από προηγούµενo Θεώρηµα έχουµε g () = ηµ Επιπλέον () = Άρα f () = ηµ = ηµ Σηµείωση Το αόριστο ολοκλήρωµα µεθόδους ηµt dt δεν υπολογίζεται µε στοιχειώδεις t ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΠΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για τον υπολογισµό των αορίστων ολοκληρωµάτων µπορούµε να θεωρούµε ως γνωστά τα παρακάτω στοιχειώδη αόριστα ολοκληρώµατα Πρόταση Ισχύουν τα εξής: = > λ+ λ+ λ d + c (λ - µε 0 ή λ ) d = ln + c, ( < 0 ή > 0) e d = e + c 4 sind = cos + c cos d = sin + c 6 d = sin + c, ( < < ) 7 d = tn + c + Απόδειξη Τα πρώτα πέντε ολοκληρώµατα επαληθεύονται εύκολα: λ+ λ ( λ+ ) λ = =, ln = =, e = e, ( ) ( ) ( ) λ+ λ+ cos = sin, sin = cos ( ) ( )

9 9 Όµοια επαληθεύονται και τα 6), 7): Για το 6): Η συνάρτηση f() = sin ορισµένη στο [-π/, π/] είναι ένα προς ένα και επί το σύνολο [-, ] Η y = sin - είναι η αντίστροφή της Έχουµε λοιπόν siny =, - και παραγωγίζοντας: ( cos y )(sin ) =, δηλ cos y = sin y =, οπότε cos y (sin ) = Επίσης έχουµε cos y - =± Αλλά y ( /, /) π π όταν < <, άρα cos y > 0 Εποµένως cos y = και - (sin ) = Για το 7): Η συνάρτηση f() = tn ορισµένη στο (-π/, π/) είναι ένα προς ένα και επί το σύνολο Η y = tn - είναι η αντίστροφή της Έχουµε λοιπόν tny =, και παραγωγίζοντας: cos y - (tn ) =, δηλ - (tn ) = cos y Επίσης έχουµε cos y = cos y sin y tn y = cos y =, οπότε cos y = Άρα + - (tn ) = + Τα δύο τελευταία ολοκληρώµατα θα τα υπολογίσουµε αργότερα χωρίς να τα υποθέτουµε ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Οι πιο συνηθισµένοι τρόποι υπολογισµού αορίστων ολοκληρωµάτων είναι µε την µέθοδο της αντικατάστασης, την κατά παράγοντες ολοκλήρωση, και την ολοκλήρωση µε ανάλυση σε απλά κλάσµατα Καταρχάς, να διευκρινίσουµε ότι µε f(y)dy θα εννοούµε ότι η µεταβλητή της συνάρτησης f είναι το y (και όχι το), και ότι ολοκληρώνουµε ως προς αυτήν την µεταβλητή Παραδείγµατα

10 0 y ydy= + c, διότι dy= + c z e dz z e = + c, διότι z e = d dz e z Πρώτα απ όλα πρέπει να επιδιώκουµε τον υπολογισµό του αορίστου ολοκληρώµατος βάσει του ορισµού και των απλών ιδιοτήτων του όπως αυτές διατυπώνονται στην ακόλουθη εύκολη Πρόταση Πρόταση Αν f(), g() συνεχείς συναρτήσεις στο [,], τότε [f () + g()]d = f ()d + g()d, kf ()d = k f ()d, όπου k σταθερά Παραδείγµατα [ ce ]d d c e d ce συν + = συν + = ηµ + + c 0 y y y + dy = dy + dy = ydy + dy = + ln y + c y y y Πρόταση (Μέθοδος αντικατάστασης) Έστω f(), g() συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σε κάποια διαστήµατα, έτσι ώστε να υπάρχει η σύνθετη συνεχής συνάρτηση f(g()) Υποθέτουµε την g() παραγωγίσιµη µε συνεχή παράγωγο g() Τότε f (g())g ()d = f (y)dy, όπου y = g() Απόδειξη Αν θέσουµε f (y)dy = F(y) + c, τότε df(y) = F (y)y = f(y)y = f(g())g () d Άρα f()g ()d = F(y) + c= f(y)dy

