3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

Transcript

1 Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Μια «πολύπλοη» συνάρτηση f, δυό μεταβλητών, μπορεί να προσεγγιστεί (στην γειτονιά ενός σημείου (,y)) από μια πολυωνιμιή συνάρτηση με την βοήθεια του αναπτύγματος Taylor, το οποίο δίνεται από τον παραάτω τύπο ( h + k ) ( h + k ) f( + h, y+ k) = f(, y) + ( h + k ) f + f + f + =!! f f = f(, y) + ( h + k ) + ( h + k + hk ) +! ( + h + h k + hk + k ) +! Η δύναμη Newto: h + k μπορεί να βρεθεί αναγωγιά όπως στο διώνυμο του α 0 α α α αβ ( α + β) = + β + β + + β β όπου =! (Ισχύει = =,!( )! 0 0! = ) Δηλαδή k k ( h + k ) = h + h k h k + + k + k + hk + k Το ανάπτυγμα Taylor στο σημείο (0, αλείται ανάπτυγμα Maclauri Παρατήρηση Οι δυό εφράσεις στο ανάπτυγμα Taylor δεν είναι ίσες, αλλά χρειάζεται ένας επιπλέον όρος στην ποσότητα του δεξιού μέλους που παριστάνει το σφάλμα της προσέγγισης (ατ αναλογία με την περίπτωση του αναπτύγματος στις συναρτήσεις μιάς μεταβλητής) Εφαρμογή Να αναπτύξετε τη συνάρτηση f (, y) = e (0, Να βρείτε τους όρους μέχρι αι τρίτου βαθμού l( + y) σε ανάπτυγμα Taylor στο σημείο Λύση Αν f (,y) = e l( + y), τότε 7

2 f (0, = 0, f (, y) = e f (0, l( + y), = 0 f (,y) e f (0, =, =, + y (,y) = (e l( + y)) = e (0, l( + y), = 0, (,y) e e (0, = =, =, + y + y (,y) e e = = + y ( + y) (0,, =, (,y) = (e l( + y)) = e (0, l( + y), = 0, (,y) e e (0, = =, =, + y + y (,y) e = ( + y) e = ( + y) (0,, =, (,y) e = ( + y) e = ( + y) (0,, = Συνεπώς h k h h k hk k f (h,k) = 0 + h0 + k hk + ( ) ( ) + + k h k hk = k + hk + ή θέτοντας ( h, k) = (, y) + k + y f (,y) = y + y y y + + y + Παρατήρηση Επειδή η δοθείσα συνάρτηση είναι γινόμενο δυό συναρτήσεων (μιάς μεταβλητής η αθε μία) f ( y, ) = el( + y) = hgy ( ) ( ), h ( ) = e, gy ( ) = l( + y) 8

3 το ανάπτυγμα μπορεί να υπολογιστεί πολλαπλασιάζοντας τα αναπτύγματα Taylor των συναρτήσεων h ( ) = e, gy ( ) = l( + y) Εφαρμογή Υπολογίστε τους τρεις πρώτους (μη-μηδενιούς) όρους του αναπτύγματος Taylor της συνάρτησης στο σημείο f (, y) = (, y) = (0,, χρησιμοποιώντας α) τον τύπο (444) της σελίδας 7, si(y) β) το γνωστό ανάπτυγμα Maclauri της συνάρτησης si Λύση α) Εφαρμόζουμε τον τύπο (444) της σελ 7 θέτοντας (, y) = (0, αι ( h, k) = (, y) Παραγωγίζοντας προύπτει: f (0, = (0, = (0, = (0, = [ ycos(y) ] 0, (0, = [ cos(y) ] 0 = ( 0, f [ y si(y) ] = 0 (0, [ cos(y) y si(y) ] = [ si(y) ] = 0 (0, (0, = ( 0, Ανάλογα όλες οι μεριές παράγωγοι ης έως αι 0 ης τάξης της f μηδενίζονται στο 0 σημείο (0,, ετός της αι για τις οποίες ισχύει ότι =! αι = 5! 5 5 Η διαπίστωση που άναμε μπορεί να δειχθεί άνοντας διαδοχιές πράξεις Όμως ο αλλίτερος τρόπος είναι να δούμε ότι από το β) μέρος αυτής της άσησης ισχύει ότι 5 (y) (y) si(y) = y + + (*)! 5! Από το γενιό ανάπτυγμα () ο όρος f (0, είναι 0, οι όροι με παραγώγους ης τάξης είναι 0 Οι όροι δεύτερης τάξης είναι επίσης 0 ετός από τον 9