11 Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, αντικαθιστούµε τη µεταβλητή της συνάρτησης που ζητάµε το ολοκλήρωµα, µε µία νέα µεταβλητή Με αυτό τον τρόπο, το ολοκλήρωµα µπορεί να αναχθεί σε κάποιο απλούστερο ολοκλήρωµα Σηµείωση Υπάρχει ο εξής µνηµονικός κανόνας: α) Αν θέσουµε τον µετασχηµατισµό = (y) (µε την (y) να έχει συνεχή παράγωγο) τότε µπορούµε να αντικαθιστούµε βάσει της εξίσωσης d = (y)dy β) Αν θέσουµε τον µετασχηµατισµό y = g(), (µε την g() να έχει συνεχή παράγωγο και µε g() 0), τότε µπορούµε να αντικαθιστούµε βάσει της εξίσωσης dy = g ()d (διότι αν η συνάρτηση y = g() έχει αντίστροφη την = (y), τότε (y) =, και έχουµε την αντικατάσταση g() d = (y)dy = dy ) g() γ) Γενικότερα, αν αντικαταστήσουµε την µεταβλητή µε την y, ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση g() = (y), (µε τις g(), (y)να έχουν συνεχείς παραγώγους και µε g() 0), τότε µπορούµε να αντικαθιστούµε βάσει της εξίσωσης g ()d = (y)dy (η εξήγηση είναι όπως στο β) ) Παραδείγµατα f(e ) e d = f(y)dy, όπου Απόδειξη ιότι (e ) e y = e, και f: R R συνεχής συνάρτηση =, και εφαρµόζουµε την αντικατάσταση e = y sin sin y y e cos d = e sin d = e dy = e + c, µε y sin ( ) = Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα () e + e d () e ηµ(e )d () Λύση () Θέτουµε +e - = y dy = -e - d Άρα (ηµ-συν) d (4) ηµ d + συν

12 e + e d = - () Θέτουµε e = y dy = e d Άρα e ηµ(e )d dy = -ln y + c = -ln(+e - )+ c y = ηµydy = -συνy + c = -συν(e - ) + c () (ηµ-συν) d = (ηµ +συν ηµ συν)d = (-ηµ συν)d = d- ηµ συνd = d- ηµ (ηµ) d = - ydy (όπου y = ηµ) = y + c = ηµ + c (4) Θέτουµε y = + συν dy = -ηµd Άρα ηµ dy d = - + συν = -ln y +c = -ln +συν + c= -ln(+συν)+ c y 4 d = sin () + c Απόδειξη Αν θέσουµε = siny, δηλ < <, -π/ < y < π/, cosy > 0 Οπότε =, τότε d = cos ydy και έχουµε y sin () = = = + = + sin y cos y d cos ydy cos ydy y c sin () c d = tn () + c + Απόδειξη Θέτουµε tny + + tn y cos y d = tn y dy = dy, και άρα cos y = Οπότε ( ) d = dy dy y c tn () c = = + = + Πόρισµα Έστω f(), g()συνεχείς συναρτήσεις έτσι ώστε να υπάρχει η σύνθετη συνεχής συνάρτηση f(g()) ορισµένη σε διάστηµα [,] Υποθέτουµε την g() παραγωγίσιµη µε συνεχή παράγωγο g() Τότε

13 g() f (g()) g ()d = f (y)dy g() Απόδειξη Έχουµε f(g()) g ()d = f(y)dy, όπου y = g() Αν f (y)dy = F(y) + c, τότε f (g()) g ()d = F(g()) + c Οπότε f(g()) g ()d = F(g()) F(g()) = f(y)dy g() g() Παραδείγµατα Να υπολογιστεί το d dt t sin(t) ed Λύση Έχουµε ed= e + c Άρα sin(t) = sin(t) sin(t) t ed= e = e e = t t Εποµένως d dt sin(t) = sin(t) t t ed cos(t)e e Αν P() = [s + cos(s)]ds, να υπολογιστεί το P() Λύση Έχουµε [s cos(s)]ds s / + = + sin(s) + c Άρα [s + cos(s)]ds = ( s + ) = = ( + ) ( + ) = ( + ) s / sin(s) 4 / sin() / sin() / sin() sin() s= = Εποµένως P () ( / sin() sin() ) ( cos() cos() ) e e ( ) 0 sin(e )e d = sin(e ) e d = sin(y)dy = cos y = cos e + cos e e Πρόταση (Μέθοδος κατά παράγοντες ολοκλήρωση)

14 4 Έστω f()s, g() παραγωγίσιµες συναρτήσεις, ορισµένες σε κάποιο διάστηµα, µε συνεχείς παραγώγους Τότε f() g ()d = f() g() f () g()d Απόδειξη Έχουµε ( ) f()g() = f ()g() + f()g () Οπότε ( ) f ()g() + f()g () d = f()g() + c Παραδείγµατα Υπολογισµός του Λύση e d e d = (e ) d = e () e d = e e d = e e + c Υπολογισµός του ed Λύση Θα εφαρµόσουµε δύο φορές την ολοκλήρωση κατά παράγοντες Με την πρώτη έχουµε e d = (e ) d = e ( ) e d = e e d Οπότε, χρησιµοποιώντας το προηγούµενο Παράδειγµα, παίρνουµε e d = e (e e + c) Το αποτέλεσµα αυτό το γράφουµε απλά e e + e + c, γιατί το c είναι τυχαία σταθερά Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα - () lnd () e d () Λύση () lnd = = () = () ( ) lnd = ln (ln) d e συνd (4) + d = ln d = ln d = ln + c - - e d = (e ) d = = = + 9 [e () e d] (e e d) e e c e συνd = ( e ) d [e e ( ) d] συν = συν συν = [e συν + e ηµ d] = e συν + e ηµ d = 4 = ( )

15 = e συν + e ηµ e ( ηµ ) d = = e συν + e ηµ e συνd 4 4 Άρα e συνd e e c 4 = συν + ηµ + 4 / = ( + ) (4) + d ( ) d = = [( ) / ( ) / + + d] = / / = [( + ) ( + ) d] = / / = (+ ) (+ ) + c Με την επόµενη µέθοδο υπολογίζουµε αόριστα ολοκληρώµατα ρητών παραστάσεων, αναλύοντας την ρητή παράσταση σε απλά κλάσµατα Υπενθυµίζουµε ότι αν έχουµε δύο πολυώνυµα p(),q() c τότε κάνοντας διαίρεση το ρητό κλάσµα πολυώνυµα, µε το p() q() µπορεί να γραφεί ως υ () να έχει βαθµό µικρότερο του q() υ() π () +, όπου π (), υ () q() Πρόταση (Ανάλυση σε απλά κλάσµατα) Θεωρώντας ότι αναφερόµαστε πάντα σε πραγµατικούς αριθµούς, έχουµε τα εξής: α) Αν τα πολυώνυµα p(),q (),q () έχουν βαθµό λ, µ, µ αντίστοιχα, µε λ<µ +µ και επιπλέον τα q(),q() δεν έχουν κοινό παράγοντα (ισοδύναµα, δεν έχουν κοινή ρίζα), τότε υπάρχουν πολυώνυµα p(),p() µε βαθµό ν, ν αντίστοιχα, µε ν <µ και ν <µ, έτσι ώστε p() p() p() q()q() q() q() = + β) Αν το πολυώνυµο p() είναι βαθµού µικρότερου από n και 0, τότε υπάρχουν A,B έτσι ώστε i i

16 6 p() A+ B A+ B A + B = n n n n ( + + c) + + c ( + + c) ( + + c) γ) Αν το πολυώνυµο p() είναι βαθµού µικρότερου από n και 0, τότε υπάρχουν A i έτσι ώστε p() A A A = ( + ) n n n ( + ) ( + ) Η απόδειξη παραλείπεται Παραδείγµατα Να αναχθεί η ρητή παράσταση ( + )( + ) σε απλούστερα κλάσµατα Λύση Σύµφωνα µε την προηγούµενη Πρόταση: Παρατηρούµε ότι τα πολυώνυµα, ( ) + + δεν έχουν κοινό παράγοντα, οπότε, λόγω του α) υπάρχουν πολυώνυµα p(),p() βαθµού µικρότερου του, ώστε = p () + p () ( + )( + ) + ( + ) Από το β) έχουµε ότι p() = A+ B p() C D Από το γ) έχουµε ότι = + ( + ) + ( + ) Υπάρχουν λοιπόν σταθερές Α, Β,C,D έτσι ώστε A+ B C D = + + ( + )( + ) + + ( + ) Για τον υπολογισµό των σταθερών: Για κάθε έχουµε ( A B)( ) C( )( ) D( ) ισοδύναµα = , ( ) ( ) A C (A B C D) (A B C) B C D =