4 y! (0, = y Ο δεύτερος μη μηδενιός όρος του αναπτύγματος (*) είναι ο! y Από τα αναπτύγματα ( + y ) προύπτει ότι όροι με y εμφανίζονται! y μόνο για =, αφού οι γενιοί όροι του διωνυμιού αναπτύγματος είναι: Έτσι πρέπει! y (0, = y ή (0, = =!!!!!!! Αντίστοιχα ο όρος + 5 y 5 προύπτει από το ανάπτυγμα ( + y ) για = 0 5!! Ισχύει ! y (0, = y ή (0, = = 5! ! 5 5! 5! 0 5 Επαγωγιά μπορεί να δειχθεί ότι για άθε Ν, (0, = 0, (0, = 0, λ ρ (0, = 0 όπου λ + ρ = αι λ ρ, ενώ ισχύει ότι: = ( )! αν ο είναι περιττός β) Ισχύει το ανάπτυγμα (89) της σελ 8 του τόμου Β: z z z z si z = ( ) = z ( ) +, για άθε z R ( + )!! 5! ( + )! = 0 Αν z = y, τότε f (, y) = si(y) = si z αι από το ανάπτυγμα (5) έχουμε: f (, y) z = si z = z! 5 z + 5! y + = y! 5 y + 5!

5 4 Αρότατα Ορισμός (τοπιό μέγιστο αι ελάχιστο) Εάν z = f(, y) είναι μια συνάρτηση δυό μεταβλητών ορισμένη σε μιά περιοχή R που περιέχει το σημείο ( 0, y (α) Η συνάρτηση f έχει τοπιό μέγιστο στο σημείο ( 0, y εάν f ( 0, y f(, y) για όλα τα σημεία (, y ) του πεδίου ορισμού, που ανήουν σε έναν ανοιχτό δίσο με έντρο το ( 0, y (β) Η f έχει τοπιό ελάχιστο στο σημείο ( 0, y εάν f ( 0, y f(, y) για όλα τα σημεία (, y ) του πεδίου ορισμού, που ανήουν σε έναν ανοιχτό δίσο με έντρο το ( 0, y Όπως αι στις συναρτήσεις μιάς μεταβλητής, έτσι αι εδώ βασιό για τον εντοπισμό των τοπιών αροτάτων είναι ένα ριτήριο πρώτης παραγώγου Θεώρημα (ριτήριο πρώτης παραγώγου για τοπιά αρότατα) Εάν η συνάρτηση z = f(, y) παρουσιάζει τοπιό μέγιστο ή ελάχιστο σε άποιο εσωτεριό σημείο ( 0, y του πεδίου ορισμού της αι στο σημείο αυτό υπάρχουν οι πρώτες μεριές της παράγωγοι, τότε: f ( 0, y = 0 fy ( 0, y = 0 Παρατήρηση ) Το παραπάνω θεώρημα, όπως αι στην περίπτωση των συναρτήσεων μιάς μεταβλητής, μας αναφέρει ότι τα μόνα σημεία στα οποία η z = f(, y) μπορεί να παρουσιάζει αρότατα είναι: (α) εσωτεριά σημεία στα οποία f (, y) = 0, f (, y) = 0 (β) εσωτεριά σημεία όπου μια τουλάχιστον από τις f, y f δεν υπάρχει (γ) συνοριαά σημεία του πεδίου ορισμού της Τα σημεία για τα οποία ισχύει το (α) ή το (β) αλούνται ρίσιμα σημεία y ) Το γεγονός ότι f( 0, y = 0, fy( 0, y = 0 σε ένα εσωτεριό σημείο ( 0, y του πεδίου ορισμού της, δεν μας εγγυάται ότι η f έχει τοπιό αρότατο εεί Αν όμως η f έχει μεριές παραγώγους πρώτης αι δεύτερης τάξης συνεχείς στο R, τότε το αόλουθο θεώρημα βοηθά στην εύρεση τοπιών αρότατων 4

6 Θεώρημα (ριτήριο δεύτερης παραγώγου για τοπιά αρότατα) Εάν z = f(, y) είναι μια συνάρτηση δυό μεταβλητών, αι έστω ότι οι μεριές παράγωγοι πρώτης αι δεύτερης τάξης είναι συνεχείς σε έναν υλιό δίσο με έντρο το σημείο ( 0, y αι έστω ότι : f ( 0, y = 0 fy ( 0, y = 0 Εάν ορίσουμε την διαρίνουσα της z = f(, y) από την σχέση: A= f (, y ) f (, y ) f (, y ) = 0 0 yy 0 0 y 0 0 f (, y ) f (, y ) 0 0 y 0 0 f (, y ) f (, y ) y 0 0 yy 0 0 Τότε (α) Εάν A> 0 & f ( 0, y > 0 η z = f(, y) έχει τοπιό ελάχιστο στο ( 0, y (β) Εάν A> 0 & f ( 0, y < 0 η z = f(, y) έχει τοπιό μέγιστο στο ( 0, y (γ) Εάν A < 0 η z = f(, y) έχει ένα σαγματιό σημείο στο ( 0, y (δηλαδή σε άλλες διευθύνσεις παρουσιάζει μέγιστο αι σε άλλες ελάχιστο) (δ) Εάν A = 0 τότε δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το ( 0, y Εφαρμογή Να βρεθούν τα αρότατα (εφ όσον υπάρχουν) της z = f(, y) = y+ y 8y Λύση Παραγωγίζοντας προύπτει = y = + y 8 () () Τα πιθανά αρότατα θα είναι λύσεις του συστήματος y = 0 y = = + y 8= 0 + 8= 0 y = Άρα το σημείο (,) είναι η μόνη λύση του συστήματος Βρίσουμε τις μεριές παραγώγους ης τάξης 4