17 7 Στη συνέχεια εξισώνουµε τους οµοβάθµιους όρους βρίσκουµε ένα σύστηµα εξισώσεων A+ C = A + B + C + D = 0 A+ B+ C = 0 B+ C+ D = 0 Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε: Α = 0, Β = -/, C =, D = -/ / / Εποµένως = + + ( + )( + ) + + ( + ) Να αναχθεί η ρητή παράσταση ( + ) ( + ) σε απλούστερα κλάσµατα Λύση Σύµφωνα µε την προηγούµενη Πρόταση: Παρατηρούµε ότι τα πολυώνυµα ( ),( ) + + δεν έχουν κοινό παράγοντα, οπότε, λόγω του α) υπάρχουν πολυώνυµα p(),p() βαθµού µικρότερου του 4 και, αντίστοιχα, ώστε ( ) ( ) ( ) ( + ) p() = + p() p() A+ B A+ B Από το β) έχουµε ότι = + ( ) ( ) p() C C Από το γ) έχουµε ότι ( + = ) + + ( + + ) ( + ) C Υπάρχουν λοιπόν σταθερές A,B,C i i j έτσι ώστε A+ B A+ B C C = ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) C Για τον υπολογισµό των σταθερών: Για κάθε έχουµε ( )( )( ) ( )( ) = A + B A + B + +

18 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + C C C + Στη συνέχεια εξισώνουµε τους οµοβάθµιους όρους και βρίσκουµε ένα σύστηµα εξισώσεων µε το οποίο υπολογίζουµε τις σταθερές όπως προηγουµένως Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα 6 () d () d ( )( + ) + Λύση 6 A B () Έχουµε ότι = + ( )( + ) + υπολογίσουµε ως εξής: Απλοποιώντας τους παρονοµαστές έχουµε 6 - = A( + ) + B( - ) 6 - = A B + (A + B) A - B - 6, A + B = - Άρα 7 A =, B = Εποµένως όπου Α, Β σταθερές τις οποίες θα 6-7 d = d + d = ( )( + ) + 7 ln + = ln + c () d = d + - d + + (i) Υπολογισµός του d + Έχουµε ότι - + = (-) +, άρα d d = + ( ) + Θέτουµε y = - Άρα dy = d

19 9 d Εποµένως ( ) + = y + dy = tn - y + c = tn - (-) + c (ii) Υπολογισµός του d + Θέτουµε y = dy - + = - dy = ( - )d d - + Άρα d = + d + = - = d + + d = dy y = d = ln y + d + = = ln( - + ) + d = ln( - + ) + [tn - (-) + c] + 4 Υπάρχουν Α, Β, Γ,, Ε έτσι ώστε A B = p() Γ +Ε ( ) ( + )( + + ) ( ) όπου p() πολυώνυµο (πηλίκο της διαίρεσης του ( ) ( )( ) ) + µε το ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Είδαµε ότι το ορισµένο ολοκλήρωµα αφορά συνεχείς συναρτήσεις που είναι ορισµένες σε κλειστά διαστήµατα Τώρα µπορούµε να επεκτείνουµε το ολοκλήρωµα και για συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σε διαστήµατα της µορφής [,), [, + ), (,], (,] όπου, πραγµατικοί Σ αυτή την περίπτωση ορίζουµε f()d = lim f()d

20 0 + + f()d = lim f()d + f()d = lim f()d + f()d = lim f()d αντίστοιχα, εφόσον υπάρχει το όριο Τα ολοκληρώµατα αυτά επονοµάζονται γενικευµένα Κάποια από αυτά ανάγονται στα ορισµένα ολοκληρώµατα, σύµφωνα µε την επόµενη Πρόταση Πρόταση Αν η f() είναι συνεχής στο διάστηµα [,], τότε Απόδειξη f()d = f()d = f()d + f()d = f()d+ f()d = = lim f ()d f ()d lim f ()d lim f ()d f ()d lim f ()d + = + = + Αλλά, επειδή η f() είναι συνεχής, υπάρχει Μ ώστε M f() M για κάθε Άρα M( ) f()d M( ), οπότε lim f ()d = 0 Εποµένως f()d = f()d Όµοια, + f()d = f()d Παραδείγµατα Nα υπολογιστεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα + d e + e 0 Λύση Υπολογισµός του d e + e : d e + e e d = e +

21 Θέτουµε e = y Άρα dy = e d dy = e d e d dy = e + = tn - (y) + c = tn - (e ) + c y + Άρα + d = 0 e + e + lim tn (e ) tn - 0 (e ) = π π 4 = π 4 Υπολογισµός του d 0+ Λύση Έχουµε d = + c Άρα d = lim d = lim = + t t 0+ t t ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Α Το ορισµένο ολοκλήρωµα, σύµφωνα µε τον ορισµό, δίνει το εµβαδόν κάποιων επίπεδων χωρίων Λίγο πιο γενικά έχουµε το ακόλουθο Πρόταση Αν f(), g() είναι συνεχείς συναρτήσεις µε f() g() για κάθε [,], τότε το χωρίο {(,y) :,f() y g()} που περικλείεται από τις ευθείες =, = και τα γραφήµατα των συναρτήσεων f(), g(), έχει εµβαδόν [g() f()]d Απόδειξη Αν κάνουµε µία παράλληλη µεταφορά του χωρίου {(,y) :,f() y g()} κατά το διάνυσµα v = (0,M) θα έχουµε το χωρίο {(,y):,f() + M y g() + M}

22 µε εµβαδόν όσο και το πρώτο Λόγω της συνέχειας της f() µπορούµε να επιλέξουµε το Μ τέτοιο ώστε M < f(), δηλ 0 < f () + M, για κάθε Παρατηρούµε ότι το χωρίο {(,y) :,f() + M y g() + M} ισούται µε το {(, y) :,0 y g() + M} µείον το {(, y) :,0 y < f () + M} και ότι το εµβαδόν του {(, y) :,0 y < f () + M} ισούται µε το εµβαδόν του {(, y) :,0 y f () + M} Οπότε το εµβαδόν που θέλουµε να υπολογίσουµε ισούται µε το εµβαδόν του {(, y) :,0 y g() + M} µείον το εµβαδόν του {(, y) :,0 y f () + M}, δηλ µε [ g() + M] d [ f() + M] d που είναι ίσο µε [g() f()]d Παράδειγµα Βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που φράσσεται από τα γραφήµατα των συναρτήσεων f() = - και g() = Λύση Μελετώντας τις συναρτήσεις f και g µπορούµε να σχεδιάσουµε τα γραφήµατα τους Για παράδειγµα, επιλύνοντας την εξίσωση f() = g() - = έχουµε - - = 0 ή ( --) = 0 + Άρα οι ρίζες είναι = 0,, Έτσι, βρήκαµε που τέµνονται τα γραφήµατα των f, g Στη συνέχεια επαληθεύουµε εύκολα ότι f() g(), 0 πχ f(½) > g(½),

23 + και f() g() 0, Άρα το ζητούµενο εµβαδόν είναι πχ f() < g() Ε = ( )d + ( ( ))d Το οποίο υπολογίζεται εύκολα Β Με το ολοκλήρωµα µπορούµε να υπολογίσουµε όγκους σύµφωνα µε την επόµενη Πρόταση (που δεν αποδεικνύουµε) Πρόταση Έστω f(z)συνεχής συνάρτηση στο [,], και V χωρίο του R Αν f(z)είναι το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου V(z) = {(, y) : (, y,z) V}, τότε όγκος του χωρίου που περικλείεται µεταξύ των επιπέδων z V f(z)dz είναι ο =, z = και ανήκει στο Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο όγκος του χωρίου V που περικλείεται από τα επίπεδα z = 0, z = και την επιφάνεια + y = r (κύλινδρος διαµέτρου r και ύψους ) Λύση Έχουµε ότι το V(z) είναι δίσκος ακτίνας r, άρα το εµβαδόν του είναι f(z) =π r Οπότε ο όγκος του V είναι 0 π rdz=πr Γ Το ολοκλήρωµα υπολογίζει µήκη καµπύλης Ας δούµε πρώτα πως ορίζουµε το µήκος της καµπύλης y = f() της γραφικής παράστασης µιας συνεχούς θετικής συνάρτησης f() ορισµένη στο διάστηµα [,] Χωρίζουµε το διάστηµα [,]σε n ίσα διαστήµατα µήκους εξής: = το καθένα, ως n