7 =, y =, = Α= (,) (,) (,) = = 8 > 0 y Η διαρίνουσα ( ) = >0 το σημείο ( 0, y =(,) είναι τοπιό ελάχιστο της συνάρτησης αι επειδή Εφαρμογή Να βρεθούν τα αρότατα (εφ όσον υπάρχουν) της Λύση Παραγωγίζοντας προύπτει z = f(, y) = 4y y 4 4 = 4y 4 = 4 4y () () Υπολογίζουμε τα σημεία στα οποία μηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι Άρα 4y 4 = 0 y = 9 y ( y ) y y 0 y 0 ή y ή y = = = = = 4 4y = 0 = y Αν y = 0 = 0, εάν y = = ενώ εάν y = = Άρα τυχόν αρότατα της συνάρτησης υπάρχουν στα σημεία ( 0,, (,) αι (, ) Βρίσουμε τις μεριές παραγώγους ης τάξης =, y = 4, = y Αν Α = y έχουμε τον αόλουθο συνοπτιό πίναα τιμών: ζεύγος Α (0, (,) (, )

8 Επειδή Α >0 αι <0 στα σημεία (,) αι (, ) στα εν λόγω σημεία η συνάρτηση παρουσιάζει τοπιά μέγιστο Επειδή Α<0 στο (0,, το σημείο αυτό είναι ένα σαγματιό σημείο Εφαρμογή Το άθροισμα τριών θετιών αριθμών είναι Βρείτε τους αριθμούς αυτούς αν θέλουμε το γινόμενό τους να είναι το μέγιστο δυνατό Λύση Έστω yz,, οι αριθμοί αι P = P(, y, z) = yz το γινόμενό τους Τότε θέλουμε να βρούμε το μέγιστο της P = P(, y, z) όταν ισχύει (ο περιορισμός) + y+ z = Αλλά + y+ z = z = y αι αντιαθιστώντας στην P = P(, y, z) έχουμε P = P(, y, z) = y( y) της οποίας θέλουμε να υπολογίσουμε το μέγιστο Παραγωγίζοντας προύπτει P = y y y P = y Τα πιθανά αρότατα θα είναι λύσεις του συστήματος y = y = 4 y y y = 0 = 4 0 Άρα το σημείο (4,4) είναι η μόνη λύση του συστήματος Βρίσουμε τις μεριές παραγώγους ης τάξης P = y, P y = y, P = Η διαρίνουσα P P P Α= (4,4) (4,4) (4,4) = ( 8) ( 8) ( 4) = 48 > 0 y αι επειδή P = P(, y, z) P (4,4) = 8 < 0 το σημείο (4,4) είναι τοπιό μέγιστο της Δηλαδή οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι =4, y=4, z=-4-4=4 44

9 Εφαρμογή 4 Ένα ορθογώνιο ουτί, ανοιχτό στο πάνω μέρος έχει όγο cm Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του, ώστε η συνολιή επιφάνειά του να είναι ελάχιστη ; Λύση Υποθέτουμε ότι το ορθογώνιο ουτί έχει πλευρές α, β, γ (σχ ) Τότε αυτό έχει όγο V = αβγ O όγος του είναι σταθερός V = αβγ = () Η συνολιή επιφάνεια αφού είναι ανοιτό στο πάνω μέρος, έχει εμβαδό S ίσο με το εμβαδό των πέντε υπολοίπων εδρών δηλ S = αβ + αβ + αγ + αγ + βγ = αβ + αγ + βγ () α β γ Σχήμα Άρα αρεί να βρούμε το ελάχιστο της; S = S( α, β, γ) = αβ + αγ + βγ () υπό τον περιορισμό V = αβγ = (4) Από την (4) προύπτει ότι γ = αβ (5) Αντιαθιστώντας στην () 4 S = S( α, β, ) = f ( α, β) = αβ + + () αβ β α Στη συνέχεια θα βρούμε τα ( α, β) που ελαχιστοποιούν την S = f ( α, β) Παραγωγίζοντας f = β α α f 4 = α β β α 4 =, α β 8 =, = β α β Οι πρώτες μεριές παράγωγοι μηδενίζονται αν 45

10 β α 4 α β = 0 β = β = α α = α = 0 β = β = α = 8 α 4 Η ποσότητα Και (,4) = (,4) (,4) f (,4) 9 Α = = = 4,5 4 = 0,5 > > 0 Άρα το ζεύγος (,4) δίνει ελάχιστη τιμή στην επιφάνεια Συνεπώς οι διαστάσεις του ουτιού με όγο cm αι ελάχιστη επιφάνεια είναι cm α = cm, β = 4cm αι γ = = 4cm 4cm 4