24 4 [,] = [,+ ] [+,+ ] [ + (n ),+ n ] z =,f της καµπύλης y = f() που αντιστοιχούν στα και παίρνουµε τα σηµεία k ( k ( k) ) άκρα των διαστηµάτων, δηλ k = + k, για k = 0,,, n Εύκολα µπορούµε να δεχτούµε ότι το άθροισµα M z z f( ) f( ) f( ) f( ) n n n n = k k = ( k k ) + ( k k ) = ( ) + ( k k ) k= k= k= είναι µια προσέγγιση του µήκους της y = f(), που γίνεται καλύτερη όσο µεγαλώνει το n Υποθέτουµε ότι η f() έχει παράγωγο Τότε, από το Θεώρηµα µέσης τιµής, υπάρχουν ξk [ + (k ), + k ], για k =,,,n, έτσι ώστε n n n k k k= k= Οπότε ( ) ( ) ( ) M = + f ( ξ ) = + f ( ξ ) f( k) f( k ) f( ξ k ) = Αν υποθέσουµε επιπλέον ότι η f() έχει συνεχή παράγωγο τότε η συνάρτηση ( f ()) + είναι συνεχής Άρα από τον ορισµό του ολοκληρώµατος το lim M n n ισούται µε το + ( ) f () d και λέγεται µήκος της καµπύλης y = f(), [,] Έχουµε έτσι την ακόλουθη Πρόταση + Πρόταση Αν f() είναι συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα [,] µε συνεχή παράγωγο τότε το µήκος της καµπύλης y = f() ισούται µε + ( f ()) d Παράδειγµα Υπολογισµός του µήκους της καµπύλης της γραφικής παράστασης όταν [0,] f() = /, Λύση Το µήκος της είναι Αρκεί να υπολογίσουµε το 0 = + d + d

25 Θέτουµε =εφ y, οπότε d = dy, συν y άρα ( ηµ y) + d = +εφ y dy = dy = dy = συν y συν y ( συν y) ( ηµ y) = = dy ( ) dz, ηµ y ( z ) όπου z y Αλλά = ηµ dz = ( ) dz z ( z) ( + z), και σύµφωνα µε προηγούµενη Πρόταση α β γ δ = ( z) ( + z) z ( z) + z ( + z) υπολογίζουµε και βρίσκουµε α = β = γ = δ = ¼ Άρα ( z) ( + z), για κάποια α, β, γ, δ, που + z z dz = ln z + + ln + z + c = ln + + c 4 z + z 4 z z Συνεπώς z z 4 + z z + d = ln + + c, µε ( z =ηµ εφ ) ηµ ( εφ ) z z z z = + d = ln + ln = z z ( ) 4 + z z ηµ εφ, και 0 0 0

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 3 Μαρτίου 4 Εισαγωγή Ο δρόµος της ϑεωρίας της ολοκλήρωσης ξεκινά απο τον Αρχιµήδη, αλλά η πραγµατική ιστορία αρχίζει

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Β. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Γενικά η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν έχουμε γινόμενο δύο συναρτήσεων Εκφράζεται με τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= f()g() - f ()g()d

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Διδάσκοντες: Δάλλα - Αλικάκος 6 Ιουλίου 204 Θέμα (α) Από την γνωστή ανισότητα a 2 + b 2 2 ab, όταν (x, y) (0, 0), τότε ισχύει: f(x, y) f(0, 0) x 2 y 2x

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα